初等数学专题研究答案
初等数学研究答案(1)
3.已知：在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=.2-1800α求证：∠BA C =∠CAD=∠DAE.思路：证五边形ABCDE 内接于圆，则由等弦⇒等弧⇒等圆周角即得所证。
沿此思路，有多种证法，这里介绍两种教简的方法。
证法1.发挥等腰三角形的性质。
连接BD ，如图1.14，则得△CBD 是等腰的且底角()[]()如分析所述即得所证。
共圆、、、同理，共圆、、、E D C A E D B A BDE CDB ∴-=--=∠∴=--=∠ααααα322211801801801800图1.14EDBCA证法2：巧证等腰梯形。
连接BE ，如图1.15 ∠C=∠D,BC=DE,..3.2在圆上而所对圆周角皆为等弧共圆且底角、、、等腰梯形A A E D D C C B DEB CBE E D C B CDEB ∴=∠==∴=∠=∠⇒⇒ααα图1.15EDACB4.设H 为锐角△ABC 之垂心，若AH 等于外接圆半径，求证：∠BAC=600分析：因条件中的等量关系含有外接圆半径，故宜画出外接圆，以便发现隐含的联系，现介绍三种较简的证法。
证法1：借助平行四边形。
连接CO 并延长交外接圆于D ，如图1.17，则有直径所对圆周角为直角易证BD//AH(同⊥BC)， AD//BH(同⊥AC)，⇒AHBD 是平行四边形；图1.17DOHCBA60600,21=∠∴=∠∴===A BDC CD R AH BD ，证法2.利用欧拉线的预备定理60600212121217.118.1,=∠=∠=∠∴=∠∴===⊥MOC BOC A MOC OC R AH OM M BC OM 知则由例如图于作图1.18KMDO ABC证法3.利用正弦定理60sin 2sin 2219.1,,=∠∴=∠=∠=⊥⊥A AB C R AHF AH AF AC BF BC AE ，则有如图设图1.19FEABC6.在△ABC 中，先作角A 、B 的平分线，再从点C 作上二角的平分线之平行线，并且连D 、E,若DE//BA ，求证：△ABC 等腰。
(完整版)初等数学研究答案
2。
对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则(1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc(3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= （bc）′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1）∴c∈M由归纳公理知M = N。
所以命题对任意自然数c成立（2)若a 〈 b，则有k∈N，使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3）依据（2)由对逆性可得。
7.设=(3+13) / 2 ，=（ 3-13） / 2 , An= （n-n）/ 13（n=1,2,…。
.).（1）以为根作一元二次方程(2) 证明A n+2=3A n+1+A n；(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：（1）∴由韦达定理得以为根作一元二次方程为：X2—3X-1=0(2）证：3A n+1+A n=3（n+1—n+1）/13 +(n-n)/13=()（n+1—n+1) /13+（n-n）/13=n+2 —n+2 —n+1 +n+1 +n—n)/13 =n+2 -n+2）/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则 10｜ A3.②假设当n=k时，有10｜ A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 ， 10| 3A3.∴10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10｜ A3n。
9.证明整数集具有离散性.证明:要证明整数集具有离散性，即要证明在任意两个相邻的整数a与a′之间不存在整数b，使a<b< a′。
初等数学研究习题答案
初等数学研究习题答案初等数学是学习数学的基础，它包括了数学的基本概念、运算法则、方程与不等式、几何图形与变换等内容。
在学习初等数学的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。
然而，有时候我们在解答习题时可能会遇到困难，不知道如何下手或者答案是否正确。
因此，在这篇文章中，我将为大家提供一些初等数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基本概念和运算法则1. 2+3=52. 4-2=23. 5×6=304. 12÷3=4二、方程与不等式1. 求解方程2x+3=7：解：2x+3=72x=7-32x=4x=22. 求解不等式3x-5<7：解：3x-5<73x<7+53x<12x<4三、几何图形与变换1. 计算三角形的面积：已知三角形的底边长为4cm，高为3cm，求面积。
解：面积=（底边长×高）÷2=（4×3）÷2=6cm²2. 计算矩形的周长：已知矩形的长为6cm，宽为3cm，求周长。
解：周长=（长+宽）×2=（6+3）×2=18cm以上是一些初等数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
在解答习题时，除了直接给出答案，我们还应该注意解题思路和方法。
数学是一门需要思考和推理的学科，通过思考和推理，我们可以更好地理解和运用数学知识。
因此，在解答习题时，我们应该思考问题的本质，运用适当的方法和技巧，而不仅仅是追求答案的正确与否。
