2019届高考数学一轮复习(北师大版理科)： 课时分层训练49 两条直线的位置关系
高考数学总复习课时作业49两直线的位置关系理北师大版
A 级1．(2012 ·海口模拟 ) 直线l1的斜率为 2，l1∥l2，直线l 2过点(－1,1)且与 y 轴交于点P，则 P 点坐标为()A． (3,0)B． ( －3,0)C． (0 ，－ 3)D． ( 0,3)2．已知两条直线l1： ax＋ by＋c＝0，直线 l ： mx＋ ny＋ p＝0，则“ an＝ bm”是“直线2l ∥ l ”的()12A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件3．已知两点A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为() 11A．0 或－2 B. 2或－ 6111C．－2或2D．0或24．若直线l1：y＝k( x－ 4) 与直线l2对于点 (2,1)对称，则直线l 2恒过定点()A． (0,4)B． (0,2)C． ( －2,4)D． (4 ，－ 2)5．平面直角坐标系中直线y＝ 2x＋1 对于点 (1,1) 对称的直线方程是 ()A．y＝2x－ 1B．y＝－ 2x＋ 1C．y＝－ 2x＋ 3D．y＝2x－ 36． (20 12·大连模拟 ) 已知两直线l ： mx＋8y＋ n＝0和 l ：2x＋ my－1＝0，当 l1与 l212订交于点 (，－ 1)时，、的值分别为 ________、 ________.P m m n7．(2012 ·青岛模拟 ) 已知两直线l 1： x＋ y sinθ－1＝0和l2：2x sinθ＋y＋1＝0，当 l 1⊥ l 2时，θ＝________.8．点P 为x轴上一点，P点到直线 3 －4y＋ 6＝0 的距离为 6，则P点坐标为 ________．x9．设直线l经过点 A(－1,1)，则当点 B(2，－1)与直线 l 的距离最远时，直线l 的方程为 ________．10．已知直线l 的方程为3x＋ 4 －12＝ 0，求知足以下条件的直线l′的方程．y(1)l ′与 l 平行且过点(－1,3)；(2) l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4.11．已知直线l 1：x＋ a2y＋1＝0和直线 l 2：( a2＋1) x－ by＋3＝0( a， b∈R)．(1) 若l1∥l2，求b的取值范围；(2) 若l1⊥l2，求 | ab| 的最小值．B级1．若动点A，B分别在直线l 1： x＋ y－7＝0和 l 2：x＋ y－5＝0上挪动，则 AB的中点 MA ． 3 2B ． 2 2C ． 3 3D ． 4 22．(2012 ·衡水模拟 ) 平面上三条直线 x － 2y ＋1＝ 0，x － 1＝ 0，x ＋ ky ＝0，假如这三条直线将平面区分为六部分，则实数k 的取值会合为 ________．3． A ，B 两个厂距一条河分别为400 m 和 100 m ， A ， B 两厂之间距离 500 m ，把小河看作一条直线，今在小河畔上建一座提水站，供 A ，B 两厂用水，要使提水站到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？详解答案课时作业 ( 四十九 )A 级1． D ∵点P 在 y 轴上，∴设(0 ， y ) ，P又∵ kl 1＝ 2， l 1∥ l 2，∴ kl 2＝ y － 1＝ y － 1＝2，0－ －1∴ y ＝3，∴ P (0,3) ．2． B ∵ 1∥ 2? － ＝0，且 －＝0? /l1∥ 2，应选 B.llan bm an bm l3． B |3 m ＋ 2＋3|| －m ＋ 4＋ 3|依题意得2＝2，m ＋ 1 m ＋ 1∴ |3 m ＋ 5| ＝ | m － 7| ，∴ 3m ＋ 5＝ m － 7 或 3m ＋ 5＝ 7－m .1∴ m ＝ － 6 或 m ＝ 2. 故应选 B.4． B 因为直线 l ： y ＝ k ( x － 4) 恒过定点 (4,0) ，其对于点 (2,1) 对称的点为 (0,2) ，又1因为直线 l ： y ＝ k ( x － 4) 与直线 l 2对于点 (2,1) 对称，1∴直线 l 2 恒过定点 (0,2) ．5． D 在直线y ＝ 2 ＋ 1 上任取两个点 (0,1) ， (1,3) ，则点 A 对于点 (1,1) 对称的点xAB为(2,1) ， B 对于点 (1,1) 对称的点为 (1 ，－ 1) ．由两点式求出对称直线的方程 y ＋ 1＝MNMN1＋ 1x － 12－ 1，即 y ＝ 2x － 3，应选 D.6．分析：2∵m － 8＋ n ＝0,2 m － m － 1＝ 0，∴ m ＝ 1，n ＝ 7. 答案： 1 77．分析：l 1⊥ l 2 的充要条件是2sin θ＋ sin θ＝ 0，即 sinθ＝ 0，∴ θ＝k π(k ∈Z) ．∴当 θ＝ k π(k ∈ Z) 时， l 1⊥ l 2.答案： k π(k ∈ Z)8．分析： 设 P ( a, 0) ，则有|3 a －4×0＋ 6|3 2－ 42 ＝ 6，解得 a ＝－ 12 或 a ＝ 8.＋ ∴ P 点坐标为 ( － 12,0) 或(8,0) ．答案： ( － 12,0) 或 (8,0)9．分析：设 B (2 ，－ 1) 到直线 l 的距离为 d ，当 d ＝| AB | 时获得最大值，此时直线 l 垂直于直线 AB ， k l ＝－ 13＝ ，k AB 23∴直线 l 的方程为 y － 1＝ 2( x ＋ 1) ，即 3x － 2y ＋ 5＝0.答案：3x － 2y ＋ 5＝ 03 10．分析：(1) 直线 l ： 3x ＋ 4y － 12＝ 0， k l ＝－，43又∵ l ′∥ l ，∴ k l ′＝k l ＝－ 43∴直线 l ′： y ＝－ 4( x ＋1) ＋ 3，即 3x ＋ 4y － 9＝ 0.4(2) ∵l ′⊥ l ， ∴ k l ′ ＝ 3.4设 l ′在 x 轴上的截距为b ，则 l ′在 y 轴上的截距为－3b ，1 4由题意可知， S ＝ 2 | b | ·－，∴ b ＝± 6.3b ＝4 44∴ 直线 l ′： y ＝ 3x ＋ 6或 y ＝ 3x － 6. 11．分析：(1) 因为 l 1∥ l 2，所以－ b － ( a 2＋ 1) a 2＝ 0，即 b ＝－ a 2( a 2＋ 1) ＝－ a 4－ a 2＝－ a 2＋ 1 2＋1，2 4因为 a 2≥0，所以 b ≤0.又因为 a 2＋1≠3，所以 b ≠－ 6.故 b 的取值范围是 ( －∞，－ 6) ∪( － 6,0] ．(2) 因为 l 1⊥ l 2，所以 ( a 2＋ 1) － a 2b ＝ 0，11明显 a ≠0，所以 ab ＝ a ＋a ， | ab | ＝ a ＋ a ≥2，当且仅当 a ＝±1时，等号成立，所以| ab | 的最小值为 2.B级1．A 依题意知 AB 的中点 M 的会合为与直线 l 1：x ＋ y －7＝ 0 和 l 2：x ＋ y － 5＝ 0 距离都相等的直线， 则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点 M 所在直线的方程为l ： ＋ ＋ ＝ 0，依据平行线间的距离公式得| m ＋ 7| ＝ | m ＋ 5| ＋ ＝ ＋ ＝－ ，m2 2 ? | m 7| | m 5| ? m6即 l ：x ＋ y － 6＝ 0，依据点到直线的距离公式，得 M到原点的距离的最小值为| －6|＝3 2.22．分析：因为直线 x－2y＋1＝0与 x－1＝0订交于点(1,1)，所以要使这三条直线将平面区分为六部分．有以下三种状况：(1) 这三条直线交于一点(1,1)，此时1＋k＝0，k＝－1.(2)x＋ky＝0与 x－2y＋1＝0平行，此时 k＝－2.(3)x＋ky＝0与 x－1＝0平行，此时 k＝0.综上知， k＝0或－1或－2，实数 k 的取值会合为{0，－1，－2}．答案：{0 ，－ 1，－ 2}3．分析：如图，以小河所在直线为x 轴，过点 A的垂线为 y 轴，成立直角坐标系，则点 A(0,400)，点 B( a, 100)．过点B 作⊥于点 .BCAOC在△ ABC中， AB＝500， AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，∴ B(400,100)．点 A(0,400)对于 x 轴的对称点A′(0，－400)，5由两点式得直线A′ B 的方程为 y＝4x－400.令 y＝0，得 x＝320，即点 P(320,0)．故提水站 ( 点P) 在距O点 320 m 处时，到A， B 两厂铺设的水管长度之和最短．。
