2017-2018年上海市交大附中高一下期中数学试卷及答案
2016-2017学年上海市交大附中高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝ ．2．arccos （−√32）＝ ．3．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ．5．函数y =2sin 2(x +π6)的最小正周期为 ．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝ ． 7．函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是 ．8．关于x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 ． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ ．11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 ． 二、选择题13．方程tan x ＝2的解集为（ ） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x =π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+215．函数y ＝2sin （π6−2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（ ） A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]16．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值． （2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：米），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）＝﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）＝sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M＝1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）＝sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有一点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利用条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α． 解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513， ∴sec α=135． 故答案为：135．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2．arccos （−√32）＝ 5π6．【分析】利用arccos(−√32)=π−arccos √32即可得出．解：arccos(−√32)=π−arccos √32=π−π6=5π6．故答案为：5π6．【点评】本题考查了反三角函数的性质，属于基础题．3．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ． 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（rad ），半径为r ，扇形的面积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ． 故答案为：6．【点评】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 −34 ．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，进而可求tan α的值．解：∵sinα=35，α∈（π2，π），∴cosα=−√1−sin2α=−45，∴tanα=sinαcosα=35−45=−34．故答案为：−3 4．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．函数y=2sin2(x+π6)的最小正周期为π．【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T=2πω，得出结论．解：函数y=2sin2(x+π6)=2sin2(x+π6)−1+1＝﹣cos（2x+π3）+1 的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A cos（ωx+φ）的周期T=2πω，属于基础题．6．若cos x cos y+sin x sin y=13，则cos（2x﹣2y）＝−79．【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值．解：∵cos x cos y+sin x sin y＝cos（x﹣y）=1 3，∴cos（2x﹣2y）＝cos2（x﹣y）＝2cos2（x﹣y）﹣1=−7 9．故答案为：−7 9．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．函数y＝sin x+arcsin x的值域是[﹣sin1−π2，sin1+π2]．【分析】函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x＝﹣1时，函数有最小值，当x＝1时，函数y＝sin x+arcsin x有最大值，由此得到函数的值域．解：函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x ＝﹣1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最小值﹣sin1+（−π2）＝﹣sin1−π2． 故当x ＝1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最大值 sin1+π2， 故函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是[﹣sin1−π2，sin1+π2]， 故答案为[﹣sin1−π2，sin1+π2]．【点评】本题主要考查正弦函数的和反正弦函数的定义域、值域，及其单调性的应用，得到函数在其定义域[﹣1，1]内单调递增，是解题的关键，属于中档题．8．关于x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 [−54，−1] ．【分析】由题意，x 的方程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，转化为二次函数值域的问题．解：由cos 2x +sin x +a ＝0，转化为：1﹣sin 2x +sin x +a ＝0，即（sin x −12）2=54+a∵x ∈(0，π2]上， sin x ∈（0，1）∴sin x −12∈（−12，12]则（sin x −12）2∈[0，14]∴{54+a ≤1454+a ≥0 ∴a 的取值范围是[−54，−1]．故答案为[−54，−1]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ 2 ． 【分析】通过换元可知y ＝f （x ）＝1+2t t 2+1，其中t ＝sin x ∈[﹣1，1]，利用z =2tt 2+1为奇函数可知z max +z min ＝0，进而M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）＝2． 解：由题可知t ＝sin x ∈[﹣1，1]，则y ＝f （x ）＝1+2tt 2+1，令z =2tt 2+1，则当t ＝0时z ＝0，且函数z 为奇函数， 所以z max +z min ＝0，又因为M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）， 所以M +m ＝2+（z max +z min ）＝2， 故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，注意解题方法的积累，属于中档题．10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ 2√3−4 ．【分析】利用角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan α、tan π12的值，可得tan （α+π12）的值．解：∵sin α＝3sin （α+π6）＝3sin α•√32+3cos α•12，∴tan α=2−33， ∴tan π12=tan （π3−π4）=tan π3−tan π41+tan π3⋅tan π4=√3−11+3=2−√3， ∴tan （α+π12）=tanα+tan π121−tanα⋅tan π12=32−33+(2−√3)1−32−3√3⋅(2−√3)=√3)⋅(2−3√3)2−33−3(2−3)=2√3−4， 故答案为：2√3−4．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为3π8．【分析】设等腰△ABC 中A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．解：设A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1， 所以A +A 1=π2，B +B 1=π2，C +C 1=π2（舍）或A +A 1=π2，B +B 1=π2，C ＝C 1−π2，解得C =π4，A ＝B =π−π42=3π8． 故答案是：3π8．【点评】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 [﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【分析】对k 的符号进行讨论，利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f （x ）的减区间，令区间(π4，π3)为f （x ）单调减区间的子集解出k 的范围． 解：当k ＞0时，令2m π≤kx ≤π+2m π，解得2mπk≤x ≤πk +2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥2mπk π3≤πk +2mπk，解得{k ≥8m k ≤3+6m ，m ∈Z ，∴0＜k ≤3或8≤k ≤9．当k ＜0时，令﹣π+2m π≤﹣kx ≤2m π，解得πk −2mπk≤x ≤−2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥πk −2mπk π3≤−2mπk ，解得{k ≤4−8m k ≥−6m ，m ∈Z ，∴﹣6≤k ≤﹣4，或k ＝﹣12， 综上，k 的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}． 故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题． 二、选择题13．方程tan x ＝2的解集为（ ） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }【分析】根据反三角函数的定义及正切函数的周期为k π，即可得到原方程的解． 解：由tan x ＝2，根据正切函数图象及周期可知： x ＝k π+arctan2． 故选：C ．【点评】此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x =π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（ ）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2 C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+2【分析】由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式． 