静电场静电场中的导体(精)
大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
(整理)静电场中的导体和电介质
第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。
静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
+
++++ + + + +
感应电荷
静电平衡条件
导体 内部 的场
E0
E E0 E'
E'
静电平衡时
E E' E0
E E0 E' 0
外场
E0
•静电平衡条件： 导 感应场 E '
体内部场强为0。
导体内部的场 E
二、处于静电平衡的导体的性质
1.静电平衡时导体为等势体，导体表面 为等势面。
R2 R3
(1)球壳B内、外表面上的电量及球A和球壳B的电势
(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金 属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B的电势
• 例:有一块大金属平板,面 积为S,带有总电量Q,在 其近旁平等放置第二块 大金属板,此板原来不带 电.求静电平衡时,金属板 上的电荷 分布及其空间
如尖端放电
三、静电空腔内表面无电荷,全部电 荷分布于外表面。
证明：在导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
导体内 E 0, q 0
面内电荷是否会等量异号？
如在内表面存在等量异号 电荷，则腔内有电力线， 电势沿电力线降落，所以 导体不是等势体，与静电 平衡条件矛盾。
所以内表面无电荷，所有电荷分布于外表 面。
• 不管外电场如何变化，由于导体表面电 荷的重新分布，总要使内部场强为 0。
• 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高 压带电作业人员穿的导电纤维编织的工 作服。
2.腔内有电荷
空腔原带有电荷 Q ，将 q 电荷放入空腔内。 结论：
静电场中的导体
导体上的电荷分布
V 1 Q 1 q
4 0 R 4 0 r
Q R
q
r
可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。
两球的电荷密度分别为
R
Q
4R2
,
r
q
4r 2
可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径 愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。
导体上的电荷分布
例1. 证明两无限大平行金属板达到静电平衡时，其相对 两面带等量异号电荷，相背两面带等量同号电荷。
§9-1 静电场中的导体
1.导体的静电平衡
静电感应： 在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作 用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
导体的静电平衡
导体的静电感应过程
导体的静电平衡
导体达到静电平衡
E 感
E外 E感 0
+
+
+ E外
+ +
导体的静电平衡
静电平衡： 导体中电荷的宏观定向运动终止，电 荷分布不随时间改变。
证明：从左至右一共有四个带电平
面，设其所带电荷的面密度依次 为1、2、3、4。
以向右作为电场正向。
1 2
左边导体中任意一点的场强：
E 1 2 3 4 0 20 20 20 20
3 4
导体上的电荷分布
在右边导体中任取一点，则该点
E 1 2 3 4 0 20 20 20 20
2 3
2.2 空腔导体
（1）腔内无带电体： 电荷分布在导体表面，导体
内部及腔体的内表面处处无净电 荷。
+ + + ++ + +
+ +
静电场中的导体与电介质
§2 静电场中的导体和电介质§2－1 静电场中的导体1. 导体的静电平衡条件当电荷静止不动时，电场散布不随转变，该体系就达到了静电平衡。
在导体中存在自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的散布……导体内自由电荷无宏观运动的状态。
导体的静电平衡的必要条件是其体内图2－1导体的静电平衡场强处处为零。
从静电平衡的条件动身可以取得以下几点推论：推论1）导体是等位体，导体表面是等位面：2）导体表面周围的场强处处与它的表面垂直：因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。
（注意：本章所用的方式与第一章不同，而是假定这种平衡以达图2－2导体对等位面的控制作用到，以平衡条件动身结合静电场的普遍规律分析问题。
）2．电荷散布1) 体内无电荷，电荷只散布在导体的表面上:当带电导体处于静电平衡时，导体内部不存在净电荷（即电荷的体密度）电荷仅散布在导体的表面。
