具有庇护所与收获效应的Rosenzweig型捕食食饵模型

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生态系统稳定性的数学模型分析

生态系统稳定性的数学模型分析生态系统是由生物、非生物及它们之间相互作用组成的一个复杂系统。

它包含了各种气体、水、土壤、植物和动物等要素，这些要素之间相互依存、相互作用，形成了一个相对稳定的系统。

然而，由于人类对自然环境的破坏和污染，使得很多生态系统无法保持原有的平衡和稳定，很容易出现劣化和破坏。

为了解决这个问题，科学家们通过建立数学模型来研究生态系统的稳定性，从而预测出生态系统变化的趋势，并制定相应的保护方案。

下面，我们将介绍一些常用的生态系统稳定性数学模型。

1. Rosenzweig-MacArthur模型Rosenzweig-MacArthur（RM）模型是用来研究食物链稳定性的经典模型。

它的基本思想是通过食物链上的捕食关系来分析生态系统的稳定性。

该模型采用两种物种——食饵和掠食者来模拟生态系统，假设食饵和掠食者之间的相互作用遵循Logistic增长模型和Lotka-Volterra方程，分析它们的数量变化。

RM模型中，掠食者数量的增长受到食饵数量的限制，而食饵数量的减少是受到掠食者数量的影响。

通过这两种相互作用的平衡，RM模型可以分析出食物链稳定性是否会破坏。

2. Holling-II模型Holling-II模型是一种关于捕食者与食饵数量之间关系的经典模型。

该模型认为，食饵数量的增加会导致捕食者数量的增加，而当食饵数量达到一定程度时，捕食者的数量就会饱和或变化趋于平缓。

Holling-II模型中，食饵数量的增长率是一个关于食饵数量本身的函数，而捕食者数量的增长率则考虑到食饵数量对其的影响。

通过该模型可以分析出生态系统是否处于均衡状态，并且可以预测出生态系统在受到外界干扰时的反应。

3. Ricker模型Ricker模型是用来分析种群数量变化的数学模型。

该模型认为，种群数量的变化受到环境因素的影响，而环境因素则可以用时间的函数来表达。

Ricker模型中，种群数量的增长率是一个关于种群密度的函数，函数形式即为Ricker方程形式，可以用来预测种群数量的变化趋势。

食饵—捕食者模型

精心整理楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。

ts=0:0.1:15;>>x0=[25,2];>>[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x], >>ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x], ans=省略>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>>>>pause>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,（可以猜测，x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x 的最大最小值分别为99.3，2.0，y 的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.）考虑阻滞作用因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义，所以，对2P 而言要求2σ>0。

按照判断平衡点稳定性的方法计算：根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下表：五模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：1)对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。

意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。

2)对，故当2σ>1 3)对定的。

具有庇护所的Lotka-Volterra型捕食-食饵系统

ｌｉｂ
Ｑ』＝一ｚ一（一＜，ｆｚｒ￡ｍ１）］０［２
＝ｆ２
故当系统（）的轨线与直线＝ｚ相遇时，２：均从直线＝ｚ的上方穿入下方．由于＝０Ｙ＝０是系统（），都２的轨线，于是由直线＝０Ｙ＝０，＝２，，Ｙ＝ｆ可围成区域Ｄ，：系统（）２
食饵种群和捕食者种群Ｙ的内禀增长率；为密度制约项；Ｋ，ｍ为捕获率；为转换率．口假设以上参数都是
正常数．
从生物学意义出发，我们仅在＝｛Ｙｌ ≥０Ｙ｝（）ｘ， ≥０上对系统（），１进行讨论．
一
般地，我们从两个方面来讨论庇护所效应：庇护所中的食饵密度与现有密度成正比，比例常数为，
ＬＮＬｎＨＵＬｎｊＩｉ，Ｏｉ－ｅｉ
（，ＭＥｕａｉｅａｔｅｔｆＹｎｈｎｏｔｈｉＣｌｇｇｉｌｒ，ｕｃｅｇ０４０，ｈｎ）ｄｃｔｎＤｐｒｎｕｃｅｇＰｌｅｎｏｅｅｏＡｒｕｕｅＹｎｈｎ４００Ｃｉｏｍｏｙｃｃｌｆｃｔａ
北华大学学报（自然科学版）
第１３卷
的讨论与第１种情形类似．
２主要结果
如果庇护所中的食饵与现有密度成正比，比例常数为，即＝ｙ（ ≤ １，系统（）以转化为ｘＯ≤ ）则１可
『
ｒＫ — （－）：Ｐ） — ｘｍ１ｙ］＝（，ｙ
＝
、
《【
［ｓ—Ｌｙ＋。１一）＝Ｑ，）ｍ（］：（ｙ．