解：由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A ＝2，m ＝2． 再由最小正周期为π2，可得2πω=π2，解得ω＝4，∴函数y ＝A sin （ωx +φ）+m ＝2sin （4x +φ）+2．再由 x =π3是其图象的一条对称轴，可得 4×π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2， ∴φ=π6，故符合条件的函数解析式是 y ＝2sin （4x +π6）+2， 故选：D ．【点评】本题主要考查利用y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．函数y ＝2sin （π6−2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（ ）A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]【分析】化简函数y ＝2sin （π6−2x ），利用正弦函数的图象与性质，求出y 在x ∈[0，π]的增区间即可．解：∵y ＝2sin （π6−2x ）＝﹣2sin （2x −π6），∴只要求y ＝2sin （2x −π6）的减区间， ∵y ＝sin x 的减区间为[2k π+π2，2k π+3π2]， ∴令2x −π6∈[2k π+π2，2k π+3π2]， 解得x ∈[k π+π3，k π+5π6]，又x ∈[0，π]，∴x ∈[π3，5π6]．故选：C ．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 16．已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【分析】设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ，分别判断两个较小的边与最大边的差是否一定大于0，可得答案． 解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角， 设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ， 不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ． 则①中，sin α=a2R ，sin β=b2R，sin γ=c 2R ； 则a 2R+b 2R＞c 2R，故一定能构成三角形；②中，sin 2α=a 24r 2，sin 2β=b 24R2，sin 2γ=c 24R 2，由a 24r +b 24R ＞c 24R 仅在a 2+b 2﹣c 2＞0，即cos γ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，cos 2α2+cos 2β2−cos 2γ2=cosα+cosβ−cosγ2+12＞0恒成立． 恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α＝β＝30°时γ＝120°，tan α2+tan β2−tan γ2＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确， 故选：B ．【点评】本题考查了构成三角形的条件，三角函数的图象和性质，是三角函数较为综合的考查，难度较大，属于难题 三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．【分析】（1）将等式5√3sin α+5cos α＝8左边提取10，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin （α+π6）的值，由α的范围求出α+π6的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos （α+π6）的值；（2）等式√2sin β+√6cos β＝2左边提取2√2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin （β+π3）的值，由β的范围求出β+π3的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos （β+π3）的值，将所求式子利用诱导公式sin （π2+θ）＝cos θ变形，其中的角π2+α+β变形为（α+π6）+（β+π3），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：（1）∵5√3sin α+5cos α＝8，∴10（√32sin α+12cos α）＝8，即sin （α+π6）=45， ∵α∈（0，π3），∴α+π6∈（π6，π2）， ∴cos （α+π6）=√1−sin 2(α+π6)=35； （2）又∵√2sin β+√6cos β＝2，∴2√2（12sin β+√32cos β）＝2，即sin （β+π3）=√22， ∵β∈（π6，π2），∴β+π3∈（π2，5π6）， ∴cos （β+π3）=−√22， ∴cos （α+β）＝sin[π2+（α+β）]＝sin[（α+π6）+（β+π3）] ＝sin （α+π6）cos （β+π3）+cos （α+π6）sin （β+π3）=45×（−√22）+35×√22=−√210． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！18．如图，等腰三角形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD 大小为α，∠CAD 大小为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC； （2）若BD DC =12，β=α+π3，求∠B ．【分析】（1）分别在△ABD 和△ACD 中使用正弦定理即可得出BD DC =sinαsinβ； （2）利用三角恒等变换求出α，从而得出∠B ．解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD sinα=AD sinB ， 在△ACD 中，由正弦定理得DC sinβ=AD sinC ， ∵∠B ＝∠C ，∴BD sinα=DC sinβ， ∴BD DC =sinαsinβ=√22√32=√63． （2）由（1）知BDDC =sinαsinβ=12， 又β＝α+π3，∴sin β＝sin （α+π3）=12sin α+√32cos α，∴12sin α+√32cos α＝2sin α，即√3cos α＝3sin α， ∴tan α=√33，∴α=π6，β=π2， ∴B =12（π﹣α﹣β）=π6． 【点评】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：米），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【分析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0.8•2π•60tan α+0.9•2π•60tan （45°﹣α），化简，令1+tan α＝x 换元，利用基本不等式得出最值．解：（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ，∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD =12∠BAD =π6，∠M 2AD =π12， ∴M 1B ＝AB tan ∠M 1AB ＝60×√33=20√3≈34.6（米）， ∵tan π6=2tan π121−tan 2π12=√33，∴tan π12=2−√3， 同理可得：M 2D ＝60×tan π12=60（2−√3）≈16.1（米）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜π4），由（1）可知圆M 1的半径为60tan α，圆M 2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0.8•2π•60tan α+0.9•2π•60tan （45°﹣α）＝96πtan α+108π•1−tanα1+tanα，设1+tan α＝x ，则tan α＝x ﹣1，且1＜x ＜2．∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（2x−1）＝12π•（8x +18x −17）≥84π≈263.8， 当且仅当8x =18x 即x =32时取等号， 当x =32时，tan α=12，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD 为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【分析】（1 ）由已知及三角函数中的恒等变换应用，从而可求tan A=√3，即可解得A的值，（2）由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再根据三角形的面积公式计算即可，（3）由题意可得p=√32tanC+12，根据角C的范围，即可求出．解：（1）∵(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cos B cos C，∴3sin B sin C+cos B cos C−√3sin B cos C−√3cos B sin C，∴−√3sin（B+C）＝3cos（B+C），∴tan（B+C）=−√3，∴tan A=√3，∴A=π3，（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，∴S△ABC=12bc sin A≤12×4×√32=√3，∴△ABC面积的取值范围为（0，√3]，（3）sin B＝p sin C，∴p=sinBsinC =sin(120°−C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC 为锐角三角形，A =π3，∴π6＜C ＜π2， ∴tan C ＞√33， ∴12＜p ＜2， 即p 的范围为(12，2) 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．21．已知集合P 是满足下述性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数M ，对于任意的x ∈R ，都有f （x +M ）＝﹣Mf （x ）成立．（1）设函数g （x ）＝sin πx ，试证明：g （x ）∈P ；（2）当M ＝1时，试说明函数f （x ）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h （x ）＝sin ωx ∈P ，求实数ω的取值范围．【分析】（1）可取M ＝1，验证即可；（2）M ＝1时，由f （x +1）＝﹣f （x ）可得到函数f （x ）的一个性质：周期性；（3）由题意可得h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成立，既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx ，可对M 分|M |＞1，|M |＜1及|M |＝1三种情况讨论解决．解：（1）取 M ＝1 对于任意x ∈R ，g （x +M ）＝sin （πx +π）＝﹣sin πx ＝﹣g （x ）＝Mf （x ）∴g （x ）∈P（2）M ＝1时，f （x +1）＝﹣f （x ）f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）∴f （x ）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h （x ）＝sin ωx ∈P ∴存在非零常数M ，对于对于任意的x ∈R ，都有h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成立． 既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx若|M |＞1，取sin ωx ＝1，则 sin （ωx +ωM ）＝﹣M 对x ∈R 恒成立时不可能的．若|M |＜1，取sin （ωx +ωM ）＝1，则 sinωx =−1M 对x ∈R 也不成立．∴M ＝±1 当 M ＝1时 sin （ωx +ω）＝﹣sin ωx ，sin （ωx +ω）+sin ωx ＝0，2sin(ωx +ω2)⋅cos ω2=0（x ∈R ），cos ω2=0解得：ω＝2k π+π（k ∈Z ）；当M ＝﹣1时 sin （ωx ﹣ω）＝sin ωx ，sin （ωx ﹣ω）﹣sin ωx ＝0，2cos(ωx −ω2)⋅sin(−ω2)=0（x∈R），sin ω2=0解得：ω＝2kπk∈Z综上可得ω＝kπ（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三角函数值求角的灵活应用，属于难题．。
