高考数学复习点拨 点面距离的几种求法
高考数学复习点拨 直线的交点坐标与距离公式教材解读(人教课标A版必修2)
高考数学复习点拨 直线的交点坐标与距离公式教材解读（人教课标A 版必修2）一、要点点拨 1．两条直线的交点坐标（1）基本知识——点与坐标的一一对应关系一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩。
若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。
说明：①判断两条直线的位置关系，除了用直线的斜率外，还可以利用直线的方程进行判断。
②当两条直线的方程组成的方程组无解时，两条直线无交点，所以两直线平行；当两条直线的方程组成的方程组有唯一解时，两条直线有一个交点，所以两直线相交；当两条直线的方程组成的方程组有无数个解时，两条直线有无数个交点，所以两直线重合。
③求两条直线的交点坐标，就是将直线的方程联立，解方程组即可，体现了用方程思想研究曲线，用代数研究几何的思想。
④1l 与2l 相交的条件是12210A B A B -≠或1122A B A B ≠。
2．两点间距离公式设111(,)P x y 、222(,)P x y ，则两点间的距离公式为12PP =。
说明：（1）特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离OP =。
（2）公式中，1P 、2P 的位置没有先后之分。
（3）当12PP x ⊥轴时，1221PP y y =-；当12PP y ⊥轴时，1221PP x x =-。
若能确定111(,)P x y 、222(,)P x y 的次序，可直接去掉绝对值。
3．点到直线的距离点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为d =。
说明：（1）使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程化为一般式方程。
（2）点到直线的距离是点与直线上点的最短距离。
（3）若直线平行于x 轴，即0A =时，直线方程为C y B =-，所以0C d y B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；若直线平行于y 轴，即0B =时，直线方程为C x A =-，所以0C d x A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。
新高考数学复习考点知识培优专题讲解 28 体积法求点面距离(解析版)
新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题28 体积法求点面距离一、多选题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（）A ．D 1D ⊥AFB ．A 1G ∥平面AEFC ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为10D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 【答案】BCD 【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D 1D 、AF 是否垂直及求直线A 1G 与EF 所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A 1G 、平面AEF 是否平行. 【详解】A 选项，由11//DD CC ，即1CC 与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G’连接AG’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以11GG BB AA '==，而1//AA GG '，即1//A G AG '；又因为面11ABBA 面AEF =AG ，且1AG ⊄面AEF ，1AG ⊂面11ABB A ，所以A 1G ∥平面AEF ，故正确.C 选项，取11B C 中点H ，连接GH ，由题意知GH 与EF 平行且相等，所以异面直线A 1G 与EF 所成角的平面角为1AGH ∠，若正方体棱长为2，则有11GH AG A H ==1A GH中有1cos 10AGH ∠=，故正确.D 选项，如下图若设G 到平面AEF 的距离、C 到平面AEF 的距离分别为1h 、2h ，则由11133A GEF GEF G AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅且21133A CEF CEF C AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅，知122GEFCEFS h h S ==，故正确.故选：BCD 【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]2π. 2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行. 3、由A GEF G AEF V V --=、A CEF C AEF V V --=即可求G 、C 到平面AEF 的距离比.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的有（） A ．1A F AE ⊥B ．三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关系C ．平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D ．点1A 到平面1AED 【答案】AC 【分析】A 选项，取AB 中点为G ，根连接FG ，1A G ，记1A G 与AE 交点为O ，根据线面垂直的判定定理，可得AE ⊥平面1A FG ，进而可得1A F AE ⊥； B 选项，证明1//BC 平面1AED ，即可判定B 错；C 选项，补全截面，得到平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；D 选项，根据等体积法，由1111E AA D A AED V V --=求出点到面积的距离，即可判定； 【详解】A 选项，取AB 中点为G ，根连接FG ，1A G ，记1A G 与AE 交点为O ， 在正方体1111ABCD A BCD -中，1AA AB =，12A AG ABE π∠=∠=，因为E 、F 分别为1BB 、CD 中点，所以AG BE =，//FG AD ，因此1Rt A AG Rt ABE ≅，所以1AAG BAE ∠=∠，1AGA AEB ∠=∠， 因此12OAG OGA BAE AGA π∠+∠=∠+∠=，因此2AOG π∠=，即1AE A G ⊥；又在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11ABB A ，所以FG ⊥平面11ABB A ， 因AE ⊂平面11ABB A ，所以FG AE ⊥，又1AG FG G ⋂=，1AG ⊂平面1A FG ，FG ⊂平面1A FG ， 所以AE ⊥平面1A FG ，因为1A F ⊂平面1A FG ，所以1A F AE ⊥；故A 正确；B 选项，因为在正方体中11//ABCD ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，又1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，所以1//BC 平面1AED ，因此棱1BC 上的所有点到平面1AED 的距离都相等，又P 是棱1BC 上的动点，所以三棱锥1P AED -的体积始终为定值；故B 错； C 选项，取11B C 的中点为M ，连接EM ，1MD ，则1//EM BC ，且112EM BC =，则1//EM AD ；又正方体中，2AB =，所以1MD AE ===11BC AD ==因此112EM BC == 所以平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EMD A ，因此该等腰梯形的高为2h ===， 所以该截面的面积为()11922S AD EM h =⋅+⋅=；故C 正确； D 选项，设点1A 到平面1AED 的距离为d ，因为1//BB 平面11AA D D ，所以点E 到平面11AA D D 的距离为2AB =， 即点E 到平面11AA D 的距离为2， 所以1111211142223323E AA D AA D V S -=⋅⋅=⋅⋅⋅=，在1AED △中，1AD =AE =，13ED ==，所以1cos EAD ∠==，因此1sin EAD ∠=，所以11111sin 322AED SAD AE EAD =⋅⋅∠=⋅=. 又111111433E AA D A AED AED V V S d --==⋅⋅=，所以43d =， 即点1A 到平面1AED 的距离为43，故D 错；故选：AC. 【点睛】方法点睛：求空间中点到面积的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是（）A ．若O 为ABC 的外心，则2PC =B ．若ABC 为等边三角形，则⊥AP BCC ．当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A 正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B 错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C 到平面P AB 的距离的范围，可判断C 正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D 正确. 【详解】依题意，画图如下：若O 为ABC 的外心，则OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ，可得PO OC ⊥，OP OA OB ===2PC ==，A 正确；ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥，BC 与PB 相交于平面PBC 内，可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥，由PO OC ⊥，OP OA OB ===，可得OC AC ==故PC AC ====，矛盾，B 错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ，由A 正确，知2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得1111223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅即有2242AC BC AC BC +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d ，2sin 22d θ=，即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C 正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得，//ON AC ，//MN PC ，则平面//OKN 平面PAC ， 由//OM 平面PAC ，可得M 在线段KN 上，即轨迹122KN PC ==，可得D 正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.