高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版
课后限时集训 49直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时： 45 分钟一、选择题1．(2019 ·合肥模拟 ) 直线 l ： x sin 30 °＋ y cos 150 °＋ 1＝ 0 的斜率是 ( )A ．3B ． 333C ．－ 3D ．－ 3sin 30 °3A [ 设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－ cos 150 ° ＝ 3 .]2. 如图中的直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k 1， k 2， k 3，则()A ． k 1<k 2<k 3B ． k 3<k 1<k 2C ． k 3<k 2<k 1D ． k 1<k 3<k 2D [ 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1<0，直线 l 2与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且α2 >α3，所以 0<k 3<k 2，所以 k 1<k 3<k 2.]3. 若 ( －2,3) ， (3，－2) ，1的值为C ， m 三点在同一条直线上，则 AB 2m()A ．－ 2B ． 211 C ．－ 2D ． 2－2－ 3＝ 1m －3D [ 由于 A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以 3－ － 2 ，2－ － 21解得 m ＝ 2. 应选 D.]4．直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到本来地点，那么 l 的斜率为 ()1 B ．－ 3A ．－31C ． 3D ． 3[答案] A5．过点 A (4,1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x ＋y ＝ 5B ． x －y ＝ 5C ． x ＋y ＝ 5 或 x － 4y ＝ 0D ． x －y ＝ 5 或 x ＋ 4y ＝ 0C [ 若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为 x － 4y ＝0；x y若直线在两坐标轴上的截距不为0 ，设为 a ( a ≠0) ，则直线的方程为 a ＋ a ＝ 1.又直线过点(4,1) ，则 a ＝ 5，故直线的方程为x ＋ ＝ 5. 综上所述，应选 C.]Ay二、填空题6．直线 kx ＋ y ＋ 2＝－ k ，当 k 变化时，全部的直线都过定点 ________．( －1，－ 2) [ kx ＋y ＋ 2＝－ k 可化为 y ＋ 2＝－ k ( x ＋ 1) ，依据直线方程的点斜式可知， 此类直线恒过定点 (－1，－ 2) ．]7．已知 A (3,4) ， B ( － 1,0) ，则过 AB 的中点且倾斜角为 120°的直线方程是 ________． 3 x ＋ y － 2－ 3＝ 0 [ 设 AB 的中点为 M ，则 M (1,2) ，又斜率 k ＝－ 3，直线的方程为y － 2＝－ 3( x － 1) ．即 3x ＋ y － 2－ 3＝ 0.]8．若直线l 过点 ( －3,2) ，且与以 ( － 2，－ 3) ， (3,0) 为端点的线段订交，则直线PA Bl 的斜率的取值范围是 ________．－ 5，－ 1[ 由于 P ( － 3,2) ， A ( －2，－ 3) ， B (3,0) ，3－ 3－ 2则 k PA ＝－ 2－ －3 ＝－ 5，0－21k PB ＝ 3－ － 3 ＝－ 3.如下图，当直线l 与线段 AB 订交时，直线 l 的斜率的取值范围为1－ 5，－ 3 .]三、解答题9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求知足以下条件的直线 l 的方程：(1) 过定点 A ( －3,4) ；1(2) 斜率为 6.[ 解 ] (1) 由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 3) ＋ 4，它在 x 轴， y4k ＋ 4，轴上的截距分别是－ － 3,3k4由已知，得 (3 k ＋ 4) k ＋ 3 ＝± 6，2 8解得 k 1＝－或 k 2＝－ .3 3故直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 6＝ 0 或 8x ＋ 3y ＋ 12＝ 0.(2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，1则直线 l 的方程为 y ＝ 6x ＋ b ，它在 x 轴上的截距是－ 6b ， 由已知，得 | － 6b | ·|b | ＝ 6，∴ b ＝± 1.∴直线 l 的方程为 x － 6y ＋ 6＝ 0 或 x － 6y － 6＝ 0.10．过点 P (3,0) 作一条直线，使它夹在两直线l 1： 2x － y － 2＝0 与 l 2：x ＋ y ＋3＝ 0 之间的线段 AB 恰巧被点 P 均分，求此直线的方程．[ 解 ] 设点 A ( x ， y ) 在 l 1上，点 B ( x ，y ) 在 l 2上．BBx ＋ x B＝ 3由题意知2则点 B (6 － x ，－ y ) ，y ＋ y B＝ 022x －y － 2＝ 0，x ＝11，解方程组 得3166－ x ＋ － y ＋ 3＝ 0，y ＝ 3 ，163 － 0则所求直线的斜率k ＝ 11＝ 8，3 － 3故所求的直线方程为y ＝8( x － 3) ，即 8x －y － 24＝ 0.1．在等腰三角形 AOB 中， AO ＝ AB ，点 O (0,0) ，A (1,3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直 线 AB 的方程为 ()A ． y －1＝ 3( x －3)C ． y －3＝ 3( x －1)B ． y －1＝－ 3( x － 3)D ． y －3＝－ 3( x － 1)D [ 由于 AO ＝ AB ，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以 k AB ＝－ k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为y － 3＝－ 3( x －1). ]2．若直线x－ 2 ＋ ＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么b 的取值范y b围是 ()A ． [ －2,2]B ． ( －∞，－ 2] ∪ [2 ，＋∞)C ． [ －2,0) ∪ (0,2]D ． ( －∞，＋∞)b1 b1 2C [ 令 x ＝ 0，得 y ＝ 2，令 y ＝ 0，得 x ＝－ b ，所以所求三角形面积为2 2 | －b | ＝ 4b ，1 且 b ≠0，由于 4b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范围是 [ － 2,0) ∪ (0,2] ． ]3．已知直线 l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线l 0： x －2y － 2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为 ________．4x － 3y － 4＝ 0 [ 由题意可设直线 l 0， l 的倾斜角分别为 α， 2α，1 1由于直线 l： x － 2y － 2＝ 0 的斜率为 2，则 tan α＝ 2，12tan α2×4所以直线 l 的斜率 k ＝ tan 2 α 2＝2＝1 ＝ ，1－ tan α2 31－ 24所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y － 0＝ 3( x － 1) ，即 4x － 3y － 4＝0.]4．已知直线 l ： kx － y ＋1＋ 2k ＝ 0( k ∈ R) ．