二次曲面的保型性探讨
二次曲面的几个性质
经计算可知 R = 算得
c c R S= 因此 -= x 1 S
2
∫ ∫ ∑
2 c 0
xd ∑ = d h0
1
m 2 - n2 si n2 2 θ xd e ( D 是∑ 在 xOy 面上的投影 ) c R D
∫ ∫
=
1 c
∫ ∫ ι+
x0
R co sθ r coshm + n si n2 θ
x0 R si n θ r sin h r dr = ι m - n si n2 θ
2 4 2 2
+ 记 R=
( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) m - n sin2 θ
( a2b4c 2x 0 cosθ + a4b2 c2 y 0 si n θ )2 ( a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 si n θ )2 4 4 2 4 4 2 + + a b z0 - a b c m + n si n2 θ m - n sin2 θ a 4b4z 2 0 (ι - 1) x2 0 y2 0 z2 0 . 其中 ι = 2+ 2 + 2 (由此可知当 ι > 1时才能引切线 ) , 经计 ι a b c x2 0 y2 0 z2 0 4+ 4 + 4 a b c , z 0 ≠ 0 m 2 - n2 sin2 2 θz0
2
2
定理 5 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引双叶双曲面 x 2 - y 2+ z 2 = - 1的切线 , 此点与坐标原点 a b c 的 连 线 必 过 由 切 点 围 成 的 平 面 图 形 的 重 心 (形 心 ) x0 y0 z0 x 0 y0 z 0 , - , 其中 ι = 2 - 2+ 2 . ι ι ι a b c 证明方法与前面一样 , 但应注意到 - 1 <ι < 0. 对于锥面 ,切点不能围成封闭域 , 所以形心不存在 .
4-7二次曲面
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
x2 + y2 + z2 = a2 .
6
z
（二）抛物面
x2 y2 （ p 与 q 同号） + =z 2 p 2q 椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) ）
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 区别
与平面 z = z 1 ( z 1 ≤ c )的交线为圆
5
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . c z = z 1
截面上圆的方程
( 2) a = b = c ,
2） （2）用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截 z
x = 2 pz 截得抛物线 y = 0
2
椭圆抛物面
x o
y
8
x2 y2 + =z 的交线为抛物线. 与平面 y = y1 的交线为抛物线 2 p 2q
2 y12 x = 2 p z − 2q y = y 1
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
4
椭球面的几种特殊情况： 椭球面的几种特殊情况：
x2 y2 z2 (1) a = b, 1 旋转椭球面 2 + 2 + 2 = a a c 2 2 x z + 2 = 1 绕 z 轴旋转而成． 由椭圆 2 a c
方程可写为
x2 + y2 z2 + 2 =1 2 a c
二次曲线的一个封闭性质_whc174的拓广和本质
５７
二次曲线的一个封闭性质
———ｗｈｃ１７４的拓广和本质
吴 波
（重 庆 市 长 寿 龙 溪 中 学 ４０１２４９）
１ ｗｈｃ１７４ 介 绍 下面这个由叶中豪先生提出的问题在杨之老
师 收 集 的 问 题 集 ［１］中 编 号 为 １７４： ｗｈｃ１７４ 设 有 一 个 圆 和 一 条 直 线ｌ，Ｐ 是 圆
为便 于 对 ｗｈｃ１７４ 的 作 图 和 理 解，我 们 将 其 改述为如下等价形式．
ｗｈｃ１７４′ 设有一个圆 和 一 条 直 线ｌ，Ｐ１是 圆 上的点．Ｏ１，Ｏ２，…，Ｏ２ｎ（ｎ∈Ｎ＋ ）是ｌ上 的 点（这 些 点都不是ｌ 与 圆 的 交 点 ）．对 点 Ｐ１ 进 行 如 下 一 系 列变换：作直线 Ｐ１Ｏ１交圆于 Ｐ２，作直线 Ｐ２Ｏ２交圆 于 Ｐ３，作直 线 Ｐ３Ｏ３交 圆 于 Ｐ４，…，作 直 线 Ｐ２ｎＯ２ｎ． 若 直线 Ｐ Ｏ ２ ｎ ２ ｎ与圆的交点恰好回到点Ｐ１，则对圆 上任一点 Ｑ１，也 类 似 地 作 一 系 列 点：Ｑ２，Ｑ３，…， Ｑ２ ｎ，则直线 Ｑ Ｏ ２ ｎ ２ ｎ与圆的交点也将回到点Ｑ１．
我 们 先 从 最 简 单 的 情 形 着 手 ，即 ： 性质 １ 如 图 ２，二 次 曲 线ｃ 的 内 接 四 边 形 Ｐ１Ｐ２Ｐ３Ｐ４四 边 所 在 直 线ｌ１、ｌ２、ｌ３、ｌ４ 分 别 经 过 直 线ｌ上四 个 定 点 Ｏ１，Ｏ２，Ｏ３，Ｏ４．对ｃ 上 任 意 一 点 Ｑ１，过 Ｑ１、Ｏ１作直线ｌ′１ 交ｃ 于 点Ｑ２，过 Ｑ２、Ｏ２作 ｌ′２ 交ｃ于 点 Ｑ３，过 Ｑ３、Ｏ３作ｌ′３ 交ｃ 于 点 Ｑ４．过 Ｑ４、Ｑ１作ｌ′４，则ｌ′４ 必 过 点 Ｏ４（或 者 说 直 线 Ｑ４Ｏ４ 与ｃ 的 交 点 必 回 到 Ｑ１）． 证明 如图２，以直线ｌ为ｘ 轴建立如图所示 坐标系，则可设定点 Ｏｉ的坐标为（ａｉ，０）（ｉ＝１，２， ３，４）．
基于点云的二次曲面特征提取理论和技术研究
3、表面拟合法
表面拟合法是一种利用点云数据拟合曲面模型的方法。该方法通常采用参数化 方法将点云数据映射到二维参数域上，然后利用参数域上的优化方法对曲面模 型进行拟合。表面拟合法可以得到连续的曲面表示，适用于各种形状的点云数 据。然而，表面拟合法需要进行参数化处理和优化计算，计算量较大，效率不 高。
2、二次曲面模型的选择上，如何根据不同物体的表面特征选择合适的二次曲 面模型，仍需要进行深入探讨。
3、在特征提取算法的设计和实现上，如何结合先进的机器学习和深度学习技 术，提高算法的精度和效率，是未来的研究重点。
参考内容
随着科技的进步和测量技术的发展，点云数据获取的精度和速度得到了显著提 升。在制造业、考古学、生物医学工程等领域，大量的点云数据被用来描述和 记录对象的表面几何形状。然而，点云数据仅仅是物体表面几何形状的离散化 表示，为了得到连续的曲面表示，曲面重建技术就显得尤为重要。本次演示将 探讨基于点云的曲面重建技术的研究现状及发展趋势。
三、结论与展望
基于点云的曲面重建技术是当前研究的热点问题之一。虽然目前已经提出了一 些方法，但仍然存在一些问题需要进一步研究和改进。例如，如何提高算法的 效率和稳定性、如何更好地处理大规模点云数据等。未来，随着计算机视觉和 图形学技术的不断发展，基于点云的曲面重建技术将会得到更广泛的应用和发 展。随着技术的不断发展，深度学习等技术在曲面重建中的应用也将成为一个 重要的研究方向。
