第二章 质点运动学

第二章质点运动学（习题）

2.1.1 质点的运动学方程为

求质点轨迹并用图表示。

解:① . 轨迹方程为 y=5

② 消去时间参量 t 得：

2.1.2 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 质点的位移。

解;① 消去 t 得轨迹： xy=1,z=2

② , ,

2.1.3 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=0 至t=1 质点的位移。

解:① . 消去 t 得轨迹方程

②

2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为

， 0.75s 后测得

均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

解 :

代入数值得：

利用正弦定理可解出

2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

（长度 mm ）。第一次观察到圆柱体在

x=249mm 处，经过时间 2ms 后圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

解:

2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m 。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机 2m ，问谁先听到声音？声速为

340m/s, 电磁波传播的速度为。

解 :

在广州的人先听到声音。

2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音

747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。

解 :

2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶， 3min 后以 70km/h 速率向北

偏西方向行驶。求列车的平均加速度。

解，

2.2.6 （ 1 ）R 为正常数。求 t=0, π/2 时的速度和加速度。（ 2 ）

求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式）。

解：（ 1 ）

当 t=0 时，

当 t= π /2 时，

（ 2 ）

当 t=0 时，

当 t=1 时，

2.3.1 图中 a 、 b 和 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）。

解 : a 直线的斜率为速度

b 直线的斜率为速度

c 直线的斜率为速度

2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost, a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。

解 :

质点受力，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为 a ，运动范围

在，速度具有周期性。

2.3.3 跳伞运动员的速度为

v 铅直向下，β、 q 为正常量。求其加速度。讨论当时间足够长时（即t →∞），速度和加速度的变化趋势。

解 :

2.3.4 直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至 x=1.5km 时加速度的大小。

解 :

当 x=1.5km 时，

2.3.5 在水平桌面上放置 A 、 B 两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。 C 点

与桌面固定。已知物体 A 的加速度，求物体 B 的加速度。

解 :

以 C 为坐标原点，建立一维坐标系 o-x 。设绳的总长度为， B 的坐标为， A 的坐标为，则得

两端对 t 求导

2.3.6 质点沿直线的运动学方程为。

（ 1 ）将坐标原点沿 ox 轴正方向移动 2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？

（ 2 ）将计时起点前移 1s ，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？

解 :（ 1 ）

，代入上式得：

初速度不变。

（ 2 ）

代入上式得：

初坐标由 0 变为 -7m.

, 初速度由 10m/s 变为 4m/s.

加速度不变，都是.

以下四题用积分

2.4.1 质点由坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：

（ 1 ）初速度；

（ 2 ）初速度的大小为 9cm/s, 方向与加速度方向相反。

解 :（1），

，

当 t=6s时，

, ,

质点运动的路程：

(2) ,

,

当 t=6s时，

, ,

质点运动的路程如图，

，，

质点运动的路程：

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为

求至时间内的位移。

解 : ，

2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为在 t=0 时，

其中均为正常数，求此质点的运动学方程。

解 : ，

，

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0时速度为且坐标为 x=0. 假设

其加速度为， b= 常量，求此质点的运动学方程。

解 : ，

，

解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。

2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h 的速度和 -20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s 2 的加速度下坡。问（ 1 ）经过多长时间两人相遇；（ 2 ）两人相遇时，各走过多少路程。

解 :

建立坐标系 o-x, 原点为质点 1 的初始位置。

对上坡的质点 1:t=0,v 10 =5m/s, x 10 =0, a 1 =-0.2m/s 2 ,

对下坡的质点 2:t=0,v 20 =-1.5m/s,x 20 =195m,

a 2 =-0.2m/s 2 ,

相遇时， x 1 =x 2 , 所需时间设为 t ，则