定积分在几何学上的应用
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
o
a
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
(0 t 2 )
y b
o xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
一、平面图形的面积
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
2
(1
1 y 2 ) 2d y 1 (2 y)2 d y 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 极坐标方程
2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( ) 2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
一、平面图形的面积
例 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A 2 1 (a )2 d
02
a2 2
13
3
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
定积分在几何学上的应用
解 解 直角三角形斜边的直线方程为 y
r V ( x)2 dx 0 h
h
r x. h
r 2 1
1 h [ x3 ]0 hr 2 . 3 h2 3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
旋转体的体积： b [ f (x)]2 dx . V a 例7 计算由椭圆
2 x2 y 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 2 a b
V [ f ( x)]2 dx .
a b
首页
上页
返回
下页
结束
铃
旋转体的体积： b [ f (x)]2 dx . V a 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围 成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高 为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.
ds a 2 (1 cos )2 a 2 sin 2 d 2a sin
2
d .
于是所求弧长为
s
2 0
2a sin
2
d
2
2a[2 cos ]0 8a. 2
首页 上页 返回 下页 结束 铃
曲线yf(x)(axb)的弧长： s
a
b
1 y2 dx .
S 4 ydx .
0 a
2
y2
因为椭圆的参数方程为 xacost, ybsint, 所以
S 4 ydx 4b sin td ((acostt) S 4 ydx 4 b sin td a cos )
00
22
aa
00
4ab sin 2 tdt 2ab 2 (1 cos2t)dt
第五章 定积分的几何应用
) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的 面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考题
1. 设 曲 线 y f ( x ) 过 原 点 及 点( 2,3) ， 且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线 上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平 行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一 条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的 两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Vy V y
2a 2 2ax2 ( y)dy 2 0 x2 ( y)dy 0
2a 2 2ax2 ( y)dy 1 0 x1 ( y)dy 0 2
2 a (t - sint) a sintdt - 0 a2 (t -sint)2 a sintdt
A( x) h y h R 2 - x 2 .
b
于是所求正劈锥体的体积为
V - R h R2 - x2 dx
2R 2h02 cos2 d 1 R 2h . 2
Jlin Institute of Chemical Technology
R
上页
下页
返回
退出
三、平面曲线的弧长
上页
下页
返回
退出
2.极坐标情形
•曲边扇形 曲边扇形是由曲线j()及射线, 所围成的图形. •曲边扇形的面积元素 dS 1 [j ( )]2 d . 2 •曲边扇形的面积
S 1 [j ( )]2 d . 2
Jlin Institute of Chemical Technology
V y 2 2 8 - x 2 dy 32 - y dy
0 0 8 8 2 3
8 3 5 3 32 - y 64 0 5 5
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
例9计算由摆线xa(t-sint), ya(1-cost)的一拱, 直线y0所 围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 设曲线左半边为xx (y), 右半边为xx (y). 1 2
二、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
二、体积
1.旋转体的体积
旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. •旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为 dV[f(x)]2dx. •旋转体的体积
例5 计算心形线2a(2+cos)(a>0)所 围成的图形的面积. 解
A
2 0
1 [2a(2 + cos )]2 d 2
2
2a
2
0
(4 + 4 cos + cos2 )d
18a 2
Jlin Institute of Chemical Technology
.
上页 下页 返回 退出
b
d
例2 计算抛物线y22x与直线yx-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在y轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线:
j 左 ( y) 1 y 2 , j 右 ( y ) y + 4 .
2 (4)计算积分
S -2 ( y + 4 - 1 y 2)dy 2
2
8 3
1 2 1 + ( ) dx x
8 3
1+ x2 dx x
令
2 x t -1 , 则 , 即 1+ x t
2
s
3
2
t2 dt 2 dt 2 t -1 2 2 t -1 t -1 t t
3
3 2
dt +
2
3
1 1 3 dt 1 + ln 2 2 2 t -1
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
b
曲线yf(x)(axb)的弧长： s a 1+ y2 dx . 例12 计算曲线yln x上相应于 3 x 8 的一段弧的长度.
b
解：
s
8 3
1 + y ( x)dx
上页
下页
返回
退出
1 曲边扇形的面积： S [j ( )]2 d ( j ( ), ) . 2 例4 计算阿基米德螺线a (a>0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
2 1 2 解 4 a2 3 . 解 S0 (a)2d 1 a2[1 3]0 2 3 3 2
上页 下页 返回 退出
于是所求面积
0 3
A A + A
1
2
2
A ( x - 6 x - x )dx + (x - x + 6 x)dx
3 2 3 -2 0
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选 x 吗？
Jlin Institute of Chemical Technology
b
b. 2c[sh x ]b 2 c sh 0 c c
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
曲线yf(x)(axb)的弧长： s a 1+ y2 dx .
b
•参数方程情形
4
[ 1 y 2 + 4 y - 1 y3]4 - 2 18 2 6
Jlin Institute of Chemical Technology
上页 下页 返回 退出
例 3
计算由曲线 y x 3 - 6 x 和 y x 2 所围成
y x3 - 6x
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x3 - 6x 2 y x
b
V y dx 4axdx 0
2
x0
x0
0
2a x
2 x0 0
2 2ax0
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
旋转体的体积： V a [ f (x)]2 dx .
2 y 例7 计算由椭圆 x + 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 a 2 b2 旋转体(旋转椭球体)的体积. 2
S 0 ( x - x2 )dx
1
[ 2 3
3 x2
1 - 1 x3 ]1 0 . 3 3
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
S a[ f上 (x) - f下(x)]dx . S c [j右 ( y) -j左 ( y)]dy .
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
例8由yx3, x2, y0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 解：绕x轴旋转所得旋转体的体积为
Vx y dx x 6 dx
2 0 0
2
2
1 7 2 128 x 0 7 7 绕y轴旋转所得旋转体的体积为
V - R 1 (R2 - x2 ) tandx 2 R 2 3 1 tan [R 2 x - 1 x3 ]R tan . R 2 3 3
R
上页 下页 返回 退出
b
Jlin Institute of Chemical Technology
截面面积为A(x)的立体体积： V a A(x)dx . 例11 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线 段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 解 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2+y2R2. 立体中过点x且垂直于x轴的截面面积为
•直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现在来计算 这曲线弧的长度. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为
ds 1+ y2 dx .
这也就是弧长元素.
因此, 曲线弧的长度为
s a 1+ y2 dx .
§6.2 定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
二、体积
三、平面曲线的弧长
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线 yf 上 (x) 与 yf 下 (x) 及左右两条直线 xa与xb所围成.
2 3 2 -a 0 (t - sint)2 sintdt
6 3a3 .
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴素为 A(x)dx.
b
d
讨论： 由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y) 及上下两条直线yd与yc所围成的平面 图形的面积如何表示为定积分？ 提示： 面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为 S d [j右 ( y) -j左 ( y)]dy .
c
Jlin Institute of Chemical Technology
在点x处面积增量的近似值为
[f上(x)- f下(x)]dx, 它也就是面积元素.
因此平面图形的面积为
S a[ f上 (x) - f下(x)]dx .