二、单选题4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，E F 、分别为11C D 与AB 的中点，1B 到平面1A FCE 的距离为（）A B C ．5D ．5【答案】B 【分析】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ，利用1111B A CF C A B F V V --=建立方程可求解. 【详解】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ． ∵正方体棱长为1，∴112A F FC AC EF ====， ∴1111261131122422A CFA B FSS =⨯⨯==⨯⨯=，又1111B A CF C A B F V V --=，∴1111332=⨯⨯，解得h =即点1B 到平面1A FCE 的距离为3． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1AC 上有两个动点E F 、，且EF =，给出下列四个结论错误的选项是（）A ．CE BD ⊥B ．点C 到平面BEF 的距离为2C ．BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形 D ．在平面ABCD 内存在无数条与平面1DEA 平行的直线 【答案】C【分析】利用BD ⊥平面1ACC ，即可证明CE BD ⊥，即可判断选项A ；利用等体积即可求点C 到平面BEF 的距离，即可判断选项B ；利用正投影特点即可判断选项C ；利用线面平行的性质定理即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由BD AC ⊥且1BD CC ⊥，1AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，可得CE BD ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：因为点C 到直线EF=，EF =，所以12CEFS==点B 到平面CEF 距离是12DB =，所以三棱B CEF -体积是1136218⨯⨯=，因为三棱锥118C BEF B CEFV V --==，BEF CEF S S =△△为，所以点C 到平面BEF的距离为2，故选项B 正确； 对于选项C ：线段EF 在底面ABCD 内的正投影是GH ，所以BEF 在底面ABCD 内的正投影是BGH ，因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 的长也是定值，所以BGH 的面积是定值，故选项C 不正确；多于选项D ：设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故选项D 正确， 故选：C【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离.6．正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O的球面上，AB =1B 到平面1A BC 的距离为（）A ．1B ．65C．5D【答案】B 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin3a R R A π===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =12AA ===.在三角形1ABC中，11A B AC ===，而BC =，所以三角形1A BC 的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C A B A C B B B V V --=得11311232232h ⨯⨯=⨯，解得65h =. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.7．如图，正四棱锥P ABCD -的高为2，且底面边长也为2，则点A 到平面PBC 的距离为（）A ．5B C D【答案】A 【分析】结合正四棱锥的性质，利用A PBC P ABC V V --=，代入数据直接计算即可. 【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，设交点为点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，且2PO =，底面对角线的长度为BD ==PB ==PM ==，1114·2223323P ABC ABC V S PO -==⨯⨯⨯⨯=，11222PBC S BC PM =⋅=⨯=设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=，即1433h =，解得5h =． 故选：A. 【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积．掌握正棱锥的计算是解题关键．8．已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则点1C 与平面BDE 的距离为（）A ．2B CD ．1【答案】D 【分析】先证直线1AC 与平面BED 平行，将线面距离转化为点面距离，结合三棱锥体积公式，由等积性求出点面距离即可. 【详解】如图所示，连接AC 交BD 于O 点，E 为1CC 的中点，1//OE AC ∴，又OE ⊂平面BED ，1AC ⊄平面BED1//AC ∴平面BED ，即直线1AC 与平面BED 的距离为点A 到平面BED 的距离，设为h .在三棱锥E ABD -中，11122332E ABD ABD V S EC -∆=⋅=⨯⨯⨯=， 在三棱锥A EBD -中，12EBDBD BE DE S===∴=⨯=，所以1133A BDE EBD V S h h -∆=⋅=⨯=，解得1h = 故选：D.【点睛】本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.9．直三棱柱111ABC A B C -的侧棱13CC =，底面ABC 中，90ACB ∠=，AC BC ==点1B 到平面1A BC 的距离为（）A B ．11C ．11D ．11【答案】D 【分析】利用1111B A BC A B BC V V --=即可求解. 【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱锥，所以1CC ⊥平面111A B C ， 所以111CC AC ⊥，又因为90ACB ∠=，所以1111AC B C =， 因为1111CC B C C =，所以11A C ⊥平面1B BC ，所以1111111131332A B BC B BC V S AC -=⨯⨯=⨯=， 因为BC AC ⊥，1BC CC ⊥，1AC CC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，1AC ==1122A BCS==，设点1B 到平面1A BC 的距离为h ，则1111B A BC A B BC V V --=，即111111332B A BC A BCV S h h -=⨯⨯=⨯=，所以h =，所以点1B 到平面1A BC 的距离为11， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥体积相等求点到面的距离，属于中档题.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是6π．其中正确的序号是（） A ．①② B ．②④ C ．①②③ D ．①②④【答案】D 【分析】对①，画出图象，设对角线AC 与平面1A BD 相交于点M ，则AM ⊥平面1A BD ，用等体积的方法计算出AM ，从而证得1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分；对②，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对③，显然111112C A BD C B CD V V --=13=16≠；对④，正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分是球的18. 【详解】①如图所示，假设对角线AC 与平面1A BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面1A BD ，所以22111113432AM ⨯=⨯⨯⨯，解得113AM AC ==，因此对角线AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分，正确；②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为12，2，2，因此表面积之比为2221444=1:2:3222πππ⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭：：，正确； ③111112C A BD C B CD V V --=13=16≠，不正确； ④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积3141836V ππ=⨯⨯=，正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了立体几何综合问题，正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径与正方体边长的关系，考查了学生空间想象能力，分析推理能力，运算能力，属于中档题.11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点C 到平面1BDC 的距离为（）A ．3B ．23C D ．2【答案】B 【分析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法111133BDC BCDS d S CC ⋅⋅=⋅⋅，即可求出答案． 【详解】解：设点C 到平面1BDC 的距离为d ， ∵122AA AB ==， 由题意，BCD 的面积11111222BCDSBC CD =⋅⋅=⨯⨯=，在1BDC 中，易求得BD =，11BC DC ==∴由余弦定理得14cos 5BC D ∠==，∴13sin 5BC D ∠=，∴11111sin 2BDC SBC DC BC D =⋅⋅⋅∠133252==， 又11C BDC C BCD V V --=，即111133BDC BCD S d S CC ⋅⋅=⋅⋅，∴111222332BCD BDC S CC d S ⨯⋅===， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题． 三、解答题12．