另外，解答习题时也可以结合实际问题，将数学知识应用到实际生活中。
通过与实际问题的联系，我们可以更好地理解和掌握数学知识，并将其应用到实际生活中解决问题。
例如，在解决几何问题时，我们可以将几何图形与实际物体相联系，通过观察和测量来解决问题，这样可以增加问题的趣味性和实用性。
总之，初等数学习题的答案只是学习的一部分，更重要的是我们在解答习题的过程中能够思考问题、运用知识、培养逻辑思维和解决问题的能力。
初等数学研究参考答案
1、 已知21-=i z ，则150100++z z 的值等于（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i -2、 已知53sin =θ，02sin <θ，则2tan θ的值等于（） A 、21B 、21-C 、31D 、3 3、 函数136-+-=x x y 的值域是（）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-317,B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-1277,C 、(]5,∞-D 、[)+∞,5 4、 若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（）A 、2B 、1C 、3D 、25、 曲线()x x x f -=4在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点坐标为（）A 、()3,1B 、()3,1-C 、()0,1D 、()0,1-6、 设集合{}1>=x x M ，{}12>=x x P ，则下列关系中正确的是（） A 、P M =B 、P P M = C 、M P M = D 、P P M =7、 设α是锐角，2234tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αcos 的值等于（） A 、22B 、23C 、33D 、36 8、 设()x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知()1,0∈x 时，()()x x f -=1log 21，则函数()x f 在()2,1上（）A 、是增函数，且()0<x f ；B 、是增函数，且()0>x fC 、是减函数，且()0<x f ；D 、是减函数，且()0>x f9、 已知锐角βα,满足()21sin ,1tan =-=αβα，则βcos 等于（） A 、426+B 、426-C 、462-D 、426-- 10、分解因式：y x y x 62922-+-(x-3y)(x+3y+2)分解因式：3542322+++++y x y xy x=(x+y)(x+2y)+3(x+y)+(x+2y)+3 =(x+y)(x+2y+3)+(x+2y+3) =(x+y+1)(x+2y+3) 已知200420052004112004--+-=x x y ，则()2004y x +的值是； x=1/2004,y= -2005/2004,代入得1 已知实数m 满足m m m =-+-20082007，则=-22007m 2008 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x x x x x x xx 1111＝1/2x-1 自然数集的两种主要理论是 基数理论 、 序数理论 。
初等数学研究课后答案
初等数学研究课后答案引言：初等数学作为学习数学的基础课程，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
为了让学生更好地掌握所学知识，教师在教学过程中往往会布置一些课后作业，以便学生巩固和练习所学内容。
然而，学生在完成课后作业时可能会遇到一些疑惑和困惑，尤其是对于一些复杂的问题。
因此，提供一份初等数学研究课后答案对于学生来说是很有必要的。
本文将为学生提供一份初等数学研究课后答案，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
一、代数学1. 解方程：题目：求解方程2x + 5 = 17.答案：首先，将方程转化为x的形式，得到2x = 17 - 5，即2x = 12. 然后，将方程两边同时除以2，得到x = 6.2. 因式分解：题目：将多项式x² - 5x + 6因式分解.答案：首先对多项式进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3).3. 求解不等式：题目：求解不等式2x - 3 < 5.答案：将不等式转化为x的形式，得到2x < 8. 然后将不等式两边同时除以2，得到x < 4.二、几何学1. 直角三角形的性质：题目：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度.答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为√(3² + 4²)，即√(9 + 16)，即√25，所以斜边的长度为5.2. 圆的面积计算：题目：已知一个圆的半径为5，求其面积.答案：根据圆的面积公式S = πr²，将半径r替换为5，得到面积S = π(5)²，即S = 25π.三、概率论1. 事件的概率计算：题目：一个箱子中有4个红球和6个蓝球，从箱子中随机取出一个球，求取到红球的概率.答案：共有10个球，其中4个是红球，所以取到红球的概率为4/10，即2/5.2. 排列组合问题：题目：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，求有多少种不同的选法.答案：根据排列组合的公式C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，将n替换为10，k替换为3，得到C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120.四、数列与级数1. 等差数列的通项计算：题目：已知等差数列的首项为2，公差为3，求第n项的表达式.答案：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
