数列专题讲座
数列通项公式专题讲座-基础版-xs
数列通项公式专题讲座类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
变式训练1、（2004，全国I ，理22．本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
变式训练1.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
2.在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
三 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .变式训练1.已知数}{n a 的递推关系为4321+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。
2.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；类型4递推公式为n S 与n a 的关系式。
高考数学第二轮复习专题课件：数列
∑n 1 ＝________. k＝1 Sk 解析 设{an}首项为 a1，公差为 d，则
由aS34＝ ＝a41a＋1＋24d＝ ×2 33， d＝10，得ad1＝＝11.，∴Sn＝n（n＋ 2 1），
n
∑
k＝1
S1k＝1×2 2＋2×2 3＋…＋n（n2－1）＋n（n2＋1）
＝21－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＋1n－n＋1 1＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
探究提高 1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项 公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的 通项公式，再将a1a2·…·an表示为n的函数，进而求最大值. 2.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然 后求解，注意整体计算，以减少运算量.
热点聚焦·题型突破
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【训练2】 (1)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递 减数列，则( )
A.d>0
B.d<0
C.a1d>0
D.a1d<0
(2)(开封质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，
Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于( )
A.3
B.4
解析 (1)由log2a2＋log2a8＝2，得log2(a2a8)＝2，所以a2a8＝4， 则a5＝±2， 等比数列{an}的前9项积为T9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.
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数列复习专题精选完整版ppt课件
数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--存在性问题
注：（1）不等式恒成立与最值问题相关联：确定变量最大或最小（2）数列最值问题关联：单调数列特征，或数列取值正负变化特征，或数列二次函数特征（3）恒成立问题：推理论证（4）存在性问题：寻找，特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题：
2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）
递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用：
数 列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列：
特殊数列：等差数列
特殊数列：等差数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列：等比数列
特殊数列：等比数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用：正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结：（1）高考卷选择填空题型：等差等比比重大，一般数列通项或和，新定义与创新型问题（2）高考数列解答题：通项、前n项和，★递推问题，不等式证明（3）含参数问题：取值或范围，最值问题（4）重点问题：特殊数列、递推问题等
专题二数列：第1讲等差数列与等比数列课件
又a1>1，∴0<q<1，B正确； ∵lg an＝lg(a1qn－1)＝lg a1＋(n－1)lg q，又lg q<0， ∴{lg an}是公差为lg q的递减的等差数列，A错误； ∵Sn－1－a1 q＝1－a1 q(1－qn－1)＝qa－1q1·qn－1，
∴Sn－1－a1q是首项为qa－1q1<0，公比为 q 的递增的等比数列，C 正确；
(2)设bn＝4n－2＋3an，若an∈N，求{bn}的前n项和Tn. 解 由于an∈N，所以an＝2n＋1. 所以bn＝4n－2＋3an＝4n－2＋6n＋3. 根据等差数列、等比数列的前n项和公式， 得 Tn＝14（11－－44n）＋21(9＋6n＋3)n＝112(4n－1)＋3n2＋6n.
热点二 等差(比)数列的性质
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值. 解 法一 由(1)知，an＝2n－12. 则当n≥7时，an>0； 当n＝6时，an＝0； 当n<6时，an<0； 所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30. 法二 由(1)知，Sn＝n2(a1＋an)＝n(n－11)＝n－1212－1421，又 n∈N*， 所以当n＝5或n＝6时，Sn的最小值为S5＝S6＝－30.
＝ai>1(i≥7，i∈N)可知数列{Tn}不存在最小项，
由于a1＝－9，a2＝－7，a3＝－5，a4＝－3，a5＝－1，a6＝1， 故数列{Tn}中的正项只有有限项：T2＝63，T4＝945. 故数列{Tn}中存在最大项，为T4.故选B.
(2)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立， 且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝___2_1____. 解析 因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立， 令 m＝1，则 a1·an＝a1＋n，即aan＋n1＝a1 对任意的 n∈N*恒成立， 所以数列{an}为等比数列，公比为a1. 由等比数列的性质有 a3a5＝a24， 所以 a3·a5＋a4＝a24＋a4＝72， 又a4＞0，解得a4＝8， 所以 log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4＝log2a74＝log287＝21.
