勾股定理有着悠久的历史
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
勾股定理的实际应用题
WORD文档下载可编辑18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？19．（2007•义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则= _________ ．设路线2的长度为L2，则= _________ ．所以选择路线_________ （填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：=_________ ．路线2：= _________ ．所以选择路线_________ （填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？22．（2013•盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．一．选择题（共5小题）二．解答题（共22小题）6．（2013•徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？7．（2012•古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A 的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？9．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12cm．求△ABC的面积．10．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．1．（2010•新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）2．（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）3．（2012•乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A海里/小时海里/小时4．（2010•罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？13．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________ ．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________ ，请说明理由．（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为_________ ，请说明理由．24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？25．如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．26．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？27．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）2014年3月352449109的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2010•新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）OA=2．（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（），最大长度根据勾股定理，得：=133．（2012•乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A海里/小时海里/小时BC=海里，36÷2=18海里4．（2010•罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）AM=5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）由勾股定理可得杯里面管长为=13cm二．解答题（共22小题）6．（2013•徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？，AD=BD=BD=20+x=x=10AB=30的距离为）甲船看见灯塔所用时间：7．（2012•古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A 的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）BD==50AC==100==8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？==2AC+BC=2+22+29．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12cm．求△ABC的面积．12=12∴CB=12+12CB AD=72+7210．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？=2.4mC=x=下滑的距离是米．11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？AC===1213．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？CD===12014．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？BD==240km15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．=所以速度为16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．==0.617．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3，请说明理由．（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为S1+S2=S3，请说明理由．====+=S18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？=13m19．（2007•义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．；①当横向剪开时：②当竖向剪开时：，∴最短路程为，∠AOD=∠AOA∴AD=OAsin60°=4×=2=2AD=4，20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则= 49 ．设路线2的长度为L2，则= 25+π2．所以选择路线 2 （填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：= 121 ．路线2：= 1+25π2．所以选择路线 1 （填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．