初等数学研究答案1
初等数学研究答案1则ac<bc 。
（3）若a>b，则acmc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若ba b,ab a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若ba b,ab a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若ba b,ab a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
则a>b 。
4. 解：（1）4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+（2）313=⋅ 631323=+⋅=⋅ 93232333=+⋅='⋅=⋅5证明：当n=1时，的倍数。
是9181n 154n=-+假设当n=k 时的倍数。
是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。
是）（）（918k 451k 154411k 154k1k +--+=-+++ 则对∀N n ∈，1n 154n-+是9的倍数.6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。
假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） 当1k n +=时成立。
《初等数学研究习题解答》
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x AB C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x AB AC x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系有“x A ∈或x BC ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x AB C A B C A B A C ∈⇒⊇所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C有2个元素，那么()BA C -有几个元素？解：集合()BA C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()BA C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
图1CBA5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
证明：设,,A B C 是三个有限集合，并且B C φ=，记(),(),()a r A b r B c r C ===首先：由于BC φ=，所以A B A C φ⨯⨯=，所以其次：对于(,)(){(,)|,}a x A B C a x a A x B C ∀∈⨯=∈∈，由于x B C ∈，那么若x B ∈，于是(,)a x A B ∈⨯； 若x C ∈，于是(,)a x A C ∈⨯，所以总有(,){(,)|,}{(,)|,}a x a x a A x B a x a A x C A B A C ∀∈∈∈∈∈=⨯⨯即()(())()A BC A B A C r A B C r A BA C ⨯⊆⨯⨯⇒⨯≤⨯⨯反过来：(,)a x A B A C ∀∈⨯⨯，那么(,)a x A B ∈⨯或者(,)a x A C ∈⨯于是有,a A ∈x B ∈或者x C ∈，即,a A ∈x B C ∈，所以(,)()a x A B C ∈⨯即()(())()A BC A B A C r A B C r A BA C ⨯⊇⨯⨯⇒⨯≥⨯⨯所以()a b c ab ac +=+6．在基数理论定义的乘法下，证明1a a ⨯=。
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C =证明：()x A B C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x A B A C x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以与前后关系有“x A ∈或x B C ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x A B C A B C A B A C ∈⇒⊇ 所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C 有2个元素，那么()B A C -有几个元素？解：集合()B A C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=，图1CBA从而1028(())r B A C -=-=， 即()B A C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
