8下第4讲一元二次方程及其解法培优

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(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得2670x x ++=，再直接用开平方法；2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。

公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。

由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。

因式分解法还可推广到高次方程。

2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。

事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。

我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。

原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。

因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。

在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般，一般转化为特殊。

初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计

4.引导学生总结解题规律，培养学生归纳、概括的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生克服困难的信心。
2.培养学生合作交流的意识，让学生在合作中学会倾听、表达和尊重他人。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，提高学生的数学素养。
4.引导学生体会数学在生活中的应用，感受数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的标准形式，掌握其基本性质。
2.学会使用直接开平方法求解一元二次方程，并掌握其适用条件。
3.学会使用配方法求解一元二次方程，理解其原理和步骤。
4.学会使用公式法求解一元二次方程，并熟练运用公式。
5.能够根据问题情境选择合适的解法求解一元二次方程，提高解决问题的能力。
（2）开展数学实践活动，让学生在实际操作中体验数学的乐趣和价值。
（3）鼓励学生参加数学竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
（1）通过一个实际问题引入一元二次方程，如：一块正方形菜地的边长比它的面积多1，求这块菜地的边长。让学生尝试用已学过的知识解决问题，引导学生发现一元一次方程无法解答该问题。
2.难点：
（1）理解并掌握配方法的原理和步骤，特别是如何通过添加和减去同一个数使方程变形。
（2）熟练运用求根公式求解一元二次方程，并理解公式中各个参数的含义。
（3）在实际问题中，能够根据方程的特点选择合适的解法。
（二）教学设想
1.对于重点内容的教授：
（1）通过实际例题引入，让学生感受一元二次方程解法的必要性，激发学生的学习兴趣。

《一元二次方程》培优竞赛

《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法（1）法；（2）法；（3）法；（4）法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ；当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地，以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ． m ＜14 B 。

八年级数学竞赛培优一元二次方程的解法含解析

一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。

浙教版八年级下册2.2一元二次方程及解法培优讲义(含解析)