两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析

南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。

食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。

本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。

本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。

利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。

然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。

最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。

这些结果推广了已知的一些结论。

关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

具有庇护所的R型捕食-食饵系统的最优收获

ＢｙａｌｉｇｔｅＨｕｗｉｃｔｒｏｐｐｙｎｈｒｔｒｅｎ，ｔｉｔｔｅｒｉｉｈｅｌｍｉｈｏｙ，ａｄＰｎｒａｉａｉｌｐｉｃｐｅ．ｓｔＴｈｔｔｆｔｅｎｏｔｙｇｎＳｍｘｍａｒｎｉｌＲｅｕｌｓｅｓａｅｏｈ
关键词：食一食饵系统；ｏｅｚｅ捕Ｒｓｎｗｉ；ｇ型庇护所效应
文献标识码：Ａ文章编号：００２４（０２０－５１５１０－７Ｘ２１）４０４－０中图分类号：７．２０１５１
Ｔｈｐｉａａｖｓｉｏｒｄｔｒｐｅｙｔｍｔｅｏｔｍｌｈｒｅｔｎｇｆｒａｐｅａｏ－ｒｙｓｓｅｗｉｈＲ
应用Ｈｒｕ．
ｗｔ判据、限环理论、ｏｔａｉｉｚ极Ｐｎｒｇｎ最大值原理等进行研究。结果分别得到了随捕获努力量变化ｙ
时系统的状态、庇护所效应具有稳定化作用和两种群的最优收获策略。结论在此系统中，庇护所效应具有稳定化作用，最优收获策略为生物资源的有效和理论Ｉ说明了此类系统更贴近４在对生物
的密度，ｘ￡表示ｔｅｒ（）时刻庇护所保护的食饵数量且ｍ ∈ （，）Ｅ表示对食饵种群和捕食者种群的捕获０１，努力量，，ｑｑ分别表示对食饵种群和捕食者种群的收获系数。中主要给出了系统全局渐近稳定的充文分条件和最优收获策略。

食饵捕食者研究

具有干扰因素的食饵-捕食者模型分析目录目录摘要…………………………………………………………………第一部分前言………………………………………………………1.1 生态数学的的研究背景及发展…………………………………1.2 基础知识…………………………………………………………第二部分 Lotka-Volterra模型的改进及其稳定性的研究…………2.1Lotka-Volterra模型………………………………………………2.2模型的研究对象及改进…………………………………………2.3 模型的稳定性的研究……………………………………………第三部分数值模拟3.1利用matlab对模型进行了数值模拟……………………………3.2模型缺陷…………………………………………………………第四部分总结………………………………………………………致谢…………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………第一部分前言1.1 生态数学的的研究背景及发展生态系统具有稳定性、可测性和可控性三大属性，是多层次的、多因子的、多变量的系统，只用常规的定性描述和一般的数理统计，搞不清楚它的内在规律，运用数学模型对生态系统实行管理、预测和调控，使其持续稳定发展是现代生态学研究的重要领域。

种群动力学是生态学的一个重要分支.它广泛地利用数学思想加积分方程、差分方程、泛函微分方程、偏微分方程、算子理论等数学学科中的理论和方法，通过数学建模研究生物种群的生存条件、生物种群与环境之间相互作用的过程、生物种群的演变和发展趋势.揭示生物种群的变化规律，合理利用资源，促进生态平衡这是迄今为止数学在生态学中应用深入，发展最为系统和成熟的分支，种群动力学的研究有着悠久的历史.早在1798年，Malthus 在研究人类的增长时，他引入数学方法，建立了最早的连续确定模型一一Malth 。