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若244PA AB AD ===，求点A 到平面PBD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，可得AD ⊥平面APB ，从而得PA AD ⊥，同理可得PA AB ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）得PA AD ⊥，PA AB ⊥，进而可求出2cos 5PBD ∠=，sin 5PBD ∠=，从而可得1sin 2PBDSPB BD PBD =⋅∠=A 到平面PBD 的距离 【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以AD ⊥平面APB ，故PA AD ⊥.同理，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAD ，故PA AB ⊥. 故PA ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，PA AD ⊥，PA AB ⊥，由244PA AB AD ===可求得，BD =PA =PB =PBD △，2222cos 25PB BD PD PBD PB BD +-∠==⋅，sin 5PBD ∠=，1sin 2PBDS PB BD PBD =⋅∠=. 三棱锥A PBD -的体积11143323A PBD D PAB PAB V V S AD PA AB AD --===⨯⋅⋅=△.设h 为点A 到平面PBD 的距离，则133A PBD PBD V S h -==△，所以得433h =，故21h =.所以点A 到平面PBD . 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查点到面的距离的求法，解题的关键是利用等体积法进行转化，从而可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题13．在多面体ABCDE 中，1AD BE ==，2AB BC ==，//AD BC ，3DAB π∠=，2ABE π∠=，平面ABCD ⊥平面ABE ．（1）证明：BC DE ⊥；（2）求直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【分析】（1）连接DB ，通过AD DB ⊥和EB AD ⊥证明AD ⊥平面DBE ，即得AD DE ⊥，再由//AD BC 得BC DE ⊥；（2）过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ，根据等体积法求出点B 到平面DCE 的距离，即可求出直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值．【详解】解：（1）连接DB ，在ABD △中，2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，则BD =所以，222AD BD AB +=，即2ADB π∠=，AD DB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，且EB AB ⊥， 所以EB ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以EB AD ⊥，由AD DB ⊥，EB AD ⊥，DBEB B =，且DB ，BE ⊂平面DBE ，所以有AD ⊥平面DBE ，因为DE ⊂平面DBE ，所以AD DE ⊥，又因为//AD BC ，所以BC DE ⊥．（2）过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ，∵//AD BC ，π3DAB ∠=，∴π3CBG ∠=， 由90CGB ∠=︒，可得：sin 602CG BC =⋅︒==1cos60212BG BC =⋅︒=⨯=，∵1BE =，90EBG ∠=︒，∴EG =， ∵平面ABCD ⊥平面ABE ，面ABCD面ABE AB =，CG AB ⊥， ∴CG ⊥面ABE ，又∵EG ⊂平面ABE ，∴CG EG ⊥，∴90CGE ∠=︒，∴2225CE CG GE =+=，∴CE =由（1）可知，AD DE ⊥，∴2224DE AE AD =-=，即2DE =，由（1）可知，AD ⊥平面DBE ，所以AD BD ⊥，∴BD =∵//AD BC ，∴BC BD ⊥，∴2227CD BD BC =+=，即CD =可知2222cos2DC CE DE DCE DC CE +-∠===⋅sinDCE ∠==11sin 22DCE S DC CE DCE =⨯⨯⨯∠==△，11213323E BCD BCD V S BE -=⋅⨯=⨯=△， 由等体积：E BCD B CDE V V --=，13CDE S h =⋅⨯△13h =，解得h = 设直线BC 与平面DCE 所成角为θ，则sin h BC θ===． 【点睛】关键点睛：第一问考查线线垂直的证明，解题的关键是利用线面垂直的性质证明；第二问考查线面角的求法，解题的关键是通过等体积法求出点B 到平面DCE 的距离，再由sin h BCθ=求出. 14．如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求二面角B AC E --的大小；（3）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）arcsin 3；（3【分析】要证明AE ⊥平面BCE ，需要在平面BCE 内找两条相交直线都垂直于AE ，而易证BF ⊥AE ，CB ⊥AE ； (2)求二面角B AC E --的余弦值，需要先作角，连接BD 交AC 交于G ，连接FG ，可证得BGF ∠是二面B AC E --的平面角，在BFG 中求解即可；(3)求点D 到平面ACE 的距离，可以转化为求三棱锥D−ACE 的高用等体积法求出即可．【详解】证明：∵BF ⊥平面ACE ，平面ACE 平面BCE CE =,∴BF AE ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角，∴平面ABCD ⊥平面ABE ，又BC AB ⊥，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC AE ⊥，又BF ⊂平面BCE ，BF BC B ⋂=，∴AE ⊥平面BCE ；(2)连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，∵ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥，∵BF ⊥平面ACE ，∴FG AC ，FGB ∠为二面角B AC E --的平面角，由(1)可知，AE ⊥平面BCE ，∴AE EB ⊥，又AE EB =，2AB =，AE BE ==在Rt BCE ∆中，CE =BC BE BF CE ⋅===在正方形中，BG =，在直角三角形BFG 中，sin 3BF FGB BG ∠===，∴二面角B AC E --为arcsin 3； (3)由(2)可知，在正方形ABCD 中，BG DG =，D 到平面ACB 的距离等于B 到平面ACE 的距离，BF ⊥平面ACE ，线段BF 的长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为D 到平面ACE 的距离，∴D 到平面ACE3=.【点睛】思路点睛：：本题考查求证线面垂直，求二面角和体积，解答本题的关键是作出二面角B AC E --的平面角，用定义法求二面角的步骤,一作二证三求解:作出二面角的平面角证明作出的角即为所求二面角的平面角.（2）将角归结到三角形中，利用余弦定理求解（3）得出答案.15．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PC PD ==2CD =.（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求点D 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PCD ，进而可得AD PC ⊥，结合平面几何的知识可得PC PD ⊥，由线面垂直的判定即可得证；（2）取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解.【详解】（1）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面PCD ，又∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥，在PCD 中，PC PD ==2CD =，222PC PD CD +=，∴PC PD ⊥，∵PD AD D ⋂=，PD ,AD ⊂平面PAD ，∴PC ⊥平面PAD ；（2）设点D 到平面PAB 的距离为h ，取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，如图，则PO CD ⊥．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵112PO CD ==，OA =∴在POA 中，PA =PB =∴PAB △是等腰三角形，PH =由D PAB P ABD V V --=1133PAB ABD S h S PO =⋅⋅=⋅⋅，∴AB PH h AB AD PO ⋅⋅=⋅⋅，即4h =，解得h =∴点D 到平面PAB ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离. 16．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离.【答案】（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ， EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB BC ⊥，2CD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//AE 平面PBC ；（Ⅱ）若2PA CD ==，求点E 以平面PBC 的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ，根据面面平行的判定定理，先证平面//AEF 平面PBC ，进而可证线面平行；（Ⅱ）根据题中条件，先求出三棱锥的体积，再设点D 到平面PBC 的距离为d ，根据体积公式，即可求出点到面的距离.【详解】（Ⅰ）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ．因为E 为PD 的中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．因为2CD AB =，所以AB CF =．又//AB CD ，所以四边形ABCF 是平行四边形，所以//BC AF ，因为AF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AF 平面PBC ；因为EF AF F =，且EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面PBC ；因为AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面PBC ．（Ⅱ）因为E 是PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12． 因为PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ．所以BC PB ⊥． 