第1讲一元二次方程及解法命题点一：利用一元二次方程的概念求值例1已知关于x 的方程(m ＋2)x |m |＋3x ＝mx ＋1是一元二次方程，则m 的值为 2 ．例2方程(m ＋1)xm 2＋1＋(m －3)x －1＝0，(1)当m 取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解． (2)当m 取何值时，是一元一次方程？解：(1)若方程是一元二次方程，则m 2＋1＝2，∴m ＝±1. 显然m ＝－1时，m ＋1＝0，不符合题意．故m ＝1符合题意．当m ＝1时，原方程可化简为2x 2－2x －1＝0， ∴x 1＝1＋32，x 2＝1－32.因此m ＝1，方程的两根为x 1＝1＋32，x 2＝1－32. (2)当m ＋1＝0时，解得m ＝－1，此时方程为－4x －1＝0；当m 2＋1＝1时，解得m ＝0，此时方程为－2x －1＝0. ∴当m ＝－1或m ＝0时，方程为一元一次方程．命题点二：用适当的方法解下列方程例3解下列方程：(1)3(1－x )2＝27. (2)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2. (3)x 2－12x ＝9 964. (4)x 2－33x ＋6＝0.解：(1)由原方程，得(1－x )2＝3，∴1－x ＝3或1－x ＝－3，解得x 1＝1－3，x 2＝1＋ 3.(2)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，将方程的左边因式分解，得[2(3x ＋1)－5(x －2)][2(3x ＋1)＋5(x －2)]＝0，即(x ＋12)(11x －8)＝0.∴x ＋12＝0或11x －8＝0，解得x 1＝－12，x 2＝811. (3)方程两边都加上36，得x 2－12x ＋36＝9 964＋36，即(x －6)2＝10 000.∴x －6＝100或x －6＝－100，解得x 1＝106，x 2＝－94. (4)对于方程x 2－33x ＋6＝0，a ＝1，b ＝－33，c ＝6，b 2－4ac ＝(－33)2－4×1×6＝3， ∴x ＝－(－33)±32×1.∴x 1＝23，x 2＝ 3.【思路点拨】方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的常见变形： ①ax 2＋bx ＝－c ； ②ax 2＝－bx －c ； ③ax ＋c x＝－b (x ≠0). 例4解下列方程：(1)x 2－3x ＝3x ＋1. (2)x 2＋3＝32x . (3)2x 2＋(3m －n )x －2m 2＋3mn －n 2＝0. 解：(1)由原方程移项，得x 2－6x －1＝0，a ＝1，b ＝－6，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－1)＝40. ∴x ＝6±2102×1.∴x 1＝3＋10，x 2＝3－10.(2)由原方程移项，得x 2－32x ＋3＝0，a ＝1，b ＝－32，c ＝3，b 2－4ac ＝(－32)2－4×1×3＝6.∴x ＝32±62×1.x 1＝32＋62，x 2＝32－62.(3)由原方程移项，得2x 2＋(3m －n )x －(2m －n )(m －n )＝0. 因式分解，得(x ＋2m －n )(2x ＋n －m )＝0， ∴x 1＝n －2m ，x 2＝m －n 2.命题点三：利用一元二次方程求代数式的值例5若a 2－3a ＋1＝0，则a 2＋1a2的值为 7 ．例6若y 2＋4y ＋2＝0，则y 2y 4－2y 2＋4＝ 110．命题点四：利用公共根求值例7一元二次方程x2－2x－54＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋94＝0的根，求k的值．解：x2－2x－54＝0，移项，得x2－2x＝54.配方，得x2－2x＋1＝94，即(x－1)2＝94.开方，得x－1＝±32，解得x1＝52，x2＝－12.Δ＝(k＋2)2－9≥0，即k≥1或k≤－5.①根据题意，把x＝52代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫522－52(k＋2)＋9 4＝0，解得k＝75；②把x＝－12代入x2－(k＋2)x＋94＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫－122＋12(k＋2)＋94＝0，解得k＝－7.∵75＞1，－7＜－5，∴两个k均符合题意．综上所述，k的值为－7或7 5 .例8已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0及3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，则a＝ 1 ，k＝ 2 ．命题点五：利用判别式解决问题例9已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根．(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？解：(1)∵该方程是关于x的一元二次方程，∴m≠0，Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴Δ≥0.∴方程总有实数根．(2)解方程，得x＝m＋2±(m－2)2m，x1＝2m，x2＝1.∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2. 当m＝2时，x1＝x2＝1不合题意，∴m ＝1.例10已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根．(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5的值(先化简，再求值)．解：(1)∵该方程是关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0， ∴Δ＝(2m ＋1)2－4m (m ＋1)＝1>0. ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)∵x ＝0是此方程的一个根，∴把x ＝0代入方程中，得到m (m ＋1)＝0. ∴(2m －1)2＋(3＋m )(3－m )＋7m －5 ＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5 ＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m (m ＋1)＋5 ＝5.命题点六：解特殊方程例11(1)方程x 2－||x －3－3＝0，则此方程的根是 x ＝－3或2 ．(2)解方程：(x 2－2x )2＋(x 2－2x )－2＝0. 解：因式分解，得(x 2－2x －1)(x 2－2x ＋2)＝0. ∵x 2－2x ＋2始终大于0， ∴x 2－2x －1＝0.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(3)解方程：x 2－2x ＋2xx 2－2＝3.解：设a ＝x 2－2x ，则原式为a ＋2a ＝3.解a ＋2a＝3，得a 1＝1，a 2＝2.当a ＝1时，x 1＝2，x 2＝－1；当a ＝2时，x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(4)如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为( C ) A ．2或－1 B ．0或1 C ．2 D.－1 (5)解方程：2x 2－15x －2x 2－15x ＋1 998＝－18. 解：令t ＝2x 2－15x ＋1 998，则t 2－t －1 980＝0.因式分解，得(t －45)(t ＋44)＝0，解得t 1＝45，t 2＝－44(舍去)． ∴2x 2－15x －27＝0.因式分解，得(2x ＋3)(x －9)＝0，解得x 1＝－32，x 2＝9.例12(1)解方程：(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0.解：原式＝(x 2－2)(x 2－5)＝0，x 2＝2或x 2＝5，∴x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5. (2)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2－4x －2x ＝3.解：设a ＝2x －1x，则原式＝a 2－2a ＝3，解得a 1＝3，a 2＝－1. 当a ＝3时，x ＝－1；当a ＝－1时，x ＝13.∴x 1＝－1，x 2＝13.(3)方程x 2－2 012||x ＋2 013＝0的所有实数解的和为( B ) A ．－2 012 B ．0 C ．2 012 D ．2 013 (4)方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解的个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．51 (5)解方程：3x －5＋36－3x ＝1. 解：令t ＝3x －5，得1－t ＝31－t 2. 由原式，得t (t －1)(t －3)＝0，解得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝3. ∴x 1＝53，x 2＝2，x 3＝143.课后练习1．我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3，现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0，它的解是( D )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝－1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3 2．(2018·包头)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m －2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为( B )A ．6B ．5C ．4 D.33．设方程(x －a )(x －b )－x ＝0的两个根为c ，d ，则方程(x －c )(x －d )＋x ＝0的根为( A )A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．已知三个关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，bx 2＋cx ＋a ＝0，cx 2＋ax ＋b ＝0恰有一个公共实数根，则a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值为( D )A ．0B ．1C ．2D ．35．若x ＝0是一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，则m 的值为－4 ． 6．若方程x 2－8x ＋12＝0的两个根是等腰三角形两条边的长，则该三角形的底边长为 2 ． 7．若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别为m ＋1与2m －4，则ba＝ 4 ．8．已知a ，b 是方程x 2－x －3＝0的两个根，则代数式2a 3＋b 2＋3a 2－11a －b ＋5的值为 23 ． 9．设a ，b 是整数，方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是4－23，则a ＋b ＝ 0 ． 10．已知关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以这两个根为边长的直角三角形的周长．解：(1)∵Δ＝(m ＋2)2－4(2m －1)＝(m －2)2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，(m －2)2＋4≥4，即Δ≥4. ∴关于x 的方程x 2－(m ＋2)x ＋2m －1＝0恒有两个不相等的实数根． (2)根据题意，得12－1×(m ＋2)＋2m －1＝0，解得m＝2，则方程的另一个根为3.①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10，则该直角三角形的周长为1＋3＋10＝4＋10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1和3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22，则该直角三角形的周长为1＋3＋22＝4＋2 2.11．已知实数m满足m2－3m＋1＝0，求代数式m2＋19m2＋2的值．解：∵m2－3m＋1＝0，∴m2＝3m－1.∴m2＋19m2＋2＝3m－1＋193m－1＋2＝3m－1＋193m＋1＝9m2－1＋193m＋1＝9m2＋183m＋1＝9(3m－1)＋183m＋1＝9(3m＋1) 3m＋1＝9.12．已知关于x的方程x2－x＋3m＝0，x2＋x＋m＝0(m≠0)，若前一个方程中有一个根是后一个方程的某个根的3倍，求实数m的值．解：设α是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则3α是方程x2－x＋3m＝0的一个根．∴α2＋α＋m＝0，①9α2－3α＋3m＝0，即3α2－α＋m＝0.②②－①，得2α2－2α＝0，解得α＝0或1.当α＝0时，02＋0＋m＝0，m＝0(舍去)；当α＝1时，12＋1＋m＝0，m＝－2.故实数m的值为－2.13．(自主招生模拟题)满足(2－m)m2－m－2＝1的所有实数m的和为( A ) A．3 B．4 C．5 D．614．(自主招生真题)解方程：方程2x2＋5x－2－2x2＋5x－9＝1的解为x1＝2，x2＝－92．15．(自主招生真题)设k ≥0，解方程x 3＋2kx 2＋k 2x ＋9k ＋27＝0.解：原方程化为xk 2＋(2x 2＋9)k ＋x 3＋27＝0.解得k ＝－x －3或k ＝－x 2－3x ＋9x .∴x 1＝－k －3，x 2＝3－k ＋(k －9)(k ＋3)2，x 3＝3－k －(k －9)(k ＋3)2.。