=1+25π2+时，时，时，21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？=5022．（2013•盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？AB===．，那么所用细线最短需要．23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．====＜=24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？==25==5；==5；525．如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．BC=SE==26．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？==2，；==．27．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）∴B′P=（。
勾股定理的历史背景与意义
勾股定理的历史背景与意义勾股定理，是数学中一个基本而重要的几何定理，其历史可以追溯至古代中国和古希腊。
这一定理的发现与应用对于数学和科学的发展产生了深远的影响。
本文将探讨勾股定理的历史背景及其在数学和现实生活中的意义。
一、古代中国与勾股定理的发现在中国古代，数学的发展经历了多个时期，其中春秋战国时期是数学思想迅速发展的时期。
《周髀算经》中记载了一些勾股数的关系，被认为是对勾股定理的初步探索。
然而，历史学家对于古代中国是否真正理解了勾股定理存在争议。
二、古希腊与勾股定理的研究古希腊是勾股定理研究的重要时期，许多古希腊数学家为勾股定理的发现和证明做出了贡献。
其中最著名的是毕达哥拉斯学派的毕达哥拉斯和他的学生们。
毕达哥拉斯学派通过观察直角三角形的边长关系，首次发现了勾股定理。
他们运用勾股定理解决了许多与几何相关的实际问题，极大地推动了三角学的发展，并奠定了勾股定理的地位。
三、勾股定理的数学意义勾股定理在数学中具有重要的意义。
它不仅是几何学的基石，还是数学分析、代数和计算机科学等领域的重要工具。
勾股定理能够用于计算直角三角形的各种属性，如边长、角度和面积等。
同时，勾股定理还为解决其他复杂的几何和物理问题提供了基础。
此外，它还与平方数有重要的联系，例如勾股三元数的例子。
四、勾股定理的应用意义勾股定理不仅在数学中有着重要的应用，也在现实生活中发挥着巨大的作用。
例如在建筑和工程领域，勾股定理被广泛应用于测量和设计，以确保建筑物的几何结构和稳定性。
此外，在航海、导航和天文学中，测量角度和距离的问题也经常涉及到勾股定理。
勾股定理的广泛应用使得我们能够更好地理解和利用数学在各个领域中的作用。
综上所述，勾股定理的发现与应用历史悠久，为古代数学和科学的发展做出了重大贡献。
它在数学和现实生活中有着重要的意义和广泛的应用。
通过研究和理解勾股定理，我们可以进一步认识数学的内涵，同时也能够更好地应用数学知识解决实际问题。
勾股定理的证明及其在几何学中的应用
勾股定理的证明及其在几何学中的应用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，它揭示了直角三角形中边与边之间的关系。
在几何学中，勾股定理具有广泛的应用，不仅在解决实际问题时有重要意义，也在研究纯粹的几何问题时扮演着关键角色。
一、勾股定理的证明勾股定理的证明历史悠久，最早可追溯至公元前中国和印度。
欧几里德给出了一种经典的证明方法，被广泛接受并应用至今。
欧几里德的证明方法基于几何关系，具体来说就是利用三角形的相似性和平行线的性质来展开。
首先，取一个直角三角形，假设较短的两条边分别为a和b，斜边为c。
然后，通过作图，将三角形分割成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两条边长度分别是a和b，另一个直角三角形的两条边分别是b和c-a。
接下来，我们可以看出这两个直角三角形的内角和相等，并根据相似三角形的性质得到下述等式：a/b = c-a/b进一步计算可得：a^2 + b^2 = c^2这就是勾股定理的证明过程。
这个证明方法简洁明了，且具有普适性，适用于各种类型的直角三角形。
二、勾股定理在几何学中的应用勾股定理在几何学中有广泛的应用，下面将介绍它在几何学中的两个经典应用。
1. 测量三角形的边长勾股定理可以应用于测量三角形的边长。
当我们已知一个直角三角形的两个边长时，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，我们已知一个直角三角形的两条边分别为3 cm和4 cm，通过勾股定理，可以计算出斜边的长度为5 cm。
这种应用在实际测量及工程设计中非常常见。
2. 判断三角形是否为直角三角形勾股定理也可用于判断一个三角形是否为直角三角形。
当一个三角形的边长符合勾股定理时，我们就可以得出结论，该三角形是个直角三角形。
例如，如果一个三角形的边长分别为5 cm、12 cm和13 cm，通过计算可以得到：5^2 + 12^2 = 13^2，满足勾股定理。
因此，可以确定该三角形是一个直角三角形。
勾股定理还有很多其他的应用，如在导航中计算位置、在工程建设中测算角度及角度变化等等。
勾股定理常考经典填空题
勾股定理一．填空题（共50小题）1．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上．（Ⅰ）如图①，点C，D在格点上，线段CD与AB交于点P，则AP的值等于；（Ⅱ）请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画出一点P，使AP=，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．2．等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB+AD=8cm，则底边BC上的高为cm．3．如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．6．如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为．7．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．8．△ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=．9．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒．10．如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB=5，AD=3．当△CEF是直角三角形时，BD=．11．有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是厘米（π取3）．12．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．13．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C 落在AB上的F处，并且FD∥BC，则CD长为．14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是．15．