高考数学专题复习讲座
高考数学专题复习讲座专题3：数列、极限、数学归纳法【例1】 在数列{a n }中,a 1=b (b ≠0)，前n 项和S n 构成公比为q 的等比数列。
（1）求证：数列{a n }不是等比数列；（2）设b n =a 1S 1+a 2S 2+…+a n S n ，|q|<1，求b n 。
解：（1）证明：由已知S 1=a 1=b∵{S n }成等比数列，且公比为q 。
∴S n =b q n －1，∴S n －1=b ·q n －2(n ≥2)。
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=b q n －1－b q n －2=b ·(q －1)·q n －2 故当q ≠1时，n n a a 1+=2)1()1()1(--⋅-⋅⋅-n n q q b q q b =q ， 而12a a =bq b )1(-⋅=q －1≠q ，∴{a n }不是等比数列。
当q=1，n ≥2时，a n =0，所以{a n }也不是等比数列。
综上所述，{a n }不是等比数列。
（2）∵|q|<1，由（1）知n ≥2，a 2,a 3,a 4，…，a n 构成公比为q 的等比数列， ∴a 2S 2,a 3S 3,…,a n S n 是公比为q 2的等比数列。
∴b n =b 2+a 2S 2·(1+q 2+q 4+…+q 2n －4) ∵S 2=b q,a 2=S 2－S 1=b q －b∴a 2S 2=b 2q(q －1)∴b n =b 2+b 2q(q －1)·22211q q n ---∵|q|<1∴∞→n lim q 2n －2=0 ∴∞→n lim b n =b 2+b 2q(q －1)·211q -=q b +12【注】1+q 2+q 4+…+q 2n －4的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。
数列的极限与数列前n 项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n →∞时，数列变化的趋势。
高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法
高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法高中数学复习专题讲座数列的通项公式与求和的常用方法题目高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法重难点归纳数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性数列{an}前n 项和Sn与通项an an=S1,n 1 Sn Sn 1,n 2求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列②累差叠加法最基本形式是an=(an－an －1+(an－1+an－2)+ +(a2－a1)+a③归纳、猜想法数列前n项和常用求法①重要公式 1+2+ +n=12n(n+1)1612+22+ +n2=n(n+1)(2n+1)1413+23+ +n3=(1+2+ +n)2=n2(n+1)2②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmS③裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n) 应掌握以下常见的裂项1n(n 1)Cn 1n1n1n 1rn,n n! (n 1)! n!,11n!11sin2 等ctgα ctg2α,Cr 1nC,(n 1)!(n 1)!④错项相消法⑤并项求和法。
高考数学一轮复习 名师专题讲座3 数列、不等式的高考解答题型及求解策略课件 文
12/11/2021
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(2)证明：由(1)可知 an＝qn－1. 所以双曲线 x2－ay22n＝1 的离心率 en＝ 1＋a2n＝ 1＋q2n－1. 由 e2＝ 1＋q2＝53，解得 q＝43. 因为 1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以 1＋q2k－1>qk－1(k∈N*)． 于是 e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝qqn－－11， 故 e1＋e2＋…＋en>4n3－n－31 n.
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题型一 数列的通项与求和 题型概览：(1)根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项， 如借助基本量求 an，根据 an 与 Sn 的关系求 an，根据递推关系求 an. (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求 和，裂项求和，错位相减法求和．
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①－②得 －Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1 ＝32＋211－－22n－1－(2n＋1)×2n－1＝1－2n2×2n－1. 所以 Tn＝2n－12×2n＋1.
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[解题反思] 本题将数列与解析几何交汇，增大了试题难度， 较好地考查了考生的数形结合思想、逻辑思维能力，其实质是考 查等比数列的通项公式与求和及错位相减法．此类问题对考生的 计算能力要求较高．
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内容 总结 (nèiróng)
第七章
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高中数学竞赛专题讲座 数列
高中数学竞赛专题讲座数列高中数学竞赛专题讲座-数列高中数学竞赛专题试题讲座――数列一、选择题部分1．（2021年江苏）已知数列?an?的通项公式an?aa12n?4n?52，则?an?的最大项是（b）ba2ca3da432（2021安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10ann?3?，则lg(a100)?（）?t?a、98b、99c、100d、1013.（2021吉林预赛）对于一个存有n项的数列p=(p1，p2，?，pn)，p的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为2021，那么数列(1，p1，p2，?，p2021)的“蔡查罗和”为（a）a.2021b.2021c.2021d.10044．(集训试题)未知数列{an}满足用户3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为sn。
则满足用户不等式|sn-n-6|<1125的最小整数n是（）b．6c．713a．5d．8的等比数列，求解：由关系式式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}就是以8领衔项，公比为-8[1?(?1)]n∴sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=1?313=6-6×(-13)n，∴|sn-n-6|=6×(13)n<1125，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选c。
5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=3xn?13?xn2021，则?xn=（）n?1a．1xn?b．-13333xnc．2+3d．-2+3求解：xn+1=1?，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+?6),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+3,2021x3=-2-3,x4=-1,x5=-2+3,x6=2-3,x7=1，??，∴有?xn?x1?1。