2016-2017学年上海市交大附中高一（下）学期期中数学试卷（解析版）
2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀（下）学期期中数学试卷（解析版）2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀第⼆学期期中数学试卷⼀、填空题1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有⼀点P （5，﹣12），则sec α＝．2．arccos （?√32）＝．3．已知扇形的圆⼼⾓为2弧度，⾯积为9cm 2，则该扇形的弧长为 cm ． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为．5．函数y =2sin 2(x +π6)的最⼩正周期为．6．若cos x cos y +sin x sin y =13，则cos （2x ﹣2y ）＝． 7．函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是．8．关于x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M +m ＝． 10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝．11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满⾜cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的⼀个“对偶”三⾓形，若等腰△ABC 存在“对偶”三⾓形，则其底⾓的弧度数为．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为．⼆、选择题13．⽅程tan x ＝2的解集为（） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为π2，直线x =π3是其图象的⼀条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+215．函数y ＝2sin （π62x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（） A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]16．已知α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中⼀定能构成三⾓形的有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满⾜{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．18．如图，等腰三⾓形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ⼤⼩为α，∠CAD ⼤⼩为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所⽰，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：⽶），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1⽶）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每⽶0.8千元与每⽶0.9千元，则当∠BAD 多⼤时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C．（1）求⾓A的⼤⼩；（2）若a＝2，求△ABC⾯积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐⾓三⾓形．21．已知集合P是满⾜下述性质的函数f（x）的全体：存在⾮零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）＝﹣Mf（x）成⽴．（1）设函数g（x）＝sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M＝1时，试说明函数f（x）的⼀个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）＝sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交⼤附中⾼⼀第⼆学期期中数学试卷参考答案⼀、填空题1．已知⾓α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，其终边上有⼀点P （5，﹣12），则sec α＝135．【分析】利⽤条件直接利⽤任意⾓的三⾓函数的定义求得cos α的值，然后求解sec α．解：由题意可得 x ＝5，y ＝﹣12，r ＝|OP |＝13，∴cos α=x r =513，∴sec α=135．故答案为：135．【点评】本题主要考查任意⾓的三⾓函数的定义，属于基础题．2．arccos （?√32）＝ 5π6．【分析】利⽤arccos(?√32)=π?arccos √32即可得出．解：arccos(?√32)=π?arccos √32=π?π6=5π6．故答案为：5π6．【点评】本题考查了反三⾓函数的性质，属于基础题．3．已知扇形的圆⼼⾓为2弧度，⾯积为9cm 2，则该扇形的弧长为 6 cm ．【分析】利⽤扇形的⾯积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．解：设扇形的弧长为l ，圆⼼⾓⼤⼩为α（rad ），半径为r ，扇形的⾯积为S ，则：r 2=2S α=2×92=9．解得r ＝3∴扇形的弧长为l ＝r α＝3×2＝6l ＝r α＝3×2＝6cm ．故答案为：6．【点评】本题考查扇形⾯积、扇形的弧长公式的应⽤，考查计算能⼒，属于基础题． 4．设sin α=35，α∈（π2，π），则tan α的值为 ?34 ．【分析】由已知利⽤同⾓三⾓函数基本关系式可求cos α，进⽽可求tan α的值．解：∵sinα=35，α∈（π2，π），∴cosα=?√1?sin2α=?45，∴tanα=sinαcosα=3545=?34．故答案为：?3 4．【点评】本题主要考查了同⾓三⾓函数基本关系式在三⾓函数化简求值中的应⽤，考查了转化思想，属于基础题．5．函数y=2sin2(x+π6)的最⼩正周期为π．【分析】利⽤⼆倍⾓的余弦公式化简函数的解析式，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T=2πω，得出结论．解：函数y=2sin2(x+π6)=2sin2(x+π6)?1+1＝﹣cos（2x+π3）+1 的最⼩正周期为2π2=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查三⾓函数的周期性及其求法，⼆倍⾓的余弦公式，利⽤了y＝A cos（ωx+φ）的周期T=2πω，属于基础题．6．若cos x cos y+sin x sin y=13，则cos（2x﹣2y）＝?79．【分析】已知等式左边利⽤两⾓和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式⼦利⽤⼆倍⾓的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代⼊计算即可求出值．解：∵cos x cos y+sin x sin y＝cos（x﹣y）=1 3，∴cos（2x﹣2y）＝cos2（x﹣y）＝2cos2（x﹣y）﹣1=?7 9．故答案为：?7 9．【点评】此题考查了两⾓和与差的余弦函数公式，⼆倍⾓的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．函数y＝sin x+arcsin x的值域是[﹣sin1?π2，sin1+π2]．【分析】函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x＝﹣1时，函数有最⼩值，当x＝1时，函数y＝sin x+arcsin x有最⼤值，由此得到函数的值域．解：函数y＝sin x+arcsin x的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x ＝﹣1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最⼩值﹣sin1+（?π2）＝﹣sin1?π2．故当x ＝1时，函数y ＝sin x +arcsin x 有最⼤值 sin1+π2，故函数y ＝sin x +arcsin x 的值域是[﹣sin1?π2，sin1+π2]，故答案为[﹣sin1?π2，sin1+π2]．【点评】本题主要考查正弦函数的和反正弦函数的定义域、值域，及其单调性的应⽤，得到函数在其定义域[﹣1，1]内单调递增，是解题的关键，属于中档题．8．关于x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，则a 的取值范围是 [?54，?1] ．【分析】由题意，x 的⽅程cos 2x +sin x +a ＝0在x ∈(0，π2]上有解，转化为⼆次函数值域的问题．解：由cos 2x +sin x +a ＝0，转化为：1﹣sin 2x +sin x +a ＝0，即（sin x ?12）2=54+a∵x ∈(0，π2]上， sin x ∈（0，1）∴sin x ?12∈（?12，12]则（sin x ?12）2∈[0，14]∴{54+a ≤1454+a ≥0 ∴a 的取值范围是[?54，?1]．故答案为[?54，?1]．【点评】本题主要考查对三⾓函数的化简能⼒和三⾓函数的图象和性质的运⽤，属于中档题． 9．设函数f(x)=(sinx+1)2sin 2x+1的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则M +m ＝ 2 ．【分析】通过换元可知y ＝f （x ）＝1+2t t 2+1，其中t ＝sin x ∈[﹣1，1]，利⽤z =2tt 2+1为奇函数可知z max +z min ＝0，进⽽M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ）＝2．解：由题可知t ＝sin x ∈[﹣1，1]，则y ＝f （x ）＝1+2tt 2+1，令z =2tt 2+1，则当t ＝0时z ＝0，且函数z 为奇函数，所以z max +z min ＝0，⼜因为M +m ＝（1+z max ）+（1+z min ），所以M +m ＝2+（z max +z min ）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值及其⼏何意义，考查函数的奇偶性，注意解题⽅法的积累，属于中档题．10．已知sin α＝3sin （α+π6），则tan （α+π12）＝ 2√3?4 ．【分析】利⽤⾓三⾓的基本关系、两⾓和差的三⾓公式求得tan α、tan π12的值，可得tan （α+π12）的值．解：∵sin α＝3sin （α+π6）＝3sin α?√32+3cos α?12，∴tan α=2?33，∴tan π12=tan （π3?