点云数据预处理
点云数据预处理是进行二次曲面特征提取的重要步骤，包括数据采集、数据预 处理和数据转换。数据采集主要通过激光扫描仪、相机等设备获取物体表面的 点云数据。数据预处理包括去除噪声、过滤数据、数据缩放等，以改善数据的 质量和精度。数据转换是将原始点云数据转换成合适的格式，以便进行后续的 特征提取。
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
二次曲面(2012)
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
具有保面积参数化的双二次Bézier曲面
第33卷第3期计算机辅助设计与图形学学报Vol.33No.3 2021年3月Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics Mar. 2021具有保面积参数化的双二次Bézier曲面李效伟1,2), 赵庆辉1), 杨义军3)*, 曾薇4), 孙黎1), 李缨1), 徐岗2)1) (山东女子学院数据科学与计算机学院济南 250300)2) (杭州电子科技大学计算机学院杭州 310018)3) (西安交通大学计算机科学与技术学院西安 710049)4) (西安交通大学数学与统计学院西安 710049)(********************)摘要: 为了构建具有保面积参数化的双二次Bézier曲面, 提出2种双二次Bézier曲面的构造算法. 首先根据曲面第一微分基本形式, 推导双线性和双二次Bézier曲面满足保面积参数化的约束条件, 得出具有保面积参数化的双线性有理Bézier曲面只能是平行四边形的结论; 然后根据双二次曲面的约束条件, 通过求解方程组的形式设计符合约束条件的双二次Bézier曲面构造算法, 并且给出并证明了严格满足保面积参数化约束条件的双二次Bézier曲面只能为平面曲面的结论; 再将保面积参数化约束条件松弛, 基于曲面拟合思想设计具有较强造型能力的双二次Bézier曲面构造算法, 构造满足用户指定容差范围的双二次Bézier曲面; 最后给出若干具有保面积参数化的双二次Bézier曲面, 验证了算法有效性和曲面造型能力. 使用C++语言实现的多个等参线分布和纹理映射的实例结果表明, 该算法生成的双二次Bézier曲面参数化能够保持面积拉伸.关键词: 保面积参数化; 双二次Bézier曲面; 曲面造型中图法分类号: TP391.41 DOI: 10.3724/SP.J.1089.2021.18501Biquadratic Bézier Surfaces with Area-Preservation ParameterizationLi Xiaowei1,2), Zhao Qinghui1), Yang Yijun3)*, Zeng Wei4), Sun Li1), Li Ying1), and Xu Gang2)1) (School of Data and Computer Science, Shandong Women’s University, Jinan 250300)2) (School of Computer Science and Technology, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018)3) (School of Computer Science & Technology, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)4) (School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)Abstract: Construction of Bézier surfaces with area-preservation parameterization constraints is one of the important topics in surface modeling. In order to construct biquadratic Bézier surfaces with area-preservation parameterization, two algorithms are proposed to automatically construct biquadratic Bézier surfaces in this paper. Firstly, the standard conditions of bilinear and biquadratic Bézier surfaces with area-preservation parameterization are obtained by using the first fundamental form, and the fact that the only bilinear rational Bézier surfaces satisfying area-preservation conditions are parallelograms is drawn. Next, according to the standard conditions, a method of surface construction is designed, and the conclusion that the only biquad-ratic Bézier surfaces with area-preservation parameterization are planar is drawn. Besides, a method of sur-收稿日期: 2020-07-17; 修回日期: 2020-08-17. 基金项目: 国家自然科学基金(61872224, 61772163); 山东省自然科学基金(ZR2017MF003); 国家自然科学基金-浙江两化融合联合基金(U1909210); 山东女子学院高水平科研项目培育基金(2019GSPSJ08). 