所以1112223323BCD P BCD V S PA BC BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥△．在Rt PAB 中，1AB =，PB =所以12PCB S BC BC =⨯=△． 设点D 到平面PBC 的距离为d ，则1233d BC BC ⨯=，解得d =．所以点E 到平面PBC ． 【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到面的距离，属于常考题型.18．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===（1）求二面角F BC A --的大小的正切值；（2）求点E 到平面AFC 的距离；（3）求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.【答案】（1；（2（3）【分析】（1）过A 作AG BC ⊥于点G ，则AGF ∠为二面角F BC A --的平面角，求其正切值即可； （2）设点E 到平面AFC 的距离为h ，利用等体积法计算即得结果；（3）作CH AB ⊥于点H ，则CFH ∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，求其正弦值即可.【详解】解：（1）过A 作AG BC ⊥于点G ，连接FG ，四边形ABCD 是菱形，60,2ABC AB ∠=︒=，ABC ∴为等边三角形，1BG GC ==,AG =FA ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，FA BC ∴⊥，又AG BC ⊥，AG FA A =，BC ∴⊥平面AFG ，BC FG ∴⊥-AGF ∴∠为二面角F BC A --的平面角，tanAF AGF AG ∠===； ()2连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ，则E ACF C AEF V V --=，即11333ACF AEF s h S ⋅=⋅，也就是11113232AF AC h AF AD ⨯⋅⋅=⨯⋅解得：h = (3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，1,AH CH FH ===，FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，sin4CH CFH CF ∴∠===． 【点睛】 求空间中二面角的常见方法为：（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，1PD DC BC ===，2AB =，//AB DC ，90BCD ∠=，求点A 到平面PBC 的距离.【分析】先求出三棱锥P ABC -的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=，再根据A PBC P ABC V V --=求解. 【详解】连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵//AB DC ，90BCD ∠=，∴90ABC ∠=，从而2AB =，1BC =，得ABC 的面积1ABC S ∆=，由PD ⊥平面ABCD 及1PD =，得三棱锥P ABC -的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=， ∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD DC ⊥，又1PD DC ==，∴PC ==由PC BC ⊥，1BC =，得PBC ∆的面积2PBC S ∆=，由1133A PBC P ABC PBC V V S h --∆==⋅=得h =故点A 到平面PBC 【点睛】方法点睛：点到平面的距离常见求法：①几何法：作出点P 到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点P 到平面ABC 的距离，如果已知点C 到平面PAB 的距离，则可以根据C P A ABC P B V V --=求出点C 到平面PAB 的距离；③向量法：已知AB 是平面α的一条斜线，n 为平面α的法向量，则A 到平面α的距离为||||AB n d n ⋅=. 20．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 、1BB 中点，求点1B 到平面1D EF 的距离.【分析】 利用等体积法列方程，解方程求得点1B 到平面1D EF 的距离.【详解】依题意1D E == ∵11//A B EF ⇒11//A B 平面1D EF ，∴点1B 到平面1D EF 的距离即为点1A 到平面1D EF 的距离，根据正方体的性质可知1EF D E ⊥，设点1B 到平面1D EF 的距离为h ，1111A D EF F A D E V V --=， 即111111113232EF D E h A D A E EF ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即111111A D A E h D E ⨯⨯=== 即点1B 到平面1D EF.【点睛】要求点到平面的距离，可利用等体积法列方程，通过解方程来求得点面距.21．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中求出下列距离：（1）点A 到面11BB C C 的距离；（2）线段11B D 到面ABCD 的距离；（3）点A 到面11BB D D 的距离；（4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a ；（2）a ；（3）2a ；（4）3a . 【分析】（1）利用正方体的性质，即可求得点A 到面11BB C C 的距离；（2）利用线面平行的性质，即可求得线段11B D 到面ABCD 的距离；（3）利用线面垂直的性质，即可求得点A 到面11BB D D 的距离；（4）利用等体积法，即可求得C 到平面1BDC 的距离.【详解】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，则AB ⊥平面11BB C C ，所以点A 到面11BB C C 的距离为边长AB a ；（2）因为11B D ∥平面ABCD ，且1B B ⊥平面ABCD ，所以线段11B D 到面ABCD 的距离为1B B a =；（3）因为AC ⊥平面11BB D D ，所以点A 到面11BB D D 的距离为面对角线的AC 的12，即2a ；（4）设C 到平面1BDC 的距离为h ，三棱锥1C BDC -的体积为V ，在1BDC ∆中，11BD DC BC ===，则1BDC ∆的面积为22)42a =，利用等体积法可得：2111323V a a a h =⨯⨯⨯⨯=⨯，所以h = 22．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d . 【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ，∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d ∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△ 122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=;∴d =即点C 到平面APD【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 23．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，设平面ABC 的法向量n a yb zc =++（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求n 及n 的长度；（3）求点M 到平面ABC 的距离【答案】（1）1122BM a b c =-++；（2）3a b c n =+-；||n=；（3. 【分析】（1）根据向量减法法则和平行四边形法则，即可求得BM ； （2）由n 是平面ABC 的法向量，得00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，即可求出3a b c n =+-，再利用向量的模长公式可求n . （3）由1//A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离，即c nd n⋅=即可求出.【详解】（1）连接1AB ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b=，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴11AC AC a b==+又M 为线段11A C 中点，∴()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中，()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒由n 是平面ABC 的法向量，得00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，即11102211022y z y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得1,3y z ==-3b n a c ∴=+-a b c a b a c b c n ⋅--∴⋅+⋅==222+9+2666（3）因为1//A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离所以()21323c a c b c c a b c c n d n+⋅+⋅-⋅⋅=====+-【点睛】关键点睛：本题主要考查了向量的线性表示和求向量的模长，解题关键是掌握向量减法法则和平行四边形法则，及其向量的数量积公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 24．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足//AD BC 且12,AB AD AA BD DC =====.（1）求证：AB ⊥平面11ADD A ；（2）求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值； （3）求点1C 到平面11B CD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）3【分析】(1)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(2) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.(3)设点1C 到平面11B CD 的距离为h ，运用等体积法111111C B CD C B C D V V --=，可求得点1C 到平面11B CD 的距离. 【详解】(1) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(2)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，。