可以用高斯定理来证明：设导体内有净电荷，则可在导体内部作一闭合的曲面，将包围起来，依静电条件知S面上处处, 即由高斯定理必有q=02） 面电荷密度与场强的关系:当导体静电平衡时，导体表面周围空间的 与该处导体表面的面电荷密度 有如下关系：论证： 在电荷面密度为 的点取面元设 点为导体表面之外周围空间的点，面元。
充分小，可以为 上的面电荷密度 是均匀的，以为横截面作扁圆柱形高斯面（S ）,上底面过P 点，把电荷q= 包围起来. 通太高斯面的电通量是：3） 表面曲率的影响、尖端放电导体电荷如何散布，定量分析研究较复杂，这不仅与这个导体的形状有关，还和它周围有何种带电体有关。
对孤立导体，电荷的散布有以下定性的规律：图2－3导体表面场强与电荷面密度曲率较大的地方（凸出而尖锐处），电荷密度e 较大；曲率较小的地方（较平坦处）电荷密度e 较小；曲率为负的地方（凹进去向）电荷密度e 更小。
1） 端放电的利和弊3 导体壳（腔内无带电体情况）大体性质：当导体壳内无带电体时，在静电平衡当导体壳内无 带电体时，在静电平衡下：导体壳内表面上处处无电荷，电荷仅散布在外 表面；空腔内无带电场，空腔内电位处处相等。
2静电场中的导体和电介质(精)
V 实验证明，对于绝大多数各向同性的介质，极化强度 P与电场强度E成正比，即P = 0 E
V 0
P
lim
p
式中称为介质的电极化率，它与场强E无关，取决于电介质。
2.5.3
束缚电荷
电介质处于极化状态时，在电介质的端面或内部上产生极化 电荷。这些电荷不能离开电介质表面，称为束缚电荷。 如果介质不均匀，在介质内部也会由于极化而出现束缚电荷。 设单位体积分子数为n，
这类分子在外电场的作用下，分子中的正负电荷中心
将发生相对位移，形成一个电偶极子，它们的等效电偶极 矩 P 的方向都沿着电场的方向，导致介质表面上出现了电
荷。这种情况称为介质的极化。
无极性分子电介质的这种极化方式称为位移极化。
有极性分子的极化
有极性分子的正负电荷中心即使在无外电场存在时也是不 重合的，例如水分子等。由于分子热运动的无规则性 , 在物理 小体积内的平均电偶极矩为零，宏观上也不显电性。 当介质受到外电场作用时，每个分子的电偶极矩都受到一 个力矩的作用，使分子电矩转向外电场方向，这样分子固有电 矩的矢量和就不等于零了。 但由于分子的热运动，这种转向并不完全。外电场越强， 分子电矩沿着电场方向排列得越整齐。
2.4
静电场中的导体
2.4.1 导体的静电平衡
金属导体中存在大量的自由电子，它们时刻作无规则的
微观运动（“热运动”）。当自由电子受到电场力作用时，
会在热运动的基础上附加一种有规则的宏观运动，形成电流。 当导体中自由电子不作宏观运动（没有电流）时，我们说导 体达到了静电平衡的状态。
2.4.1 导体的静电平衡
D＝E
2.5.5
静电场的边界条件
在两种介质的分界面上，电场强度矢量E的切线分量连续。
静电场中的导体
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
1.5 静电场中的导体
§5 静电场中的导体
5.2 导体上的电荷分布 尖端放电现象 尖端放电可以利用的一面——避雷针。 当带电的云层接近地表面时，由于静电感应使地面上 物体带异号电荷，这些电荷比较集中地分布在突出的 物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷积累 到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的 火花放电。这就是雷击现象。 为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物上安装 尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地 的一端埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金 属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地电接触良 好。当带电的云层接近时，放电就通过避雷针和通地 粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进行 以免损坏建筑物。
2
§5 静电场中的导体
2.1.1 导体的静电平衡条件 导体从非平衡态趋于平衡态的过程：
把一个不带电的导体放在均匀电场中。在导体所占据的那部分空间 里本来是有电场的，各处电势不相等。在电场的作用下，导体中的自由 电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就 是静电感应现象。 导体上的电荷达到什么程度时，电荷不再增加？ 导体内部： E E0 E 0， 达到平衡
12
§5 静电场中的导体
5.3 导体壳（腔内无带电体情形） （2）法拉第圆筒 静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论 可以通过如图所示的实验演示。
