第二章质点运动学(3)
2-3、4运动学的两类基本问题
t
第二章 质点运动学
描述质点运动的状态参量的特性
状态参量包括：
r (t )
微分 积分
v(t )
微分 积分
a (t )
f ( x, y, z ) 0
（1）矢量性：注意矢量和标量的区别； （2）瞬时性：注意瞬时量和过程量的区别；
（3）相对性：对不同参照系有不同的描述。
第二章 质点运动学
[例 ]
[思考] 船作何种运动？
(变加速直线运动)
第二章 质点运动学
[例] 电艇在关机后，有dv/dt=–kv2(k为常 数). 试证：电艇此后行驶距离x时的 kx 速度为 v v0 e , 其中v0是电艇关机 时的速度. 证：
dv dv 2 2 dx kv dx kv dt dt
dr v dt
2.积分法
已知初始条件 求任意时刻
dr a 2 dt
2
v0 , r0及a a(t )或v v(t )
v, r (t )
t 0
dv a dt
dr v dt
vt
v0
dv adt
r0
v(t ) v0 adt
0
t
dr vdt
0
rt
t
Hale Waihona Puke r (t ) r0 vdt
第二章 质点运动学
§2－3、4 质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
第二章 质点运动学总结
下页 返回 结束 Δr
t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
上页
第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
上页
下页
返回
结束
第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
上页
Y
结束
X
下页
地心系
返回
第二章 质点运动学
选取不同的参考系，描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系， 建立恰当的坐标系，
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质； 以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论：刻舟求剑的启示？
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考：圆内的一点和圆外的一点？
x a b sin y a b cos
上页
下页
返回
结束
第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量，
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
2.3质点直线运动--从坐标到速度和加速度
t = 1s v1 = 0 此时转向
t = 2 s时，v2 = −8 m/s
上页
与x轴正向相反
下页 返回 结束
第二章 质点运动学 [例题 （p34)将真空长直管沿竖直方向放置 自其中 例题2]（ 将真空长直管沿竖直方向放置.自其中 例题 将真空长直管沿竖直方向放置 自其中O 点向上抛小球又落至原处所用的时间为t 点向上抛小球又落至原处所用的时间为 2. 在小球运动 过程中经过比O点高 处 小球离开 处至又回到h处所用 小球离开h处至又回到 过程中经过比 点高h处,小球离开 处至又回到 处所用 点高 时间为t 现测得 现测得t 时间为 1.现测得 1、t2和h，试决定重力加速度 ，试决定重力加速度g. 解： 建坐标系如图, 建坐标系如图 小球做竖直上抛运动
t = t0 = 0
∫
v
v0
dv x =
∫
t t0
a xdt
v(t ) = v0 x + ax t LL 1 （）
1 2 x(t ) = x0 + v0 x t + ax t LL 2） （ 2
两式中消去 t
2 2 vx − v0 x = 2ax ( x − x0 )LL 3） （
以上三式就是匀变速直线运动 以上三式就是匀变速直线运动 的基本运动方程
第二章 质点运动学
v 0 − 1 = ( 8 − 0 − 4 ) m/s = 4 m s
方向与x轴正向相同 方向与 轴正向相同
v1− 2 = ( 8 − 8 − 4 )m/s = − 4 m s
方向与 x轴正向相反.