π4）=tan π3?tan π41+tan π3?tan π4=√3?11+3=2?√3，∴tan （α+π12）=tanα+tan π121?tanα?tan π12=32?33+(2?√3)1?32?3√3(2√3)=√3)(23√3)2333(23)=2√3?4，故答案为：2√3?4．【点评】本题主要考查两⾓和差的三⾓公式的应⽤，同⾓三⾓的基本关系，属于基础题． 11．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满⾜cosA sinA 1=cosB sinB 1=cosC sinC 1=1，则称△A 1B 1C 1是△ABC 的⼀个“对偶”三⾓形，若等腰△ABC 存在“对偶”三⾓形，则其底⾓的弧度数为3π8．【分析】设等腰△ABC 中A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，结合同⾓三⾓函数关系进⾏化简求值即可．解：设A ＝B ，由已知得sin A 1＝sin B 1，cos A ＝sin A 1，cos B ＝sin B 1，cos C ＝sin C 1，则A 1＝B 1，所以A +A 1=π2，B +B 1=π2，C +C 1=π2（舍）或A +A 1=π2，B +B 1=π2，C ＝C 1?π2，解得C =π4，A ＝B =π?π42=3π8．故答案是：3π8．【点评】本题主要考查三⾓函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应⽤，属于中档题．12．已知函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，则实数k 的取值范围为 [﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【分析】对k 的符号进⾏讨论，利⽤符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求出f （x ）的减区间，令区间(π4，π3)为f （x ）单调减区间的⼦集解出k 的范围．解：当k ＞0时，令2m π≤kx ≤π+2m π，解得2mπk≤x ≤πk +2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥2mπk π3≤πk +2mπk，解得{k ≥8m k ≤3+6m ，m ∈Z ，∴0＜k ≤3或8≤k ≤9．当k ＜0时，令﹣π+2m π≤﹣kx ≤2m π，解得πk ?2mπk≤x ≤?2mπk ，m ∈Z ，∵函数y ＝k cos （kx ）在区间(π4，π3)单调递减，∴{π4≥πk ?2mπk π3≤?2mπk ，解得{k ≤4?8m k ≥?6m ，m ∈Z ，∴﹣6≤k ≤﹣4，或k ＝﹣12，综上，k 的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．⼆、选择题13．⽅程tan x ＝2的解集为（） A ．{x |x ＝2k π+arctan2，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π±arctan2，k ∈Z }C ．{x |x ＝k π+arctan2，k ∈Z }D ．{x |x ＝k π+（﹣1）k arctan2，k ∈Z }【分析】根据反三⾓函数的定义及正切函数的周期为k π，即可得到原⽅程的解．解：由tan x ＝2，根据正切函数图象及周期可知： x ＝k π+arctan2．故选：C ．【点评】此题考查学⽣掌握正切函数的图象及周期性，是⼀道基础题．14．已知函数y ＝A sin （ωx +φ）+m （A ＞0，ω＞0）的最⼤值为4，最⼩值为0，最⼩正周期为π2，直线x =π3是其图象的⼀条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A ．y =4sin(4x +π6)B ．y =2sin(2x +π3)+2 C ．y =2sin(4x +π3)+2D ．y =2sin(4x +π6)+2【分析】由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A 和m 的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从⽽得到符合条件的函数解析式．解：由题意可得A +m ＝4，A ﹣m ＝0，解得 A ＝2，m ＝2．再由最⼩正周期为π2，可得2πω=π2，解得ω＝4，∴函数y ＝A sin （ωx +φ）+m ＝2sin （4x +φ）+2．再由 x =π3是其图象的⼀条对称轴，可得 4×π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，⼜|φ|＜π2，∴φ=π6，故符合条件的函数解析式是 y ＝2sin （4x +π6）+2，故选：D ．【点评】本题主要考查利⽤y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．函数y ＝2sin （π6?2x ），（x ∈[0，π]）为增函数的区间是（）A ．[0，π3]B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6] D ．[5π6，π]【分析】化简函数y ＝2sin （π62x ），利⽤正弦函数的图象与性质，求出y 在x ∈[0，π]的增区间即可．解：∵y ＝2sin （π6?2x ）＝﹣2sin （2x ?π6），∴只要求y ＝2sin （2x ?π6）的减区间，∵y ＝sin x 的减区间为[2k π+π2，2k π+3π2]，∴令2x ?π6∈[2k π+π2，2k π+3π2]，解得x ∈[k π+π3，k π+5π6]，⼜x ∈[0，π]，∴x ∈[π3，5π6]．故选：C ．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应⽤问题，是基础题⽬． 16．已知α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，给出下列四组数据：①sin α，sin β，sin γ；②sin 2α，sin 2β，sin 2γ；③cos 2α2，cos 2β2，cos 2γ2；④tan α2，tan β2，tan γ2分别以每组数据作为三条线段的长，其中⼀定能构成三⾓形的有（） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【分析】设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ，分别判断两个较⼩的边与最⼤边的差是否⼀定⼤于0，可得答案．解：∵α，β，γ是某三⾓形的三个内⾓，设α，β，γ的对边分别为a ，b ，c ，不妨令α≤β≤γ，则a ≤b ≤c ，则a +b ＞c ．则①中，sin α=a2R ，sin β=b2R，sin γ=c 2R ；则a 2R+b 2R＞c 2R，故⼀定能构成三⾓形；②中，sin 2α=a 24r 2，sin 2β=b 24R2，sin 2γ=c 24R 2，由a 24r +b 24R ＞c 24R 仅在a 2+b 2﹣c 2＞0，即cos γ＞0时成⽴，故不⼀定能构成三⾓形．③中，cos 2α2+cos 2β2=cosα+cosβ?cosγ2+12＞0恒成⽴．恒成⽴，故⼀定能构成三⾓形，故③正确．④中，当α＝β＝30°时γ＝120°，tan α2+tan β2tan γ2＜0，故不⼀定能构成三⾓形，故①③正确，故选：B ．【点评】本题考查了构成三⾓形的条件，三⾓函数的图象和性质，是三⾓函数较为综合的考查，难度较⼤，属于难题三、解答题17．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α，β满⾜{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2（1）求cos(α+π6)的值．（2）求cos （α+β）的值．【分析】（1）将等式5√3sin α+5cos α＝8左边提取10，利⽤两⾓和与差的正弦函数公式及特殊⾓的三⾓函数值求出sin （α+π6）的值，由α的范围求出α+π6的范围，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系化简即可求出cos （α+π6）的值；（2）等式√2sin β+√6cos β＝2左边提取2√2，利⽤两⾓和与差的正弦函数公式及特殊⾓的三⾓函数值化简，求出sin （β+π3）的值，由β的范围求出β+π3的范围，利⽤同⾓三⾓函数间的基本关系求出cos （β+π3）的值，将所求式⼦利⽤诱导公式sin （π2+θ）＝cos θ变形，其中的⾓π2+α+β变形为（α+π6）+（β+π3），利⽤两⾓和与差的正弦函数公式化简后，将各⾃的值代⼊即可求出值．解：（1）∵5√3sin α+5cos α＝8，2sin α+12cos α）＝8，即sin （α+π6）=45，∵α∈（0，π3），∴α+π6∈（π6，π2），∴cos （α+π6）=√1?sin 2(α+π6)=35；（2）⼜∵√2sin β+√6cos β＝2，∴2√2（12sin β+√32cos β）＝2，即sin （β+π3）=√22，∵β∈（π6，π2），∴β+π3∈（π2，5π6），∴cos （β+π3）=?√22，∴cos （α+β）＝sin[π+（α+β）]＝sin[（α+π6）+（β+π3）]＝sin （α+π6）cos （β+π3）+cos （α+π6）sin （β+π3） =45×（?√22）+35×√22=?√210．【点评】此题考查了两⾓和与差的正弦函数公式，诱导公式，同⾓三⾓函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换⾓度是解本题的关键，同时注意⾓度的范围．本题中灵活运⽤⾓的变换的技巧达到了⽤已知表⽰未知，在求值题中，这是⼀个重要的经验！ 18．如图，等腰三⾓形ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ⼤⼩为α，∠CAD ⼤⼩为β．（1）若α=π4，β=π3，求BD DC ；（2）若BD DC=12，β=α+π3，求∠B ．【分析】（1）分别在△ABD 和△ACD 中使⽤正弦定理即可得出BD DC=sinαsinβ；（2）利⽤三⾓恒等变换求出α，从⽽得出∠B ．解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得BD sinα=AD sinB，在△ACD 中，由正弦定理得DC sinβ=ADsinC，∵∠B ＝∠C ，∴BD sinα=DC sinβ∴BD DC=sinαsinβ=√22√32=√63．（2）由（1）知BD DC=sinαsinβ=12，⼜β＝α+π3，∴sin β＝sin （α+π3）=12sin α+√32cos α，∴12sin α+√32cos α＝2sin α，即√3cos α＝3sin α，∴tan α=√33，∴α=π6，β=π2，∴B =12（π﹣α﹣β）=π6．【点评】本题考查了正弦定理，三⾓恒等变换，属于中档题．19．某景区欲建两条圆形观景步道M 1，M 2（宽度忽略不计），如图所⽰，已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AD ＝60（单位：⽶），要求圆M 与AB ，AD 分别相切于点B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ．（1）若∠BAD =π3，求圆M 1，M 2的半径（结果精确到0.1⽶）（2）若观景步道M 1，M 2的造价分别为每⽶0.8千元与每⽶0.9千元，则当∠BAD 多⼤时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【分析】（1）利⽤切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α），化简，令1+tan α＝x 换元，利⽤基本不等式得出最值．解：（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ，∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD =12∠BAD =π6，∠M 2AD =π12，∴M 1B ＝AB tan ∠M 1AB ＝60×√33=20√3≈34.6（⽶），∵tanπ6=2tanπ121?tan 2π12=√33，∴tan π12=2?