一类带势的非线性Schrodinger方程组解整体存在和解爆破的最佳条件
一类带势的非线性Schrodinger方程对称爆破解的L 2集中性质
． ．
） Ｈ ） 时 间 爆破 ， 么 ， 于任 意的 Ｒ＞ ， 在 那 对 ０有 ｎ （）Ｉ２ ， ≥ ｌ ２ ｆｌ ｔ ｌ （ ｌ 啪 Ｌ １ ｌ ｌ， Ｑ 这 里 Ｑ是方 程 （ ） ３ 的基态 解． 定 义方 程 （ ） 】 的能量 空 问 ： （ ． Ｒ ）在 上定 义 如下 内积
１ 引言及预备知识
本 文讨 论如 下带 势 的非 线性 Ｓｈ６ｉｇｒ 程 ｃｒｄｎｅ 方
ｉ ：一Ａ —ｋ ｔ ｕ （， ， ）ｌ ｌ ｕ ｕ ｔ ０ 戈∈ Ｒ ， ≥ ， （） １
ｌ ， Ｉ Ｉ ｌ 那么方程 （ ） Ｑ ２ 的解 有可能爆破． 对于方
程 （ ） 爆 破 解 ， ．Ｍｅｌ ２ 的 Ｆ ｒ ｅ和 Ｙ ｓｔ ｍ 证 明 ．Ｔ ｕｓ ｉ ｕ
在有 限时 间爆破 的充分条件和其对称爆破解的 集中性质．
关键词 ： 非线性 Ｓｈ６ｉｇｒ ｃｒｄｎｅ 方程 ； 态解 ； 基 爆破解 ； 爆破 点 ； 集中 Ｌ
中图分类号 ： １５ ２ ０ ７ ．４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ １８９ （０ ８ ０ －６ ５０ １０ —３ ５ ２ ０ ）６０ ４ － ４
（ ， ＝ 。 ） ０ ） （ ，
ห้องสมุดไป่ตู้
∈Ｒ ，
（） ２
（ ｌ Ｊ Ｖ Ｖ ｕ ， ，∈ ｕ， Ｒ “ ， ＋ Ｈ ） （ ） ・
对应 范数 为
２
＝
其中， 咖 ｔ ） ［ ， ） Ｒ 一ｃ且 ０＜ １ ＋。 ； ＝ （， ：０ Ｔ × ？ ≤ ｏｉ
＝ 一１ △为 Ｌｐａｅ算 子 ， 经 有 大量 的文 献 进 ， ａ ｌｃ 已 行 了研究 ， 并且得 到 了丰 富 而 深刻 的结 果 ．．Ｇｎ． Ｊ ｉｉ
带调和势的非线性Schrodinger方程解的爆破性质
显 ， 有 １ ） 方 （ 是 个 典 非 性 ｃ ６ｉｅ 程 ． １ ） ｌ 时 方 （ 称 然 没 势， ， 程１ 一 经 的 线 ｓｌｄ ｇ 方 当， ＝ ｌ ， 程１ 为 （ ） 即 １ ｎｒ ｒ （ ｘ ‘ ） 又
Ｓ ｏｖ ｏ ｌ 空间日 ＲⅣ 中 ｂｅ （ ）．
定 义 日 上 的能 量 泛 为 ：
（） Ｉ ｌ ＋ Ｖ ） ．１ （ ＝
现给出初值问题 （ 一２在空 间 Ｈ 上 的局部适定性． １ （） ）
一
， ． Ⅳ 铊
命题 １ 设 ∈Ｈ ， 则存在Ｔ＞０， 初值问 １（在最大时间区间［， 上存在唯一解ｕｔ ） 使得 题（一） ）２ ０ ） （ ， ，
引理 １ 设 ∈Ｈ ，ｕｔ ） （ ｘ 为柯西问 １（的解， ， 题（一） ）２ 则下列式子成立：
（） ３ Ｊ ＝１如（量变 ） １ 』 质不式 ｆ ∽＝ ｚ ＋ ， 一 ） １ Ｉ ｝ １， １ ｚ Ｊ （ Ｉ Ｊ ＝（ 能 不式 （４） １ Ⅳ （ 变 ） ＋ Ｉ 量
在 某些假设条件下 ，证明 了该 问题 的解在有 限时 间内爆破 ． 关键词 ：非线性 Ｓ ｈＳ ｉｇ ｒ ｃ ｒｄｎ ｅ 方程 ；爆破 ；调和势 中图分类号 ：Ｏ１５２ 文献标识码 ：Ａ ７． ４ 引言 本文讨 论如下带 调和势的非线性 Ｓ ｈ ６ ｉ ｇ ｒ ｃ ｒ ｄ ｎ ｅ 方程 的初 值问题
第１卷 ９
第７ 期
牡丹江大学学报
Ｊ ｕ ｎ １ ｏ Ｍ ｄ ｎ ｉｎ Ｉ ｉ Ｏ Ｓ ｔ ｏ ｒ ａ ｆ ｕ ａ ｊ ａ ｇ Ｊ Ｖ Ｔ ｉ ｙ ｎ
Ｖ ．１ ｏ ｏ１ ９ Ｎ ．７ Ｊ ． ２ ０ ｕ１ Ｏ１
一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破
一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破胡文燕;杜晓英【摘要】考虑一类非线性Petrovsky方程的具Dirichlet边界条件的初边值问题.在假设松弛函数g和初值u0, u1满足适当的条件, 且初始能量为非正值时, 利用能量法证得其解在有限时间内爆破.%A nonlinear Petrovsky equation with initial conditions and Dirichlet boundary conditions is considered.Assuming that the relaxation function g satisfies the appropriate conditions and the initial energy is not positive, the energy method is used to prove that the solution blows up in finite time.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(055)001【总页数】5页(P16-19,25)【关键词】非线性Petrovsky方程;松弛函数;记忆项;初始能量;爆破【作者】胡文燕;杜晓英【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中 030619;晋中学院数学学院,山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.23Petrovsky型方程[1]可以解释很多重要的物理模型，许多学者对其解的整体存在性、渐进性、爆破性进行了大量研究[2-5].对于不带记忆项的非线性Petrovsky方程，文献[3-4]分别证明了其解在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破性质.文献[6-7]通过对方程源项和非线性阻尼项相互作用的研究，对非线性Petrovsky方程爆破解的下界进行了估计.对于带有记忆项的Petrovsky方程，文献[8]证明了在负的初始能量下，松弛函数满足一定条件时解会发生爆破.文中首先推广文献[4,8]的结果，然后给出具记忆项的Petrovsky方程的初边值问题当初始能量为非正值时解的爆破性质.1 预备知识考虑非线性Petrovsky方程的初边值问题(1)其中p>2,Ω⊂Rn(n≥2)是具有光滑边界的有界区域，n是∂Ω的单位外法线方向. 