(1) 证明：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围．[ 解 ] (1) 证明：直线 l 的方程可化为 y ＝ k ( x ＋ 2) ＋1，故不论 k 取何值，直线 l 总过定点 ( － 2,1) ．(2) 直线 l 的方程可化为 y ＝ kx ＋ 2k ＋ 1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k ＋ 1，k ≥0，要使直线 l 不经过第四象限，则解得 k ≥0，1＋ 2k ≥0，故 k 的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．ππ1．已知函数 f ( x ) ＝ a sin x －b cos x ( a ≠0， b ≠0) ，若 f 3－x ＝ f 3 ＋ x ，则直线 ax－by ＋ c ＝0 的倾斜角为 ()ππ A. 4 B. 32π3π C. 3D. 4π－x ＝ f π＋x 知函数 f ( x ) 的图像对于π2π C [ 由 f33 x ＝ 3 对称，所以 f (0) ＝ f 3 ，a2π 所以 a ＝－ 3b ，由直线 ax － by ＋ c ＝ 0 知其斜率 k ＝ b ＝－ 3，所以直线的倾斜角为 3 ，应选 C.]2．设P 为曲线 ： ＝ x 2＋ 2 x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为C yπ，则点 P 的横坐标的取值范围为0，()41B.[ － 1,0]A. － 1，－21C ． [0,1]D. 2， 1A [ 由题意知 y ′＝ 2x ＋ 2，设 P ( x 0， y 0) ，则 k ＝ 2x 0＋ 2.由于曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π ，所以 0≤ k ≤1，4即 0≤2x ＋2≤1.1≤－ 2. 应选 A.]所以－ 1≤ x。
【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练48 直线的
课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组 基础达标一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b .]3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3A [结合图形(图略)可知选A.]4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )【导学号：79140264】A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2D [∵sin θ＋cos θ＝55① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．－23 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.]7．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.【导学号：79140265】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.]三、解答题9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )， 则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x－3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)． 由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.【导学号：79140266】[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.B 组 能力提升11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【导学号：79140267】3 [直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3， 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，要使直线不经过第四象限，则必有⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，1＋2k ≥0，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )，且⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝12，∴S min ＝4，此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高考数学一轮复习课后限时集训49直线与圆锥曲线文(含解析)北师大版
高考数学一轮复习课后限时集训49直线与圆锥曲线文（含解析）北师大版课后限时集训(四十九)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A ．12B ．22 C ．32D ．55C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C ．]3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .] 4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16A [由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，故选A ．]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．553[由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②， ①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.] 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB→的取值范围是________．[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.B 组 能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程．图①[解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上．所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，得k 2＞34.图②x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，① x 1x 2＝121＋4k2.② 又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝ ⎛⎭⎪⎫满足k 2＞34，所以直线l 的斜率为k ＝±1，所以直线l的方程为y ＝±x ＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1·x 2＝3k 2＋14， 由Δ＝(4k )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－32.①又∠AOB 为锐角，∴cos∠AOB ＞0， ∴OA →·OB →＞0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0，即k 2＜4，∴－2＜k ＜2.② 由①②得，－2＜k ＜－32或32＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.。
高考数学一轮复习课时训练 两条直线的位置关系 北师大版