√3，同理可得：M 2D ＝60×tanπ12=60（2?√3）≈16.1（⽶）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜π4），由（1）可知圆M 1的半径为60tan α，圆M 2的半径为60tan （45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0.8?2π?60tan α+0.9?2π?60tan （45°﹣α）＝96πtan α+108π?1?tanα1+tanα，设1+tan α＝x ，则tan α＝x ﹣1，且1＜x ＜2．∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（2x ?1）＝12π?（8x +18x ?17）≥84π≈263.8，当且仅当8x =18x 即x =32时取等号，当x =32时，tan α=12，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD 为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运⽤，属于中档题．20．在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C．（1）求⾓A的⼤⼩；（2）若a＝2，求△ABC⾯积的取值范围；（3）若sin B＝p sin C，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐⾓三⾓形．【分析】（1 ）由已知及三⾓函数中的恒等变换应⽤，从⽽可求tan A=√3，即可解得A的值，（2）由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再根据三⾓形的⾯积公式计算即可，（3）由题意可得p=√32tanC+12，根据⾓C的范围，即可求出．解：（1）∵(√3sinB?cosB)(√3sinC?cosC)=4cos B cos C，∴3sin B sin C+cos B cos C?√3sin B cos C?√3cos B sin C，∴?√3sin（B+C）＝3cos（B+C），∴tan（B+C）=?√3，∴tan A=√3，∴A=π3，（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，∴S△ABC=12bc sin A≤12×4×√32=√3，∴△ABC⾯积的取值范围为（0，√3]，（3）sin B＝p sin C，∴p=sinBsinC =sin(120°?C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC 为锐⾓三⾓形，A =π3，∴π6＜C ＜π2，∴tan C ＞√33，∴12＜p ＜2，即p 的范围为(12，2)【点评】本题主要考查了三⾓函数中的恒等变换应⽤，考查了正弦定理余弦定理和三⾓形的⾯积公式，属于中档题．21．已知集合P 是满⾜下述性质的函数f （x ）的全体：存在⾮零常数M ，对于任意的x ∈R ，都有f （x +M ）＝﹣Mf （x ）成⽴．（1）设函数g （x ）＝sin πx ，试证明：g （x ）∈P ；（2）当M ＝1时，试说明函数f （x ）的⼀个性质，并加以证明；（3）若函数h （x ）＝sin ωx ∈P ，求实数ω的取值范围．【分析】（1）可取M ＝1，验证即可；（2）M ＝1时，由f （x +1）＝﹣f （x ）可得到函数f （x ）的⼀个性质：周期性；（3）由题意可得h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成⽴，既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx ，可对M 分|M |＞1，|M |＜1及|M |＝1三种情况讨论解决．解：（1）取 M ＝1 对于任意x ∈R ，g （x +M ）＝sin （πx +π）＝﹣sin πx ＝﹣g （x ）＝Mf （x ）∴g （x ）∈P（2）M ＝1时，f （x +1）＝﹣f （x ）f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）∴f （x ）是⼀个周期函数，周期为2；（3）∵h （x ）＝sin ωx ∈P ∴存在⾮零常数M ，对于对于任意的x ∈R ，都有h （x +M ）＝﹣Mh （x ）成⽴．既 sin （ωx +ωM ）＝﹣M sin ωx若|M |＞1，取sin ωx ＝1，则 sin （ωx +ωM ）＝﹣M 对x ∈R 恒成⽴时不可能的．若|M |＜1，取sin （ωx +ωM ）＝1，则sinωx =?1M对x ∈R 也不成⽴．∴M ＝±1当 M ＝1时 sin （ωx +ω）＝﹣sin ωx ，sin （ωx +ω）+sin ωx ＝0，2sin(ωx +ω2)?cos ω2=0（x ∈R ），cos ω2=0解得：ω＝2k π+π（k ∈Z ）；当M ＝﹣1时 sin （ωx ﹣ω）＝sin ωx ，sin （ωx ﹣ω）﹣sin ωx ＝0，2cos(ωx ?ω2)?sin(?ω2)=0（x∈R），sin ω2=0解得：ω＝2kπk∈Z综上可得ω＝kπ（k∈Z）【点评】本题考查三⾓函数的周期性与最值，难点在于（3）中对M取值范围的分类讨论及和差化积公式与根据三⾓函数值求⾓的灵活应⽤，属于难题．。
上海交大附中高一下学期期中考试数学试题
上海市交大高一下学期期中考试数学试题（满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上）一、填空题（每题3分）1、 若1sincos225αα-=，则sin α=_________。
2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。
3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。
4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。
6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。
7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。
8、 设0<α<π，且函数f(x)=sin(x+α)+cos(x -α)是偶函数，则α 的值为_________。
9、 等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的大小为_____________。
（结果用反三角表示）。
10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若sin α，则(4cos2)f α的值为___________________。
11、 设tan α和tan β是方程mx 2+(2m -3)x+m -2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。
12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}；②若2sin 1cos =+x x ，则tan2x 必为12；③0≠ab ，sin cos ),()+=+<a x b x x ϕϕπ中，若0>a ，则arctan=ba ϕ；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[，2]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。
【高一数学试题精选】2018上海交大附中高一数学下学期期末试卷(含答案沪教版)
2018上海交大附中高一数学下学期期末试卷（含答案沪教
版）
5 2sin(3x＋ )=2sin(3x＋ )，所以在内的初相为。
10观察下列等式
，若类似上面各式方法将分拆得到的等式右边最后一个数是，则正整数等于____．
试题分析依题意可得分拆得到的等式右边最后一个数5,11,19,29，所以第n项的通项为所以所以
11已知数列满足（为正整数），若，则所有可能的取值为__________。
【答案】4 5 32
12设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则
数列{bn}的比为．
方法二由题意可知，则．若，易知，舍去；若，则且，则，所以，则，又，且，所以．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）
13将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是( )
A． B．
c． D．
试题分析将的图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选c．
考点函数=Asin（ωx+φ）的图象变换．
14函数f(x)＝ ( )。
2017-2018学年上海交通大学附属中学高一数学第二学期期末试卷(解析版)
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第二学期高一数学期末考试试卷（满分150分，120分钟完成. 答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽 审核：杨逸峰一、 填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 答案：12、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 答案：23、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则x y += 答案：44、函数sin y x =和tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点个数是_______ 答案：55、在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则2019201820172S S S -+的值为答案：3 解：法－当n 为偶数时，114321=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故2n S n =当n 奇数时，21=a ，115432=+==+=+-n n a a a a a a Λ，故23212+=-+=n n S n 故201920182017210112100910103S S S -+=-⨯+= 法二由1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，可得()()21n n a n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数故2019201820172019201820182017201920182()3S S S S S S S a a -+=---=-=6、把函数22sin 2cos )(+-=x x x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于直线π817=x 对称，则m 的最小值为 答案：4π7、给出下列等式：π2cos 4=，π2cos 8=，π2cos 16=， ……请从中归纳出第n ()n ∈*N2n 个答案：12cos n +π28、等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第 项．答案：设抽取的是第n 项．∵S 11＝55，S 11－a n ＝40，∴a n ＝15，又∵S 11＝11a 6 a 6＝5．由a 1＝－5，得d ＝21616=--a a ，令15＝－5＋（n －1）×2，∴n ＝119、ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C 、、对边，已知,2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，则ABC ∆的面积= 。