假设函数g:R+R+ 满足1-g(τ)dτ=l>0,g(0)>0,且这里(4)类似于文献[4]，可利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题(1)解的存在性和唯一性，这里不再给出证明.定理1[4](局部存在定理) 假设g,p满足条件(2)～(4)，那么对于任意给定的总存在T*>0，使得初边值问题(1)存在唯一的局部解u(t)，满足：引理1 如果p满足条件(4),那么对于任意的存在正常数C1=C1(Ω,p)，使得‖u(t)‖p≤C1‖Δu(t)‖2.证明利用Sobolev嵌入定理和不等式，很容易证得结论成立. 】定义问题(1)的能量函数[9-11]其中(g∘Δu)(t)=g(t-τ)‖Δu(t)-Δu(τ)dτ.在(1)中方程两边同乘以ut，并利用格林公式可得下面引理.引理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为初边值问题(1)的解，那么2 主要结果及证明考虑E(0)≤0的情形.若令H(t)=-E(t),显然有H′(t)=-E′(t)≥0,因此H(t)≥H(0)=-E(0)≥0.引理3 如果g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为问题(1)的解，那么对任意的t∈[0,T*)，存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得‖u(t)≤C2‖u(t)，其中2≤s≤p.证明当‖u(t)‖p≥1时，由s≤p，显然不等式‖u(t)≤‖u(t)成立.当‖u(t)‖p≤1时，由引理1，有‖u(t)≤‖u(t)≤(C1‖Δu‖2)2.因为所以即存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得不等式成立. 】定理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，当E(0)≤0时，如果对于任意初值(u0,u1):u0≠0,u1≠0,有u0·那么存在T*>0，使得初边值问题(1)的解在有限时刻T*爆破.证明令u·utdx,对t求导，有由问题(1)，有从而进而由Young不等式，对于任意的η>0，有由(6)式，可得将上式代入(5)式，整理可得因为所以，由Young不等式，对于任意的ε1>0，有ut.取则从而其中B为常数.因为从而由Hölder不等式和Young不等式，有其中定义函数Ψ(t)=H1-α(t)+δG(t),t∈[0,T*),δ>0.则Ψ′(t)=(1-α)H-α(t)H′(t)+δG′(t).将(7)式和(8)式代入，有因为E(0)≤0,H′(t)=-E′(t)≥0,H(t)≥H(0)=-E(0)≥0，所以存在δ>0,γ>0，使得且从而Ψ(t)≥Ψ(0)>0,∀t∈[0,T*).令则其中取充分小的δ>0，则有由Cauchy-Schwarz不等式，有因为p>2，由Hölder不等式和Young不等式有这里，再由引理3，存在C6>0，使得因为(9)式成立,所以一定存在ξ>0，使得Ψ′(t)≥ξΨθ(t),(11)其中ξ=ξ(δ,γ,C6).对(11)式两端在[0,t]上积分，有又因为Ψ(0)>0，故一定存在使得】3 结束语许多学者对不带记忆项的非线性Petrovsky方程进行研究，得到在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破结论.文中推广了文献[4,8]的结果，研究了带记忆项的情形，并得出当松弛函数和初值满足一定条件时，其解在非正的初始能量下在有限时间内会发生爆破.参考文献:【相关文献】[1] WU S T,TSAI LY.On global solutions and blow-up of solutions for a nonlinearly damped Petrovsky system[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2009,13(2):545.[2] LI G,SUN Y N,LIU W J.Global existence and blow-up of solutions for a strongly damped Petrovsky system with nonlinear damping[J].Applicable Analysis,2012,91(3):575.[3] CHEN W,ZHOU Y.Global nonexistence for a semilinear Petrovsky equation[J].Nonlinear Analysis,2009,703:203.[4] MESSAOUDI S A.Global existence and nonexistence in a system of Petrovsky[J].J Math Anal Appl,2002,265:296.[5] LIU W J.Global existence,asymptotic behavior and blow-up of solutions for a viscoelastic equation with strong damping and nonlinear source[J].Topological Methods in Nonliner Analysis,2010,36(1):153.[6] ZHOU J.Lower bounds for blow-up time of two nonlinear wave equations[J].Applied Mathematics Letters,2015,45:64.[7] PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear waveequation[J].Z Angew Math Phys,2015,66(1):129.[8] MESSAOUDI S A.Blow-up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math Nachr,2003,260:58.