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b，已知c=9，b=1，则a=．16．在等腰直角△ABC中，AB=BC=5，P是△ABC内一点，且PA=，PC=5，则PB=．17．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为1cm2，则该半圆的直径为．18．如图，等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点，且AD=8，△ABC的周长是32，则△ABC的面积．19．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）20．学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，这端离开旗杆底部6米，则旗杆的高度是米．21．一根棍子放在一个长方体无盖盒子里，盒子的长宽高分别为4cm、3cm、和12cm，若要保证棍子全部放在盒子里，则这个盒子最长能放cm的棍子．22．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为．23．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．24．如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB′=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要分钟．25．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m，面积为160m2，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．26．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．27．已知△ABC中，BC=6，AB=8，AC=10，O为三条角平分线的交点，则O 到各边的距离为．28．现有一长5米的梯子，架靠在建筑物上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是m，若梯子沿建筑物竖直下滑1米，则建筑物底部与梯子底部在地面的距离是m．29．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．30．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．31．如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD和∠CAE是直角，若AB=6，BC=5，AC=4，则DE的长为．32．如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为．33．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm．34．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．35．如图，ABC三个正方形中字母A所代表的正方形的边长是．36．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．（结果不取近似值）37．直角三角形的两条边长分别为3厘米和4厘米，则这个直角三角形的周长为厘米．38．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．39．如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布．铺成图1时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是cm．（提供数据：≈1.4，≈1.7）40．有古诗“葭生池中”：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何（1丈=10尺）回答：水深尺，葭长尺．41．已知在直角三角形中，两直角边长分别为1与2，则斜边上的高线长为．42．如图是由正方形和直角三角形组成的勾股花盆图案，其中最大的正方形的边长为10厘米，那么，图中四个阴影正方形的面积之和是平方厘米．43．（1）将一副三角板如图1叠放，则左右阴影部分面积S1：S2之比等于．（2）将一副三角板如图2放置，则上下两块三角板面积A1：A2之比等于．44．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为．45．如图，在半径为9，圆心角为90°的扇形OAB的上有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，设G为△OPH的重心（三角形的三条中线的交点），当△PHG 为等腰三角形时，PH的长为．46．如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是cm．47．已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB 的长为．48．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M 是BC的中点，则DM=．49．在△ABC中，∠ABC=45°，AB=4，BD⊥BC，且BD=2，若AD⊥AC，则S△ABC=．50．如图，一次大风把一棵大树刮断，经测量，大树顶端的着地点A到树根部C的距离为10米，BC部分为4米，这棵大树的高为米（精确到个位）．2017年12月06日158****8491的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共50小题）1．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上．（Ⅰ）如图①，点C，D在格点上，线段CD与AB交于点P，则AP的值等于；（Ⅱ）请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画出一点P，使AP=，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）取格点C、D，连接CD，CD与AB交于点G，取格点F，两平行线的交点为E，连接EF，EF与AB交于点P，则点P即为所求．【分析】（1）利用格点，根据勾股定理求出AB的长，再根据相似三角形的性质得到AP的值；（2）根据三角形相似，使得AG为AB 长度的；再根据三角形相似，使得AP为AG 长度的即可．【解答】解：（1）如图①，AB==，AP=AB=；（2）如图②所示：取格点C、D，连接CD，CD与AB交于点G，取格点F，两平行线的交点为E，连接EF，EF与AB交于点P，则点P即为所求．1故答案为：；取格点C、D，连接CD，CD与AB交于点G，取格点F，两平行线的交点为E，连接EF，EF与AB交于点P，则点P即为所求．【点评】本题考查了勾股定理，充分利用格点的特点和相似三角形的性质是解题的关键．2．等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB+AD=8cm，则底边BC上的高为4cm．【分析】利用等腰直角三角形两直角边相等，结合勾股定理解答．