A、B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金 属圆筒C（圆筒内无带电体）固定在验电器B上。给圆 筒和验电器B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有 绝缘柄的小球D，使它和圆筒C外表面接触后再碰验电 器A（图a），则A上金箔张开，如果重复若干次，我们 就能使金属箔A张开的角度很显著，这证明圆筒C的外 表面是带上了电的。 如果把小球D插入圆筒上的小孔使之与圆筒的内 表面相接触后，再用验电器A检查（图b）,则发现A的 金属箔总不张开。这表明圆筒C的内表面不带电。这 就从实验上证实了上述结论。这实验称为法拉第圆筒 实验，实验中的圆筒C称为法拉第圆筒。
静电场中的导体和电介质
2.1.1 导体的静电平衡条件 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，则该带电体系达到了静电平衡。 均匀导体的静电平衡条件就是其体内场强处为0。 从导体静电平衡条件还可导出以下推论： （1）导体是个等位体，导体表面是个等位面。 （2）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。
2.2.3 电容器的并联、串联 （1） 并联 电容器并联时，总电容等于个电容器电容之和。 (2) 串联 电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的到数之和
2.2.4 电容器储能（电能） 设每一极板上所带电荷量的绝对值为Q,两极板间的电压为U,则电容器储存的电能 从这个意义上说，电容C也是电容器储能本领大小的标志。
（2）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系 以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相对负电“重心”有个位移l。用q代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩P分子=ql。设单位体积内有 n个分子，则极化强度矢量P=np分子=nql。
取任意闭合面S,根据电荷守恒定律，P通过整个闭合面S的通量应等于S面内净余的极化电荷∑q′的负值 ，即 这个公式表达了极化强度矢量P与极化电荷分布的一个普遍关系。
（3）库仑平方反比率的精确验证 用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确的验证平方反比律。 卡文迪许的验证实验装置见教材中图2-11。实验时，先使连接在一起的球1和壳3带电，然后将导线抽出，将球壳3的两半分开并移去，再用静电计检验球1上的电荷。反复实验结果表明球1上总没有电荷。
（1） 平行板电容器 平行板电容器由两块彼此靠得很近的平行金属极板组成。设两极板A、B的面积为S , 带电量分别为±q , 则电荷的面密度分别为 ±σe =±q/S 根据式（2.1），场强为 E = σe/ε0 ， 电位差为 根据电容的定义
静电场中导体
q
S内
i
0
由于高斯面 S 可取得任意小，所以导 体内无净电荷分布。
2. 静电平衡导体， 其表面附近场强的大 ---- - - E S P 小与该处表面的电荷 面密度成正比。 + +S ' + +
+ + ++ + + ++ + +
S '
dS E dS E dS E dS E S S ' 侧面
1. 孤立带电导体接地时，为什么所有 电荷会流向地球？
2. 地球的电势为何视为零？
Q R q r
1 Q VR 40 R
尖端放电现象：
+ + + + +
避害：避雷针的使用等。
趋利：电焊，静电喷漆， 电子点火等。
§13-4 空腔导体内外的静电场 静电屏蔽
一、空腔导体内外的静电场 1. 空腔内没有电荷 空腔内没有电荷时，电荷只能分布 在导体外表面。空腔内没有电场分布。
P
σ
3. 孤立导体静电平衡时,表面曲率越 大的地方,电荷面密度越大。
+ + + + + + + + + + + +
以下例定性说明。
例: 设有两个相距很远的带电导体球， 半径分别为 R 和 r (R >r)，用一导线将两 球相连, 哪个球带电量大？哪个球的面电 荷密度大？
R
Q
r q
R 解：设系统达到静电平衡时，两球的 带电量分别为Q 和 q , 两球的电势
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静电场、静电场中的导体
判断题
（×）1. 静电场中电场线可以是闭合的。
（×）2. 电场是标量场，电势是矢量场。
（×）3.静电场的高斯定理i S 01E dS q ε⋅=∑⎰中E 取决于高斯面内部的电荷。
（×）4.高斯面上的电场强度是仅仅由高斯面包围的电荷产生的。
选择题
1、关于静电场的电场线，以下说法错误的是 C
（A ）静电场的电场线总是从正电荷出发，到负电荷终结；
（B ）静电场的任何两条电场线不会相交； （C ）沿静电场的电场线方向电场强度的大小减小；
（D ）静电场的电场线的切线方向就是该点电场强度的方向。
2、下列关于高斯定理∑⎰⎰=⋅i S q S d E 0
1ε 说法正确的是 D (A) 若闭合曲面S 内电荷的代数和为零，则面上任一点的电场强度为零；