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析 由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案 A2．(2011·湖州模拟)“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 m ＝2时，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，m ＝2，故必要性成立．所以“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件． 答案 A3．(2011·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0，关于x 轴对称的直线方程为( )． A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案 A4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )． A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析 所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案 A5．(2012·西安调研)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y－2＝0，则实数m 的值是( )． A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1 解析 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(★)(2011·江苏南通、扬州、泰州二模)若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．解析 (回顾检验法)由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1. 答案 1【点评】 本题一定要回顾检验.因为本题用了平行条件A 1B 2－A 2B 1＝0来求a 值，而平行条件中未除掉重合的情况，因此把所求a 值再代入原直线方程检验.)7．(2011·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案 358．(2012·舟山模拟)已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号． 答案35＋2105三、解答题(共23分)9．(11分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10．(12分)(2012·合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案 C2．(2012·沧州模拟)若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )．A.722B.922C.1122D.91010解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·厦门模拟)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)． 解析 记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于22＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤4．(2012·绍兴模拟)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________． 解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程. 解 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0，或7x －y －5＝0.6．(12分)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程． 解 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， ∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。
最新高考数学一轮复习课时规范练点与直线两条直线的位置关系理北师大版
课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3)若直线l1x+ay+6=0与l2(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c= ()A.-2B.-4C.-6D.-84.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.(2018山东栖霞期末,5)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=08.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.29.(2018河北廊坊期末,13)若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .11.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为.12.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]14.若直线ly=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-16.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C 的坐标为.创新应用组17.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.18.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.参考答案课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.C∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,∴=≠,解得a=-1,∴l1与l2的方程分别为l1x-y+6=0,l2x-y+=0,∴l1与l2之间的距离d==.2.A将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-x,再向右平移1个单位长度,所得直线的方程为y=- (x-1),即y=-x+.故选A.3.B∵直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,∴-×=-1,∴a=10,∴直线ax+4y-2=0方程为5x+2y-1=0.将点(1,c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0,解得c=-2.将点(1,-2)的坐标代入方程2x-5y+b=0得2-5×(-2)+b=0,解得b=-12.∴a+b+c=10-12-2=-4.故选B.4.B解方程组得交点坐标为(4,-2),代入ax+2y+8=0,得a=-1.故选B.5.A设AC的中点为O,则O,-2.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A由题意,过原点和点A(1,2)的直线的斜率k1=2,因为所求直线过点A(1,2)且与原点的距离最大,则所求直线与直线OA是垂直,即所求直线的斜率为k=-,由直线的点斜式方程可得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.8.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9. 