李效伟(1989—), 男, 博士研究生, 讲师, CCF会员, 主要研究方向为CAD&CG; 赵庆辉(1998—), 女, 在校学生; 杨义军(1979—), 男, 博士, 教授, 博士生导师, CCF会员, 论文通讯作者, 主要研究方向为CAD&CG; 曾薇(1980—), 女, 博士, 教授, 博士生导师, 主要研究方向为计算机图形学; 孙黎(1985—), 女, 硕士, 讲师, CCF会员, 主要研究方向为人工智能; 李缨(1971—), 女, 硕士, 教授, 硕士生导师, CCF会员, 主要研究方向为人工智能; 徐岗(1981—), 男, 博士, 教授, 博士生导师, CCF会员, 主要研究方向为3D 建模与仿真.466 计算机辅助设计与图形学学报第33卷face construction with great modeling ability is designed, thanks to the fact that the standard conditions have been relaxed. Finally, some biquadratic Bézier surfaces satisfying the area-preserving criteria are given, which shown in the created Windows-based applications using C++. Several examples of tessellation and texture mapping demonstrate that surfaces generated by proposed algorithms are area-preserving.Key words: area-preservation parameterization; biquadratic Bézier surfaces; surface modeling保面积参数化是参数曲面的一种重要几何特征, 对曲面造型、纹理映射、等几何分析和四边形网格生成等算法或应用的质量起决定性作用. 保面积参数化保持面积拉伸, 对于曲面上的任意一个区域, 其曲面面积和参数面积相等, 在计算机辅助设计领域, 它经常被用作衡量曲面参数化质量的重要指标. 构造具有保面积参数化的曲面有着重要的理论意义与应用价值.近十余年, 网格曲面和自由曲面的保面积参数化得到了研究人员的广泛关注. Yang等[1]使用Möbius变换和有理双线性变换等方法优化非均匀有理B样条(non-uniform rational B-splines, NURBS)曲面的保面积能量, 以增加少量保角能量为代价, 生成较好的保面积参数化曲面, 提升曲面四边形网格生成效果. 在等几何分析应用中, Xu等[2]通过Bézier曲面扩展、细分和全局优化等步骤, 构建适合等几何分析的平面B样条曲面参数化, 该方法能够保证细分曲面边界具有一定的连续性. 除了在曲面四边形网格化和等几何分析中的应用, 保面积参数化还能够较为显著地提升曲面的纹理映射效果[3-5]. Dominitz等[3]针对三角网格形式的闭合曲面, 将保角参数化作为优化过程的初始解, 通过最优传输技术不断迭代优化保面积能量, 使曲面上的纹理映射效果接近最优. 根据Gu等[4]对离散曲面保面积的相关理论证明, Zhao等[5]依据Monge-Brenier定理, 构建比Monge-Kantorovich方法计算效率更高的优化算法, 将利用Ricci flow[6]获取的保角映射作为初始解, 使用最优传输技术优化三角网格曲面的保面积能量, 在零亏格三角网格曲面上实现了具有保面积纹理映射.1 相关工作目前, 大部分的研究工作主要集中在通过使用优化方法升网格曲面的保面积参数化[7-10], 试图建立一个适用于所有三角网格曲面的统一方法, 期望能够将其应用在医学工程、机械设计和艺术设计等领域. Lévy等[7]引入了柯西-黎曼方程的一阶有限元逼近, 算法在相似意义下的解唯一, 且不会产生三角形交叠的情况, 通过一个共形参数映射提升曲面纹理映射质量. Floater[8]引入平均值坐标来计算广义调和映射, 能够简化曲面参数化的计算复杂度. Yoshizawa等[9]将广义调和映射算法结果作为初始解, 通过若干次迭代优化, 生成了较为快速和鲁棒的保拉伸参数化方法. Zou等[10]通过使用最小二乘共形映射获取初始解, 利用等积参数化算法计算出了大脑模型(三角网格模型)的保面积参数化.除了构造适用于网格曲面的统一性算法, 研究人员对自由曲线和自由曲面的几何特征也进行了较深入的研究[11-14]. Farouki等[11]提出“完全满足弧长参数化特征的曲线只能是直线形式”的观点. Farin[12]使用极坐标法在复平面上构建可弦长参数化的有理二次Bézier曲线. Xu等[13]给出拉伸、弯曲和jerk能量极小低次Bézier曲线的构建方法. 杨义军等[14]给出具有正交参数特性的双二次Bézier 曲面的约束条件, 并提出相应的曲面构建算法. 针对自由曲面共形参数化[15-18]的研究较为成熟, 其能够提升基于导数的算法(如曲面采样、曲面相交、曲率计算等)的鲁棒性和稳定性. He等[15]提出了一种有理双三次重参数化方法来改进近似Gregory 曲面片的参数化, 以使新参数化更加符合给定细分曲面的参数化. Yang等[16]基于Möbius变换提出提升Bézier曲面参数化的方法, 在不改变曲面形状的前提下, 能够提升曲面的等参线分布的均匀性. 为了提升有理Bézier曲面等参线分布的正交性和均匀性, Yang等[17]提出使用有理双线性参数化的方法来优化衡量自由曲面均匀性和正交性的非线性能量函数. 为了更深入地提高自由曲面的共形参数化质量, Yang等[18]利用最小二乘法计算出一个近似共形参数化, 将其作为初始解, 最终使用列文伯格-马夸尔特(Levenberg-Marquardt, LM)非线性优化方法得到最优参数化结果. 然而, 关于自由曲面参数化的研究工作大多将重心放在共形参数第3期李效伟, 等: 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面 467化上, 并没有把保面积参数化作为主要的研究对象, 以上研究工作得到的最优参数化虽然能够逼近共形参数化, 但是对保面积参数化的优化还不能够达到共形的效果.虽然Yang 等[1]给出了NURBS 曲面的保面积参数化方法, 但是没有给出双二次Bézier 曲面保面积参数化约束条件和相应的曲面构造算法. 研究具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面的约束条件和构造算法具有重要意义, 尤其在曲面造型、曲面细分、网格生成和纹理映射等实际应用中. 例如, 对于复杂形状的曲面, 可以使用具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面替代自由曲面造型细分后的小面片, 从而使整个曲面都能具有良好的保面积参数化. 另外, 满足保面积参数化的自由曲面智能造型和参数化算法[19]能够为纹理映射、曲面细分和四边形网格生成等算法提供更加鲁棒和稳定的计算.