[9] LI F H,GAO Q Y.Blow-up of solution for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied Mathematics and Computation,2016,274:383.[10] TAHAMTANI F,SHAHROUZI M.Existence and blow up of solutions to a Petrovsky equation with memory and nonlinear source term[J].Boundary ValueProblems,2012,2012:50.[11] LI G,SUN Y,LIU W.On asymptotic behavior and blow-up of solutions for a nonlinear viscoelastic Petrovsky equation with positive initial energy[J].Journal of Function Spaces and Applications,2013,Artical ID 905867，7 pages.。
一类带调和势的非线性Schrodinger方程组的爆破问题
收稿日期：２００６－０９－１９收稿日期：国家自然科学基金项目资助（１０３７１１１３）作者简介：邵长安（１９８２－），男，山东临沂人，硕士研究生，从事偏微分方程研究；邢家省（１９６４－），男，河南泌阳人，副教授，博士后．文章编号：１００４－３９１８（２００７）０１－０００１－０４一类带调和势的非线性Schrodinger 方程组的爆破问题邵长安，邢家省（北京航空航天大学理学院，北京１０００８３）摘要：研究一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的初值问题，通过在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间中定义能量空间，运用能量方法，建立质量能量守恒律，利用能量函数，得到了只要初值满足一定的条件，该方程组的解在有限时间内爆破．关键词：调和势；非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组；爆破中图分类号：Ｏ１７５．２９文献标识码：Ａ考虑下面的一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的初值问题ｉｕｔ＝－Δｕ＋│ｘ│２ｕ－（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ（１）ｉｖｔ＝－Δｖ＋│ｘ│２ｖ－（ｑ＋１）│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１ｖ（２）ｕ（０，ｘ）＝ｕ０，ｖ（０，ｘ）＝ｖ０，ｘ∈Ｒｎ，ｔ＞０（３#%$%&）其中，ｉ是虚数单位，ｕ＝ｕ（ｔ，ｘ），ｖ＝ｖ（ｔ，ｘ）是（ｔ，ｘ）∈Ｒ＋×Ｒｎ的复值函数，Δ是Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子，ｐ，ｑ是常数，ｐ’ｑ’１．非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＝－Δｕ－│ｕ│ｐ－１ｕ是量子力学和量子理论中的经典非线性模型，很多作者已经用不同的方法研究过它，并取得了非常深刻的结论，如其解的存在唯一性［１］，爆破解［２－３］与整体解［４－５］等．带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＝－Δｕ＋│ｘ│２ｕ－│ｕ│ｐ－１ｕ，是用来刻划吸引的Ｂｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ凝聚模型［６］，很多作者也已经用不同的方法研究过它，并取得的非常深刻的结论［７－８，１０－１１］等．若在方程组（１）－（３）中ｕ＝ｖ，显然就是带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，因此方程组（１）－（３）与Ｂｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ的研究密切相关．本文用能量方法研究该方程组解的爆破性．为了书写的方便用(・ｄｘ表示Ｒｎ(・ｄｘ．１预备知识和引理设Ｈ１（Ｒｎ）表示通常的Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，定义能量空间Ｈ：＝ｕ∈Ｈ１（Ｒｎ），Ｒｎ(│ｘ│２│ｕ│２＜)*∞，并定义能量函数Ｅ（ｔ）＝(（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ＋(│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－２(│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ定义如果（ｕ，ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ１（Ｒｎ）×Ｈ１（Ｒｎ）），│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ，│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１│ｖ∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｌ１（Ｒｎ）×Ｌ１（Ｒｎ）），（│ｘ│ｕ，│ｘ│ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ），Ｌ２（Ｒｎ）×Ｌ２（Ｒｎ））．且在广义函数意义下满足方程组，那么（ｕ，ｖ）称为方程组的一个弱解．命题１［９］设任意的（ｕ０，ｖ０）∈Ｈ（Ｒｎ）×Ｈ（Ｒｎ），ｐ＋ｑ＞１＋４ｎ，该方程组初值问题在最大时间区间［０，Ｔｍａｘ）内存在唯一解（ｕ，ｖ），且（ｕ，ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ１（Ｒｎ）×Ｈ１（Ｒｎ））．