点面距离的求法
★点面距离的求法：线面→点面距离←面面距离⒈直接作垂线法：即直接由点作垂线，求垂线段的长。
这种方法通常要考虑垂足的位置⒉分点转化法：如果平面的一条斜线段被这个平面平分，那么由全等三角形知识可知，这条斜线段的两个端点到这个平面的距离相等。
（推广）如果平面的一条斜线段上各分点到斜足的距离对应成比例，那么由相似可知，这些分点到该平面的距离也对应成比例。
利用这个结论可以快速地将点面距离转化为求斜线上的另一个分点到这个平面的距离。
⒊转化为求平面的平行直线与平面之间的距离⒋体积法：※利用三棱锥的体积公式求点到平面的距离，大致分为以下几步：①把点到平面的距离看作一个三棱锥的高； ②求与此高对应的底面的面积； ③转换顶点或用割补法求此三棱锥的体积；④利用三棱锥体积的自等性，列出方程求高；⒌转化为两平行平面之间的距离⒍向量法※设是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为||n d =1.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.322．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为AA 1的中点，则直线BD 与平面GB 1D 1的距离为( ) A.33 B.263 C.63 D.233 3.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为22a ，D 是棱A 1C 1的中(1)求证：BC 1∥平面AB 1D ；(2)求二面角A 1－AB 1－D 的大小；(3)求点C 1到平面AB 1D 的距离．4. 5.6.已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=o ，2,AB EC ==AE BE ==O 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到面AEC 的距离．。
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离最新考纲1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．概念方法微思考1．利用空间向量如何求线段长度？提示利用|AB →|2＝AB →·AB →可以求空间中有向线段的长度．2．如何求空间点面之间的距离？提示点面距离的求法：已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →||cos 〈AB →，n 〉|.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×)(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．(√)(5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.(×)题组二教材改编2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°答案C解析cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______．答案π6解析如图，以A 为原点，以AB →，AE →(AE ⊥AB )，AA 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴(如图)建立空间直角坐标系，设D 为A 1B 1的中点，则A (0，0，0)，C 1(1，3，22)，D (1，0，22)，∴AC 1→＝(1，3，22)，AD →＝(1，0，22)．∠C 1AD 为AC 1与平面ABB 1A 1所成的角，cos ∠C 1AD ＝AC 1，→·AD→|AC 1→||AD →|＝(1，3，22)·(1，0，22)12×9＝32，又∵∠C 1AD ∈0，π2，∴∠C 1AD ＝π6.题组三易错自纠4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22答案C 解析以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则可得A (2，0，0)，B (0，2，0)，M (1，1，2)，N (1，0，2)，∴BM →＝(1，－1，2)，AN →＝(－1，0，2)．∴cos 〈BM →，AN →〉＝BM ，→·AN →|BM →||AN →|＝1×(－1)＋(－1)×0＋2×212＋(－1)2＋22×(－1)2＋02＋22＝36×5＝3010.5．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l与α所成的角为________．答案30°解析设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型一求异面直线所成的角例1如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．(1)证明如图所示，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC .在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22.在Rt △FDG 中，可得FG ＝62.在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG .又AC ∩FG ＝G ，AC ，FG ⊂平面AFC ，所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(2)解如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 所在直线为x 轴、y 轴，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)，1，0C (0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →1，－3故cos 〈AE →，CF →〉＝AE ，→·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练1三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，N ，M 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为()A.110B.35C.710D.45答案C解析如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC ＝2，则A (0，－1，0)，M (0，0，2)，B (－3，0，0)，－32，－12，所以AM →＝(0，1，2)，BN →＝32，－12，2所以cos 〈AM →，BN →〉＝AM ，→·BN →|AM →|·|BN →|＝725×5＝710，故选C.题型二求直线与平面所成的角例2(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．(1)证明由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，PF ∩EF ＝F ，PF ，EF ⊂平面PEF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)解如图，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF .所以PH ＝32，EH ＝32.则H (0，0，0)，，01，－32，DP →，32，HP →，0又HP →为平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈HP →，DP →〉|＝|HP ，→·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.思维升华若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2，故有sin θ＝|cos β|＝|l ·n ||l ||n |.跟踪训练2(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．(1)证明因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC .(2)解由(1)知OP ，OB ，OC 两两垂直，则以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23)．由(1)知平面PAC 的一个法向量为OB →＝(2，0，0)．设M (a ，2－a ，0)(0≤a ≤2)，则AM →＝(a ，4－a ，0)．设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0，得y ＋23z ＝0，＋(4－a )y ＝0，可取y ＝3a ，得平面PAM 的一个法向量为n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，所以cos 〈OB →，n 〉＝OB ，→·n |OB ，→||n |＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝cos 30°＝32，所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝－4(舍去)或a ＝43.所以n －833，433，－又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34.题型三求二面角例3(2018·济南模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO 1折起，使平面ADO 1O ⊥平面BCO 1O .如图2，点P 为BC 中点，点E 在线段AB 上(不同于A ，B 两点)，连接OE 并延长至点Q ，使AQ ∥OB .(1)证明：OD ⊥平面PAQ ；(2)若BE ＝2AE ，求二面角C —BQ —A 的余弦值．(1)证明由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长度为m ，则相关各点的坐标为O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0)．∵点P 为BC 中点，∴，92，∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →，m －92，－∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0，∴OD →⊥AQ →，OD →⊥PQ →，且AQ →与PQ →不共线，∴OD ⊥平面PAQ .(2)解∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3，则Q (6，3，0)，∴QB →＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6)．