本文根据自由曲面微分几何第一基本形式和保面积参数化条件, 首先探讨双线性Bézier 曲面的具有保面积参数化的约束条件, 得出“完全满足保面积参数化约束条件的双线性有理Bézier 曲面只能是平行四边形”的结论; 紧接着推导具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面形式, 得出完全具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面所满足的约束条件, 并据此设计了满足约束条件的双二次Bézier 曲面构造算法; 为了拓展具有保面积参数化Bézier 曲面的造型能力, 本文还将保面积参数化约束条件松弛, 设计了具有较强造型能力的双二次Bézier 曲面构造算法; 最后给出了若干个曲面等参线分布和纹理映射结果, 验证了本文结论、算法的有效性和曲面造型能力.2 保面积双二次Bézier 曲面2.1 Bézier 曲面的第一基本形式一张Bézier 曲面的微分几何形式[20]可以表示为00(,)()()m nm n i j iji j u v B u B v ===∑∑X P (1) 其中, u 和v 分别为曲面上2个方向的参数, 满足条件01u ≤≤, 01v ≤≤; P ij 为曲面的控制顶点;()m i B u 和()n j B v 为伯恩斯坦多项式.曲面的第一微分基本形式[21]可表示为 222d (d )2d d (d )u u u v v v s u u v v =⋅+⋅+⋅X X X X X X (2)其中, s 为曲线弧长; u u ∂=∂X X ,v v∂=∂XX , 即X u 和X v 分别为曲面X 在u 和v 方向的偏导数.令, 1,2, 1,2g αβαβαβ=⋅==X X , 则式(2)的参数可表示为矩阵形式, 即11121222gg g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭I .其中, g 11和g 22给出了u 向和v 向偏导数点乘之后的平方值, g 12表示曲面任意点处的正交性度量. 式(2)可重新表示为矩阵相乘的形式2d d (d d )d u s u v v ⎛⎫= ⎪⎝⎭I .因为在正则性的假设条件下, 矩阵I 有一个恒为正的行列式[22], 即g 的值恒大于0, 其计算式为2112212det g g g g ==-I . 将g 开方, 得到[], ,0,1u v u v =⨯∈X X .假设变量A 表示曲面面积, 则其计算方式为111000d d d u v A u v u v ==⨯⎰⎰⎰⎰X X .如果给定曲面是保面积参数化曲面, 则曲面上的任意点处都必须满足条件u v A ⨯≡X X (3)2.2 具有保面积参数化的双线性Bézier 曲面双线性Bézier 曲面是一种公式表达极为简单的双线性插值曲面, 任意等参线也都是直线段, 它是直纹面, 其特点为只含有P 00, P 01, P 10和P 11等4个控制顶点, 并且曲面上的点均由其线性插值表示. 一张双线性Bézier 曲面可表示为00011011(,)(1)(1)(1) (1)u v u v u v u v uv =--+-+-+X P P P P(4)将式(4)分别对参数u 和v 求偏导数得到00011011(,)(1)(1)u v v v v v u ∂=--+-+∂X P P P P , 00011011(,)(1)(1)u v u u u u v∂=-+--+∂X P P P P . 根据曲面的第一基本形式, 要得到曲面满足保面积参数化的约束条件, 则必须要满足式(3). 为了便于计算, 本文将曲面面积设定为A , 得到条件式(,)(,)u v u v A u v∂∂⨯=∂∂X X . 经过公式推导, 求出双线性Bézier 曲面必须满足2组约束, 才能够满足式(3)所表示的保面积468计算机辅助设计与图形学学报 第33卷参数化约束条件, 即 ()()10000100=A -⨯-P P P P (5)()()()()1000110111100100=-⨯-⎧⎨-⨯-=⎩P P P P P P P P 00 (6) 式(5)给出了在P 00点处法向量的模必须为A 的约束; 式(6)给出控制顶点所构成4条边界中的对边平行的约束. 根据式(6)和Bézier 曲面的端点性质, 即控制顶点P 00, P 01, P 10和P 11分别表示曲面的4个端点; 又根据边界线性质, 曲面的4条边界线()0,v X ,()1,v X ,(),0u X 和(),1u X 分别以0001,P P1011,P P 0010P P 和0111P P 为控制多边形. 由于2点所构成的控制多边形只能是直线, 并且00011011P P P P ∥, 00100111P P P P ∥, 因此曲面的4条边界曲线只能是直线; 又因为双线性Bézier 曲面只有4个控制顶点, 并且曲面上的点均由线性差插值产生, 所以严格满足保面积参数化约束条件的有理双线性Bézier 曲面只能是平行四边形. 根据双线性Bézier 曲面的定义以及式(5)(6)所示的保面积参数化约束条件, 给出如图1所示一般双线性曲面和具有保面积参数化的双线性曲面实例.a. 一般双线性曲面b. 具有保面积参数化双线性曲面图1 Bézier 形式双线性曲面由图1a 可以看出, 每个网格面积拉伸差异较大, 曲面参数化不保持面元; 由图1b 可以看出, 平行四边形和矩形图形的每个网格面积与参数面积拉伸一致, 其曲面参数化保持面元.2.3 双二次Bézier 曲面保面积参数化条件推导双二次Bézier 曲面的边界曲线和等参线均为抛物线, 9个控制顶点中的8个决定了曲面的4条边界曲线, 内部控制顶点11P 只影响曲面内部形状,对边界不产生影响. 根据式(1)和Bézier 曲面的微分几何形式, 双二次Bézier 曲面可表示为 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222200000101222202021010222211111212222220202121222222,u v B u B v B u B v B u B v B u B v B u B v B u B v B u B v B u B v B u B v =++++++++X P P P P P P P P P (7)依据曲面的第一微分基本形式, 为了得到式(3)中曲面上任意一点的u 和v 向切向量的显式表示, 将式(7)分别对参数u 和v 求偏导, 即()()()()()()()()()()()()()()()20020102221011222122022122,=211 41121 21121 41141 21221 412,u v u v uu v v u v u v u v u v v u v v u v uv u v u v v uv ∂----∂----+⎡⎤----+⎣⎦----+⎡⎤⎣⎦⎡⎤--+-+⎣⎦-+X P P P P P P P P P()()()()()()()()()()()()()()()20022012021011212202222122,=211+ 21121 21411 41141 4121 2122u v u v vu v v u v u u u v u u v uv u uv u u v u v u v u v ∂---∂⎡⎤----+⎣⎦----+----+⎡⎤⎣⎦---+⎡⎤--+⎣⎦X P P P P P P P P P .首先将(),u v u∂∂X 和(),u v v∂∂X 作向量叉乘运算,得到曲面上(u ,v )点处的法向量; 然后将法向量取模, 依据式(3)和向量叉乘运算的加法分配率和反交换律等化简49个条件式, 包含441项多项式; 最后求出双二次Bézier 曲面必须满足4组约束条件.