引理１（守恒律）设（ｕ，ｖ）是方程组的在０+ｔ＜Ｔ上的解，则：（Ⅰ）(（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝(（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ（质量守恒）第２５卷第１期２００７年２月河南科学ＨＥＮＡＮＳＣＩＥＮＣＥＶｏｌ．２５Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２００７第２５卷第１期河南科学（Ⅱ）Ｅ（ｕ，ｖ）＝!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ＋!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－２!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝Ｅ（ｕ０，ｖ０）（能量守恒）证明（Ⅰ）在（１）和（２）两边分别乘以２ｕ#和２ｖ$，并在Ｒｎ上积分相加，分部积分得!ｉ（ｕｔｕ#＋ｕ#ｔｕ＋ｖｔｖ$＋ｖ$ｔｖ）ｄｘ＝!（２│Δｕ│２＋２│ｘ│２│ｕ│２－２（ｐ＋１）│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ＋!（２│Δｖ│２＋２│ｘ│２│ｖ│２－２（ｑ＋１）│ｖ│ｑ＋１│ｕ│ｐ＋１）ｄｘ取虚部得!（ｕｔｕ#＋ｕ#ｔｕ＋ｖｔｖ$＋ｖ$ｔｖ）ｄｘ＝０即ｄｄｔ!（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０故得!（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝!（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ（Ⅱ）在（１）和（２）两边分别乘以２ｕ#ｔ和２ｖ$ｔ后，并在Ｒｎ上积分相加，分部积分得!ｉ（２│ｕｔ│２＋２│ｖｔ│２）ｄｘ＝!（２ΔｕΔｕ#ｔ＋２│ｘ│２ｕｕ#ｔ－２（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｕ#ｔ）ｄｘ＋!（２ΔｖΔｖ$ｔ＋２│ｘ│２ｖｖ$ｔ－２（ｑ＋１）│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１ｖｖ$ｔ）ｄｘ取实部，得０＝ｄｄｔ!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２＋│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）－２│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ所以Ｅ（ｕ，ｖ）＝Ｅ（ｕ０，ｖ０）．引理２设ｕ０∈Ｈ，ｖ０∈Ｈ，ｕ（ｔ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ）与ｖ（ｔ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ）是方程组初值问题的解，令Ｊ（ｔ）：＝!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ，那么有（Ⅲ）Ｊ′（ｔ）＝４Ｉｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋４Ｉｍ!ｘｖ$Δｖｄｘ＝－４Ｉｍ!ｘｕΔｕ#ｄｘ－４Ｉｍ!ｘｖΔｖ$ｄｘ（Ⅳ）Ｊ″（ｔ）＝８!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－８!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ证明（Ⅲ）利用分部积分，直接计算，如下Ｊ′（ｔ）＝ｄｄｔ!│ｘ│２（ｕｕ#＋ｖｖ$）ｄｘ＝!│ｘ│２（ｕｔｕ#＋ｕｕ#ｔ＋ｖｔｖ$＋ｖｖ$ｔ）ｄｘ＝!│ｘ│２（２Ｒｅｕｔｕ#＋２Ｒｅｖｔｖ$）ｄｘ＝２!│ｘ│２Ｉｍ（ｉｕｔｕ#）ｄｘ＋２!│ｘ│２Ｉｍ（ｉｖｔｖ$）ｄｘ＝２!│ｘ│２Ｉｍ（－"ｕｕ#）ｄｘ＋２!│ｘ│２Ｉｍ（－"ｖｖ$）ｄｘ＝－２!│ｘ│２Δ（Ｉｍｕ#Δｕ）ｄｘ－２!│ｘ│２Δ（Ｉｍｖ$Δｖ）ｄｘ＝２!Δ│ｘ│２Ｉｍ（ｕ#Δｕ）ｄｘ＋２!Δ│ｘ│２Ｉｍ（ｖ$Δｖ）ｄｘ＝４Ｉｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋４Ｉｍ!ｘｖ$Δｖｄｘ＝－４Ｉｍ!ｘｕΔｕ#ｄｘ－４Ｉｍ!ｘｖΔｖ$ｄｘ．（Ⅳ）因为Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ#ｕｔ）ｄｘ＝Ｒｅ（ｉ!ｎｋ＝１&ｘｋ（ｕ#ｘｋｕｔ－ｕｘｋｕ#ｔ）ｄｘ）＝Ｒｅ（ｉ!ｎｋ＝１&ｘｋ（&&ｔ（ｕ#ｘｋｕ）－&&ｘｋ（ｕｕ#ｔ））ｄｘ）＝ｄｄｔ!Ｒｅ（ｉｘｕΔｕ#）ｄｘ＋ｎＲｅ（ｉ!ｕｕ#ｔｄｘ）＝ｄｄｔＩｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋ｎＩｍ!ｕ#ｕｔｄｘ．而ｎＩｍ!ｕ#ｕｔｄｘ＝ｎＲｅ!（－ｉｕｔｕ#）ｄｘ＝ｎ!（"ｕｕ#－│ｘ│２ｕｕ#＋（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｕ#）ｄｘ＝ｎ!（－│Δｕ│２－│ｘ│２│ｕ│２＋（ｐ＋１）│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ．且利用分部积分，代入直接计算可得：Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ#ｕｔ）ｄｘ＝Ｒｅ!（－２ｘΔｕ#"ｕ＋２ｘΔｕ#│ｘ│２ｕ－２ｘΔｕ#（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ）ｄｘ２－－２００７年２月邵长安等：一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的爆破问题＝－Ｒｅ!