设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，1·QB ，→＝0，1·BC ，→＝06x ＋3y ＝0，3y ＋6z ＝0，令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，则n 1＝(1，2，1)，易知平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，设二面角C —BQ —A 的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则cos θ＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝66.思维升华利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解．跟踪训练3(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．(1)证明由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，又DM ⊂平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为 CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，BC ，CM ⊂平面BMC ，所以DM ⊥平面BMC .又DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .(2)解以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为 CD的中点．由题设得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，1)，AM →＝(－2，1，1)，AB →＝(0，2，0)，DA →＝(2，0，0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，则·AM ，→＝0，·AB ，→＝0，2x ＋y ＋z ＝0，y ＝0.可取n ＝(1，0，2)，DA →是平面MCD 的一个法向量，因此cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA ，→|n ||DA ，→|＝55，sin 〈n ，DA →〉＝255.所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是255.利用空间向量求空间角例(12分)如图，四棱锥S －ABCD 中，△ABD 为正三角形，∠BCD ＝120°，CB ＝CD ＝CS ＝2，∠BSD ＝90°.(1)求证：AC ⊥平面SBD ；(2)若SC ⊥BD ，求二面角A －SB －C 的余弦值．(1)证明设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，如图①，因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以AC 是BD 的垂直平分线，即O 为BD 的中点，且AC ⊥BD .[1分]在△BCD 中，因为CB ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，所以BD ＝23，CO ＝1.在Rt △SBD 中，因为∠BSD ＝90°，O 为BD 的中点，所以SO ＝12BD ＝3.在△SOC 中，因为CO ＝1，SO ＝3，CS ＝2，所以SO 2＋CO 2＝CS 2，所以SO ⊥AC .[4分]因为BD ∩SO ＝O ，BD ，SO ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD .[5分](2)解方法一过点O 作OK ⊥SB 于点K ，连接AK ，CK ，如图②，由(1)知AC ⊥平面SBD ，所以AO ⊥SB .因为OK ∩AO ＝O ，OK ，AO ⊂平面AOK ，所以SB ⊥平面AOK .[6分]因为AK ⊂平面AOK ，所以AK ⊥SB .同理可证CK ⊥SB .[7分]所以∠AKC 是二面角A －SB －C 的平面角．因为SC ⊥BD ，由(1)知AC ⊥BD ，且AC ∩SC ＝C ，AC ，SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC .而SO ⊂平面SAC ，所以SO ⊥BD .在Rt △SOB 中，OK ＝SO ·OB SB ＝62.在Rt △AOK 中，AK ＝AO 2＋OK 2＝422，同理可求CK ＝102.[10分]在△AKC 中，cos ∠AKC ＝AK 2＋CK 2－AC 22AK ·CK ＝－10535.所以二面角A －SB －C 的余弦值为－10535.[12分]方法二因为SC ⊥BD ，由(1)知，AC ⊥BD ，且AC ∩SC ＝C ，AC ，SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC .而SO ⊂平面SAC ，所以SO ⊥BD .[6分]由(1)知，AC ⊥平面SBD ，SO ⊂平面SBD ，所以SO ⊥AC .因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD .[7分]以O 为原点，OA →，OB →，OS →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图③，则A (3，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，S (0，0，3)．所以AB →＝(－3，3，0)，CB →＝(1，3，0)，SB →＝(0，3，－3)．[8分]设平面SAB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)，AB ，→·n ＝－3x 1＋3y 1＝0，SB ，→·n ＝3y 1－3z 1＝0，令y 1＝3，得平面SAB 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．同理可得平面SCB 的一个法向量为m ＝(－3，1，1)．[10分]所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－3＋3＋37×5＝10535.因为二面角A －SB －C 是钝角，所以二面角A －SB －C 的余弦值为－10535.[12分]利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角．1．已知两平面的法向量分别为m ＝(1，－1，0)，n ＝(0，1，－1)，则两平面所成的二面角为()A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．90°答案C解析cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，即〈m ，n 〉＝120°.∴两平面所成二面角为120°或180°－120°＝60°.2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为()A.55B.53C.56D.54答案A解析设CA ＝2，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，B 1(0，2，1)，可得向量AB 1→＝(－2，2，1)，BC 1→＝(0，2，－1)，由向量的夹角公式得cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝0＋4－14＋4＋1×0＋4＋1＝15＝55，故选A.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22答案B解析以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，，0D (0，1，0)，∴A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →，0设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，1D ，→·n 1＝0，1E ，→·n 1＝0，－z ＝0，－12z ＝0，＝2，＝2，∴n 1＝(1，2，2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与B 1D 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案D解析以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，B 1(1，0，1)，D (0，1，0)．∴AC →＝(1，1，0)，B 1D →＝(－1，1，－1)，∵AC →·B 1D →＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC →⊥B 1D →，∴AC 与B 1D 所成的角为π2.5．(2018·上饶模拟)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，AB ＝AA 1＝2，则异面直线AB 1与CA 1所成角的余弦值为()A ．0B ．－14C.14D.12答案C解析以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(3，1，2)，A 1(0，0，2)，C (0，2，0)，AB 1→＝(3，1，2)，A 1C →＝(0，2，－2)，设异面直线AB 1和A 1C 所成的角为θ，则cos θ＝|AB 1→·A 1C →||AB 1→|·|A 1C →|＝|－2|8·8＝14.∴异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值为14.6．(2018·上海松江、闵行区模拟)如图，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系O －xyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0，0，2)，平面ABC 的法向量为n ＝(2，1，2)，设二面角C －AB －O 的大小为θ，则cos θ等于()A.43B.53C.23D ．－23答案C解析由题意可知，平面ABO 的一个法向量为OC →＝(0，0，2)，由图可知，二面角C －AB －O 为锐角，由空间向量的结论可知，cos θ＝|OC ，→·n ||OC ，→||n |＝|4|2×3＝23.7．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为________．答案55解析以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，0，，12，，12，∴PA →＝(0，0，－2)，DE →，12，DF →－12，12，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DE ，→＝0，·DF ，→＝0，＝0，x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2，0，1)，设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PA →〉|＝|PA ，→·n ||PA ，→||n |＝55，∴直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.8.