定义向前差分为1,0 1 ,i j i j i j Δ+=-P P P,01,01,01 , 1,2,3k k k i j i j i j ΔΔΔk --+=-=P P P ,0,11 ,i j i j i j Δ+=-P P P0,0,10,11 , 1,.,23l l l i j i j i j ΔΔΔl --+=-=P P P其中Δ为向前差分算子.1,00,10000 4AΔΔ⨯=P P (8)第3期李效伟, 等: 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面 4692,02,000012,02,000022,02,001020,20,220000,20,220100,20,21000 =ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ⎧⨯⎪⨯=⎪⎪⨯=⎪⎨⨯=⎪⎪⨯=⎪⎪⨯=⎩0000P P P P P P P P P P P P (9) ()()()()()()1,00,10,10,20,10,21000100000101,01,00,11,00,100000010002,02,00,20,2010010000,20,20,20,1001020002,02,01,00100000,20,2102 4 2ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ-+⨯=⨯⨯=⨯--⨯-=-+⨯+-⨯=-0P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P P P ()()1,00,1001000ΔΔ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⨯-⎪⎩P P(10)()()()()()2,01,00,11,02,01,00010000101002,00,11,00,11,000001000001,02,02,02,0000001022,00,20,20010001,00,12,02,010*******,00,0022 2 2ΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔΔ⎡⎤⨯-+=⨯⎣⎦⨯=-⨯⨯-++⨯-=-⨯-⨯P P P P P P P P P P PP P P P P P P P P P P P ()()22,02,00,1000100000,20,21,01000002 2ΔΔΔΔΔΔ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪+-⨯=⎪⎪-⨯⎪⎩P P P P P P P (11)令2,02,01002012,2,ΔΔ==H P H P 2,03022,Δ=H P0,20,20,24205106002, 2, 2,ΔΔΔ===H P H P H P 曲面控制顶点和差分向量分布情况如图2所示.图2 式(8)~式(11)中控制顶点和向量的原理图2.4 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面的构造算法对于任意双二次Bézier 曲面, 只有同时满足式(8)~式(11)这4组约束条件, 才能够满足式(3)所表达的保面积参数化条件. 式(8)给出了在P 00点处法向量的模必须为A /4的约束; 式(9)给出了曲面同方向控制顶点所构成向量必须平行的约束条件, 即123////H H H , 456////H H H ; 式(10)(11)分别给出了横向和纵向控制顶点构成向量之间的关系, 且具有一定的对称性, 式(10)给出了456,,H H H 与12,,H H H 之间的约束关系; 式(11)给出了123,,H H H 与56,,H H H 之间的约束关系.算法1. 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面构造算法.输入. 控制顶点P 00, P 00点处u 和v 方向的偏导矢的方向(不共线)、模的比值和曲面面积A .输出. 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面.Step1. 将P 00点处u 和v 方向的偏导矢的方向、模的比值和曲面面积A 代入式(8), 计算控制顶点P 10和P 01.Step2. 根据式(9), 给出剩余6个控制顶点P 02, P 11, P 12, P 20, P 21和P 22坐标值的计算系数:Step2.1.由分类讨论得出约束=H 0, 则可令11011000=+-P P P P ;Step2.2. 根据约束条件()()()()100060100101001000125613220⎧-⨯=-⨯⎪⨯-=⨯-⎪⎪⨯=⎨⎪⨯=⎪⎪⨯=⎩P P H P P H H P P H P P H H H H H H , 1000,0-≠P P 0100,0-≠P P 当1≠0H 并且6≠0H 时,可将控制顶点P 02, P 20, P 21, P 12和P 22的坐标表示为0211000010020201001000213002010110112400020111102250020101202()2()2(2)2(2)2(2)2k k k k k =-+-⎧⎪=-+-⎪⎪=+-+-⎨⎪=+-+-⎪⎪=+-+-⎩P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P P P P P (12) 其中, 12345,,,,k k k k k ⊂ . 类似地, 当1=0H 或6=0H 时, 这些控制顶点坐标也将得到形式如式(12)的表达式;Step2.3. 将P 02, P 20, P 21, P 12和P 22的坐标表示代入剩余约束条件()()()1110601005111012100021561000123156216540100216561621010056[2()]()[2()]()()()()(2)4() 4()(2)()4() 4()0+-⨯=-⨯⨯+-=⨯--⨯-=-⨯-++⨯-=⨯--+⨯-+-⨯=-⨯⨯+-⨯-=-⨯H P P H P P H H H P P H P P H H H H P P H H H H H H H H H H H H P P H H H H H HH H H H P P H H P ()1000⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-⎩P,470计算机辅助设计与图形学学报 第33卷得到方程组()()()()()()()()()()()()()()()()()()1401001000230100100012340100100023514110000100123010010001201001000111112221k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧--⨯-=⎪--⨯-=⎪⎪---⨯-=⎪⎨-+-+-⨯-=⎪⎪--⨯-=⎪⎪-⨯-=⎩000000P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P . P 00, P 10和P 01必须构成三角形的前提条件, 得到约束()()01001000-⨯-≠0P P P P , 化简方程组得到一个便于求解的方程组()()()()()()1423123423514112312101011012220100k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧-=⎪-=⎪⎪--=⎪⎨-+-+=⎪⎪-=⎪⎪=⎩; Step2.4. 