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习题解答第一讲 自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于{(,)|,}A B a b a A b B ⨯=∈∈与{(,)|,}B B b a b B a A ⨯=∈∈，定义A B ⨯到B A ⨯的映射为：(,)(,),(,),(,)fa b b a a b A B b a B A −−→∈⨯∈⨯显然这个映射是A B ⨯到B A ⨯的一一映射，所以A B B A ⨯=⨯，于是按定义有：A B B A ⋅=⋅，即乘法满足交换律。
2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设()p n 是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题()p n 对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对0()n k k n =≥成立时，能够推出命题对1n k =-也成立，那么对一切自然数不小于n 0的自然数n ，命题()p n 必然成立。
证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M ，那么M 非空，因此，M 中必有一个最小数000()r r n ≥。
此时，由于不大于0r 的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数0()r r r >，命题在r 处成立；于是由条件（2），命题对1r -也成立，连锁应用条件（2），那么命题在12,,,,, r r r r k ---处都成立，而这个序列是递减的，因此0r 必然出现在这个序列中，这与0r 的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。
3、用序数理论证明3+4=7证明：313432313145,(),''''+==+=+=+==33323256(),'''+=+=+== 34333367()'''+=+=+==4、设平面内两两相交的n 个圆中，任何三个不共点，试问这n 个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。
解：设这n 个圆将所在平面分割成()f n 个部分，显然1224(),()f f ==； 如果满足条件的n 个圆把平面分割成()f n 个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n 个圆一定已经把平面分割成()f n 个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n 个圆必然产生2n 个交点，这2n 个交点必然把这最后一个圆分割成2n 段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而12()()f n f n n +-=， 于是得：212324121()(),()(),,()()() f f f f f n f n n -=-=--=- 将这n-1个等式相加得：124211()()()() f n f n n n -=+++-=- 即 2122()()f n n n n n =-+=-+ 5、设平面上的n 条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：112()()n n f n +=+ 证明：显然1111212()()f +⨯==+成立； 假将设平面上的k 条直线最多可以把平面分割成 f (k )112()k k +=+个互不相通的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k 条直线最多把平面分割成112()k k +=+个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k 个交点，这k 个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而11()()f k f k k +-=+所以：111112()()()k k f k f k k k ++=++=+++ 121121122()()()()k k k k k +++++=+=+所以公式112()()n n f n +=+在1n k =+时也成立， 于是公式对一切自然数n 都成立。
第二讲 近似计算的精度1、已知近似数2315.4的相对误差界是0.02%，试确定它的绝对误差界,并指出它的有效数字的个数.解：2315.4002046.%.⨯=，所以真值范围为23154046..±，有效数字的个数为4；因为0.46是1的接近半个单位，所以有效数字只能到个位。
2、把数1465351.2471精确到十位、百位、千位、万位时，结果分别表示为什么? 解：1465350、1465400、1465000、14600003、把数5.2435、6.5275000、3.5465、7.278500精确到千分位 时的结果分别是多少?解：5.244、6.528、3.546、7.2784、测量一个螺栓的外径和一个螺帽的内径分别应该用哪种近似数的截取方式？请简要说明理由。
解：由于螺栓外径实际数值不能大于测量值（不能大于螺帽），所以只能用进一法截取外径测量值，而螺帽内径实际数值不能小于测量值（不能小于螺栓），所以只能用去尾法截取测量值。
5、张先生上午在房地产市场对一套标价为35万的住宅通过一番讨价还价后以34万元成交，下午在超市对一套标价为100元的西裤也通过讨价还价以90元成交。
有人对张先生说：“你何苦呢，上午几十万元都花出去了，又何必为一套西裤伤神呢！”请谈谈你的看法（不管你赞同还是不赞同这种说法，都要言之有据）。
解：从相对误差的角度看，张先生买西裤获益要大于买住宅的获益，因为住宅的获益仅有134，而西裤的获益有19，比住宅获益相对要大。