如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．答案45解析∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0，0，0)，A (1，0，0)，F (0，2，0)，C (0，2，1)，∴AF →＝(－1，2，0)，EC →＝(0，2，1)，∴cos 〈AF →，EC →〉＝AF ，→·EC →|AF →||EC →|＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.9.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________．答案60°解析以B 点为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)，则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF ，→·BC 1→|EF →||BC 1→|＝22×22＝12，∵异面直线所成角的范围是(0°，90°]，∴EF 和BC 1所成的角为60°.10．(2018·福州质检)已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________．答案23解析方法一延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示．设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求锐二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.方法二如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设DA ＝1，由已知条件得A (1，0，0)，，1，1AE →，1AF →1，1设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AE ，→＝0，·AF ，→＝0，＋13z ＝0，x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1，1，－3)，取平面ABC 的法向量为m ＝(0，0，－1)，设平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝31111，tan θ＝23.11．(2018·皖江八校联考)如图，在几何体ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1ACC 1⊥底面ABC ，四边形A 1ACC 1是正方形，B 1C 1∥BC ，Q 是A 1B 的中点，且AC ＝BC ＝2B 1C 1，∠ACB ＝2π3.(1)证明：B 1Q ⊥A 1C ；(2)求直线AC 与平面A 1BB 1所成角的正弦值．(1)证明如图所示，连接AC 1与A 1C 交于M 点，连接MQ .∵四边形A 1ACC 1是正方形，∴M 是AC 1的中点，又Q 是A 1B 的中点，∴MQ ∥BC ，MQ ＝12BC ，又∵B 1C 1∥BC 且BC ＝2B 1C 1，∴MQ ∥B 1C 1，MQ ＝B 1C 1，∴四边形B 1C 1MQ 是平行四边形，∴B 1Q ∥C 1M ，∵C 1M ⊥A 1C ，∴B 1Q ⊥A 1C .(2)解∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，CC 1⊥AC ，CC 1⊂平面A 1ACC 1，∴CC 1⊥平面ABC .如图所示，以C 为原点，CB ，CC 1所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，令AC ＝BC ＝2B 1C 1＝2，则C (0，0，0)，A (3，－1，0)，A 1(3，－1，2)，B (0，2，0)，B 1(0，1，2)，∴CA →＝(3，－1，0)，B 1A 1→＝(3，－2，0)，B 1B →＝(0，1，－2)，设平面A 1BB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥B 1A 1→，n ⊥B 1B →，－2y ＝0，2z ＝0，可令y ＝23，则x ＝4，z ＝3，∴平面A 1BB 1的一个法向量n ＝(4，23，3)，设直线AC 与平面A 1BB 1所成的角为α，则sin α＝|n ·CA ，→||n |·|CA ，→|＝23231＝9331.12．(2018·赣州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠CDA ＝90°，CD ＝2AB ＝2，AD ＝3，PA ＝5，PD ＝22，点E 在棱AD 上且AE ＝1，点F 为棱PD 的中点．(1)证明：平面BEF ⊥平面PEC ；(2)求二面角A －BF －C 的余弦值．(1)证明在Rt △ABE 中，由AB ＝AE ＝1，得∠AEB ＝45°，同理在Rt △CDE 中，由CD ＝DE ＝2，得∠DEC ＝45°，所以∠BEC ＝90°，即BE ⊥EC .在△PAD 中，cos ∠PAD ＝PA 2＋AD 2－PD 22PA ·AD ＝5＋9－82×3×5＝55，在△PAE 中，PE 2＝PA 2＋AE 2－2PA ·AE ·cos ∠PAE ＝5＋1－2×5×1×55＝4，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，即PE ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥BE .又因为CE ∩PE ＝E ，CE ，PE ⊂平面PEC ，所以BE ⊥平面PEC ，所以平面BEF ⊥平面PEC .(2)解由(1)知EB ，EC ，EP 两两垂直，故以E 为坐标原点，以射线EB ，EC ，EP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，22，0)，P (0，0，2)，，－22，D (－2，2，0)，－22，22，AB →，22，BF →－322，22，BC →＝(－2，22，0)，设平面ABF 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB ，→＝22x 1＋22y 1＝0，·BF →＝－322x 1＋22y 1＋z 1＝0，不妨设x 1＝1，则m ＝(1，－1，22)，设平面BFC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，·BC ，→＝－2x 2＋22y 2＝0，·BF ，→＝－322x 2＋22y 2＋z 2＝0，不妨设y 2＝2，则n ＝(4，2，52)，记二面角A －BF －C 为θ(由图知应为钝角)，则cos θ＝－|m ·n ||m |·|n |＝－|4－2＋20|10·70＝－11735，故二面角A －BF －C 的余弦值为－11735.13.如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3.E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点(端点除外)，满足SF BF ＝CE BE＝λ，当实数λ的值为________时，∠AFE 为直角．答案916解析因为SA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .∵AB ＝4，SA ＝3，∴B (0，4，0)，S (0，0，3)．设BC ＝m ，则C (m ，4，0)，∵SF BF ＝CE BE＝λ，∴SF →＝λFB →.∴AF →－AS →＝λ(AB →－AF →)．∴AF →＝11＋λ(AS →＋λAB →)＝11＋λ(0，4λ，3)，∴F0，4λ1＋λ，31＋λ同理可得m 1＋λ，4，0，∴FE →m 1＋λ，41＋λ，－31＋λ∵FA →0，－4λ1＋λ，－31＋λ∠AFE 为直角，即FA →·FE →＝0，则0·m 1＋λ＋－4λ1＋λ·41＋λ＋－31＋λ·－31＋λ＝0，∴16λ＝9，解得λ＝916.14．(2018·海南五校模拟)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N ，Q 分别是CC 1，BC ，AC 的中点，点P 在直线A 1B 1上运动，且A 1P →＝λA 1B 1→(λ∈[0，1])．(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥平面PNQ ；(2)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 的夹角为60°？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明连接A1Q.∵AA1＝AC＝1，M，Q分别是CC1，AC的中点，∴Rt△AA1Q≌Rt△CAM，∴∠MAC＝∠QA1A，∴∠MAC＋∠AQA1＝∠QA1A＋∠AQA1＝90°，∴AM⊥A1Q.∵N，Q分别是BC，AC的中点，∴NQ∥AB.又AB⊥AC，∴NQ⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∴NQ⊥AA1.又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，∴NQ⊥平面ACC1A1，∴NQ⊥AM.由NQ∥AB和AB∥A1B1可得NQ∥A1B1，∴N，Q，A1，P四点共面，∴A1Q⊂平面PNQ.∵NQ∩A1Q＝Q，NQ，A1Q⊂平面PNQ，∴AM⊥平面PNQ，∴无论λ取何值，总有AM⊥平面PNQ.(2)解如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，，1，12，，12，NM →－12，12A 1B 1→＝(1，0，0)．由A 1P →＝λA 1B 1→＝λ(1，0，0)＝(λ，0，0)，可得点P (λ，0，1)，∴PN→λ，12，－设n ＝(x ，y ，z )是平面PMN 的法向量，·NM ，→＝0，·PN ，→＝0，＋12y ＋12z ＝0，＋12y －z ＝0，＝1＋2λ3x ，＝2－2λ3x ，令x ＝3，得y ＝1＋2λ，z ＝2－2λ，∴n ＝(3，1＋2λ，2－2λ)是平面PMN 的一个法向量．取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)．假设存在符合条件的点P ，则|cos 〈m ，n 〉|＝|2－2λ|9＋(1＋2λ)2＋(2－2λ)2＝12，化简得4λ2－14λ＋1＝0，解得λ＝7－354或λ＝7＋354(舍去)．综上，存在点P ，且当A 1P ＝7－354时，满足平面PMN 与平面ABC 的夹角为60°.15．在四棱锥P －ABCD 中，AB →＝(4，－2，3)，AD →＝(－4，1，0)，AP →＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h 等于()A ．1B ．2C ．13D ．26答案B 解析设平面ABCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⊥AB →，⊥AD →，x －2y ＋3z ＝0，4x ＋y ＝0，令y ＝4，则n ，4则cos 〈n ，AP →〉＝n ·AP →|n ||AP →|＝－6＋8－323133×226＝－2626，∴h ＝2626×226＝2.16.