求解方程组, 得到约束123500==1k k k k =⎧⎪≠⎨⎪⎩. Step3. 给定自由变量k 2和k 4的值, 根据式(12)计算P 02, P 12, P 20, P 21, P 22的值, 输出9个控制顶点坐标所表示的双二次Bézier 曲面.2.5 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面只能为平面曲面对于具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面, 必满足式(8)~式(11), 其表达的几何含义为曲面任意点处的一个法向量的模恒为常量. 根据双二次Bézier 曲面的微分几何含义, 由于向量0100-P P 和1000-P P 所构成的平面是曲面在P 00点处的切平面, 故能得到P 00, P 01和P 103点共面. 又因为, 从式(8)~式(11)中的4组约束条件出发, 根据分类讨论结果, 得出向量H 只能为零向量, 否则, 必有其中的一个约束条件不成立, 因此得到式11011000=+-P P P P . 根据向量共面定理[23]可知, P 00, P 01, P 10和P 11 4点共面. 由于控制顶点P 20, P 02, P 21, P 12和P 22可表示为式(12)的形式, 并且式(12)中每个控制顶点的表达式均满足向量共面定理, 即5个控制顶点均与点P 00, P 01和P 10共面, 可得曲面的9个控制顶点共面. 又根据Bézier 曲面的凸包性质, 由以上9个控制顶点生成的曲面为一平面片. 综上所述, 严格满足保面积参数化约束条件的双二次Bézier 曲面只能是平面曲面.3 松弛保面积参数化双二次Bézier 曲面3.1 问题描述对于双二次Bézier 曲面, 由于严格满足保面积参数化约束条件式(8)~式(11)的曲面只能是平面曲面, 在第2.5节给出了相关证明. 为了构造出具有丰富弯曲造型的真正意义上的曲面, 本文提出通过求解在不等式约束下的能量函数来生成逼近保面积参数化的Bézier 曲面.求解能量函数()()()()1100min ,s.t. ,,M N iji j u v u v A e u v u v A e--==⎧-⎪⎨⎪-∂⨯∂+⎩∑∑X Q X X ≤≤. 其中, u 和v 是采样点处的参数坐标, 不等式的个数由采样点密度决定, 优化参数是曲面的控制顶点坐标, 目标函数是希望生成的曲面尽量通过给定的逼近点ij Q , 同时要求约束采样点处的最大面积误差不得超过e . 上述优化问题是一个在非线性约束下的最小二乘优化问题, 本文使用fmincon 函数进行求解.3.2 松弛保面积参数化约束条件的双二次Bézier曲面构造算法本文提出通过松弛保面积参数化约束条件来构造具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面的算法思路. 首先通过增加曲面的面积容差, 然后指定在曲面的m ×n 个采样点处满足面积容差约束, 最后使用最小二乘法[24]拟合所要构造的双二次Bézier 曲面, 以达到曲面接近或经过给定曲面逼近点的形状设计要求.算法2. 松弛保面积参数化约束条件的双二次Bézier 曲面构造算法.输入. M ×N 个逼近点Q 00, Q 01, , Q 0M ; Q 10, Q 11, , Q 1M ; ; Q N 0, Q N 1, , Q NM 坐标, 采样点的个数m 和n , 以及面积容差e .输出. 具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面.Step1. 根据输入控制顶点计算曲面面积A . Step2. 根据曲面u 和v 向的采样点个数m 和n 确定采样点处的不等式约束.Step3. 拟合双二次Bézier 曲面, 更新曲面控制顶点P 00, P 01, P 02, P 10, P 11, P 12, P 20, P 21和P 22坐标, 重新计算曲面面积A ʹ.Step4. 迭代. 将Step1中的输入控制顶点替代为Step3重更新后的控制顶点. 重复执行Step1~Step3, 直到2||||10A A A -'-⋅≤.第3期李效伟, 等: 具有保面积参数化的双二次Bézier曲面 471Step5. 重新拟合双二次Bézier曲面, 输出控制顶点P00, P01, P02, P10, P11, P12, P20, P21和P22坐标.4 实例本文使用的实验平台是主频为 3.6 GHz的Intel Core I7处理器, 内存为16 GB的台式机, 运行系统为64位的Windows 7操作系统, 显卡为8 GB显存的英伟达GeForce GTX1080. 实验过程中, 使用Visual Studio 2018集成开发环境实现本文提出的构造算法, 使用C++语言和OpenGL图形库显示曲面的等参线分布和纹理映射效果. 实验内容包括:实例1. 具有保面积参数化的双二次Bézier曲面的构造实例, 所构造曲面严格满足式(8)~式(11)给出约束条件.实例2. 松弛保面积参数化约束条件的双二次Bézier曲面的构造实例, 设定面积容差, 使用曲面拟合方法构造, 所构造曲面在容差范围内满足保面积参数化.4.1实例1为了展示本文算法的有效性, 图3中给出了3个实验结果. 图3a给出了曲面的等参线分布实验结果, 展示了曲面细分和网格化效果, 图3b给出了曲面的纹理映射实验结果. 实验结果可以看出, 3个曲面的参数化保持面积拉伸, 即完全满足保面积约束条件式(8)~式(11), 在曲面细分实验中, 虽然细分曲面的形状不同, 但是任何一个细分曲面的面积均保持面积拉伸; 在纹理映射实验中, 分别用黑白棋盘格和圆盘格展示了本文算法1生成曲面的保面积参数化特性, 虽然小方格和小圆圈形状发生了拉伸, 但是其面积仍然保持拉伸. 从曲面构造角度看, 通过本文算法1找到的曲面均需要保证有一个方向的控制顶点构成直线, 即控制多边形P00P01P02, P10P11P12和P20P21P22均为直线, 也即H1=H2=H3或H4=H5=H6, 这种约束导致可生成的曲面形状的有限性; 曲面另外一个方向可以实现一定程度的弯曲, 为了检验是否满足条件, 最终生成的曲面需要代入式(10)(11)验证. 