２ｘΔｕ"!ｕｄｘ＋Ｒｅ!２ｘΔｕ"│ｘ│２ｕｄｘ－Ｒｅ%２ｘΔｕ"（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｄｘ＝－（ｎ－２）!│Δｕ│２ｄｘ－（ｎ＋２）!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ＋２ｎ!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ所以ｄｄｔＩｍ!ｘｕ"Δｕｄｘ＝Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ"ｕｔ）ｄｘ－ｎＩｍ!ｕ"ｕｔｄｘ＝－（ｎ－２）!│Δｕ│２ｄｘ－（ｎ＋２）!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ＋２ｎ!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＋ｎ!│Δｕ│２ｄｘ＋ｎ!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ－ｎ（ｐ＋１）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝２!│Δｕ│２ｄｘ－２!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ－ｎ（ｐ－１）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ．同理ｄｄｔＩｍ!ｘｖ&Δｖｄｘ＝２%│Δｖ│２ｄｘ－２%│ｘ│２│ｖ│２ｄｘ－ｎ（ｑ－１）%│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ所以ｄｄｔ１４Ｊ′（ｔ’(）＝２!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－２!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ因此Ｊ″（ｔ）＝８!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－８!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ２主要结果及证明若ｐ＋ｑ)２＋４ｎ，（ｕ０，ｖ０）∈Ｈ（Ｒｎ）×Ｈ（Ｒｎ），（ｕ，ｖ）是此方程组的弱解，下列条件之一满足：（"）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＜０；（#）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＝０，Ｉｍ!ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ＋Ｉｍ!ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ＞０；（$）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＞０，Ｉｍ!ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ＋Ｉｍ!ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ)（２Ｅ（ｕ０，ｖ０）Ｊ（０））１／２；则存在有限时间Ｔ，使得ｌｉｍｔ→Ｔ,Δｕ,Ｌ２＋,Δｖ,Ｌ２-.＝∞．证明（反证法）假设时间Ｔ无限．由ｐ＋ｑ)２＋４ｎ，则ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４)０再由（Ⅳ）得Ｊ″（ｔ）＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］%│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ/８Ｅ（ｕ０，ｖ０），０/ｔ＜∞（４）通过分析，下面等式成立Ｊ（ｔ）＝Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋ｔ０%（ｔ－ｓ）Ｊ″（ｓ）ｄｓ，０/ｔ＜∞再由（４）式，可得Ｊ（ｔ）/Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋４Ｅ（ｕ０，ｖ０）ｔ２，０/ｔ＜∞（５）已知Ｊ（ｔ）是非负函数，且Ｊ（０）＝%│ｘ│２（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ，Ｊ′（０）＝－４Ｉｍ%ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ－４Ｉｍ%ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ因此，令Ｆ（ｔ）＝Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋４Ｅ（ｕ０，ｖ０）ｔ２，则在假设条件（&），（#），（$）之一下，很显然Ｆ（ｔ）有零点，由（５）式可推出存在时间Ｔ＊＜∞，使得ｌｉｍｔ→Ｔ＊Ｊ（ｔ）＝０．从而ｌｉｍｔ→Ｔ＊%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０．若%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０，则必有ｕ＝ｖ＝０，又有引理１（Ⅰ），得ｕ０≡ｖ０≡０，这与已知条件矛盾，故Ｔ有限，即存在有限时间Ｔ，使得ｌｉｍｔ→Ｔ,Δｕ,Ｌ２＋,Δｖ,Ｌ２-.＝∞．参考文献：［１］ＶＥＬＯＧ，ＧＩＮＩＢＲＥＪ．Ｏｎａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪＦｕｎｃｔ，Ａｎａｌ，１９７９，３２：１－７１．［２］ＧＬＡＳＳＥＹＲＴ．