一元二次方程专题能力培优(含答案)

第2章一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（） A.－1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会. 答案：1. D 解析：3020mm-≠⎧⎨+≥⎩，解得m≥-2且m≠32.解：（1）当212,10mm⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m=1．当m=1时，原方程可化为2x2-x-1=0；（2）当20,10mm-≠⎧⎨+=⎩或者当m+1+（m-2）≠0且m2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程．3.解：由题意，得：210,10.mm⎧-=⎨-≠⎩解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.aa+=⎧⎨-≠⎩解得a=－2.5. A 解析：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故211xx⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7.解：∵实数a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0. ∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.∴2.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x （x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2=53．根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >⎧⎨>⎩或者0,0.a b <⎧⎨<⎩请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为方程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __．请你完成以上的填空．．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值．解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n --=. 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系：当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.温馨提示： 1.x 2+6x+m 2是一个完全平方式，易误以为m=3.2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.方法技巧：1.求二次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2－3.∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2－3＜0.∴无论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒小于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0；当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠⎧⎨-⨯⨯≥⎩.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）．综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.41-，﹣3；41，3．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0．又∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.又2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是方程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草m；坪的面积可表示为2（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时m；余下草坪的面积为2（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒m．求小路的宽x.为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点．．．．．．的对角线有条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）红色小正方形个数…正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）红色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：1. 变化率问题中常用a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.答案：1.解：设高为x 米，则宽为9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233xx --⨯=.解得121.5,3x x == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：高为1.5米,宽为2米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－错误!未找到引用源。