0或5当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=,此时两直线垂直,点(m,1)到y轴的距离为0;当m≠0时,由题意有·=-1,解得m=5,点(m,1)到y轴的距离为5.10. 由题意可知,折痕是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故m+n=.11.x+6y-16=0由题意知直线l是线段AB的垂直平分线,AB的中点为(4,2),k AB=6,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+6y-16=0.12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.B由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0经过定点B(1,3),∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤(|PA|+|PB|)2≤2(|PA|2+|PB|2),即10≤(|PA|+|PB|)2≤20,可得≤|PA|+|PB|≤2.故选B.14.B联立两直线方程得可得两直线的交点坐标为,,∵两直线的交点在第一象限,∴不等式的解集为k>,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ>,∴θ∈,,故选B.15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.(2,4)设点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),∴AC所在直线方程为y-2=(x+4),即x-3y+10=0.联立解得则C(2,4).17.6以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B(a,-2),C(b,3).∵AC⊥AB,∴ab-6=0,ab=6,b=.Rt△ABC的面积S=·=·=≥=6(当且仅当a2=4时取等号).18.6x-8y+1=0由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1y=k(x-3)+5+b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b,∴b=3-4k+b,解得k=,∴直线l的方程为y=x+b,直线l1的方程为y=x++b,取直线l上的一点Pm,b+,则点P关于点(2,3)的对称点为4-m,6-b-,∴6-b-= (4-m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=x+,即6x-8y+1=0.。
最新高考数学一轮复习分层训练两条直线的位置关系(1)北师大版
课时分层训练(四十九) 两条直线的位置关系A 组 基础达标一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 C [因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.]2．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．22C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋(－1)2＝22＝ 2.]3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )【导学号：79140270】A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.]4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]5．(2017·河南安阳一模)两条平行线l 1、l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]D [当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线，l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.] 二、填空题6．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．2 [由题意知63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.] 7．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________.【导学号：79140271】⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 [设A ′(x ，y )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.] 8．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．x ＋2y －3＝0 [当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12，∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.] 三、解答题9．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．[解] (1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，最新高考数学一轮复习 分层训练由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1. 法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.法二：∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23.]10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.【导学号：79140272】[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.小学+初中+高中B 组 能力提升11．(2018·广州综合测试(二))已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 D [设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D.]12．过点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________.【导学号：79140273】25 [因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25.] 13．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0. ∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.最新高考数学一轮复习 分层训练(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)，∴d max ＝PA ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.。
2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系课件理北师大版
3.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件 是 A1A2＋B1B2＝0 . 4.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系 方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对 应相等.