Ｏｎｔｈｅｂｌｏｗｉｎｇｕｐｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｃａｕｃｈｙｐｒｂｌｅｍｆｏｒｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＭａｔｈＰｈｙｓ，１９７７，３－－第２５卷第１期河南科学１８（９）：１７９４－１７９７．［３］ＯＧＡＷＡＴ，ＴＳＵＴＳＵＭＩＹ．Ｂｌｏｗ－ｕｐｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９１，９２（２０）：４８７－４９６．［４］ＧＩＮＩＢＲＥＪ，ＶＥＬＯＧ．Ｔｈｅｇｌｏｂａｌｃａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｒｅｖｉｓｉｔｅｄ［Ｊ］．ＡｎｎＩｎｓｔＨＰｏｉｎｃａｒｅ，ＡｎａｌＮｏｎＬｉｎｅａｉｒｅ，１９８５，２：３０９－３２７．［５］ＫＥＮＩＧＣ，ＰＯＮＣＥＧ，ＶｅｇａＬ．Ｓｍａｌｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＡｎｎＩｎｓｔＨＰｏｉｎｃａｒｅ，ＡｎａｌＮｏｎＬｉｎｅａｉｒｅ，１９９３，１０：２５５－２８８．［６］ＣＡＲＥＳＲ．Ｒｅｍａｒｋｏｎｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．ＡｎｎＨｅｎｒｉＰｏｉｎｃａｒｅ，２００２，３：７５７－７７２．［７］ＬＩＸｉａｏ－ｇｕａｎｇ．Ｌ２－ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｏｆｂｌｏｗ－ｕｐｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．数学年刊，２００５，２６Ａ：３１－３８．［８］ＺＨＡＮＧＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｔｔｒａｃｔｉｖｅｂｏｓｅ－ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅ［Ｊ］．ＳｔａｔｉｓｔＰｈｙｓ，２０００，１０１：７３１－７４６．［９］ＣＡＺＥＮＡＶＥＴ．Ａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＲｉｏｄｅＪａｎｅｉｒｏ：ｄｅＭｅｔｏｄｏｓＭａｔｅｍａｔｉｃｏｓ，１９８９．［１０］舒级，张健．一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程解的爆破性质［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００２，２５（１）：３２－３５．［１１］舒级，张健．一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００２，２５（２）：１２９－１３１．ＴｈｅＢｌｏｗ－ｕｐｔｏａＣｌａｓｓｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＨａｒｍｏｎｉｃＰｏｔｅｎｔｉａｌＳＨＡＯＣｈａｎｇ－ａｎ，ＸＩＮＧＪｉａ－ｓｈｅｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉＨａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ＷｅｓｔｕｄｙａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ．ＢｙｄｅｆｉｎｉｎｇｅｎｅｒｇｙｓｐａｃｅｉｎＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅ，ｕｓｉｎｇｅｎｅｒｇｙｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｏｆｔｈｅｍａｓｓａｎｄｔｈｅｅｎｅｒｇｙａｒｅｓｅｔｕｐ．Ｂｙｕｓｉｎｇｅｎｅｒｇｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｄａｔａｗｉｌｌｂｌｏｗ－ｕｐｉｎｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｌｏｗ－ｕｐ４－－。
具有非局部反应项的非线性抛物方程解的整体存在性与爆破问题
（ ）如果 ｍ ｛ 卢｝≥ Ｎ ｉ ａ ａ，
，
那 么 （ ）所 有 的正 ５
解 在有 限时 间爆破 ；
（ｉ ｉ ）如果 ｍａ ａ， ＜ Ｎ 那 么 ， ｛ 卢｝ 方程 （ ）的 ５
，
ｆ一“ （ “ ｇ ） ０ △ 一Ｊ ㈤） （ ≥ ｃ
Ｉ ，）∈ ｎ ×（ ， ） （ ｔ ０ Ｔ
Ｊ（ ０ ，）＝“（ ）≥ ，）＝ ｕ 。 （ ０
卢 —
（ ）（ ） ＋＋ （ ＋ ｐ ２
丁
０
（ ）≥ ０ Ｅ ｎ ，
’
贝 （ ｔ （ ｔ ， ，）∈ Ｑ ×（ ， ． Ｕｕ ，）≥ ，） Ｖ（ ￡ ０ ） 证 明 记 Ｗ ＝ 一口 由 （ ） 得 ， ６ ，
式 中 ：ｆ≥ ０ ｆ ≥ １Ｐ ｐ ， ， ， ＋ｒ ｉ＞ １ ｉ＝ １２ ； （ ， ）
Ｉ （ ，０ ） ≥ ０ 及 Ｍ （ ，ｏ ） ∈ Ｌ （ ｎ ／ ） 口 （ ， ０ ０ ） （ Ｒ ）
定理 ２ （ 比较 定 理 ） ｍ ＞０ ， ： ０ ∞ ） 令 ｇ ［ ， 一
方 程组 的临界 指标 问题 ：
（ｉ 若 ０ ＜ｍ ≤ １ 则 对 于大初 值 方程 （ ）的 ｉ） ， １
解 在有 限 时 间 爆 破 ， 而 ， 于 小 初 值 ， 整 体 然 对 解 存在；
ｆ＝ （ ， ｄＰ，∈ ＞ “ △＋ ， ｙ ０ ， ）ｌ ｔ ）ｌ
ｑ ａｉｎ ｗｉ ｏ ｌｃ ｌ ｅ ｃｉｎ ｔｒ ，ｕ ｊｃ ｏｎ ｌ Ｄｉ ｃ ｌｔ ｏ ｎ ａｙ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｕ ｔ ｔ ｎ ｎｏ ａ ａ ｔ ｅｍ ｓ ｂｅ ｔｔ ｕｌ ｒ ｈｅ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄｔ ｎ ． ｏ ｈ ｒ ｏ ｉ ｂ ｉ