虽然保面积约束条件较为苛刻, 但是不局限于图3中展示的3个曲面, 通过本文算法1可以找到更多符合保面积参数化约束条件的双二次Bézier曲面, 一个可行的方法为: 以图3中的任意一个曲面为基础, 通过调整曲面弯曲方向的控制顶点坐标位置, 可以生成一簇保面积参数化曲面, 如图4所示, 可以看出, 虽然同一簇曲面的形状相似, 但其弯曲程度不同. 表1给出了图4中4个双二次Bézier曲面图形的3个输入控制顶点坐标和其余控制顶点的计算系数. 图3~图5所示的曲面图形中, P00, P01和P10为本文算法1的输入控制顶点; P02, P11, P12, P20, P21, P22为通过本文算法1计算得到的控制顶点.需要特殊说明的是, 只是通过输入计算出的3个输入控制顶点P00, P01和P10, 并不能唯一确定满足条件的其余控制顶点, 因为在本文算法1的执行过程中其余控制顶点的计算系数k2和k4是自由变量, 通过设定不同的k2和k4值可以生成不同形状的双二次Bézier曲面. 另外, 经过实验案例测试, 在3个输入控制顶点P00, P01和P10取值相同, 但k2和k4取值不同的情况下, 生成了2种不同形状的双二次Bézier曲面, 如图5所示, 2种曲面都满足式(8)~式(11).图3 等参线分布和纹理映射实验图4 一簇具有保面积参数化的双二次Bézier曲面472计算机辅助设计与图形学学报 第33卷表1 图4中图形的部分控制顶点坐标和计算系数计算系数顶点坐标 图序k 1k 2k 3k 4k 5P 00P 01P 104a 0.0 5.0 1.0 1.0 1.0 (2,0,0) (2.5,0,0) (0,0.5,0) 4b 0.0 4.0 1.0 2.0 1.0 (1.5,0,0) (2,0,0) (0,0.5,0) 4c 0.0 3.5 1.0 3.0 1.0 (1.25,0,0)(1.75,0,0) (0,0.5,0)4d 0.0 3.0 1.0 4.0 1.0 (1,0,0) (1.5,0,0) (0,0.5,0)图5 输入数据相同的双二次Bézier 曲面通过给定不同的输入数据计算出的3个输入控制顶点P 00, P 01和P 10坐标, 能够生成形状较为丰富的具有保面积参数化的双二次Bézier 曲面, 如图6所示. 表2给出了图6中6个曲面图形的3个由本文算法1的输入数据计算出的控制顶点坐标和其余控制顶点的计算系数.4.2 实例2由于严格满足保面积参数化约束条件的双二次曲面的造型能力较为有限, 只能生成平面空间中的曲面,难以生成造型丰富的曲面, 因此其在某些特殊的实际应用中具有一定的局限性. 为此, 本文提出了松弛保面积参数化约束的双二次Bézier 曲面的构造算法. 为了验证松弛保面积参数化约束的双二次Bézier 曲面的造型能力, 使用C++语言编写程序实现了基于不等式方程组约束的曲面拟合算法, 所生成曲面的等参线分布和纹理映射效果如图7所示. 可以看出, 通过本文算法2构造的双二次Bézier 曲面具有丰富的形状, 具有较强的造型能力.a. 曲面1b. 曲面2c. 曲面3d. 曲面4e. 曲面5f. 曲面6图6 不同的输入数据生成双二次Bézier 曲面表2 图6中图形的部分控制顶点坐标和计算系数计算系数顶点坐标 图序k 1k 2k 3k 4k 5P 00P 01P 10 6a 0.0 1.0 1.0 0.4 1.0 (0,0,0) (0.5,0.5,0) (0,0.5,0) 6b 0.0 2.0 1.0 0.0 1.0 (0,0,0) (–0.25,0.2,0) (1,0.2,0) 6c 0.0 2.0 1.0 0.3 1.0 (0,0,0) (–0.25,0.4,0) (0.375,0.4,0) 6d 0.0 1.0 1.0 0.6 1.0 (0,0,0) (–0.25,0.333 3,0) (0.5,0.333 3,0)6e 0.0 1.0 1.0 0.9 1.0 (0,0,0) (–0.25,0.5,0) (0.25,0.5,0) 6f 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 (0,0,0) (–0.25,0.25,0)(0.75,0.25,0)表3给出的数据验证了本文算法2的有效性, 表中数据为采样数为104×104时图7中8个曲面的目标函数值f 、最大保面积能量J max 、迭代次数和给定的容差e . 其中, 目标函数值f 表示拟合生成的曲面与目标曲面的偏离程度, f 值越大, 表明拟合曲面越难以经过本文算法2中输入中的给定点, 从而更加偏离给定的曲面形状; 表3第4列表示在满足不等式约束的前提下优化过程的迭代次数. 相对于曲面2~曲面8, 曲面1的弯曲程度较小, 故将容差设置为其他曲面容差的1/10, 设定的容差第3期李效伟, 等: 具有保面积参数化的双二次Bézier曲面 473a. 曲面1b. 曲面2c.曲面3 d. 曲面4e. 曲面5f.曲面6 g.曲面7 h.曲面8图7 松弛后的双二次Bézier曲面表3图7曲面采样数为104×104的保面积能量与容差曲面 f J max迭代次数e曲面 f J max迭代次数e1 0.1457 0.00091450 0.00151.0247 0.008621 267 0.0102 0.8622 0.008502870.010 6 0.9875 0.00938268 0.0103 1.2457 0.009657 168 0.01071.5416 0.00933174 0.0104 1.3245 0.009355 171 0.01081.3142 0.00994459 0.010越小, 则生成的曲面越接近保面积参数化. 对于曲面造型, 如果预想生成弯曲幅度较大的曲面, 则可适当地将容差设定的更大一些. 例如, 本实验的曲面2~曲面8中, 将容差设置为0.010; 否则优化过程更新后的曲面不能很好地经过算法输入的给定点, 最终生成的曲面虽然能够将保面积容差限定在用户定义的范围, 但是其形状将会较大幅度地偏离初始曲面形状. 曲面上最大保面积能量J max表示的是曲面最坏处的保面积参数化偏离程度, 其值越大, 表明曲面在此位置处越偏离保面积参数化; 其值越小, 表明曲面在此位置处的保面积参数化效果越好. 曲面上采样点处最大保面积能量的。
二次曲面
