程稼夫电磁学答案全解

（2）根据答案，U 是固定的，即一直连着电源，于是电场力会改变 k，所以咱们来研究一 下电场力的性质。 在平衡位置处， 如果极板下移一段距离， 那么电场力增加， 跟回复力相反。 如果极板上移，则电场力减小，相当于向上增加，又忤逆回复力，所以~~电场力对回复力 造成负面影响。现在研究极板从平衡位置下移的情况（暂不考虑弹簧产生的回复力）
2 3 2(d 0 -d1 )d1 d1 ε 0 SU 2 x0 2 2(d 0 -d1 )d1 g
−
ε 0 SU 2
=
1 2π 1 2π
ε 0 SU 2 −
2 2ε 0 SU 2 (d 0 -d1 )d1 3 d1 1 = 2 ε 0 SU x 0 2π g
ε 0 SU 2 −
2ε 0 S 2 U (d 0 -d1 ) d1 ε 0 SU 2 x 0 g
程书电磁学答案
主编：
血色の寂宁
小编：
lx10525
没有“等等”
编者的话：本人是freshman，故时间精力有限，还有能力有限……故步骤缺失与不
准确再所难免，请大家原谅。另感谢徒弟 第一章
星新一一同学提供相关材料。
2
m 2 2 k (0.01 qN Ae) kQ k (0.01ne) M 1F = 2 = = = 答案 2 R R R2
31 那么……（1）
1 1 Eq = k（d 0 -d1）为什么是 呢？因为上下板产生的合场强 2 2 才是那个U / d1的E，但是一边电荷所在的电场是另一边电荷产生的，所 F电 = ΔF弹 ⇒ 1 1 U ε0S 以要加 。再 ⇒ ⇒ k = 答案 U = k（d 0 -d1） 2 2 d1 d1
+
kq 环1 R =0（注意研究对象取的是o点，因为这里
在x = d处，v= 2 则v中 = 2
bde 3 bd 2 e 3 bd 2 e 1 bd 2e d= 3 ，Ek = ，E k中 = Ek + bed 2 = 2 m 2 m 2 m 2 m
有一个对应的F向 = m U= 1 C
1 1 + C CX
V , 其中，C =
ε 0 2π RL
d
，代入即可
33
首先，金属球的电荷必分布在表面，则金属网内表面带电量q1，外表面电荷量与本题 无关。假设粒子速度无穷大，则路径如1所示，然后逐渐减小速度，重新发射，路径 就从1渐变至4，再减小，则无法到达金属网。故粒子取最小速度时，轨迹是一个长轴 为r1 +r2的椭圆。根据天体物理学的知识，轨迹半长轴为a，则总能量为GM ，那么现 2a
20 使立方体多次旋转，然后叠加，原则就是一个面叠加 6 种电势，然后叠加完了，立方体 变成等势体， 中心的电势自然是 6 个电势的和， 然后 6 次叠加对中心的电势的贡献都是一样 的，所以中心电势是和的六分之一
21 一看就知道 o4 的电势等于 o3 的电势，那么 o3o4 的电势差就是由最小的球球造成的，完 毕 22 半球在中间的面面上产生的电势就是整个球产生的电势的一半喽
29 30
由矢量图中的数量关系可以知：球外电荷不影响球上电荷的分
布，即把带电球看作点电荷。再看看电荷分布的原则：如 果电荷等分后整个系统的电荷对称分布，那么就等分。于 1 1 1 是，很自然地 Q2 = Q , Q3 = Q .Q4 本来不应该等于 Q的，但是差 2 4 8 距是一个1阶小量，对最后答案的影响就是2阶小量，而答案 a 中只有1阶小量（ ），所以暂令它是 r 1 Q。与此同时，1带的电量也带着一个一阶小量，这个就不能 8 丢了，因为这个小量对答案的影 响也是一阶小量。 那么根据1、4接触时电势相等和1接地电势为0得（还有 Q1 + Q4 Q ）（接地后电荷 Q '）： 8 ⎧ kQ1 kQ 2 kQ3 kQ4 kQ 4 kQ 3 kQ2 kQ1 ⎪ a + r + 2r + r = a + r + 2r + r ⎪ ⎨ kQ ' kQ 2 kQ3 kQ4 ⎪ + + + =0 ⎪ a r r 2r ⎩ = 2 （ -2） a + r （5 2 + 2） a Q, Q ' = Q 解得： Q1 = 2 8(r-a) − 8 2r 2 2 r2 + （ -2） ar + (5 + 2 ) ar -2） ar + (5 + 2 ) a ( r − a ) 2 2 Q≈ Q 于是 Δ Q = Q1 − Q ' = 8r ( r − a ) 8r ( r − a ) 3 1 a 3 1 a 2 ) a ] (1 − ) −1 Q ≈ [ r + (3 + 2 ) a ] (1 + )Q ≈ 答案喽 = [ r + (3 + 2 8r r 2 8r r 1 这道题把Q 4约化为 Q是关键，否则后来的计算会异常麻烦 8 r2 + （