dx （ 2） v x = = 8 − 8t dt
t=0s时，v0=8m/s 沿x轴正向 时 轴正向
第二章质点运动学
例1、自由落体运动的运动方程为 、
1 y = gt 2
2
例2、平抛运动的运动方程 、
x = v0t 1 y = 2 gt
2
g 2 y= 2 x 2v 0
为轨迹方程
v •定义 定义 ∆r v r1 把由始点到终点的有向线段定义为质点 P2 v 的位移矢量，简称位移。 的位移矢量，简称位移。它是描述质点 r2 位置变化的物理量。 位置变化的物理量 v v v O y •计算 计算 r1 + ∆r = r2 v v v ∆r = r2 − r1 v v v x ∆r = r2 − r1 v v v v v v = ( x 2 i ＋y 2 j + z 2 k ) − ( x1 i ＋y1 j + z1 k ) v v v 说明 = ( x 2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k •说明 •位移是矢量； 位移是矢量； 位移是矢量 • 具有瞬时性； 具有瞬时性； •位移与路程的区别 位移与路程的区别 • 具有相对性； 具有相对性； 位移是矢量： 位移是矢量：是指位置矢量的变化 • 单位： 单位：米（m） ） 路程是标量： 路程是标量：是指运动轨迹的长度
二、位置矢量、运动方程、位移 位置矢量、运动方程、
1、位置矢量 、
基本概念 从原点O到质点所在的位 从原点 到质点所在的位 置P点的有向线段，叫做 点的有向线段， 点的有向线段 位置矢量或位矢。 位置矢量或位矢。
z v
k
γ α
v r
β
P(x,y,z)
v v v v r ＝xi ＋yj + zk
力学(漆安慎)课件 2-1,2描述质点运动的物理量
v v r = r (t) —— 运动函数（运动方程 ）。 运动函数（
v v v v r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
x = x(t)
y = y(t) z = z(t)
或
由各个时刻的矢径端点连接而描 由各个时刻的矢径端点连接而描 矢径端点 画出的曲线就是质点运动的轨迹 质点运动的轨迹。 画出的曲线就是质点运动的轨迹。
x
位矢长度的变化
x22 + y22 + z22 − x12 + y12 + z12
第二章 质点运动学
讨论 位移与路程 位移与路程:
（A）P1P2 两点间的路程 ） 不唯一的, 是不唯一的 可以是∆s 或 ∆s ' v 是唯一的 而位移 ∆r 是唯一的. （B） 一般情况 位移 ） 一般情况, 大小不等于路程. 大小不等于路程
只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的， 只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的， 我们就可以看作质点。 我们就可以看作质点。 对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点， 对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点，有 时不行。 时不行。
第二章 质点运动学
·
物体可以作为质点处理的条件： 物体可以作为质点处理的条件：大小和形状对运 动没有影响或影响可以忽略。 动没有影响或影响可以忽略。 例：研究地球公转
v r (t + ∆t)
∆s v ∆r
A
质点的平均速度
第二章 质点运动学 一、 位置矢量(position vector)
由参考系上的坐标原点引 向质点所在位置的矢量称为质 点的位置矢量 简称位矢 位置矢量， 位矢。 点的位置矢量，简称位矢。
大学物理1-7章知识点梳理
力矩的功、转动动能、
转动动能定理、转动问题中的机械能守恒定律(守恒条件)
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理、角动量守恒定律（守恒条件）
注：角动量守恒定律是本章最重要内容！
4 角动量的两个定义式
17
精选ppt
质点的角动量： L r mv
刚体的角动量：
L I
5 关于绳中张力：
定轴转动问题中绳中张力不是处处相 等，而是分段相等
N
7 速率分布函数的定义式和物理意义
⑴ 定义式： f (v) dN Ndv
⑵ 物理意义： f ( v ) 表示速率在 v 附近“单位速
率区间”宽度内的分子数占总分子数的百分比。
8 具有某一特定速率的分子数为：
22
dNNf之间的分子数为：
NdN Nf(v)dv v2
注意摩尔质量的单位，以及气体摩尔质量的数值
2 理想气体的内能公式
19
★ 一定量理想气体的内能为
精选ppt
E i RT M i RT
2
M mol 2
说明：内能只与温度有关
★ 若温度改变，内能改变量为
E i RT M i RT
2
M mol 2
说明：内能变化只与温度变化有关
3 理想气体压强公式
M I 转动定律内容
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
其中：M 是合外力矩，相当于平动问题中的合外力
定义式 M r F
I 是转动惯量，相当于平动问题中的质量
是角加速度，相当于平动问题中的加速度
3 转动定律的两种积分
16
精选ppt
力矩的空间累积效应
(1)确定研究对象
漆安慎_杜禅英_力学习题及答案02章