第九章 平面解析几何
§9.2 两条直线的位置关系
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
1.两条直线的位置关系
知识梳理
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 .
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就
A1x＋B1y＋C1＝0， 是方程组 A2x＋B2y＋C2＝0 的解.
题组二 教材改编 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
A. 2
B.2－ 2
√C. 2－1
D. 2＋1
|a－2＋3| 解析 由题意得 1＋1 ＝1.
解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.
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课时分层训练(四十九) 两条直线的位置关系
A 组 基础达标
一、选择题
1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
C [因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.] 2．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2
＋y 2
＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )
A ．1
B ．2 C. 2 D ．22
C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为
|－1－0＋3|
12＋(－1)2
＝2
2
＝ 2.] 3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
A [由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.] 4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )
A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]
5．(2017·河南安阳一模)两条平行线l 1、l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间距离的取值范围是( ) A ．(5，＋∞) B ．(0,5] C ．(34，＋∞)
D ．(0，34]
D [当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线，l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2
＋[2－(－3)]2
＝34，
所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.] 二、填空题
6．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [由题意知63＝m 4≠14
－3，∴m ＝8，∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝
|－3－7|
32＋4
2
＝2.] 7．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3313，413 [设A ′(x ，y )， 由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＋2x ＋1×23＝－1，
2×x －12－3×y －22
＋1＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3313，y ＝413，
故A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3313，413.]
8．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．
x ＋2y －3＝0 [当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝
－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－1
2
， ∴直线l 1的方程为y －1＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －3＝0.] 三、解答题
9．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0.
(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．
[解] (1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，
l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；
当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；
当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝1
1－a
x －(a ＋1)，
由l 1
∥l 2
可得⎩⎨
⎧
－a 2＝11－a ，
－3≠－(a ＋1)，
解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.
法二：由l 1∥l 2知⎩⎨⎧
A 1
B 2－A 2B 1＝0，
A 1C 2－A 2C 1≠0，
即⎩⎨⎧
a (a －1)－1×2＝0，
a (a 2－1)－1×6≠0⇒ ⎩⎨⎧
a 2
－a －2＝0，a (a 2－1)≠6
⇒a ＝－1. (2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；
当a ≠1时，l 1：y ＝－a
2
x －3，l 2：
y ＝
1
1－a
x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·1
1－a
＝－1⇒a ＝23.
法二：∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝2
3
.]
10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.
[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，
由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧
x ＝－2，y ＝3，
∴直线l 恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．
又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝1
5，
∴直线l 的斜率k l ＝－5.
故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.
B 组 能力提升
11．(2018·广州综合测试(二))已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫43，－23
C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－43，23，43 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫－43，－23，23
D [设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，
－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－4
3
；当
l 3过点A 时，m ＝－2
3，所以实数m 的取值集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23，故选D.]
12．过点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________.
25 [因为k AB ＝5－11－4＝－4
3
，
k DC ＝
2－(－2)－3－0＝－43
.
k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34
.
则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形．
故S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2
＋(5－1)2
×(0－4)2
＋(－2－1)2
＝25.]
13．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．
[解] (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋
(1－2λ)y －5＝0.
∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴
|10＋5λ－5|(2＋λ)2
＋(1－2λ)
2
＝3，
则2λ2
－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12，
∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩⎨⎧
2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，
解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)， ∴d max ＝PA ＝(5－2)2
＋(0－1)2
＝10.。