上海交通大学附属中学-2017-2018-学年度第二学期
13. A. The evolution of self-study books.
B. The importance of self-study books.
C. The difference among self-study books.
7. A. The job’s short hours make it impossible for her to refuse.
B. The job is turning into an excellent opportunity for her.
C. She’s looking forward to meeting her new colleagues.
B. Its competitors are less considerate of customers.
C. It creates great personal fortunes for investors.
D. Its business is kept in a traditional way.
C. He needs to talk to Harry soon. D. Harry doesn’t have a telephone.
3. A. The new doctor lacks experience.
B. She disagrees with what the man said.
C. The man had better talk with the patients first.
Questions 17 through 20 are based on the following conversation.
(精品)2016-2017学年上海市交通大学附中高一(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（3分）arccos（﹣）=．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．5．（3分）函数的最小正周期为．6．（3分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．7．（3分）函数y=sinx+arcsinx的值域是．8．（3分）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．12．（3分）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（3分）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}14．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）arccos（﹣）=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6 cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．4．（3分）（2016春•金山区校级期末）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．5．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数=2﹣1+1=﹣cos（2x+）+1 的最小正周期为=π，故答案为：π．6．（3分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．7．（3分）（2005•上海）函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+] ．【解答】解：函数y=sinx+arcsinx的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x=﹣1时，函数y=sinx+arcsinx有最小值﹣sin1+（﹣）=﹣sin1﹣．故当x=1时，函数y=sinx+arcsinx有最大值sin1+，故函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+]，故答案为[﹣sin1﹣，sin1+]．8．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．【解答】解：由cos2x+sinx+a=0，转化为：1﹣sin2x+sinx+a=0，即（sinx﹣）2=∵上，sinx∈（0，1）∴sinx﹣∈（，]则（sinx﹣）2∈[0，]∴∴a的取值范围是．故答案为．9．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：由题可知t=sinx∈[﹣1，1]，则y=f（x）=1+，令z=，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，所以z max+z min=0，又因为M+m=（1+z max）+（1+z min），所以M+m=2+（z max+z min）=2，故答案为：2．10．（3分）（2017•江苏一模）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．11．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．【解答】解：设A=B，由已知得sinA1=sinB1，cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，则A1=B1，所以A+A1=，B+B1=，C+C1=（舍）或A+A1=，B+B1=，C=C1﹣，解得C=，A=B==．故答案是：．12．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k 的取值范围为[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【解答】解：当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．当k＜0时，令﹣π+2mπ≤﹣kx≤2mπ，解得﹣≤x≤﹣，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴﹣6≤k≤﹣4，或k=﹣12，综上，k的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．二、选择题13．（3分）（2011•浦东新区二模）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}【解答】解：由tanx=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arctan2．故选C14．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选D．15．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]【解答】解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．故选：C．16．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．则①中，sinα=，sinβ=，sinγ=；则+＞，故一定能构成三角形；②中，sin2α=，sin2β=，sin2γ=，由+＞仅在a2+b2﹣c2＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，+﹣=+＞0恒成立．恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α=β=30°时γ=120°，tan+tan﹣tan＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确，故选：B．三、解答题17．（2011•广东校级模拟）设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）∵5sinα+5cosα=8，∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）==；（4分）（2）又∵sinβ+cosβ=2，∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）=﹣，（7分）∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）=×（﹣）+×=﹣．（12分）18．（2017春•杨浦区校级期中）如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，∵∠B=∠C，∴，∴==．（2）由（1）知==，又β=α+，∴sinβ=sin（）=sinα+cosα，∴sinα+cosα=2sinα，即cosα=3sinα，∴tanα=，∴α=，β=，∴B=（π﹣α﹣β）=．19．（2017春•杨浦区校级期中）某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD 分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【解答】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2﹣，同理可得：M2D=60×tan=60（2﹣）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x﹣1，且1＜x＜2．∴y=96π（x﹣1）+108π（）=12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．20．（2017春•杨浦区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【解答】解：（1）∵=4cosBcosC，∴3sinBsinC+cosBcosC﹣sinBcosC﹣cosBsinC，∴﹣sin（B+C）=3cos（B+C），∴tan（B+C）=﹣，∴tanA=，∴A=，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号，=bcsinA≤×4×=，∴S△ABC∴△ABC面积的取值范围为（0，]，（3）sinB=psinC，∴p===+，∵△ABC为锐角三角形，A=，∴＜C＜，∴tanC＞，∴＜p＜2，即p的范围为21．（2017春•杨浦区校级期中）已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【解答】解：（1）取M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=﹣sinπx=﹣g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=﹣f（x）f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=﹣Mh（x）成立．既sin（ωx+ωM）=﹣Msinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则sin（ωx+ωM）=﹣M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1当M=1时sin（ωx+ω）=﹣sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=﹣1时sin（ωx﹣ω）=sinωx，sin（ωx﹣ω）﹣sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）:qiss；沂蒙松；w3239003；caoqz；sllwyn；左杰；cst；zhczcb；lcb001；742048；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年6月6日。
上海市上海大学市北附属中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷及解析