6、近似计算：（1）1.2×104＋1.53×103＋5003.6 （2）43.26－0.3824（3）32.264×2.13 （4）(2.63×103)÷2.43564 解：（1）1.2×104＋1.53×103＋5003.6=1.25+157.6+5003.6=5162.4 （2）43.26－0.3824=43.26 - 0.382=42.88 （3）32.264×2.13=32.26×2.13=68.7（4）(2.63×103)÷2.43564=（2.63×103）÷2.436=1117、计算2π0.001解：2628317324551...π=-=8、一块圆柱形金属部件的底面半径长的标准尺寸为75mm ，高为20mm 。
加工时一般会有误差。
但要求成品的体积的绝对误差不超过5mm 3，问测量时底面半径和高各自应达到怎样的精确度？解：237520314562520353250.V mm π=⋅⋅=⋅⋅=因为误差不能超过5mm 3，它是10mm 3的半个单位，所以体积的精确度应该是精确到十位（单位mm 3），即V 应该有5个有效数字。
从而测量时，长、宽、高都要有6个有效数字。
而标准尺寸都是两个有效数字，因此，测量精确度应达到6个有效数字，即达到万分位，所以测量精度应达到0.00005mm(0.0001mm 的半个单位)；9、一个圆锥形部件底面半径的标准尺寸为10cm ，高为9cm 。
要使加工好的成品体积的相对误差不超过1%，底面半径和高应该用怎样的精确度的量具来量？解：2311099423V cm π=⋅⋅=，这样绝对误差为3942100942.cm ÷=，约为9.4cm 3这样V 的百位、十位都是有效数字，即V 有两位有效数字，所以测量的半径和高都应该有3位有效数字，这样底面半径的精度要求是0.05cm(0.1cm 的半个单位)，而高的精度要求是0.005cm(0.01cm 的半个单位)。
第三讲 数系的扩张1、对于整数序偶集，定义关系(,)(,) a b c d ad bc⇔=，定义运算(,)(,)(,)a b c d ad bc bd +=+，(,)(,)(,)a b c d ac bd ⨯=，这里a 、b 、c 、d 都是整数，证明，(1)整数集与这里定义的新数集合的一个真子集同构；(2)在新数集中，乘法有逆元。
解：（1）考虑集合1{(,)|}M x x Z =∈，作映射1:(,)fZ M x x −−→→，显然f 是从Z 到M 的一一映射，这时111(,)(,)(,)a b a b +=+，111(,)(,)(,)a b ab ⨯=，这实质上是对应于a b +与ab ，所以M 与Z 同构；（2）在M 中乘法单位是11(,)，事实上1111(,)(,)(,)(,)a b a b a b ⨯=⨯⨯=；于是当00,a b ≠≠时，(,)a b 的乘法逆元是(,)b a ，事实上(,)(,)(,)(,)a b b a a b b a ab ab ⨯=⨯⨯=，但11(,)(,) ab ab ，所以(,)ab ab 是单位元，2、设集合{,}a a b Q +∈，证明这个集合对四则运算封闭。
证明：12{,}a b a b a a b Q +++∈，那么有121212((()({,}a b a b a a b b a a b Q +±+=+±++∈12121212212(()({,}a b a b a a b b a b a b a a b Q ++=++++∈121222121222222222(([([({,}a b a b a b a b a b a b a a b b a a b Q a b +÷+=+-÷-+-=++∈-3、证明正三角形的边长与它的高不可公度。
证明：设正三角形的边长和高依次为a 、b ，那么有：22222434a ab b a =+⇒=，如果a 、b 可公度，测存在线段c ，使：,a mc b nc ==，其中,m n 是正整数。
这时：2222224343n c m c n m =⇒=那么：由222143333||n m n n n n =⇒⇒⇒= 同时再由222143422||n m m m m m =⇒⇒⇒=再代回2243n m =，得2222221149343n m n m ⨯=⨯⇒=进一步可得123m m =，并且继续可得123n n =，此时有2112,m m n n >>同时又有22223n m =，这样我们就得到两串递减的正整数无穷序列：{},{}i i m n 满足：223i i n m =，这是不可能的。
4、证明2lg 是无理数。
证明：如果2lg 是有理数，那么有互质的一对正整数m 、n ，使2lg mn=，于是 102102m m n n=⇒=，那么对于正整数m ，必有510|m ，但2n 是偶数，故它不能被5整除，矛盾。
第四讲 复数的三角形式与指数形式1、 利用复数推导三倍角公式解：设cos sin z i αα=+，那么3333(cos sin )cos sin z i i αααα=+=+， 另一方面：33322333(cos sin )cos cos sin cos sin sin z i i i αααααααα=+=+--322333cos cos sin (cos sin sin )i αααααα=-+-所以：32233333cos cos cos sin ,sin cos sin sin αααααααα=-=-32323333143cos cos cos sin cos cos (cos )cos cos ααααααααα=-=--=-23233333134sin cos sin sin (sin )sin sin sin sin ααααααααα=-=--=-2：设M 是单位圆周221x y +=上的动点，点N 与定点A(2, 0)和点M 构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且M →N →A →M 成逆时针方向，当M 点移动时，求点N 的轨迹。