7.9 二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.关于一般的三元方程0),,(=z y x F 所表示的曲面的形状，已难以用描点法得到，本节采用称之为截痕法的方式来研究二次曲面，即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合从而了解曲面的全貌.作为例子研究椭球面的方程1222222=++cz b y a x并化出其图形.(1) 对称性: 方程的图形关于各个坐标面及原点对称(2) 在坐标轴上的截距: 方程的图形在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别是c b a ±±±,,（c b a ,,分别称为椭球面的半轴）.并且由1,1,1222222≤≤≤cz b y a x 得方程的图形位于平面c z b y a x ±=±=±=.,为界的长方体内.(3) 在坐标面上的截痕: 方程的图形在xoy 面、yoz 面、xoz 面上的截痕分别为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax (4) 平行截痕，研究与xoy 面平行的平面h z =（c h <）与方程图形的截痕，截痕曲线为 ⎪⎩⎪⎨⎧==++h z cz b y a x 1222222 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-hz c h b y c h a x 1)1()1(22222222这是一个在平面h z =上以221c h a -和221ch b -为半轴的椭圆.当h 由0逐渐增大时,两个半轴逐渐减少，当c h =时,截痕缩为一点.同样,分别讨论与yoz 面及xoz 面平行的平面与方程图形的截痕,它们也是椭圆.综合以上讨论可知，方程的图形如图7.40示,今后称这个曲面为椭球面. 当c b a ==时,椭球面变为球面.当b a =时椭球方程为122222=++cz a y x 它是椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z b y 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z ax 绕z 轴旋转而成的旋转椭球面，它在平行于xoy 面的平面上的截痕都是圆（图7.40）除椭球面外，常见的二次曲面有以下几种.下面我们列出它们的标准方程与图. 1 椭圆抛物面（图7.41）pz by a x22222=+ )0,0,0(≠>>p b a2 单叶双曲面（图7.42）1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a3双叶双曲面（图7.43）1222222-=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a4双曲抛物面（图7.44）pz by a x 22222=- )0,0,0(≠>>p b a5锥面（图7.45）0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a图7.40 图7.41图7。
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ａ ３ ３ ａ３ ４
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理论 告诉 我们 ， 二次 曲面 有十七 种类 型 ， 对应 有十七 种标 准 方程．目前 ， 次 曲面 的一 般 理 论 已经 比较 完善 ， 二
但 对于 二次 曲面 的保 型性 研究相 对较 少 ， 有 张新祥 分 析 过五 种 二 次 曲面 的保 型性 问 题 … ， 文着 力 对此 只 本
朱鹏 华
（ 山东 劳 动 职业 技 术 学 院 ， 东 济南 ２ ００ ） 山 ５ ３０
摘要 ： 本文通过研究过定点 的二次曲面动弦中点 的轨迹方程 ∑ 和定点与二 次曲面上动 点之间定 比分点 的轨 迹方程 ∑”将十七种二次 曲面的衍 生轨迹 ∑ 和 ∑” ， 的保型性 问题进行讨论 ， 并得到关于二次 曲面保 型性 的两
ＺＨＵ ｎ — ｕ Ｐｅ ｇ ｈ ａ
（ ｈ ｎ ｏｇＬ ｂｒＶｃｔ ｎ ｌ ｎ ｅｈ ｉ ｌ ｏｌ ｅ Ｊｎ ｎ２ ０ ０ ， ｈｎ Ｓ ａ ｄ ｎ ａ ｏ ｏａｉ ａ ｄ Ｔｃｎ ａ Ｃ ｌｇ ， ｉａ ５ ３ ０ Ｃ ｉ ｏ ａ ｃ ｅ ａ）
Ａｂ ｔａ ｔＴ ｉ ｐ ｐ ｒａ ｄｅｓ ｓｔｅ ｏｂｔｅ ｕ ｔ ｎ ∑ ｐ ｓｉｇ ａｆ ｅ ｏｎ ｎ ｈ ｄ ｏｎ ｎ ｔｅ ｓｒ ｃ ： ｈｓ ａ ｅ ｄ ｒｓｅ ｈ ｒ ｉ ｑ ａｉ ｏ ａ ｓ ｘ ｄ ｐ ｉｔａ ｄｔｅ ｍｉｐ ｉｔ ｈ ｎ ｉ ｉ ｓｃ ｎ ｆａｆ ｅ ｕ ｄ ａｉ ｕ ａ ｅａ ｄｔｅｏｂｔ ｑ ａｉｎ ∑” ｆ ｏｎ ｉｉｉｇ ａｌ ｅｓ ｇ ｎ ｅ ａ ｔｏ ｘ ｄｑ ａ ｒｔ ｓ ｒ ｃ ｎ ｈ ｒｉ ｅ ｕ ｔ ｉ ｃ ｆ ｏ ｏ ｐ ｉｔ ｖｄｎ ｎ ｅ ｍｅ ｔ ｎ ａ ａ ｄ ｉ ｉ
第２ ３卷
第 ６期
山 东 科 学
Ｓ ＨＡＮＤ ＯＮＧＳ Ｉ ＮＣＥ ＣＥ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ ６ １２ ． Ｄ ｃ２ １ ｅ．０ ０
２１ ００年 ｌ ２月
文 章 编 号 ：０２４ ２ （０ ０ ０ －０００ １０ －０ ６ ２ １ ）６０ ２ －６
二次 曲面 的保 型性 探 讨
ｐｅｅ ｔ ｓｃ ｒｉ ｅｕ ｔ ｎ ｓ ∑ ａ ｄ ∑ ｆ ｅｅ ｔ ｎ ｑ ａｒｔ ｕ ａｅ ｎ ｅ ｖ ｓｔｏ ｒｓｎｓ ｕｈ ｏｂｔ ｑ ａｉ ｓ ａ ｎ ｏ ｏ ｓｖｎｅ ｕｄａ ｃ ｓｒ ｃｓａ ｄ ｄｒ ｅ ｗ ｒ ｅ ｉ ｆ ｉ
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问题进 一步探 讨． 令 ， ＝ ｌ＋ａ２ ａ３ １ ａ１ ２ ＋ ３， （） １
收 稿 日期 ：０ ００ —２ ２ １－６ １ 作者简介 ： 朱鹏华（ ９２一） 男， 士， １８ ， 硕 助教 ， 主要研究方 向是高等数学教学与数学建模 ，ｍａ ： ｕ ｅｇｕ Ｑｄｖｃｃ Ｅ ｉ ｚ ｐｎｈ ａ ｓｌｔ．ｎ ｌｈ
个重要结论．
关键词 ： 二次 曲面 ； 型性 ； 保 保型变换
中图 分 类 号 ： ８ ． Ｏ１２ ２ 文 献 标 识 码 ： Ａ
Ｏ ｎ Ｓ ｍ ｐｌ ｃ ｔｏ ｆＴｙ — ｅ ｅ ｖｎｇ ｉ ｉ ａ ｉｎ ｏ ｐｅ Ｐｒ ｓ ｒ ｉ ｉ ｆ
Ｐ ｏ ｌｍｓｏ ａ ｒ ｔ ｕ ｆｃｓ ｒ ｂｅ ｆＱｕ ｄ ａｉ Ｓ ｒａ ｅ ｃ
ａ １ ２
ａ ２ １
ａ２ ２
ａ ２ ３
６ ２ ４
１ ３
ａ２１
ａ２ ２ａ３ ３ ａ ３ ４ ａ ４ １ ａ４ ２ ａ４ ３ ａ４ ４
（） ３
ａ ３１
ａ３ ２
ａ ３ ３
０ １ ａ ｌ ｌ
０ ２
１ 引 言
在空 间 中 ， 由三元 二次 方程 ∑：ｌ ＋ ｚ ａ３ ＋ ａ２ｙ＋ ａ３ ＋ ａ３ｚ ２ １ ２ ２ ０ｌ ａｚ ＋ ３ ２ ｌ Ｙ ｘ ２ ｌ ２ ２ ＋ ａ４ ｙ ＋ ａ４ Ｙ＋２３ ｎ４ ４： ＋口４ ０所表示 的曲面 ∑称为 二次 曲面． 里 的系数 是 任意 给定 的实数 ， 二 次项 系数 不全 为零 ． 这 且 二次 曲面 的一般
第 ６期
朱鹏华 ： 二次 曲面 的保型性探讨
ａ ｌ ｌ ａ １ ２ ａ ｌ ｌ ａ １ ３
６２ ２ ａ２ ３
，＝ ２
ａ２ １ ａ ２ ２
＋
ａ ３ １ ａ ３ ３
＋
ａ ３ ２ ａ３ ３
（） ２
ａ １ ３ ａ １ ４
ａ Ｉ Ｉ
ａ １ １ ａ １ ２ ａ １ ３