(B) 若0=⋅⎰⎰S S d E ，则闭合曲面内一定没有电荷；
(C) 由高斯定理可知，静电场的电场线是有起点和终点的；
(D) 由高斯定理可知，静电场是保守力场。
3、一平行板空气电容器，极板面积为S ,极板间的距离为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用力缓缓地把两极板拉开到d 2。
电容器的能量（ B ）
(A)不变 （B ）增大 （C ）减小 （D ）不可确定
4、在静电场中，下列说法正确的是(无答案)
A 、 电势为零处，场强必为零。
B 、 场强为零处，电势必为零。
C 、 场强大小相等处，电势必相等。
D 、电势处处相等处，场强必为零。
5、关于静电场中的高斯定理⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε ，下列说法正确的是( D )
A 、E 为高斯面内电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内电荷的代数和。
B 、E 为高斯面内电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内外电荷的代数和。
C 、E 为高斯面内外电荷所产生的场强，∑i
q 为高斯面内自由电荷代数和。
D 、E 为高斯面内外电荷所产生的场强，∑i q 为高斯面内电荷的代数和。
7. 下列说法正确的是（B ）
A 、闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷
B 、闭合曲面上各点的电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必为零
C 、闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必为零
D 、闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任一点的电场强度都不可能为零
填空题
1．边长为a 正方体中心放置一个电荷Q ，则通过任一个正方体侧面的电通量为 0
6εQ 。
2.半径为R 的球面均匀带电，所带总电量为q ，则球内距球心距离为r (r <R )处的电势为 R
q
04πε 。
计算题 1．有两个半径分别为1R 、2R 的同心球壳，带电分别为1Q 、2Q ，试求空间电场分布。
解：以同心球壳的球心为球心，以任意的r 为半径做球形高斯面 则：⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<+==⋅⎰⎰)
()()(0422110210
12R r R r R R r Q Q Q E r s d E εεπ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<+=∴)
()()(44022110221021R r R r R R r r Q Q r Q E επεπ 方向：沿半径发散
2． 一个半径为R 的带电球体，电荷分布均匀，体密度为ρ，试求此带电球体内、外的场强
分布。
解：以带电球体的球心为球心，以任意的r 为半径做球形高斯面 则：⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<==⋅⎰⎰)
()(34344030
32R r R r R
r
E r s d E επρεπρπ
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<=∴)
()(330
23
R r R r r R r E ερερ 方向：沿半径发散
3．如图所示，两个带有等量异号电荷的无线长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R (12R R >) 单位长度上的电荷为λ。
求离轴线为r 处的电场强度 （1）1R r <（2）21R r R << （3）2R r >
解：以同轴圆柱面的轴为轴，以任意的r 为半径做圆柱形高斯面 则：⎰⎰∑=⋅i q s d E 01ε
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<==⋅⎰⎰)
()()(00222110
R r R r R R r h E rh s d E ελπ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<=∴)
()()(02022110
R r R r R R r r E επλ 方向：沿半径发散
4．两个均匀带电球壳同心放置，半径分别为1R 和2R (12R R >)，已知内外球壳之间的电势差为12U ，求两个球壳之间的场强布。
解：设内球壳带电为Q ，则按第一题可知、 在12R r R >>处，2
04r Q
E πε= 则：)1
1
(442
10201221R R Q dr r Q
U R R -==⎰πεπε
1
22
10124R R R R U Q -=∴πε ∴21221121
r
R R R R U E -=。