选修4-5不等式部分复习

绝对值三角不等式 a（a≥0） (1)绝对值定义：|a|＝ －a（a<0）
1．绝对值及其几何意义
(2)绝对值几何意义：实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点 O 的距离|OA|. (3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点 A，B 分别对应实数 x1，x2，则|AB|＝|x1－x2|． 2．绝对值三角不等式： (1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 推论 1：如果 a，b 是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 推论 2：如果 a，b 是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． 注： 1.|a± b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值. 绝 对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件． 2.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|>m 或|x－a|＋|x－b|<m(m 为正常数)，利 用实数绝对值的几何意义求解较简便． 3.含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2| ＋…＋|an|进行放缩． 4.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中 的参数范围问题．(2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角 度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴 含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题. 例题：1.若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( ) A. a<b＋c B. a>c－b C. |a|>|b|－|c| D、|a|<|b|＋|c| (1,3)
(3)|x－a|－|x－b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距离之差． 2．绝对值不等式的几何意义 (1)|x|≤a(a>0)的几何意义是以点 a 和－a 为端点的线段，|x|≤a 的解集是[－a，a]． (2)|x|>a(a>0)的几何意义是数轴除去以点 a 和－a 为端点的线段后剩下的两条射线，|x|>a 的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)． 3．解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解． 例题： 1. 解不等式 x 1 x 2 5 。 2.解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1. )
1 4.已知函数 f(x)＝log2(|2x＋1|＋|x＋2|－m)．若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R，则 m 的取值范围是________．(－∞，－ ] 2 1 5.设 f(x)＝ x2－bx＋c，不等式 f(x)<0 的解集是(－1,3)，若 f(7＋|t|)>f(1＋t2)，则实数 t 的取值范围是________． a 6.若关于实数 x 的不等式|x－5|＋|x＋3|<a 无解，则实数 a 的取值范围是________． 7.如果存在实数 x 使不等式|x＋1|－|x－2|<k 成立，则实数 k 的取值范围是________． 8.设 a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数 x 的不等式|x－a|＋|x－b|>2 的解集是________． 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系． (2)设 a、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 A、B.当点 A 在点 B 的左边时，a<b；当点 A 在点 B 的右边时，a>b． a>b⇔a－b>0 (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 (4)两个实数比较大小的步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． 2．不等关系与不等式：(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共 5 个． (2)相等关系和不等关系：任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是 特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的． (3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． (4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系． 3.不等式的基本性质：(1)对称性：a>b⇔b<a； (3)可加性：a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c； (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； (7)乘方法则：a>b>0，n∈N 且 n≥2⇒an>bn； 1 1 （9）倒数法则，即 a>b>0⇒ < . a b 2.重要不等式 3.基本不等式 定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． (1)定理 2：如果 a，b>0，那么 a b 2 (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； n n (8)开方法则：a>b>0，n∈N 且 n≥2⇒ a> b. (－∞，8] (－3，＋∞) R (－3,3)
(－∞，－1]∪[4，＋∞)
x 2 6.以下三个命题：①若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；②若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，则| |< ，其中正确 y 3 命题的序号是________． ①②③ 5 6
7.对于实数 x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
2.设集合 A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若 A⊆B，则实数 a，b 必满足( A．|a＋b|≤3
2
B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3
D、|a－b|≥3 5.
3.若不等式 x ＋|2x－6|≥a 对于一切实数 x 均成立，则实数 a 的最大值为________．
8.对于任意实数 a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为________． 1 1 5 9.已知实数 x，y 满足：|x＋y|< ，|2x－y|< ，求证：|y|< . 3 6 18 3.绝对值不等式的解法 1．|x|<a 与|x|>a 型不等式的解法 设 a>0，则 (1)|x|<a⇔－a<x<a； (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|x|≤a⇔－a≤x≤a； (3)|x|>a⇔x<－a 或 x>a； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c 或 ax＋b≥c．
5.三个正数的算术几何平均不等式 1．如果 a、b、c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 2．(定理 3)如果 a、b、c∈R＋，那么 a b c 3 数的算术平均不小于它们的几何平均． 3．如果 a1，a2，…，an∈R＋，那么 a1＋a2＋…＋an n ≥ a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．即对于 n 个正数 n )A、M≥N 1 8 B．M≤N C．M＝N D、M≥8
)A．0≤M< B．3
) A．2
C、4
2 4.已知 x>0，则 y＝x2＋ 的最小值为 x 证明不等式的基本方法 一 比较法 比较法主要有
1 5.已知 x>0，则 y＝x＋ 2的最小值为作差比较法(简称比差法)
(1)作差比较法的证明依据是：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0. (2)基本步骤是：①作差；②变形；③判号；④结论．
1 2.若不等式|x＋ |>|a－2|＋1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是______． x 3.不等式|2x－log2x|<2x＋|log2x|成立，则( )A．1<x<2 B．0<x<1 C、x>1 D．x>2
4.不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a，对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 5.若存在实数 x 满足|x－3|＋|x－m|<5，则实数 m 的取值范围为________． (－2,8)
2．作商比较法(简称比商法)
a a a (1)作商比较法的证明依据是：当 b>0 时， >1⇔a>b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a<b. b b b (2)基本步骤是：①作商；②变形；③比较与 1 的大小；④结论．
注意： 对作差比较法的理解：(1)在证明不等式的各种方法中，作差比较法是最基本、最重要的方法．作差比较法是通过确 定不等式两边的差的符号来证明不等式的，因而其应用非常广泛． (2)不等式差的符号是正是负，一般必须利用不等式的性质经过变形才能判断，其中变形的目的在于判断差的符号，而不必考 虑差的值是多少．变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等． (3)作差比较法，主要适用于不等式两边是整式或分式型的有理不等式的证明． (4)在判定不等式两边的式子同号的条件下，如果直接作差不易变形，可以借助不等式性质作平方差或立方差，进行证明． 对作商比较法的理解 a >1⇔a<b. b a a (1)使用作商法证明不等式 a>b 时， 一定要注意 b>0 这个前提条件． 若 b<0， <1⇔a>b， ＝1⇔a＝b， b b (2)当欲证明的不等式的两边是乘积形式、指数幂形式，不同底的对数式形式时，常用作商法证明．