数学思想方法在排列组合中的应用

三、 根 据 灵活 性 原 则 切 实 用 好 “ 直接 法” 和“ 间 接 法” 这 两 种 求 解 问题 方 法
பைடு நூலகம்
关键词 ： 排列组合 ； 划分性 ； 顺序性 ； 灵活性 ； 变 异 性
一
、
要 抓 住 排 列组 合 问 题 中所 体 现 的 划 分 性 原
则 去 求解 问题
排列组合这 一部 分知识 ， 一开始 给出 了一个 重 要 的原理 ： 即加法 原理和乘法原理 。其 中加法原 理 明确 的告诉 我们 ，对于任何 一个 排列组合 问题 ， 应 首 先根据 问题 的要 求 ， 利用 划分性 原则 ， 把 问题 解 决 中的各种相互独立 的类一 一划分 出来 ， 才 能得到 正确 的求解结果 。因此教学中应充分借助划分性原 理， 通过对 问题的分析教会学生 找到问题解 的各类 彼 此独立的情况 ， 然 后 再 对 每一 类 独 立 情 况 下 的 解 依 乘法 原理加以计算 。如 ： 例 １如 下 图 所 示 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 Ｅ 为 五 块 不 同 的 地 域， 若 要 用 六 种 不 同 的颜 色 去 涂 这 五 块 ， 要 求 相 同 的区域不能用相同的颜色去涂 ， 问有 多少种涂 法？
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难点 剖 析
数 粤想方法在撕列 舍中的 应 用
■ 高 鲲鹏
摘 要 ：排列组合 应用 问题是不 少学生感到头 痛 的 问题 ， 他 们在 具体处理 时 ， 由于对 问题 的认识 理 解不 到位 ，因而不 能准确 的获 得 问题 求解 的结 果， 那么究 其原 因 ， 除不少学 生对 应用题 缺乏 正确 的分析判断能力 外 ， 还在 于他们不能正确 的应用相 关 的数学思想 和数学方法去处理这一 方面 的问题 ， 下面就 这一部 分的 问题谈谈 数学 的思 想方 法的应
用。
悟概念 中体 现出来的顺序 ， 应认真分 析题意让 学生 明 白问题 的求解应分成哪些相 互关联 的步骤 ， 以便 让学生能依 次有序 的对 问题进 行求解 ，事实上 ， 对 任何 一个排 列组 合问题 在求 解时应 首先 考虑 如何 从 中选 出符 合题意要求 的元素来 ， 然后在选 出元素 后再去考虑是否要对选 的元 素进 行排 队。
四、 要 注 意 应 用 变 异 原 则 求 解 问题
“
一
二、 要 充 分 利 用 排 列 组 合 问 题 中所 体 现 的顺 序
性 原 则 去 求 解 问题
排列 组合 问题是一 个顺 序性 十分明确 的问题 ， 因此教学 中应 充分把 握好 如何 根据 问题 的 内涵 领
排列 组合题 在处 理过 程 中有 一个 值得 研究 的 问题那就是究竟从哪一个 角度 出发 去解 决问题。应 该说 有些 问题 ， 若选择 的切 入角 度得 当 ， 则 问题 的 求解 简便 ， 否 则便会 变得 复杂难解 ， 教学 中应 通过 实 例说 明 ， 应 该怎样 对待一 个 问题进行 认识 ， 以求 找 到解 决它的最优方案 ， 同时要 给出问题从 不 同角 度求解 的情况 ， 让学生通过求解 比较他们的优劣 ， 以 期 达到给学 生会 注意应用变异性原则去求解问题 。
一
顺 序一 ： 先 放１ 号球 人 盒 有 三 种 方 法 ； 顺 序二 ：将 １ 号球安 置入 的盒号 对应 的球 进行 安置 ， 显然有三种方法 ； 顺 序 三 ： 安 置 剩 下 的 两 个 球 入 盒 只 有 一 种 方 法 。故 ３ ｘ ３ ｘ ｌ ＝ ９ ； 但 由于直接 法处理时 的顺 序二学生 不易考 虑 ， 因此 此 问题 通 常 采 取 间接 法处 理 如 下 ： 间接法 ：不考虑要求 将编号 １ ， ２ ， ３ ， ４ 的球放入 编号 为１ ， ２ ， ３ ， ４ 的盒子 内，每一 个盒子 内放一个球 的方法 为２ ４ 种， 其 中不合要求 的情况有 ： （ １ ） 四个 球 的球 号 与 四个 盒 的 盒 号 全 对 应 的情 况有 １ 种； （ ２ ） 两 个 球 的 球 号 与 两 个 盒 的 盒 号 对 应 而 另 两 个 不对应的情况有６ 种； （ ３ ） 一个球 的球号与一 个盒 的盒 号对应而另 三 个 不对应的情况有８ 种； 故 该问题共有２ ４ 一 ｌ ＿ ６ — ８ ＝ ９ 种解法 。 相 比之 下 ， 间接 法要好一 些 ， 因此 间接法 处理 问题 是排列组合 问题求解 时一种十分重要 的方法 。
直接法 ：
Ｂ
ｃ
Ｅ
分析 ： 依题要求 。完成 符合题意要 求的涂法 有 三类相互独立 的方案如下 ： 分类方案之一 ： 五块区域用五块不同的颜色去涂 ； 分类方案之二 ： 五块区域用 四中不同的颜色去涂 ； 分类方案之三 ： 五块区域用三种不同的颜色去涂 ； 应该说 ， 如果数学 中通过分析 能够教会学 生 自 己划分这 些彼此独立 的涂 法 ， 那 么问题 的求解 便有 了一 个 良好 的开端 了。当然利用划分性原则对问题 的各 种彼此独立且各成 一支的情况进行 划分时 ， 须 严格 注意两条原则 ： ①不重复② 不遗漏 。这 也就是 切 可 能 成 为 解 决 问题 的 独 立 情 况 中 的 “ 独立 ” 及 切” ， 对于此二点划分 时须 确认 一个划分 的标准 亦即“ 立 足点” 。如 例１ 中五块 区域所涂 的颜 色不 能 相 同， 一旦标准明白了， 划分成那些“ 类” 也就明白了。
Ａ
在排列 组合问题 的求解 中 ， 常常使用 的方法是 “ 直接法 ” 和“ 间接 法”， 但 是就一个具体 问题而 言 ， 究 竞选用 这两种 方法 中 的哪一种 却会使 我们 的求 解 过程繁易不 同 ， 因此教学 中应 着重说 明这两种方 法 的使用要点和 大致 使用范 围， 并通过 实例分析探 究 具体问题在使用这 两种方法求解 时的优劣情 况 ， 以教会 学生会 根据具 体 问题灵 活选用 某一 种方法 去简明的求解问题 。如下例 ： 例２ 四个 编 号 为 １ ， ２ ， ３ ， ４ 的 小 球 放 入 编 号 为 １ ， ２ ， ３ ， ４ １ ￣ ４ Ｊ 四个盒子里 ， 每个 盒子放一个小球 ， 求球 号 与 盒 号 均 不 对 应 的方 法 有 多 少 种 ？