模型)(/)(t rN dt t dN =这是一个单种群模型.它反应了人类数量的变化，在t 不很长时是比较符合实际的，但当+∞→t 时种群规模将无限增长是不合实际的，究其原因在于它没有考虑到有限的资源对种群增长的制约作用.针对这个模型，后人不断分析各种因素的影响，完善和改进这一模型，使之能较好地反应人口(单种群)的变化规律，如P. F.Verhulst(1938年)建立的Logistic 模型)/)(1)((/)(k t N t rN dt t dN -=E.M .W right(1945年)建立的有确定时滞的Logistic 模型)/)(1)((/)(k r t N t rN dt t dN --=P. M. Nisbet 和W. S. C. Gurney(1984年)建立的具有生理阶段结构(stagestructure) 模型以及H. 1. Freedman 研究的具有斑块迁移的单种群模型等，无一不是对Malthus 模型的完善和扩展，极大地推动了种群动力学的发展现实世界中种群不可能单独存在，它必与相关种群相互作用，相互依存.Lotka-Volterra 模型是种群动力学中最为经典和重要的两种群相互作用的动力学模型，该模型分别由意大利数学家Volterra(1923年)解释鱼群变化规律和美国种群学家Lotka(1921年)在研究化学反应时提出。

一类具有收获率的捕食-被捕食模型的渐近性

１平衡点稳定性分析
式（）６的特征根为Ａ＝一￣４ｌ，＝一＋／－ａＦＡ６１ｄ
Ｅａ１（ｂ＋￣ｂ／２
２
—
－
—
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—
＿
＾
４ａｎＦ）
—
—
０由（ ‘）（５知，０，＼，５／ｌ０１、） ’ 、Ａ／Ａ，Ｈ，
捕食者的捕食转化率，有参数均非负。所引理１若系统（）１满足条件
（１ｂ４１Ａ）＞ａ１Ｆ。
会收敛于某一个平衡解；在不同的平衡解中寻求即
一
则式（）１有平衡点Ｅ（，）Ｅ（，）其中０，０，
第１Ｏ卷
第２８期
２１００年１０月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖ０．０Ｎ．８０ｃ．００１１ｏ２ｔ２１
ｌ７ — １１ｆ００２ —８７０６１８５２１）８６５ —３
ＳｉｎｅＴｅｈｏｏｙａｄＥｎｉｅｉｇｃｅｃｃｎｌｇｎｇｎｅｒｎ
析，以预测种群的发展变化趋势，人们的捕获可及行为对种群的影响，判断付出多大的捕获努力并量，既可维持生态系统的平衡，能使收获量达到又
最大来满足人类的需要。故对具有收获率的食饵
一
个稳定解的充分条件。关于平衡解的稳定性方

具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性

具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型的稳定性摘要：捕食者—食饵模型是生态学中重要的研究对象之一，在不同环境条件下的稳定性对于理解生态系统中相互依存关系的演化具有重要意义。

本文以具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型为研究对象，通过系统动力学的分析方法探讨了模型中参数对系统稳定性的影响。

研究表明，庇护所的存在可以提高食饵种群的存活率，从而间接影响了捕食者种群的稳定性；而非线性收获效应则对模型中捕食者的生存能力产生直接影响，从而影响了系统的稳定性。

本研究为理解生态系统中复杂的相互作用关系提供了一定的理论支持。

关键词：捕食者—食饵模型；庇护所；非线性收获效应；稳定性1. 引言捕食者—食饵模型是生态学中常用的研究工具，通过描述捕食者和食饵之间的相互关系，可以帮助我们理解和预测生态系统的动态变化。

在现实生态系统中，捕食者和食饵之间的相互作用通常包含了多种因素，如庇护所的存在和非线性收获效应等。

这些因素的引入使得捕食者—食饵模型更加接近真实生态系统的情况，但也增加了模型的复杂性和稳定性分析的困难。

2. 模型描述与方程建立我们考虑一个具有庇护所与非线性收获效应的捕食者—食饵模型，其中捕食者和食饵之间的相互作用可以用以下方程描述：食饵的增长率方程：$$\frac{dR}{dt} = rR - aRP$$捕食者的增长率方程：$$\frac{dP}{dt} = -mP + \beta RP^2$$在上述模型中，R表示食饵的数量，P表示捕食者的数量。