如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF .(1)求证：EF ⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．(1)证明设AD ＝CD ＝BC ＝1，∵AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，∴AB ＝2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，则BC ⊥AC .∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC ＝C ，CF ，BC ⊂平面BCF ，∴AC ⊥平面BCF .∵EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BCF .(2)解以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，∴AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，·AB ，→＝0，·BM ，→＝0，－3x ＋y ＝0，－y ＋z ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，3，3－λ)．易知m ＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量，∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝11＋3＋(3－λ)2×1＝1(λ－3)2＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos 〈n ，m 〉取得最小值77，∴当点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为77.。
点面距离的求解
①法一：依据判定找过已知点且与已知平面垂直的平 面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂 直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在 交线上
例1：如图：在四面体P-ABC中， PC⊥平面ABC， AB=BC=CA=PC=a， 求B到面PAC的距离。
P
M A C
分析：由PC⊥平面ABC，PC 面PAC可得， 面ABC⊥面PAC，又BM⊥面PAC。而三角形ABC为等边三角形 3 故 BM =
《点面距离》 1 6
比例法 借助平行，进行比例转化，来求解距离。
P M
M N
O
N
Q
Q
O
P
如图PM∩平面
=O，PQ⊥平面 于Q，MN⊥平面 于
PO
《点面距离》 1 7
N，则 MN = MO
PQ
例10如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AC∩BD=O，AD=5，BC=10。若BC 平面 ，点O到平 面 的距离为7，求AD到平面 的距离。
BA
n
B
∴点B到平面的距离为
AB n n
(实质是 BA 在法向量 n 方向上的正投影的数量绝对值)
C
A
《点面距离》
1 4
例9如图，已知平面 A1 B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面 ABC，等边△ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且 ∠ ACB = 90 ，设AC= 2a, BC = a 求A到平面VBC的距 离。 z V 则 A(0, a,0), B( a, a,0), C(0, a,0), O ，易 解：取AC的中点O。连结 B1B1(0,0, 3 a) 设平面VBC的一个法向量 n = 知 OB1 平面ABC，过O作直线, y, z ), ( x 又 CB1 = (0, a, 3a), 由 n BC , n CB1 C1 OE∥BC交AB于E，取O为空间直角 A1 得(x,y,z)•(-a,0,0)=0, (x,y,z)•(0,OB 坐标系的原点，OE、OC、 1 所在的 B1 a, 3a )= 0 直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如 取z=1, 得 n = (0, 3,1) 图所示的空间直角坐标系。 A O C 点A到平面VBC的距离，即 AB1 E B 在平面VBC的法向量 n 上的投影 x 的绝对值 设 AB1 = a, 3a). 所求的距离为 d (0, 则 d = AB1 cos AB1 , n
立体几何距离的求法
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。
求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；③体积法：利用三棱锥体积公式。
（2）线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段；②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；六、常用的结论：（1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=；（2）如何确定点在平面的射影位置：①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体ABCD 中：①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心。
点面距离空间向量求法
点面距离空间向量求法以《点面距离空间向量求法》为标题，写一篇3000字的中文文章点面距离空间向量求法是一种空间向量研究方法，可以帮助我们确定表面上有多少距离，它利用特定的点和面来表示某物体的位置和形状。
在物体研究中，它通常用于识别物体的尺寸和形状等参数的计算，以及基于空间的理解和模拟操作。
就点面距离空间向量求法而言，它的基本概念是在一个三维空间中，一个物体的位置可以用一个向量来表示，而物体的外部形状也可以用另一个向量来表示。
这两个向量之间的距离可以用来测量物体的体积或形状，其基本公式如下：d（点，面）=||V1-V2||其中，V1是点的位置向量，V2是面的位置向量，||V1-V2||它们之间的向量差的模长，也就是它们之间的距离。
就应用而言，点面距离空间向量求法可以应用于几何学、机械设计、机器人技术等诸多领域。
在几何学中，点面距离空间向量求法可以用来求解形状特征，如物体的表面面积、体积等，以及表面上表现出的形状特征，如法线、垂直等。
在机械设计领域，它可以用来测量不同部件之间的距离或偏移，进而用来判断机器设计的准确性。
此外，它还可以用于机器人技术的发展，例如机器人的运动路径的规划以及机器人的夹持任务的计算。
在实际应用中，点面距离空间向量求法通常使用软件工具，如AutoCAD、SolidWorks等来实现，该软件可以实现形状特征的计算，以及表面上点与面之间的距离或偏移量的测量。
另外，它还可以与其他辅助软件，如激光扫描、特殊数字化模型等结合起来，实现更加精确的物体测量或研究。
总之，点面距离空间向量求法是一种常用的物体研究方法，它可以帮助我们更好地了解物体的形状，以及确定物体上某一点与某一面之间的距离或偏移量。
它的应用范围广泛，既可以在几何学、机械设计、机器人技术中使用，也可以与其他辅助软件结合使用，实现更多精密的物体测量研究。
例谈点面距离的求法
的 垂 线
求点 Ｐ到平 面 ＡＢ 的距离 ． Ｃ 解 ： 为 Ａ — ｃ，Ｂ 一 √ ， Ｃ ＝ ２ ， 因 Ｃ ￡Ａ ３￡ ｃＢ ａ 即 ＡＣ ＋Ａ ＝ Ｐ ，， 以 △Ｂ Ｂ Ｃ 所 ＡＣ是 直角 三角形 ， 过
例 ７ 已知 ｃ ｂ， ￡ ｃ∈ Ｉ ， ｃ＋ ｂ＋ ｃ一 １ 求 且 ￡ ，
证：
＋ 而
＋ 而
＜ ＇． ５ －
√ ２ 一 一３６ ② √ ＋ 一 ２ ・ ２ …， １ ） 、 一 ２
又 ① ＋② 得 ：
例 ６ 已知 ｃ ｂ ｃ∈ Ｒ ， ｃ ｂ ￡， ， ＋ 且 ￡ ＋ｃ一 ２ 求 ＋ ，
： ＋１ ，
＿ ≤ 干 害 ： ｃ １ ＿＋． ３
一
．
≤
．
莩 ， ①
， ② ． ③
当且仅当ｌ 干Ｔ时， 一０ 一 ｎ 时等号取得 ， 又 因为 ｎ∈ Ｒ ， 等号 不 成立 ， ③ 式 同理 等号 ＋故 ②
不 成立．
：
、
．
≤
．
故
１ ・
维普资讯
露 研 解 究 题
例 谈 点 面距 离 的求 法
（ 肃省 高 台县 第一 中学 ７ ４ ０ ） 张彩 霞 甘 ３ ３ ０ 求点 到平 面 的距 离 是 高 考 中 的一 类 常 考 题 型 ， 是立体 几何 学 习 中的一个 难点 内容之 一． 也 现 定 义知 ： 正三棱 锥 的顶 点 在底 面 内的 射 影 是底 面 的 中心 等等 ， 用 这些 结 论 ， 确 地 定位 垂 足 ， 利 准 从 而找 到平 面的垂 线．
一
丽
＜
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点面距离的几种求法
立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.
一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面
求点A 到平面PBD 的距离.
解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作
AH ⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22
则PO=17,∴AH=1734
617
223=
⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.
二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.
例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=
∆1
1D AB S 2
22
3)2(43a a =⋅. 由
111111D AB A B AA D V V --=,易得
A 1到面A
B 1D 1的距a 3
3
. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2
3,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C.
(1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小; (3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.
解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由
B AA
C ABC A V V 11--=,可得点C 到面A 1
ABB
1
的距离为
3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距
离为3.
总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.
一元挑随 一元挑随峯孞尛。