第二章 质点运动学一、基本知识小结⒈基本概念 22)(dt r d dt v d a dt rd v t r r====)()()(t a t v t r⇔⇔（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：000,,v v r r t t===）⒉直角坐标系 ,,ˆˆˆ222z y x r kz j y i x r ++=++= r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/,/.v v v v v k v j v i v v zy x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/.a a a a a k a j a i a a zy x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x222222,,,,dtz d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dtdzv dt dy v dt dx v z z yy x x z y x =========),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⇔⇔⒊自然坐标系 ||,,ˆ);(ττττv v dtdsv v v s r r ====ρτττττ22222,,,ˆˆv a dts d dt dv a a a a n a a a n n n ===+=+= )()()(t a t v t s ττ⇔⇔⒋极坐标系 22,ˆˆ,ˆθθθv v v v r v v rr r r r +=+==dtd rv dt dr v r θθ==, ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系',0't t r r r =+=（时空变换）0'v v v+= （速度变换） 0'a a a+= （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：zz y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v tt z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','y y'Vo x o' x' z z'二、思考题解答2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。
质点运动学
质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。
（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。
在直角坐标系中r=x i+y j+z k。
（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。
在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。
在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。
（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。
一般情况下，|△r|≠△s。
（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。
v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习1用v0=20m/s的初速度将一质量为m=0.5kg 的物体竖直上抛，所达到的高度h=16m，则空 气对它的平均阻力是_______ 。
W EB E A 1 2 mv mgR 2 1 2 2 6 2 9.8 4 2 42.4 J
A
R
O
fr
N
G
v B
例2 在图中，一个质量为m的物体从静止开始，沿质 量为M的四分之一圆弧形槽从A滑到B。 已知圆的半 径为R。设所有摩擦都可忽略， 求（1）物体刚离开 槽底时，物体和槽的速度各是多少？ （2）在物体从 A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W。（3）物体 到达B时对槽的压力。 解（1）把物体m、槽M和地球作为系统，以地面为参 考系。设物体离开槽底时， A R 物体和槽的速度分别为v、V。 O 由机械能守恒定律有 1 1 N 2 2 mgR mv MV m 2 2 v G 又由水平方向动量守恒定律有 M B
W U
(2)势场中某一点的势能 b Wab F dr U (ra ) U (rb ) a b U (rb ) F dr U (ra )
a
设a点的势能为0，则 b a U (rb ) F dr F dr
如果一个系统内只有保守内力做功，或者 外力与非保守内力的总功为零，则机械能的总 值保持不变 。
Ek U p 常量
这一结论称为机械能守恒定律。
例1 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿 四分之一的圆周从A滑到B。已知圆的半径R=4m，物 体在B处的速度v=6m/s。求摩擦力所作的功。 解 把物体和地球作为系统。摩擦力所作的功
2、 动能‧动能定理
Wab
b a b
b F dr F dr
a
b dv m a dr m dr a a a dt vb 1 2 1 2 mvdv mvb mva va 2 2
va
m dr
v
F
b
vb
1 定义质点的动能为： Ek mv 2 ，则： 2
2-9 能量守恒定律
1、质点系的动能定理
F1
s1
m1
s2
f12
f 21
m2
F2
由动能定理： F d r 1 1 F2 d r2
f12 d r1 Ek1 f 21 d r2 Ek 2
F1 d r1 f12 d r1 Ek1 f 21 d r2 Ek 2 F2 d r2 F1 d r1 F2 d r f12 d r1 f 21 d r2 Ek1 Ek 2
