高考数学第一轮课时复习题16-导数与函数单调性

课时作业(十四) [第14讲 导数与函数单调性][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·皖南八校联考] 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )图K14－2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )＞0，且f (－3)·g (－3)＝0，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 能力提升5．[2011·东北三校联考] 函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a6．若a ＝ln33，b ＝ln55，c ＝ln77，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是( )A ．(2,4)B ．(－3，－1)C ．(1,3)D ．(0,2)8．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜19．[2011·郴州二模] 若x ∈(0,2π)，则函数y ＝sin x －x cos x 的单调递增区间是________．10．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．11．[2011·宁波十校联考] 已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，f (－4)，f ⎝⎛⎭⎫4π3，f ⎝⎛⎭⎫－5π4的大小关系为________________(用“<”连接)．12．(13分)设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求：(1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间．难点突破13．(12分)[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f⎝⎛⎭⎫1a＋x＞f⎝⎛⎭⎫1a－x；(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′(x0)＜0.课时作业(十四)【基础热身】1．C [解析] 根据题意f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线斜率是先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C 满足题意．2．D [解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.3．D [解析] f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )·g (x )为奇函数，x ＜0时，f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，即x ＜0时，[f (x )·g (x )]′＞0，∴f (x )·g (x )为增函数，且f (－3)·g (－3)＝0，根据奇函数性质可知，f (x )·g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．4．－32－6 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解，所以－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得b ＝－32，c ＝－6.【能力提升】5．B [解析] 由f (x )＝f (2－x )得f (3)＝f (2－3)＝f (－1)，又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，可知f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c <a <b .6．B [解析] 令f (x )＝ln x x ，∴f ′(x )＝1－ln x x 2，∴当x >e 时，f ′(x )<0，函数为减函数，又e<3<5<7，因此a >b >c .7．D [解析] 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)知，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0.函数f (x )在(1,3)上为减函数，函数f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y ＝f (x ＋1)的单调减区间．8．A [解析] y ′＝a (3x 2－1)，解3x 2－1＜0得－33＜x ＜33，∴f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，又y ＝a ·(x 3－x )的递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，∴a ＞0. 9．(0，π) [解析] 由y ＝sin x －x cos x 得y ′＝x sin x .令y ′>0，即x sin x >0，得0<x <π(因为x ∈(0,2π))，所以单调递增区间是(0，π)．10．3 [解析] f ′(x )＝3x 2－a ，在[1，＋∞)上f ′(x )≥0，则a ≤3x 2，则a ≤3.11．f ⎝⎛⎭⎫4π3<f (－4)<f ⎝⎛⎭⎫－5π4 [解析] f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π4，4π3时，sin x <0，cos x <0，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x <0，则f (x )在⎣⎡⎦⎤5π4，4π3上为减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫5π4，又函数f (x )为偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3<f (－4)<f ⎝⎛⎭⎫－5π4. 12．[解答] (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23. 即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23. 因为斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9. 解得a ＝±3，由题设a <0，所以a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1，f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)上为增函数；当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．【难点突破】13．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(2x ＋1)(ax －1)x. ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)证明：设函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x －f ⎝⎛⎭⎫1a －x ，则g (x )＝ln(1＋ax )－ln(1－ax )－2ax ，g ′(x )＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0＜x ＜1a时，g ′(x )＞0，而g (0)＝0，所以g (x )＞0. 故当0＜x ＜1a时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x ＞f ⎝⎛⎭⎫1a －x . (3)由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故a >0，从而f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ，且f ⎝⎛⎭⎫1a >0. 不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2. 由(2)得f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＋1a －x 1>f (x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a. 由(1)知，f ′(x 0)<0.。