Ｋ ｅ ｒ ｓ： ｏ ｌ ｅ ｒｐ ｒ ｂ ｌ ｑ ａｉ ｎ；ｎ ｎ ｏ ａ ｅ ｃ ｉｎ ｅ ｍ ；ｃ ｍｐ ｒｓ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍ ；ｇｏ ａ ｏ ｕ ｉｎ； ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｎｉ ａ ａ ａ ｏｉ ｅ ｕ ｔｏ ｎ ｃ ｏ ｌ ｃ ｌｒ ａ ｔ ｔｒ ｏ ｏ ａ ｉｏ ｈ ｏ ｅ ｌ ｂ ｌｓ ｌ ｔｏ ｂｌｗ— ｐ ｏ ｕ
带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告
带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告题目：带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为研究背景：非线性Schrodinger方程（NLS）是描述许多自然界现象的重要数学模型，例如光学，气体动力学，液体物理学和等离子体物理学等。
这个方程具有广泛的应用前景，也是非线性光学和量子信息领域研究的重要基础。
一些研究表明，带势的NLS方程在量子力学中已被广泛应用，特别是在描述由Bose-Einstein凝聚态所产生的玻色-Einstein凝聚态方面非常重要。
然而，NLS方程的解并非都是稳定的。
在一些情况下，解可能会发生“爆破”，即在有限时间内解的幅值逐渐增大，最终趋于无限大。
这种现象在实际问题中常常会导致数值计算困难甚至是失败，因此研究爆破现象及其预测和控制方法具有重要理论和实际意义。
研究内容：本研究旨在研究带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为，具体包括以下内容：1. 比较分析带势和无势NLS方程的解的性质以及其求解方法；2. 研究在不同势场下带势NLS方程解的稳定性和爆破行为，通过理论分析和数值模拟等方法，探究势场参数对爆破行为的影响因素；3. 探究控制带势NLS方程的解产生爆破的方法，通过设计合适的势场参数和初值条件，寻求解的稳定区域等；4. 结合实际问题，探究带势NLS方程在光学和量子信息领域的应用，提出新的研究方向和应用前景。
研究方法：本研究将运用数学分析、数值计算和实验仿真等多种方法，比较分析不同势场下的带势NLS方程的解的性质和求解方法，通过数值模拟等方法研究解的爆破行为及其影响因素，设计合适的势场参数和初值条件探究控制方法，最后将研究结果与实际问题结合探究其应用前景。
研究意义：本研究将为进一步理解带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为提供重要的理论支持和实验数据，促进相关领域的交叉研究和应用探讨。
研究成果还将有助于提高数学理论和数值方法对实际问题的解决能力，具有重要的科学和应用价值。
一类带非线性边界条件的抛物型方程组解的整体存在及爆破
１ 引言及 主 要结论
本 文 研究 了一 类 带 有 非 线 性 边 界 条 件 的抛 物 型 方 程 组
，ｔ＝Ｚ ， ＝Ｚ ， Ｕ ｉ ｕ ｉ ｖ （， ×（， ｔ ）∈ ０
｛ Ｕ， ， ＝ｅ￣ ｏ， ， ｑ Ｉ ｚ
Ｌ（ ， ｕｘ ）＝Ｕ（） Ｏ ｏＸ ＞Ｏｖｘ ）＝ｖ（） ６ ＞０ ， ， （Ｏ ｏ
（ ×， ） （） ０
∈ｎ
解 的整体存在及爆 破问题． 构造方程组 的上 、 解 ， 到了解整体存 在的一个充分条 件及解在有 限时刻爆破 的一个充 通过 下 得 分 条 件． 中 ｎ Ｒ 有 界 光 滑 区 域 ，占＞０ 可 以 充 分 小 ，ｎ 是 ａ 的 外 法 线 方 向． 文 恒 假 设 其 本
Ａｂｓ ｒ ｔ Ｔｈｅ ｐａ ｅ ｅ ｅ ｒ ｈｅ ｅ ｉｓ ｏ ｏ ｌ ｍｓ ｗｈ ｃ ｏ ｖ ｈ ｇｏ ａ ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｔ ｏ ｉ ｅ ｒ ｂ ｕｎ ｒ ｔ ａｃ ： ｐ ｒ ｒ ｓ ａ ｃ ｓ ａ ｓ ｒｅ ｆｐｒ ｂ ｅ ｉ ｈ ｓ ｌｅ ｔ ｅ ｌ ｂ ｌｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｈｅ ｎ ｎｌｎ ａ ｏ ｄａｙ
（ ，）≥ 些 ，） ， （ ￡称 （ ， ，（ ，） （ ｔ ，（ ￡ ）≥ ，） （ ￡ ｖｘ ￡ ）和（ ，）ｖ ｘ ） 为 （ ） ） （ ￡ ，（ ， ） １ 在 ×［ ， ） 的一 对有序上下解 ， Ｏ７ 上 ’ 如 果下面不等式成立
ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｔｏ ｆｓ ｌｉ ｇｔ ｅ ｇｏ ａ ｘ ｓｅｎ ｅａ ｈ ａｓｉｇ ｐ ｏ ｅ ｉ ｈｅｆｎ ｔ ｉ ｅｗｉｌ ｂ ａｎｅ ｕ ｉ ｎ ｏ ｄｉｉｎｓｏ ｏｖ ｎ ｈ ｌ ｂ ｌｅ ｉｔ ｃ ｎｄｔ ｅｂｌ ｔｎ ｒ ｂｌｍ ｎ ｔ ｉｉｅ ｔ ｌ ｏ ｔ ｉ ｄ． ｉ ｍ ｂｅ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ：Ｎｏｎｉ ｅ ｒＢｏ ｄａｙ Ｃｏ ｉｉｎｓ Ｇｌｂａ ｏｕｔｏ ；Ｂｌｗ ｄｓ ｌｎ ａ ｕｎ ｒ ｎｄ ｔｏ ； ｏ ｌｓ ｌ ｉｎｓ ｏ ｕｐ
带势的非线性Schr()dinger方程爆破解的L~2集中性质解读
带势的非线性Schr(?)dinger方程爆破解的L~2集
中性质
本文在能量空间中研究了带势的非线性Schr(o|¨)dinger方程爆破解的动力学性质.首先,在R2空间中,考虑带势的立方非线性Schr(o|¨)dinger方程的初值问题.通过定义泛函,证明了解在有限时间爆破的充分条件,爆破解在
L~2空间中强极限的不存在性以及爆破解的L~2集中性质.进一步地,我们把如
上结果推广到了RN空间中带势的临界非线性Schr(o|¨)dinger方程情形.最后,我们讨论了一类带调和势的非线性Schr(o|¨)dinger方程的初值问题.同样地,证明了其解在有限时间爆破的充分条件,爆破解在L~2空间中强极限的不存在性以及爆破解的L~2集中性质.