F=mg=(M－ky) g dW=Fdy=(M－ ky)gdy 10 所以W dW M ky gdy
0
10 0.2 y 9.8dy 882J
0
10
例2求万有引力的功。 d r dr 解 m Mm ˆ dW G 2 r dr r r dr b r a F Mm G 2 dr cosπ r Mm M G 2 dr r b Mm Mm Mm W G 2 dr G G a r rb ra
O
Fx dx Fy dy Fz dz
b a
a
a
例1 一个人从10m深的井中，把10kg的水匀速地 提上来。由于桶漏水，每升高1m漏去0.2kg的水。问 把水从井的水面提到井口，人所做的功。 解取一维坐标，以水井水面为原点o，oy轴向上。 设水在高度 y 处其质量为m，据题意得 m=M－ky 其中M=10kg，k=0.2kg/m，又设拉力为F，则有
mv MV 0
1 1 2 mgR mv MV 2 2 2 解 mv MV 0
A
R
O
得
v V
2 MgR M m 2m 2 gR M ( M m)
N m G M B v
（2）对M，由动能定理可得物体所做功 2 m gR 1 2 W MV 0 M m 2 （3）当m到达B点瞬时, M可视为以速度V运动的惯 性系。以M为参考系， m到达B点时相对于M 的速度为v。则由v = v V 可得
1 2 m g (lx x ) 2 l a m g (l a ) 2 2l
l
（2）对链条应用动能定理 1 1 2 2 WG W f mv mv0 2 2 1 v0 0 WG W f mv 2 2 l mg m g(l 2 a 2 ) WG xdx a l 2l m g(l 2 a 2 ) m g(l a) 2 1 2 mv 2l 2l 2 g 2 得v (l a 2 ) (l a) 2 l
dF R GmR dFx dF cos cosd 2 R Fy 0 Fx
π 4 π 4
R
2
2
y
m
45 45
o
x
GmR Gm cosd 2 2 R R
GmπR / 2 Gmπ U R 2
Mm 例2已知万有引力势能为U (r ) G r 应用保守力与势能的微分关系，求万有引力。
2-8 势 能
(1)保守力作功与路径无关，只取决于质点 始末位置。因而存在一个由质点位置决定的一个 态函数 U(r) ，这个态函数称之为势能。
Mm Mm W G r G r b a
保守力做功等于势能增量的负值：
x r y r z r
例 3 对于弹簧振子，(1) 画出U (x) ~x 曲线，并作一 高度为E的水平线，试说明图上哪段x范围是振子可 以到达的。 (2)作 ˙x ~x 曲线，并讨论其运动情况。 解
U
2E
1 2 U kx 2
E
o
x
x x
1 2 1 2 kx 常量 mx 2 2
o
解一在直角坐标系中
解二
U U U Mm r F ( i j k ) G 2 x y z r r dU Mm Fr G 2 dr r
U GMm Fx 2 x r U GMm Fy 2 y r U GMm Fz 2 y r
v
2 MgR 2 gR m M m M ( M m) 2( M m) gR M
m 2 MgR (1 ) M M m
所以
v2 由牛顿定律有 N mg m R
2 v 2( M m)mg N mg m mg R M 2m (3 )mg M
2 或 dr 5t dti 2dtj 2 dr F m 2 ti dt dW F dr 5t 3dt W 5t 3dt 20(J)
0 2
例2一链条总长为l，质量为m，放在桌面上并使之 下垂，下垂的长度为a。设链条与桌面的滑动摩擦 系数为 µ，令链条从静止开始运动，则：（ 1 ）到 链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少 功？（2）链条离开桌面时的速率是多少？ 解（1） m g(l x) f l l m g(l x) Wf dx a l
U
U
E
A
Ek
E
Ek
B
U
o
U
H H
h
U
Ek
U
o
弹性势能 U
重力势能 U mgh
x 1 2
2 kx
o
E
Ek 0
r
引力势能 U G Mm
r
U (r )
E3
o
r0
E2
r
E1
分子力势能曲线
例1一质量为m的质点，放在半径为R，质量线密度 为（质量均匀分布）的四分之一的圆周的圆心上， 如图所示，则该质点受到该圆周的万有引力及该圆 周与质点间的万有引力势能为多少? Gm(dM ) GmRd 解
第二章 质点动力学
（3） 动能定律 功能原理 角动量守恒定律
2-7 功和动能
１、功
F
s
(1)功的定义:力在位移方向上的分量和该 位移大小的乘积。
W Fs s F s cos W F s
(2)变力的功：
m dr
a
r
F
b
元功 dW F dr b b Nhomakorabea b Wab F dr F dr cos F dr a a a b b Wab F dr Fx i Fy j Fz k d xi yj zk
例3质量为 m 和 M 的两个质点，最初它们相距很 远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当 两质点相距 r 时，它们的相对速度为多少？ 解
解得
MV mv 0 1 1 Mm 2 2 MV mv G 0 2 2 r 2G V m r (M m) 2G v M r (M m) 2G(M m) v相对 V v r
Wab Ekb Eka
质点动能定理 合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
5 3 例1m=0.1kg的质点沿曲线 r t i 2tj 运动，求在 3 t=0s到t=2s的时间内，作用在该质点的合外力对质
点所做的功。 解
dr 2 v 5t i 2 j dt t 0，v0 2 m s 1 t 2，v2 404 m s 1 1 1 2 2 W mv2 mv0 20 （J） 2 2