【解答】解：作DE⊥BC于E，因为BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，设AC=AB=x，则DE=AD=8﹣x，CD=x﹣（8﹣x），在等腰直角三角形CDE中，根据勾股定理，2（8﹣x）2=[x﹣（8﹣x）]2解得x=4，作BC边上的高AF，AF=ABsin45°=4×=2×2=4，则底边BC上的高为4cm．故答案为4．【点评】解答本题的关键是作出底边BC上的高ED，然后列方程解答．3．如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为130 cm．（容器厚度忽略不计）2【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B 交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D=50cm，BD=120cm，∴在直角△A′DB中，A′B ===130（cm）．故答案是：130．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树4米之外才是安全的．【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．【解答】解：如图，34BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则BC=4﹣1=3m ，AB=9﹣4=5m ， 在Rt △ABC 中，AC===4．【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 25 寸．【分析】根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答．【解答】解：将台阶展开矩形，线段AB 恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，由勾股定理得AB==25寸．【点评】本题结合实际，运用两点之间线段最短等知识来解答问题．6．如图，圆柱体的高为8cm ，底面周长为4cm ，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A 点到B 点，路线如图，则最短路程为 10cm ．【分析】沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接AB 则AB 的长是蚂蚁在圆柱表面从A 点爬到B 点的最短路程，求出AC 和BC 的长，根据勾股定理求出斜边AB 即可．【解答】解：沿过A 点和过B 点的母线剪开，展成平面，连接AB ．则AB 的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AC=4×1.5=6，∠C=90°，BC=8，由勾股定理得：AB=10，故答案为：10cm．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．7．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．【分析】过E作EH⊥CD于H，根据角之间的等量关系可得到∠1=∠3，从而可利用AAS判定△EDH≌△DGA，由全等三角形的性质可得EH=AG，根据正方形的面积求角其边长，从而利用勾股定理求得AG的长，再根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：过E作EH⊥CD于H，如图，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵∠EHD=∠DAG=90°，ED=DG，∴△EDH≌△DGA，∴EH=AG，∵S ABCD=7cm2，S DGFE=11cm2，∴CD=AD=cm，DG=，∴在Rt△ADG中，AG=，∴S△CDE=CD ×EH=CD ×AG=××2=cm2，5故答案为：．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质和勾股定理的综合运用能力．8．△ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=10．【分析】首先根据中线的定义得BD=8，则有BD2+AD2=AB2．根据勾股定理的逆定理得AD⊥BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得AC=AB=10．【解答】解：由题可知，在△ABD中，AB=10，BD=BC=8，AD=6．因为AD2+BD2=AB2所以△ABD为直角三角形即AD⊥BC，又BD=DC根据三线合一，所以AC=AB=10．【点评】能够运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．熟悉线段垂直平分线的性质．9．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7或25秒．【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长，再分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC于点D，∵BC=8cm，∴BD=CD=BC=4cm，6∴AD==3，分两种情况：当点P运动t秒后有PA⊥AC时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t，∴t=7秒，当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t，∴t=25秒，∴点P运动的时间为7秒或25秒．【点评】本题利用了等腰三角形的性质和勾股定理求解．10．如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB=5，AD=3．当△CEF是直角三角形时，BD=或1．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CE，再分①∠CFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质可得AF=EF=AE，再求出CF的长，然后利用勾股定理列式求出CE，从而得解；②∠CEF=90°，求出∠AEC=135°，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=135°，然后求出点B、D、F三点共线，过点A作AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质求出AG=DG=AD，再利用勾股定理列式求出BG，然后根据BD=BG﹣DG计算即可得解．【解答】解：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，7∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∠CAE=∠DAE﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，①如图1，∠CFE=90°时，AF⊥DE，∴AF=EF=AE=×3=3，CF=AC﹣AF=5﹣3=2，在Rt△CEF中，CE===，∴BD=CE=；②如图2，∠CEF=90°时，∠AEC=135°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=135°，∵∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，∴点B、D、F三点共线，过点A作AG⊥DE，则AG=DG=AD=×3=3，在Rt△ADG中，BG===4，∴BD=BG﹣DG=4﹣3=1，综上所述，BD=或1．