第二章质点运动学(2)
第二章 质点运动学总结
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t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
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第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
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Y
结束
X
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地心系
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第二章 质点运动学
选取不同的参考系，描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系， 建立恰当的坐标系，
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质； 以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论：刻舟求剑的启示？
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考：圆内的一点和圆外的一点？
x a b sin y a b cos
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第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量，
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
2.3质点直线运动--从坐标到速度和加速度
t = 1s v1 = 0 此时转向
t = 2 s时，v2 = −8 m/s
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与x轴正向相反
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第二章 质点运动学 [例题 （p34)将真空长直管沿竖直方向放置 自其中 例题2]（ 将真空长直管沿竖直方向放置.自其中 例题 将真空长直管沿竖直方向放置 自其中O 点向上抛小球又落至原处所用的时间为t 点向上抛小球又落至原处所用的时间为 2. 在小球运动 过程中经过比O点高 处 小球离开 处至又回到h处所用 小球离开h处至又回到 过程中经过比 点高h处,小球离开 处至又回到 处所用 点高 时间为t 现测得 现测得t 时间为 1.现测得 1、t2和h，试决定重力加速度 ，试决定重力加速度g. 解： 建坐标系如图, 建坐标系如图 小球做竖直上抛运动
t = t0 = 0
∫
v
v0
dv x =
∫
t t0
a xdt
v(t ) = v0 x + ax t LL 1 （）
1 2 x(t ) = x0 + v0 x t + ax t LL 2） （ 2
两式中消去 t
2 2 vx − v0 x = 2ax ( x − x0 )LL 3） （
以上三式就是匀变速直线运动 以上三式就是匀变速直线运动 的基本运动方程
第二章 质点运动学
v 0 − 1 = ( 8 − 0 − 4 ) m/s = 4 m s
方向与x轴正向相同 方向与 轴正向相同
v1− 2 = ( 8 − 8 − 4 )m/s = − 4 m s
方向与 x轴正向相反.
dx （ 2） v x = = 8 − 8t dt
t=0s时，v0=8m/s 沿x轴正向 时 轴正向
第二章质点运动学
例1、自由落体运动的运动方程为 、
1 y = gt 2
2
例2、平抛运动的运动方程 、
x = v0t 1 y = 2 gt
2
g 2 y= 2 x 2v 0
为轨迹方程
v •定义 定义 ∆r v r1 把由始点到终点的有向线段定义为质点 P2 v 的位移矢量，简称位移。 的位移矢量，简称位移。它是描述质点 r2 位置变化的物理量。 位置变化的物理量 v v v O y •计算 计算 r1 + ∆r = r2 v v v ∆r = r2 − r1 v v v x ∆r = r2 − r1 v v v v v v = ( x 2 i ＋y 2 j + z 2 k ) − ( x1 i ＋y1 j + z1 k ) v v v 说明 = ( x 2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k •说明 •位移是矢量； 位移是矢量； 位移是矢量 • 具有瞬时性； 具有瞬时性； •位移与路程的区别 位移与路程的区别 • 具有相对性； 具有相对性； 位移是矢量： 位移是矢量：是指位置矢量的变化 • 单位： 单位：米（m） ） 路程是标量： 路程是标量：是指运动轨迹的长度