上海市上海大学市北附属中学2017-2018学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1.已知扇形的圆心角为3，半径为2，则该扇形的面积为_________． 2.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则tan sec αα+=____ 3.化简：cos 20cos(20)cos70sin(20)αα︒-︒-︒-︒=_______ 4.已知等腰三角形的底角的正弦值等于23，则这个三角形顶角的余弦值为_____ 5.函数224cos y x =-的值域为________ 6.函数13cos 26y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭取得最大值时的x 的值为______ 7.函数44cos sin y x x =-的最小正周期是______8.某货轮在A 处看到灯塔S 在北偏东30方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，此时货轮到灯塔S 的距离为______海里9.已知(1tan )(1tan )2αβ++=，且,αβ都是锐角，则αβ+=_____ 10.已知点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OA '，则A '的坐标为_______ 11.已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆ 的面积等于__________．12.已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据①； ②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos,cos ,cos 222αβγ； ④tan,tan,tan222αβγ．分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ．二、解答题（题型注释）,32ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值 14.已知α，β为锐角，且cosα=17，cos(α+β)=−1114．求sinβ的值．15.已知函数1()sin ,[0,2]2f x x x π=-∈ （1）用“五点法”作出()f x 的图像 （2）写出()0f x >的x 的取值范围 16.已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x +12，x ∈(0,π).（1）求f(x)的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b =5，若f(A)=0，求△ABC 的面积.17.如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC BD 、是过抛物线2y x 的两条互相垂直的弦（点A B 、在第二象限），且AC BD 、交于点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，点E 为y 轴上一点，EFA α∠=，其中α为锐角（1）设线段AF 的长为m ，将m 表示为关于α的函数（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小参考答案1.23π；【解析】1. 试题由题圆心角为3π，半径为2；则：1112,?,?·422233S lR l R S R R ππαα====⨯⨯= 2.3-【解析】2.根据三角函数的定义cos =x r α,tan =x y α, 1sec =cos αα,代入已知条件即可得到答案. 角α的终边经过点(3,4)P -,到原点的距离为5.故:5,3,4r x y ==-= 根据: cos 53x r α==- ,则15sec ==cos 3αα- 4tan =3y x α=- ∴ 54tan sec =+333αα⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭故答案为:3-. 3.cos α【解析】3.根据诱导公式:()sin cos 90αα︒-=化简原式,利用两角和的余弦公式:()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-即可得出答案.()()cos 20cos 20cos70sin 20αα︒︒︒︒---()()cos 20cos 20sin 20sin 20αα︒︒︒︒=---()cos 2020α︒︒=+-cos α=故答案为:cos α. 4.19-【解析】4.设等腰三角形一个底角为θ,则顶角为2πθ-,求解()cos 2πθ-即可得到答案. 由题意可知:sin 3=2θ. 设等腰三角形一个底角为θ,则顶角为2πθ-()()()222cos =cos 12s n =i πθθθ----221=12=39⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭所以这个三角形顶角的余弦值为:19-. 故答案为:19-. 5.[]22-,【解析】5.由余弦函数的性质可知1cos 1x -≤≤,从而有20cos 1x ≤≤ ,即可求得函数的值域. 由余弦函数的性质可知1cos 1x -≤≤∴ 20cos 1x ≤≤ 故:244cos 0x -≤-≤∴ 2224cos 2x -≤-≤所以函数224cos y x =-的值域为:[]2,2y ∈-.故答案为:[]22-,. 6.,12k k ππ-+∈Z【解析】6.当函数13cos 26y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭取得最大值时,即cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1,求解os 2=61c x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即可求得函数取得最大值时x 的值.1cos 216x π⎛⎫-+⎪⎝⎭∴ 当函数13cos 26y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭取得最大值时,得os 2=61c x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭即22,6x k k ππ+=∈Z 解得: ,12x k k ππ=-+∈Z故答案为:,12k k ππ-+∈Z .7.π【解析】7.逆用二倍角公式将原式降幂,原式化简为cos()y A x ωϕ=+形式,利用2T ωπ=即可求得函数最小正周期.()()442222cos sin cos sin o s =c s +in y x x x x x =--22cos sin cos 2x x x =-=22==2T πππω=T π∴=故答案为:π.8.【解析】8.根据题意画出草图,在ABS 中利用正弦定理,即可求得SB 的长.由题意可知,30,45A BSA ︒︒∠=∠=236243AB =⨯=海里 . 在ABS 中,根据正弦定理可得:sin sin SB ABA BSA=∠∴12SB = 解得:SB =海里此时货轮到灯塔S的距离为海里. 故答案为:. 9.4π【解析】9.化简(1tan )(1tan )2αβ++=,得到tan()1αβ+=,然后结合,αβ都是锐角,即可求得αβ+的值.(1tan )(1tan )2αβ++= 1tan tan tan tan 2αβαβ∴+++= tan tan tan tan 1αβαβ∴++= tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-tan tan 11tan tan αβαβ+∴=-tan()1αβ∴+=0αβπ∴<+<,αβ都是锐角 故4παβ+=故答案为:4π. 10.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】10.先构建Rt OAB ,再把Rt OAB 绕坐标原点O 逆时针旋转2π,得到OA B ''△.根据旋转性质,即可写出A '点的坐标.如图:把Rt OAB 绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到OA B ''△ 根据旋转性质,则45A B AB ''==,35OB OB '==,2OB A OBA π''∠=∠=所以A '的坐标为: 43,55A ⎛⎫'-⎪⎝⎭故答案为:43,55⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】11.由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx 和y=cosx 的图象的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形△ABC 是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，∴△ABC 的面积122π⨯=故答案为：． 12.①③【解析】12.试题 因为,,αβγ是某三角形的三个内角，由正弦定理可知，可作为三角形的三条边； 因为222111111coscos ,cos cos ,cos cos 222222222αβγαβγ=+=+=+，所以()()2221cos cos cos 1cos cos cos ,1cos cos cos 1cos cos cos 2222αβγαβγαβγαβαβ+-=++-++-=++++22coscos2cos 0222αβαβαβ+-+⎛⎫=+>⎪⎝⎭，所以222cos cos cos 0222αβγ+->，同理可证222coscos cos 222αβγ-<，故222cos,cos ,cos 222αβγ可作为三角形的三边.故答案为①③.13.2-.【解析】13.根据同角三角函数关系，求出sin θ的值，然后利用二倍角公式将所求式子化简，代入已知量，得到答案.因为cos ,,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以sin 3θ==， 所以2cos 2cos sin 2sin 2sin cos sin θθθθθθθ-=--=⎝⎭2=-. 14.√32.【解析】14.由α和β都为锐角，得到α+β的范围，进而由cosα及cos （α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin （α+β）的值，然后把所求式子中的角β变为（α+β）-α，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． ∵α，β为锐角，即α∈（0，90），β∈（0，90）， ∴α+β∈（0，180°）， 又cosα=17，cos(α+β)=−1114，∴sinα=√1−cos 2α=4√37，sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=5√314，则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα =5√314×17+1114×4√37=√32．15.（1）答案见解析（2）50,,266πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】15.(1)由题意,可先列出表格,找出五点,再作出函数的图像;(2) 先求解1sin =02x -,结合1()sin 2f x x =-图像,即可求出()0f x >时x 的取值范围. （1）由题意列出表格:（2）1()sin ,[0,2]2f x x x π=-∈ ∴ ()=0f x 即1sin =02x - 解得:6x π= 或56x π=结合（1）的图像可知()0f x >时x 的取值范围:50,,266πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦16.（1）[π2,π);（2）154√3【解析】16.