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破解; L~2-质量集中性质; 基态解; 强极限
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Ｋｅ ｏ ｄ ：ｔ ｒ ｓ ｏ ｄ；ｇ ｏ ａ ｘ ｓ ｅ ｃ ；ｂ ｏ ｕ ｙｗ ｒ ｓ ｈ ｅ ｈ ｌ ｌ ｂ ｌｅ ｉｔ ｎ ｅ ｌ ｗ－ ｐ；ｈ ｒ ｎ ｃ ｐ ｔ ｎ ｉｌ ｏ ｌ ｅ ｒ Ｓ ｈ Ｏ ｉ ｇ ｒｅ ｕ ｔ ｎ ａ ｍｏ ｉ ｏ ｅ ｔ ；ｎ ｎ ｉ ａ ｃ ｒ ｄｎ ｅ ｑ ａ ｉ ｓ ａ ｎ ｏ
整 体 存 在 和 解 爆 破 的最 佳 条 件 ． 一 步 回答 了初 值 小 到 什 么 程度 时 ， 西 问题 的整 体 解 存 在 ． 进 柯 关 键 词 ：最佳 条 件 ； 体解 ； 整 爆破 解 ； 和 势 ； 线 性 Ｓｈ６ ｉｇ ｒ 程 组 调 非 ｃｒｄｎ ｅ 方
中 图分 类 号 ： ７ ． ９ Ｏ１５ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０７６ ７ （０ ０ ０ －０ ６０ １ ０ —５ ３ ２ １ ） Ｉ０ ３—５
ＺＨＡＮＧ Ｙａ ｎ，ＬＵ ｈ ｎ ｘ ｅ Ｚ ｏ ｇ ｕ
（ ｃ ｏ ｌｏ ａｈ ｍａｉａ ｃｅ ｃ Ｘｕ ｈｏ ｒ ｌ ｎｖ ｒｉｙ， ｚ ｏ ２ １ Ｊａ ｇ ｕ， ｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ｌＳ ｉｎ ｅ， ｚ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉｅｓｔ Ｘｕ ｈ ｕ ２ １ ｉｎ ｓ Ｃｈｉａ ｃ Ｕ １ ６，
一
＞０ ｉ ： ， ． ；＝１ ２ 通过构 建方程 组 （ ） ： １ 的适 当 的泛 函， 定义 一个 合 适 的变 分 问题 ， 立 （ ） 建 １ 的关 于时 间 的两个
不变 流 ， 从而 获得 （ ） １ 解整体存 在 和爆破 的最佳 条件． 且 回答 了初值 小到 什么程 度时 ，１ 的整体解 存在． 并 （）
一
类 带势 的非线 性 Ｓ ｈ ６ ｉｇｒ方程 组 ｃ ｒ ｄｎ ｅ 解 整体 存 在 和 解爆 破 的最佳 条 件
张 艳，吕中学
（ 州 师 范大 学 数 学科 学 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １ １） 徐 江 ２ １６
摘 要 ： 过 构 造 一 类 变 分 问 题 和建 立 两 个 不 变 流 ， 出 了一 类 带 调 和 势 的非 线 性 Ｓ ｈ６ ｉｇｒ 程 组 的柯 西 问题 解 通 给 ｃ ｒｄ ｅ 方 ｎ
解整 体存在 和解爆 破 的最 佳条件 ． 本文在带势的单个方程和不带势 的方程组研 究的基础上 ， 考虑一类带调 和势的非线性 Ｓ ｈＯ ｉ ｅ 方程组 ｃｒｄ ｇｒ ｎ
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第 ２ ８卷第 １ 期
２１ ０ ０年 ３月
பைடு நூலகம்
徐州师范大学学报（ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｚ ｏ ｒ ｌ ｎｖ ｒｉ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ｆＸｕ ｈ ｕ Ｎｏ ｍａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ） Ｕ ｙ Ｓ ｏ
Ｖｏ ． ８。 ｏ １ ２ Ｎ ．１ Ｍ ａ ．， ０１ ｒ ２ ０
１ 预 备知 识 及 引 理
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近年来 ， 非线 性 Ｓ ｈ ６ ｉｇ ｒ 程 及 方 程 组 的 解 整 体存 在 的 最 佳 条 件 ， 引 着许 多 数 学 工 作 者． 文 ｃｒ ｄｎ ｅ 方 吸 如
［ －ｚ 给 出了带调 和势 的单个 方程解 整体存 在和解 爆破 的最佳条 件． ３ 研 究 了不带势 的更一 般的方 程组 １ ３ 文［ ］
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