r表示食饵的自然增长率，a表示捕食者对食饵的捕食效率，m 表示捕食者的死亡率，而β表示非线性收获效应的强度。

这个模型中的庇护所效应可以通过引入抑制项（aRP）来表示，该项表示由庇护所提供的保护使得食饵种群的消耗速率减慢。

3. 稳定性分析为了分析模型的稳定性，我们需要求解系统的平衡点以及线性稳定性。

模型中的平衡点满足以下条件：$$rR - aRP = 0$$$$-mP + \beta RP^2 = 0$$求解以上方程组得到的平衡点为：$$R^* = \frac{m}{\beta a}$$$$P^* = \frac{r}{a}$$平衡点的线性稳定性可通过计算雅可比矩阵的特征值来判断。

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其转化为自身增长的转化率，ｄ表示捕食者的死亡
率；（Ｏ＜＜１）表示进入庇护所的食饵种群与现存种群密度的比率；Ｅ（Ｅ＞Ｏ）和Ｅ（Ｅ２＞Ｏ）分别表示食饵和捕食者的捕捞强度；ｑ和ｑ。分别表示食饵和捕食者的捕捞效率系数；ｑＥ。ｚ表示被捕捞的食饵种群的数量；ｑ。Ｅ。Ｙ表示被捕捞的捕食者种群
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆａＲｏｓｅｎｚｗｅｉｇｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｒｅｆｕｇｅｓａｎｄｈａｒｖｅｓ — ｔｉｎｇｉｎｔｈｅｉｒｓｐｅｃｉｅｓａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ，ｌｏｃａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙ，
其中ｚ和Ｙ分别表示食饵与捕食者的种群密度，函
０引言
捕食食饵相互作用的研究一直是理论生态学研
数（１一口）Ｘ “ （Ｏ＜ａ＜１）表示捕食者对食饵的Ｒ型功能反应函数；参数ｒ，Ｋ，Ｐ，ｑ，ｄ均为正常数，生物学意义分别为，ｒ表示食饵种群的内禀增长率，Ｋ表示食饵种群的环境容纳量，Ｐ表示捕食者对于其食
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）
饵种群的平均捕获率，ｑ表示捕食者捕获食饵并将
究的热点问题之一．陈风德在文献［１ — ３］中研究了具
有Ｈｏｌｌｉｎｇ型功能反应函数且具有收获效应的捕食食饵模型，同时考虑了庇护所效应；马智慧［４研究了Ｒ型捕食食饵模型，只考虑了庇护所效应而没有考虑收获效应．本文考虑具有Ｒ型功能反应的捕食食
ＳｔｕｄｙｏｎＲｏｓｅｎｚｗｅｉｇＰｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙＳｙｓｔｅｍｗｉｔｈＰｒｅｙＲｅｆｕｇｅｓａｎｄＨａｒｖｅｓｔｉｎｇ
ＺＨＵＪｉｅ，ＬＩＹｏｎｇ — ａｎ
模型平衡点的存在性、局部稳定性、全局稳定性及极限环的存在性，最后应用Ｐｏｎｔｒｙａｇｉｎ最大值原理给出了模型的最优捕获策略．
关键词：捕食食饵模型；Ｒ型功能反应；庇护所效应；收获效应中图分类号：Ｏ１７５．１４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２ — ６６８５（２０１３）０３ — ０００４ — ０４
ｇｉｖｅｎｂｙｕｓｉｎｇＰｏｎｔｒｙａｇｉｎ’ Ｓｍａｘｉｍａｌｐｒｉｎｃｉｐｌｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍ；Ｒｏｓｅｎｚｗｅｉｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅ；ｐｒｅｙｒｅｆｕｇｅ；ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇ
Ｖｏ１．２２Ｎｏ．３
Ｓｅｐ．２０ｌ３
具有庇护所与收获效应的Ｒｏｓｅｎｚｗｅｉｇ型捕食食饵模型工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：研究了同时具有庇护所与收获效应的Ｒｏｓｅｎｚｗｅｉｇ型捕食食饵模型的动力学行为，讨论了
第２２卷第３期２Ｏｌ３年９月
淮海工学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕａｉｈａｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｔｈｅｇｌｏｂａｌｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｌｉｍｉｔｃｙｃｌｅａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｈａｒｖｅｓｔｐｏｌｉｃｙｉｓ