二、位置矢量、运动方程、位移 位置矢量、运动方程、
1、位置矢量 、
基本概念 从原点O到质点所在的位 从原点 到质点所在的位 置P点的有向线段，叫做 点的有向线段， 点的有向线段 位置矢量或位矢。 位置矢量或位矢。
z v
k
γ α
v r
β
P(x,y,z)
v v v v r ＝xi ＋yj + zk
力学(漆安慎)课件 2-1,2描述质点运动的物理量
v v r = r (t) —— 运动函数（运动方程 ）。 运动函数（
v v v v r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
x = x(t)
y = y(t) z = z(t)
或
由各个时刻的矢径端点连接而描 由各个时刻的矢径端点连接而描 矢径端点 画出的曲线就是质点运动的轨迹 质点运动的轨迹。 画出的曲线就是质点运动的轨迹。
x
位矢长度的变化
x22 + y22 + z22 − x12 + y12 + z12
第二章 质点运动学
讨论 位移与路程 位移与路程:
（A）P1P2 两点间的路程 ） 不唯一的, 是不唯一的 可以是∆s 或 ∆s ' v 是唯一的 而位移 ∆r 是唯一的. （B） 一般情况 位移 ） 一般情况, 大小不等于路程. 大小不等于路程
只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的， 只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的， 我们就可以看作质点。 我们就可以看作质点。 对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点， 对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点，有 时不行。 时不行。
第二章 质点运动学
·
物体可以作为质点处理的条件： 物体可以作为质点处理的条件：大小和形状对运 动没有影响或影响可以忽略。 动没有影响或影响可以忽略。 例：研究地球公转
v r (t + ∆t)
∆s v ∆r
A
质点的平均速度
第二章 质点运动学 一、 位置矢量(position vector)
由参考系上的坐标原点引 向质点所在位置的矢量称为质 点的位置矢量 简称位矢 位置矢量， 位矢。 点的位置矢量，简称位矢。
2 质点运动学-2
方向如图所
v
3 an g cos 30 g 2
0
a
A
g
300 an
v 2 3v an 3 g
2
2
第1章
质点运动学
大学物理A教案
4、圆周运动
(1) 圆周运动的角量描述 角位置 ： 角运动方程 (t)： R
B
s
A
质点所在的位矢 r 与x轴正 向的夹角,单位是弧度 rad。 角位移 : 规定：逆时针转向为正, 角速度
,加速度
kx
v v0 e
证： a dv dv dx v dv kv 2
dt dx dt
dx
dv kdx v
两边积分：
x dv v0 v k 0 dx v
v ln kx v0
v v0 e
kx
第1章
质点运动学
大学物理A教案
§1-3 自然坐标系中的速度和加速度
dt
dv a c dt
（2）
v (b ct ) an R R
2
2
a an
b R t c c
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下 落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子[忽略空气阻力]?
5、抛体运动
抛体运动的特点：加速度 a 为常量，为重力加速度。
抛体运动的运动学特征：
dr dx dy dz 速度 v i j k dt dt dt dt 2 加速度 a dv d r dt dt 2
平均速率不等于平均速度的大小 瞬时速率等于瞬时速度的大小
dr ds
v v
第1章
力学第二章质点运动学(PDF)
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
第二章 质点运动学
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
质点运动学第二类问题
质点运动学第二类问题质点运动学第二类问题质点运动学是物理学的一个分支，主要研究质点的运动规律。
在质点运动学中，问题分为三类：第一类问题是已知质点的位置、速度和加速度，求解运动方程；第二类问题是已知质点的位置和速度，求解加速度和运动方程；第三类问题是已知质点的位置和运动方程，求解速度和加速度。
本文将重点介绍质点运动学中的第二类问题。
第二类问题也称为初值问题，其解决方法为根据初值和方程求出质点的运动规律。
1. 线性平衡问题在线性平衡问题中，运动方程可以表示为：F = ma其中，F 是外力，m 是质量，a 是加速度。
我们可以通过已知的位置和速度求解加速度。
假设质点的初速度为 v0，位置为 x0，时间为 t0，运动方程为：x = x0 + v0t + 0.5at^2在已知初值和运动方程下，只需要解出加速度 a 即可。