故答案为：或1．【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定8与性质，难点在要分情况讨论，∠CEF=90°时证明得到点B、D、F三点共线是解题的关键．11．有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米（π取3）．【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即3π=9，矩形的宽是圆柱的高12．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长，即=15厘米．【点评】求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算．12．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，cm．已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，【分析】题中由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，有两种爬法，即从前面到上面和从前面到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接AC1，用勾股定理求出距离再比较即可．【解答】解：（1）如图2，经过上面，AC1==cm．910（2）如图3，经过右面，AC 1==cm ．＜，所以此题答案为cm ． 【点评】本题考查了最短路线问题，我们将此类复杂题目转化为用勾股定理解答的题目就很好理解了．13．如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 上的F 处，并且FD ∥BC ，则CD 长为．【分析】根据题意可知，四边形FECD 是菱形．先设CD=x ，再根据比例线段可求出CD 的长．【解答】解：∵将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 上的F 处，∴△DFE ≌△DCE ，∴∠FED=∠CED ，∠FDE=∠CDE ，∵FD ∥BC ，∴∠DEC=∠FDE ，∴∠FED=∠CED=∠FDE=∠CDE ，∴DF=EF=EC=CD ，∴四边形FECD 是菱形，又∵FD ∥BC ， ∴， ∵AC=，设CD=x，∴，∴x=．【点评】本题考查翻折变换的知识以及菱形的判定和勾股定理的综合运用．14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是4，3，5（答案不唯一）．【分析】取m=2，分别计算出a，b，c的值即可求解．【解答】解：∵如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2﹣1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数，∴当m为大于1的任意整数时，a，b，c为勾股数，如m=2，那么a=2m=4，b=m2﹣1=3，c=m2+1=5，故答案为4，3，5（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股数的定义及学生阅读理解的能力，本题是开放性试题，注意答案不唯一．15．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b，已知c=9，b=1，则a=4．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求得a2=c2﹣b2=81﹣1=80，从而求得a的值．【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b，∴a2+b2=c2；又∵c=9，b=1，∴a2=c2﹣b2=81﹣1=80；∴a=4．故答案是：4．【点评】本题考查了勾股定理．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．16．在等腰直角△ABC中，AB=BC=5，P是△ABC内一点，且PA=，PC=5，则PB=．【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等腰直角△ABC 中，已知PA、PC，通过辅助线求出AD，DC及PD边的长，进而PB可求．【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE在△APD中，PA2=PD2+AD2=5，在△PCD中，PC2=PD2+CD2，且AD+CD=5，解得AD=，CD=，PD=，在Rt△ABC中，BE=AE=，所以在Rt△BPF中，PB2=PF2+BF2==10，所以PB=．【点评】熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题．17．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为1cm2，则该半圆的直径为2cm．【分析】设大正方形边长为2x，根据勾股定理可得大圆半径，连接圆心和小正方形右上顶点，也可得直角三角形．已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，则AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为1cm2，∴小正方形的边长EF=DF=1，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+1）2+12，解得，x=1，x=﹣（舍去）∴R=cm．该半圆的直径为2cm．故答案为：2cm．【点评】此题主要考查学生对勾股定理、全等三角形的判定与性质和圆的认识的理解和掌握，本题利用了勾股定理，正方形的性质求解．18．如图，等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点，且AD=8，△ABC的周长是32，则△ABC的面积48．【分析】根据等腰△ABC的性质求得AB+BD=16、在直角三角形ABD中利用勾股定理知AB2﹣BD2=AD2，据此可以求得BD=6；最后根据三角形的面积公式求△ABC的面积即可．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，∴BD=CD；∵等腰△ABC的周长是32，∴AB+BD+CD+AC=2AB+2BD=32，∴AB+BD=16 ①，又由勾股定理知，AB2﹣BD2=AD2，即16（AB﹣BD）=64 ②由①②解得，BD=6；∴S=BC•AD=×12×8=48，即△ABC的面积是48；△ABC故答案是48．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．此题根据等腰三角形的“三合一”性质推知点D是边BC上的中点．19．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 2.60米．