线路规划模型

第四步，只让一条弧进基，一条弧出基，这就保证了迭代过程中基弧的数量 只有 ( I + J − 1) 条。转到第二步，计算出对偶变量和“剩余开销” ，此时所有的 “剩余开销”均为正值，所以算法可以停止了，下图右即为最优解。
⊕
⊕
min F ( x) 相应的目标函数值：
= −320
扩展：
对于供需不平衡的问题，则采用增加“虚点” 将之转化为平衡问题再进行求解。
d kl = ckl − uk − λl < 0
这里称 d kl 为为进基的弧。如果这样的弧不存在，迭代就停止， 这时说明已经找到了最优解。
计算：
要计算“剩余开销”须对未知量中的某一个先定一个任意值（如 设 u1 =0），其他的未知量就可以随着独立地确定下来了，对偶变量 的定值过程如下：
u2 = −5 λ6 = −2 [u1 = 0] → [ λ5 = −1] → λ = 3 → u3 = 4 7 u =6 4 非基弧（1，7）的“剩余开销”为负值，故它应该进基。
至 从 1 2 3 4 11 11 4 8 14 -2
2 6 3 7 4
线 路 规 划 模 型
“Hitchcock”运输问题
研究从m个资源点（简称源----Origin）向n个需求点（简称汇---Destination）运输，考虑各点需求量和资源量的限制，确定一种运输方 案，使运输总费用最低。
该运输网含有 I 个需求点和 J 个供应点， 从每个 i ∈I 节点，都有 J 条弧到达每个需求 点。假设从
∑x
i
ij
= Rj
xij ≥ 0
∀i , j
即求最小的 min F ( x)
举例：
如下图包含三个供应点和四个需求点，节点供应量和需求量均显 示于图中，弧上标记的是相应的运输成本。试确定一组运输方案，使 运输总费用最低。
先考虑“供需平衡问题”。即：
∑S = ∑R
i i j
j
这类问题的一个重要特征是，在最优点上，最多只有
I + J − 1 变量有非零值，其他变量均为零。
换句话说，在上图中，只有 I + J − 1 条弧上有流量。这 一重要特征是研究这条类问题的基础。下面描述算法过程：
算法过程：
第一步：设置一个只有 I + J − 1 条弧上有流量的初始可行解。 第二步：检查是否通过增用某条空弧来改进解。如果不能， 停止运算，如能，则继续。 第三步：在约束方程的条件下，决定能安排到空弧上的流量。 第四步：调整其他弧上的流量，更新网络且转到第二步。
i
到 j ∈ J 的成本为 Cij ，货物
流量是 xij ；令 i 节点的供应量为 Si ，J 节点 总需求量为 R j 。则Hitchcock问题可表达为：
min F ( x) = ∑
i =1 I
∑C x
j =1
J
ij ij
s.t.∑ xij = Si
j
∀i = 1, 2,..., I
∀j = 1, 2,..., J
计算：
第一步： 从检查弧的过程开始 一个有效的检查弧的顺序方法是所谓的“惩罚”法。节点的罚 值是这样计算的：对于供应点，如
i 节点，其罚值
pi = cis − cis ' ，其中，cis = min{cij } cis ' = min{cij } j j≠s
发送节点 罚值 接收节点 罚值 1 2 5 4 2 3 6 1 3 1 7 1 4 7
5
6
7
1 5
计算：
第三步。这一步要确定多少流量安排在进基弧中和哪一条弧应该离基（流 量变为零）。 通过寻找一条包含进基弧在内的“闭链”达到这个两个目标，所谓“闭链” 是在有基弧和预备进基的弧组成的无向网络图中，有若干条弧构成的封闭序列。 如下图中，含弧（1，7）的“闭链”由实线示意出，他们包含了节点1、5、3、 7。
Thank you!
从表中可以看出，节点4的罚值最高，且在从节点4发出的三条弧中， （4，7）的成本最小，故弧（4，7）首先被检查。
计算：
计算：
第二步：目标函数 F ( x ) 极小的一阶条件是：
(cij − ui − λi ) xij = 0
cij − ui − λi ≥ 0
目的就是要发现一个解{x}满足上面两个式子，在迭代的每一步中， 显然对于基弧，上式应该满足：xij ≥ 0 ，则 cij − ui − λi = 0 对于非基弧，由于迭代还没有达到最优解，上式还没有满足，则
⊕
当“闭链”找到后，在“闭链”中，若弧（1，
⊕
7）上要增加流量，与它相邻接的弧上的流量就得 减少，这种增减关系在相邻弧上总是成立的。依据 这个原理，将“闭链”中所有的弧都标上记号， ⊕ 代表该弧要增加流量， 表示要减流。 Θ
计算：
然后选择
min {10,80} = 10
Θ 记号的弧上现有流量中最小值，在图中该最小值应该是：