假设时间 t1 时质点位移为 x1，那么有：x1 - x0 = v0t1 + 0.5a(t1)^2由此，可以解出加速度 a 的数值。
在数学中，这一过程可以表示为求解二次方程。
2. 径向摆动问题在径向摆动问题中，质点作圆周运动。
具体来说，质点绕着圆心转动，与圆心距离为 r，角速度为ω。
一般而言，这类问题都需要掌握极坐标系的概念。
在初值设定下，可以通过直接计算圆周运动的运动方程来解决问题。
圆周运动的运动方程为：x = r cos(ωt)y = r sin(ωt)这里的 x，y 分别代表质点在平面上的坐标。
把运动方程带入到 x，y 所定义的位置函数中，可以求解出质点在不同时间点的位置。
在径向摆动问题中，也可以通过泰勒级数的方法求解。
通常情况下，质点的加速度函数可以表示为：a = -rω^2通过泰勒级数展开该加速度函数，可以求得质点的位置和速度。
由于泰勒级数可以展开到任意次数，因此精度比较高。
3. 投掷问题投掷问题是最为经典的物理问题之一。
在投掷问题中，质点被抛出，运动轨迹为抛物线。
假设质点的初速度为 v，出发角度为θ，高度为 H，运动方程为：y = H + vt sin(θ) t - (1/2)gt^2x = v cos(θ) t其中，g 是重力加速度。
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F
F
t1
t2 t
例 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用 的时间 (1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件 的平均冲力。 解法一利用动量定理，取竖 直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 M 2 gh ， 末状态动量为 0。
第二章 质点动力学
（2） 动量守恒定律 火箭运动 质心运动定律
2-3 冲量‧动量定理
1、冲量
dp 把牛顿第二定律的微分形式 F dt 改写为 F d t d p
考虑一过程，力对质点的作用时间从t1 — t2， t2 p2 两端积分 Fdt dp p 2 p1 mv2 mv1
mi ri
d vi mi d vc dt ac dt mi
由牛顿第二定律得
mi ai
m
i
m1a1 m2 a2 mn an
d v1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt d vn mn Fn f n 2 f n 3 f n ( n 1) dt
x g v x g 2 gx 3x g 所以桌面受的压力 N N 3x g
2
例 2 一柔软链条长为 l ，单位长度的质量为。 链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍 伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链 条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距 离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标。 则 F m1 g yg 动量定理 m1
Y y
R
O
dy
X
2 m dm，薄板面密度 ， 2 πR 则 d m 2 R2 y2 d y
yc
ydm M
R
0
4 4R 2 2 y R y dy 2 πR 3π
练习1 均匀棒弯成如图所示直角形，求它的质心位置。 解
1 xc xdm M 30 1 ( x d x 30 20 ) 50 0 21(m) 1 或 xc (m1 x1 m2 x2 ) M 1 (30 15 20 30) 21(m) 50 1 1 20 yc ydm y d y 4(m) M 50 0 1 1 (m1 y1 m2 y2 ) (0 20 10) 4(m) 或 yc M 50
2-4 动量守恒定理
由若干个相互作用的质点 质点系 组成的系统称为质点系。 若该质点系没有受到任何 f12 F 外力的作用，则该系统为封闭 1 m1 系统。
f 21
F2
m2
f12 f 21
ห้องสมุดไป่ตู้
dp2 dp1 F1 f12 ; F2 f 21 dt dt
d p1 p2 dp F1 F2 dt dt dp N N 对一般质点系 F 。式中 F Fi外 ; p pi dt i 1 i 1
f12 f 21
质点系的牛顿第二运动定律 dp F dt
M , zc zdm M
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质心与重心位置重合。
例1 地-月系的质心,地月的中心距离为l 3.84 10 5 km， M 地 5.98 10 24 kg，m月 7.35 10 22 kg。
t1 p1
t2 定义 I 为力从 t — t 内作用在物体上的冲量。 F d t 1 2