（精确到0.01米）【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为：=2.60米．故答案为：2.60．【点评】本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，是中档题．20．学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，他把绳子全部拉直且使绳的下端接触地面，这端离开旗杆底部6米，则旗杆的高度是8米．【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是旗杆高度、绳子长及绳子下端距离旗杆底部6米这三线段长可构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：设旗杆高度为AC=h米，则绳子长为AB=h+2米，BC=6米，根据勾股定理有：h2+62=（h+2）2，解得h=8米．故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键，难度一般．21．一根棍子放在一个长方体无盖盒子里，盒子的长宽高分别为4cm、3cm、和12cm，若要保证棍子全部放在盒子里，则这个盒子最长能放13cm的棍子．【分析】根据题意画出图形，再两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答即可．【解答】解：如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD==5cm，在Rt△ABD中，AD==13cm．故这个盒子最长能放13cm的棍子．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．22．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为4或2或．【分析】分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【解答】解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2×=，在Rt△BAC中，BC==2，∴BD===2；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=2×=，又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，BC==2，∴BD===．故BD的长等于4或2或．【点评】分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．23．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于27+13．【分析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=AB•cos30°=4×=2．则QH=HA=HG=AC=2．在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2×=3．AM=HA•cos60°=．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR•=7+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13．故答案为：27+13．【点评】正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．24．如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB′=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要分钟．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：AC'===13m．1300÷4=325秒=325÷60=分钟．故答案为：．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．此题有一定的难度，是中档题．25．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m，面积为160m2，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为20+4或40+16或40+8m．【分析】分20m是底边和腰两种情况讨论；当是腰时又可以分为钝角三角形和锐角三角形两种情况，再次分情况讨论．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半BD=10，根据勾股定理即可求得其腰长AB===2，此时三角形的周长是20+4；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况．根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT△ADC中，AD==12，从而可得BD=32，进一步根据勾股定理求得其底边是BC===16，此时三角形的周长是40+16；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得AD==12，BD=AB﹣AD=8，在RT△CDB中，BC=是=8，此时三角形的周长是40+8；故本题答案为：20+4或40+16或40+8．【点评】此题的难点在于情况较多，注意每一种情况运用勾股定理进行计算．26．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为10.1尺．【分析】解答此题的关键是弄清题意，体会古代语言和现代语言的区别，将问题转化为勾股定理来解答．【解答】解：设单门的宽度是x米，根据勾股定理，得x2=1+（x﹣0.1）2，x=5.05，则2x=10.1尺．【点评】此题的难点在于理解题意，能够找到直角三角形，根据勾股定理进行计算．27．已知△ABC中，BC=6，AB=8，AC=10，O为三条角平分线的交点，则O 到各边的距离为2．【分析】先判定△ABC为直角三角形，根据角平分线的性质定理解答．。
勾股定理的历史与证法
