2_第2章质点运动学1-2

dr dx( t ) dy( t ) dz( t ) v i j k r dt dt dt dt v v x i v y j vz k o
2 v v v2 v 2 vz x y 速度的大小
r dr t dt
质点在第2秒时刻的速率
2 2 v 2 4 2 5 (m / s)
思考： 还有否其它的方法求速率？
dS 2 1 t 2 dt
将t 2 s代入
得 : v 2 5 (m / s)
dS v 2 1 t2 dt
dS 1 1 2 dx 2 求v 方法3 : v 4 x 4 x vx dt 2 dt 2
（一） 位移(displacement):描述质点位置变化的矢量
t t t r AB rB rA
y
A
rA rB rA x1 i y1 j z1 k x o rB x 2 i y 2 j z 2 k z r ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k xi yj zk
解: 分析(1) r ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
r0
o
P
r1
r1
r2
r
x
Q
t 0 s， r1 2 j , t 2 s， r2 4i 2 j
（4，-4） r r2 r1 4i 2 j ） 2 j 4i 4 j （
参考系选择是任意的
2. 坐标系: 固定在参考系上，定量描述空间位置的 有次序的一组数。 直角坐标系 自然坐标系
P（x，y，z）
S
S
o
(四) 位置矢量和质点运动方程-质点位置
与时间的变化关系
1 位置矢量 简称:位矢或径矢
(position vector)
r xi yj zk
讨论： 一般
微分情况下,
r S
dr dS
r
S
问题:
r r ?
1) r＝AB
r rB rA
A
r r
r AB rB rA
2) dr dr
3) d r d S
rA
O
S AB
4) d r √ d S
v
r
B
某点的速度方向:该点的切线方向
3. 平均速率与瞬时速率 (speed)
S 平均速率: v t
瞬时速率
v lim
t 0
S dS t dt
4. 瞬时速度的大小与瞬时速率的关系 2 2 2 t 0 dr dS d r (dx) (dy) (dz) r dd r d S x 2 y 2 d z 2 r r? v v lim t 0 t dt dt dt 结论 瞬时速度的大小等于瞬时速率.
从客观实际中抽象出来的、具有质量而没有大 小和形状的理想模型。 一个物体能否被看作质点，主要决定所研究 问题的性质。
（二） 时间与空间
Time:描述物质存在持续性,运动变化的顺序性
Space:表征物质广延性及排列顺序
(三) 参考系和坐标系
1. 参考系: 定性描述物体运动而选作参考的物体
运动描述的相对性
运动方程表示: x~t、v~t、a~t等 运动曲线的优点是直观,便于分析相遇点、等 速点、转向点以及运动的趋势等.
运动学的两类问题 例：已知质点运动方程：
r 2ti ( 2 t 2 ) j ( SI )
y
求：(1) 时间t=02s 的位移.
(2) t=2s时的速度和加速度.
虑导致运动状态变化的原因。
本次课重点与难点
重点: 1. 位移; 速度; 加速度矢量在直角坐标系中的 表示。 2. 有关质点运动学两类问题的求解。 1.正确理解:速度, 加速度的瞬时性 和矢量性.
难点:
2.熟练掌握运用微积分数学手段解决有关运动 学两类问题的方法.
一.质点 参考系 运动方程
（一） 质点
将t 2 s, x 4m, v x 2m / s代入
得 : v 20( m / s )
dr 2i 2tj 求a: v dt dv
a dt 2 j
为恒量 指向 y方向
例：设质点沿x轴作直线运动，a=2t，t=0时 x0=0，v0=0
P点的位置矢量 例如: r ( t ) 5i 3 j 2k
P( x, y, z )
z
r
γ
r 的大小 : r r
x2 y2 z2
z cos r
α
β
o
x cos r y
y cos r
x
cos 2 cos 2 cos 2 1
2
2
x dx dx 2
2
方法(2): dS 2dt d ( 2 t )
2 2
1 S dS 4 x 2 dx 5.91(m) p 2 0
Q
2
4
1 2 4 x dx 2
2
r 5.65m
2
2 1 t dt
思考题：1)平均速率与平均速度的大小是否相等？ 2)速度改变时速率能否不变？
例如:
2 r ( t ) 5t i 3tj 2k
求：(1) 时间t=02s 的平均速度？
r t 2 解: 分析(1) v 10i 3 j t r 0 2k r 2 20i 6 j 2k r 20i 6 j dr v 2 20i 3 j v 10ti 3 j
2 r 4 2 4） 4 2 5.65( m )， 方向 （ 4
问题： 位移的大小是路程吗？
方法(1)路程 PQ

Q
P
dS对弧长的曲线积分:
x2 x 2t; y (2 t ) y 2 4
2
dS
dx dy
2
2
x2 dx d 2 4
2 v d v d dr d r a lim 2 t 0 t dt dt dt dt
在直角坐标系中 a 可表示为:
a a x i a y j az k
dv x dv y dv z i j k dt dt dt
d2 y d2 z d x 2 i 2 j 2 k dt dt dt
2
2 dvx d x 2 a x dt dt dv y d 2 y 2 a y dt dt 2 dvz d z 2 az dt dt
加速度的大小
a 的方向：
x
r
P ( x, y, z )
r (t )
y
o
消去时间t=>运动质点的轨迹方程.
例如:
2 r ( t ) 5t i 3tj 2k
自然坐标 表示法：S
f (t )
x 5t 2 y 3t z2
例：一个质点作匀速率圆周运动，圆周半径为r，角速度
为 ，试分别写出直角坐标系下的标量表示法、位矢、 自然法表示的质点运动学方程。
2
S dS 2 1 t dt 5.91(m)
2 p 0
Q
(2)
r 2ti ( 2 t 2 ) j
dr v 2i 2tj 质点在第2秒时刻的速度 dt
速度随时间的变化关系
v |t 2 2i 4 j
解： 建立直角坐标系XOY
并确定计时P在X正轴位置为起始时刻：
Y
j
标量
x r cost y r sin t
r
P(x,y)
i
t
O’
X
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
位矢 r xi yj r cos ti r sin tj
自然坐标 表示法： S
rt
二 位移 速度 加速度
2 质点运动方程-质点位置随时间变化关系
equation of motion
r ( t ) x ( t )i y ( t ) j z ( t )k
z
P ( x, y, z )
直角坐标系下的标量表示法:
运动 方程 的分 量式
x x(t )
y y (t )
Z Z (t )
rB
B
r rB rA
思考题：1 s是否可能取负值, x呢？
2试问以圆心为原点, 质点运动半圆周时的s、 r 和 r
（二） 速度(velocity):描述质点位置变化快慢的矢量
1. 平均速度
r v t
t 0
方向: r
特点: 矢量 瞬时 相对
A
2. 瞬时速度 v lim
dS 3 √. dt v
dv 6. a dt
思考题：如果让两个小球沿如 图所示两个光滑轨道同时出发, 其中一个轨道水平一个轨道在 中部有一段呈U型下沉后回到水 平.试问哪个小球先到达终点？
dv d 2 r a 2 dt dt
运动学的两类问题
1. 已知运动方程，求速度或加速度。在数学运算上 2 dr dv d r 为求导: v ; a 2 ， 这是运动学 dt dt dt 中的第一类问题- 微分方法。 2.已知加速度，求速度或运动方程。在数学运算上 为积分，这是运动学的第二类问题-积分方法。 由题意初始条件确定积分上下限，采用定积分。