t1
2、动量定理
t2
t1
p2 Fdt dp p2 p1
p1
物体在一段时间内所受合外力的冲量，等 于该时间间隔内物体动量的增量。 以平均力代替瞬时力时
F t p
1.9 10 牛顿
6
解法二 考虑从锤自由下落到静止的整个 过程，动量变化为0。 支持力的作用时间为， 重力作用时间为 2h / g 。 根据动量定理，整个过程外力的冲量为0，即
N Mg ( 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果 N Mg M 2 gh / 。
z
dvc d z v 2 z dv ac ( v) dt dt l l l dt m dv g 为绳子下落的 式中 dt l 加速度，有 f z z z ac 2 g (1 ) g 2 g 3 g l l l 对整根绳子应用质心运动定理
z
lz
z
f mg mac
解 x方向，质心位置不变。
1 xc ( Mx M mxm ) M m 1 ( MxM 0 mxm 0 ) M m M ( x M x M 0 ) m ( xm xm 0 ) MS m( R S ) m S R M m
x
例 2 手提一柔软绳子的上端，使 其下端刚与地面接触，然后松手 m 使绳子自由下落。求下落到所剩 lz 长度为 z 时，地面对这段绳子的 作用力。绳子的质量均匀分布。 l 解 把绳子当作质点组，它的质 f z 心高度 2 z 1 m z zc zdz m 0 l 2l dzc z dz dz vc v 2 g (l z ) 而 dt l dt dt dvc d z v 2 z dv ( v) 质心的加速度为 ac dt dt l l l dt
根据动量守恒定理有
MV mv cos V 0
m V v cos mM
由此得炮车的反冲速度为
2-5 火箭运动
根据动量守恒定律有 = mv （ v + dv ） （ v +d v – v r ） +dm （ m – dm ） 忽略二阶无穷小量dmdv，得 mdv – vrdm = 0 m d v = vr d m dm为喷出气体的质量，于是 火箭质量的减少量为– dm，把 上式改写为 dm） = – v dm dv = vr （ –m r m
例3 质量为 m 的人站在质 量为 M 的车上，开始时一 起以速率 V0 沿光滑水平面 向左运动。 现在人以相对 车为 u 的速率向右跑，求 车的速率 Vt 。 解 先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向）， 则系统的初始动量为（M m)V0 人跑动后系统的总动量为 MVt m(Vt u ) 该系统动量守恒 （M m)V0 MVt m(Vt u ) mu Vt V0 M m
v2
v1
dv
m2
m1
dm vr m
m1 即 v 2 v1 v r ln m2
航天飞机
我国长征系列火箭升空
2-6 质心运动
１、质心
mi ri 2 2 d i d F Fi mi ai 2 mi ri M 2 dt i dt M i i 式中 M mi
对于内力
f12 f 21 0,, f in f ni 0,
mi ai mi ai
Fi
ac
m
ac
i
m
Fi
i
Fi M
Fi Mac
质心运 动定理
例1 质量为M，半径为R的四分之一圆弧滑槽，原来静 止于光滑水平地面上，质量为 m 的小物体由静止开始 沿滑槽顶滑到槽底，求这段时间内滑槽移动的距离。
解 以地球为坐标原点
M 0 ml ml 7.35 10 22 3.84 10 5 xc M m M 5.98 10 24 4.72 10 3 ( km )
例2 求质量均匀分布的半圆形薄板的质心。
解 设薄板半径为R，总质量为m。 取如图所示坐标，由对称性 可知 xc=0。 在 y处取 dy 宽窄条为质量元
i
质点系的质量中心，简称质心。
y
故定义质心的矢径
m2
rc
mi ri
i
r2 r c r1
o
c m1 x
M
在直角坐标系中的分量形式
xc
mx M
i i
, yc
my
i
i
M
, zc
mz M
i i
对于质量连续分布的物体
rc
xc xdm ,y M
c
r dm M ydm
y
Fdt dp
y
又
dp d( yv)
m
2
ygdt d( yv)
O
d yv yg dt
m1 y
y
两边同乘以 y d y ，则
2
d yv y gdy ydy yv d yv dt
g y d y yv d yv
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy yv 3 2 2 12 v gy 3
质点系的动量定理 t2 p2 Fdt dp p2 p1
t1 p1
动量守恒定律 若系统所受合外力为 零，则质点系的总动量不随时间变化，即 质点系动量守恒。
例 1 手提一柔软长链的上端，使 其下端刚与桌面接触，然后松手 使链自由下落。试证明下落过程 中，桌面受的压力等于已落在桌 面上的链的重量的3倍。 解设链长为l，当落在桌面上的链 长为x时，桌面对链的支持力为N。 链的运动方程为