然后把高阶小量x 2 拿走，化简化简答案就出来了
剩下的也用这方法搞搞就行了 8 方法同题 4 9 可以用极限法——如果向右移动很长距离，那么正负电荷离 q 的距离近似相等，那么合力 应该向左。于是乎，稳定平衡。图像程书的很详细嘛 10 嗯……大家都懂的 11 由对称性可知答案为 0
12（1）
等效为加粗虚线所示圆弧…………前面程书都有这类问题的
其中，q 是每个铜原子的核电荷量 2
取一小段圆环（圆心角 2Δθ） ，分析受力如图（做得 我好憔悴）于是 2ΔTΔθ/2=kq q 0 Δθ/（2π r ）
2
ΔT=kq q 0 /（2π r ）
2
Q2 （Q-q ） GMm kq 4 = 1 2 1 ≤ 2 2 r r r (q1 是地球上的电荷量) 3(1) k
∫
r −l
k
Δx q 2l x 2 =答案
kq 2 15 首先，是金属小球，所以电荷都在求表面。其次，球表面每处场强是 2 R 为什么呢？因 kq 2 为球外表面的场强是 R ，而内表面是 0，这差距就是球表面的面元提供的场强方向相反造 kq kqΔq 2 2 成的。于是，把这面元拿掉，剩下的位置的场强就是 2 R ，于是 2 R 然后是半个球，所
由式①得：a =l
q3 q2
带入式②得答案 u r u r u r u r q 又由①得： r1 − r3 = (r2 − r1 ) 2 再把第1问的答案带入，化简得答案 q3
6 受力分析……大家都会的 7 原问题等价于在原点放根杆子,球在杆内.然后如果是稳定平衡与不稳定平衡中间的状态,那 么沿杆子方向的力就等于 0， 由此列式： (这里有个误区:无视 “限制” 一词。 “限制” 什么呢？ 方向！限制方向有什么用呢？提供支持力！众所周知，杆子可以给球支持力，方向跟管子垂 直，而原题中没有直接说明管子，于是大家就容易忽略管子提供的支持力，进而受力分析发 生错误)设位移与 x 轴夹角为θ，位移大小为 x
以减半，方向只有对称轴方向才有效，所以再减半，然后上面提到的场强也是减半，最后就
kq 2 2 是 8R
16
kq cos θ = ( x / cos θ ) 2
kq(
x R + x2 x2
2
)3 =
2
kqx (R + x )
3 2 2
令E 'x ( E对x的导数) = 0
距离环心x处的场强E= ⇒ 2x = R 17 要使题设成立，则系统的电势能必须大于等于零，那么 Q 就不能太大喽，顶多大到使电 势能为 0。
ΔF =
ε 0 SU 2
2(d1 -Δx) 2 k等效 m
−
ε 0 SU 2
2 2d1
=
ε 0 SU 2
2 2d1
(1 −
Δx −2 ε 0 SU 2 ε 0 SU 2 ) − = Δx 2 3 d1 2d1 d1
f =
1 2π
=
1 2π
k−
ε 0 SU 2
3 d1 m
ε 0 SU 2
又mg = kx 0则f = 1 2π
kq1e kq1e 在的总能量为- m ，在发射处，其中有- m 的势能，那么初速度就是…… r1 + r2 r1
34 第 n 滴恰好滴不上，那么版上已经带了 n-1 滴的电荷，于是乎……
kq
2 2
35（1）接地时球心电势为 0，则 a + r 的电势好研究。 ） （2）它带电量为 0，那么对自身电势无贡献，只考虑环对它电势的影响即可 （3）…… （4）作用力的该变量相当于环对均匀分布在球表的多出来的电荷的作用力 （5）大家懂的 36 质子刚好不能到达时，速度与切线平行，根据角动量守恒和能量守恒得答案 37 证明切向是简谐振动，然后求出半周期乘以速度即可 38
Q≥2
GMm 14 k 则 Q ≥ 1.14*10
(2)答案有问题,不提
3kqQ sin 3 2 ( a) 4 设q向下移动Δx，则所受合力F= 3 θ其中θ是Δx对Q的偏角
Δx 9 3kqQ 3 a a 3 Δx 那么sinθ ≈ θ ≈ 3 带入上式，得：F=
9 3kqQ a3 那么k=
1 1 9 3kqQ = ma 3 （答案貌似是按照π=3 算的，于是结果 f= T 2π
2 2
18 恩…… 19
∑ 2U q
i =1 i
n
1
i
1 U P1 = U1则每个面对中心的电势贡献为 U1 4 1 于是U 2中有一部分是靠近的一个面贡献的 U1，剩下的就是剩下的三个面等价地贡献的 4 1 U 2 − U1 4 ，四面体心则还剩 3 U 拿走一个，则，还剩U 2 − 1 3 4 1 U 2 − U1 4 3
相差 5%左右。遇到类似的小差距，一般就是 3 种情况：1 π按 3 算 2 g按 9.8 算 3 你过程 中的量保留的位数太少。 ） 5 首先它们要共线，否则无法平衡，其次负电荷应在正电荷中间，否则负电荷无法平衡。于 是乎