试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f(A)=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 试题解析：（1）函数f(x)=cos 2x −sin 2x +12=cos2x +12,x ∈(0,π)由2kπ−π≤2x ≤2kπ,k ∈Z ，解得kπ−π2≤x ≤kπ,k ∈Zk =1时，12π≤x ≤π，可得f(x)的增区间为[π2,π)（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a =√19，角B 所对边b=5，若f(A)=0，即有cos2A +12=0 解得2A=2π3，即A =π3由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cosB=2×√19×2<0即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3， △ABC 的面积为S =12bcsinA =12×5×3×√32=15√3417.（1）2cos 12sin m αα+=（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为12,取最小值时4πα=.【解析】17.（1）过点A 作AK y ⊥轴于点K ,||AF m =,在Rt AFK 中利用三角函数的定义可得||sin AK m α=,||cos FK m α=,即点A 的坐标为1sin ,cos 4A m m αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,代入抛物线的方程,可得m 关于α的函数.（2）由题意结合图形,||,||,||BF CF DF 可由||AF 逆时针旋转得到,即可得到||,||,||BF CF DF 关于α的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积S 关于α的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.（1）过点A 作AK y ⊥轴于点K ,||AF m =在Rt AFK 中,KFA α∠=∴ ||||sin ,cos ||||AK FK AF AF αα== 即:||||sin sin AK AF m αα==， ||||cos cos FK AF m αα== 由此可得点A 的坐标为1sin ,cos 4A m m αα⎛⎫-+⎪⎝⎭ 点A 是抛物线2y x 上的点,将其代入可得:221cos sin 4m m αα+= ,即:221sin cos 04m m αα--= 解得: 22cos cos 1=2sin 2sin m αααα±±= 0m > 故: 2cos 12sin m αα+= ∴m 表示为关于α的函数为:2cos 12sin m αα+= （2）根据（1）得: m 表示为关于α的函数为:2cos 12sin m αα+=由题意可知: AC BD ⊥|BF |可由||AF 逆时针旋转2π得到,其与y 正半轴夹角为2πα+. ∴||=BF 22cos 11sin 22cos 2sin 2BF m πααπαα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ||CF 可由||AF 逆时针旋转π得到,其与y 正半轴夹角为πα+. ∴()()22cos 11cos ||2sin 2sin CF CF m πααπαα++-===+||DF 可由||AF 逆时针旋转32π得到,其与y 正半轴夹角为32πα+. 223cos 11sin 2||32cos 2sin 2DF DF m πααπαα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴ 21sin ||2cos BF αα-= ,21cos ||2sin CF αα-= ,21sin ||2cos DF αα+= 设“蝴蝶形图案”面积为S :221cos 11sin ||||sin 9022sin 122cos AFB SAF BF αααα+-⋅⋅==⨯⨯ 2211cos 1sin ||||sin 9022sin 122cos CFD S CF DF αααα-+⋅⋅==⨯⨯ ∴21sin cos 4(sin cos )AFB CFD S S S αααα-=+= 令:1sin cos =sin 22t ααα= α为锐角∴ 0sin 21α<≤ 则1,02t <≤可得:12t 则2222111111111111=444244216t S t t t t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12t 故12t =时,min 12S = 即:1=2t ∴ 11==sin 222t α化简为:sin 2=1α (α为锐角)解得: 4πα= 综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为12,取最小值时4πα=.。
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2017-2018年交大附中高一下期中
一. 填空题
1. 已知数学期中考试时长为2小时，则考试期间分针旋转了弧度
2. 方程2cos210x +=的解集是
3.
ABC ∆中，60A =︒，1b =，4c =，则a =
4. 化简计算：
sin()
sin()tan(2)25tan()cos(3)cos()
2
παπααπππαπαα+--⋅⋅=+-- 5. 函数2
arcsin()y x x =-的单调递增区间是 6. 已知02
π
θ<<
，将cos θ，cos(sin )θ，sin(cos )θ从小到大排列
7. 若()sin()sin()44
f x a x b x π
π
=+
+-（0ab ≠）是偶函数，则有序实数对(,)a b 可以是 （写出你认为正确的一组数即可）
8. 若函数()cos |sin |f x x x =+（[0,2]x π∈）的图像与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则
k 的取值范围是
9. 将3sin(2)4y x π=+
图像上所有点向右平移动6
π
个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为 10. 在锐角ABC ∆中，1BC
=，2B A =，则AC 的取值范围是
11. 函数1arctan arctan
1x
y x x
-=++的值域是 12. 设函数1122()sin()sin()sin()n n f x a x a x a x ααα=⋅++⋅++⋅⋅⋅+⋅+，其中i a 、i
α（1,2,,i n =⋅⋅⋅，*n N ∈，2n ≥）为已知实常数，x ∈R ，下列关于函数()f x 的性质判断正确的有 （填写序号）
① 若(0)()02
f f π
==，则()f x 对任意实数x 恒成立；
② 若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数； ③ 若()02
f π
=，则函数()f x 为偶函数；
④ 当22(0)()02
f f π
+≠时，若12()()0f x f x ==，则12x x k π-=（k Z ∈）.
二. 选择题
13. 化简
24cos cot
tan
2
2
αα
α
=-（ ）
A.
sin2α B. sin α C. 2sin α D. tan2α
14. 与函数y x =表示同一个函数的是（ ）
A. arcsin(sin )y x =
B. cos(arccos )y x =
C. tan(arctan )y x =
D. 2
2
(sec tan )y x x x =- 15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||2
π
ϕ<）的图像如图所示，则函数()f x
的解析式为（ ） A. ()sin(2)3
f x x π
=- B. ()sin(2)6
f x x π
=+ C. ()sin(2)3
f x x π
=+
D. ()sin(4)6
f x x π
=+
16.
函数sin()
4()sin cos |sin cos x f x x x x x
π
-=⋅⋅
-是（ ） A. 周期为2π
的偶函数 B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2
π
的非奇非偶函数 D. 周期为π的非奇非偶函数
三. 解答题
17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知sin sin sin A C p B +=⋅ （0p >），且214
ac b =. （1）当5
4
p =
，1b =时，求a 、c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围.
18. 已知函数2
()cos f x x =
，1
()cos 2
g x x x =
+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求(2)g a 的值； （2）若02
x π
≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.
19. 如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A x b ωϕ=++，[,]ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处.
（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地 面超过85米？
20. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角星形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=. （1）试用α表示11AA H ∆的面积；
（2）求八角星所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小.
21. 已知()f x 是定义域为D 上的函数，若对任意的实数12,x x D ∈，都有：
12121
[()()]()22
x x f x f x f ++≤成立，当且仅当12x x =时取等号，则称函数()f x 是D 上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数i x D ∈，都有：
12121
[()()()]()n n x x x f x f x f x f n n
++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（*n N ∈）成立. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时取等号，设()sin f x x =(0,)π. （1）求证：()sin f x x =是(0,)π上的凸函数； （2）设()()(
)2g x f x f x π=+-，(0,)2
x π
∈，利用凸函数的定义求()g x 的最大值；
（3）设A 、B 、C 是ABC ∆三个内角，利用凸函数性质证明sin sin sin A B C ++≤
参考答案
1、4π-
2、,3x
x k k Z ππ⎧
⎫
=±∈⎨⎬⎩⎭
3
4、1-
5
、12⎡⎢⎣⎦
6、()()sin cos cos cos sin θθθ<<
7、()1,1-
8
、⎡⎣
9、2
5sin 3
12y x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
10
、
11、3,4
4ππ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭ 12、①②③④
13-16、ACCD
17、（1）114a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或141
a c ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩；（2
）⎝ 18、（1）
12；（2）1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
19、（1）26050cos 3
y t π
=-（0t >）
；（2）1分钟 20、（1）()
2
8sin cos sin cos 1S αα
αα⋅=
++（0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
）；（2
）64-4πα= 21、（1）略；（2
（3）略。