勾股定理的历史与证法勾段定理有着悠久的历史，人们对勾股定理的认识，经历了一个由特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发现的．我国最早的记载见于2000多年前成书的著名数学典籍《周髀算经》中商高（公元前1120年）答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五．”因此我国也称勾段定理为商高定理．三国时数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出了一幅图（即图19－15中的2），被称为弦图，在2002年北京国际数学家大会上被用作会标．勾股定理在欧洲被称为毕达哥拉斯定理，1955年希腊发行的一枚邮票上给出了由三个棋盘构成的图案（形状同教科书第100页的图），就是为了纪念发现这个定理的毕达哥拉斯（pythagoras ，公元前580－前500）学派．他们还找到如下求勾股数的式子①，古希腊的思想家柏拉图也曾给出类似的式子．后来数学家丢番图又给出了构造勾股数的一般法则：b a ,是正整数，2ab 是完全平方，则②是勾股数．我国的著名数学家刘徽在公元263年也给出了下面的式子③． ①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-==)1(21)1(2122n z n y n x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=+=ab b a z ab b y ab a x 222 ③⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-==)(21)(212222v u z v u y uv x （v u ,是同奇偶的正整数且v u >） 勾股定理是数学上证明方法最多的定理，到今天已有四百多种证法．如图是我们在课本中的几种证明方法：其中（3）出自美国第20任总统伽菲尔德（J ．A ．Garfield ），他在1876年利用梯形面积公式证明了勾股定理．这其中还有个小故事呢．1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员，后来是美国第二十任总统的伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角过分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法，就是上面图（3）．另外还有如下常见证明办法：①如图，两个正方形过长分别是b a ,，它们的面积和为22b a +，构造了以b a ,为直角边的直角三角形，斜边为c ，把两个直角三角形各旋转90°，构成正方形，且它的面积为2c ．②如图，直角三角形AD ABC ,为斜边BC 上的高，利用相似三角形的性质可得：AB BDBC AB=和AC DC BC AC =，即：BC BD AB ⨯=2和BC DC AC ⨯=2． 两式相加得：222)(BCBC DC BD BC DC BC BD AC AB =⨯+=⨯+⨯=+．亲爱的同学，你还记得在初一学习时我们遇到的七巧板吗？当时我们利用它摆出了好多漂亮的图案，你可知道用两副同样大小的七巧板也可以来说明勾股定理吗？请看下图．聪明的你还能想出几个办法证明勾股定理吗？试画图并做简要说明．。
根号3勾股定理
根号3勾股定理1 什么是勾股定理？勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形的关系。
它的核心是一个简单而深刻的等式：斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
用公式表达为：c²=a²+b²。
2 勾股定理的历史勾股定理是世界数学史上最为著名的定理之一，有着悠久的历史。
早在公元前1000年左右，我国古代著名数学家周公旦就在《周髀算经》中证明了勾股定理。
但随着历史的发展，勾股定理逐渐被人们遗忘。
直到公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯重新发现并证明了这个定理，而且将其命名为“勾股定理”。
此后，勾股定理一直为数学家们所研究，成为世界数学发展史上的重要里程碑。
3 勾股定理在实际问题中的应用勾股定理虽然在数学中起着重要的作用，但它所描述的直角三角形关系在实际生活中也有广泛的应用。
比如在建筑工程中，斜坡和屋顶的角度及长度的计算；在导航和制作地图等领域中，利用勾股定理计算两地之间的距离和相对方向等。
此外，在科学、工程、经济和其他领域中也有各种各样的应用。
4 勾股定理的推广勾股定理是国际通用数学知识，不仅仅是数学学科的内容，它也是科学文化中的一种思维方式。
我国教育部多次强调数学教育要面向实际应用，重视计算技能的培养。
推广勾股定理对于学生的数学启蒙非常重要，可以加强学生对于数学的理解和兴趣，同时帮助学生通过实际问题应用勾股定理，在生活和工作中灵活运用数学知识，提高解决实际问题的能力。
5 结语勾股定理已经成为数学中的经典定理，它拓展了我们对于直角三角形的认知，而且在实际生活中也有广泛的应用。
推广勾股定理有利于学生的数学启蒙和实际问题的解决。
作为一个人，掌握勾股定理的应用也会让我们做出更优秀的成绩。
勾股定理的国内外历史及证明方法
勾股定理的国内外历史及证明方法勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
它是数学中最著名的定理之一，历史悠久，证明方法繁多。
以下是关于勾股定理的50条历史及证明方法的详细描述。
一、中国古代证明方法：1.《周髀算经》：《周髀算经》是中国数学古籍之一，书中使用了勾股数（即满足勾股定理的整数三元组）进行了一些计算和推理，但未给出具体的证明方法。
2. 秦九韶算法：秦九韶算法是中国古代算术的一种运算方法，其中包含了勾股定理的运用，但没有给出详细的证明过程。
3. 宋元学派：宋元学派是中国古代数学发展的重要学派，其中许多数学家致力于勾股定理的研究，并提出了一些新的证明方法。
其中以秦九韶的《数书九章》和杨辉的《详解九章算术》为代表。
4. 程大位的证明：程大位是唐代数学家，他在《数书精行补遗》中给出了一种用面积比较推导勾股定理的方法。
5. 刘徽的证明：刘徽是北魏时期的数学家，他在《九章算术注》中给出了几种勾股定理的证明方法，其中包括将直角三角形拆分为小三角形进行计算和证明的方法。
二、希腊古代证明方法：1. 毕达哥拉斯的证明：毕达哥拉斯是公元前6世纪的希腊数学家，他提出了勾股定理，并给出了一种证明方法。
他的证明是以面积比较为基础，通过构造一系列等面积的几何图形，最终推导出勾股定理。
2. 欧几里得的证明：欧几里得是古希腊数学家，他在《几何原本》中给出了多种证明勾股定理的方法，其中包括利用相似三角形、使用平行线、利用等腰直角三角形等方法。
三、其他国家的证明方法：1. 美国证明方法：美国数学家海赛斯（Elisha S. Loomis）提出了一种利用向量的证明方法，通过向量的几何性质推导出勾股定理。
2. 俄罗斯证明方法：俄罗斯数学家齐契科夫（Pavel AlekseevichShekhotakov）提出了一种精确计算勾股定理的方法，通过将三角形划分为许多小三角形，利用面积比较进行证明。
3. 法国证明方法：法国数学家毕修思（Jacques Philippe Marie Binet）利用代数方法，通过求解方程组来证明勾股定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于
27+13
3
．
考点：勾股定理的证明．
分析：在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．
解答：解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=AB•cos30°=4×
3
2
3
．
则QH=HA=HG=AC=2
3
．
在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=2
3
3
2
3
．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2
3
3
．
∴QP=2QR=14+4
3
．
PR=QR•
3
+6．
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13
3
．
故答案为：27+13
3
．
点评：正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．。