几种随机微分方程解的存在性与唯一性TheExistenc(精)
微分方程中解的唯一性
微分方程中解的唯一性
微分方程是一种不断发展和深入研究的数学工具，它可以描述有关物理学、化学和生物学等许多科学问题的变化情况。
微分方程的解的唯一性是可以确定的，它的一般定义是一个常微分方程的解只能有一个，且必须是无数字形式的解。
这意味着，一个微分方程只有一个解，而这个解不能有数字形式的表达，要么是连续的，要么是不连续的，或者是有限的。
马尔科维奇（M. E. Markowsky）提出了解的唯一性的定义，即通过比较两个任意解，可以确定它们之间是否存在某种程度的唯一性。
如果存在差距，那么它们就不是唯一的。
广义上讲，解的唯一性是指通过将微分方程的求解参数的改变应用到微分方程的求解问题中，来探讨给定微分方程的解是否唯一的问题。
一般来说，微分方程的解唯一性是由它的初始条件，给定的解决方案函数和微分方程组决定的。
鉴于常微分方程常常具有高级复杂性，这个定义是非常重要的，因为它能够帮助确定解决常微分方程所需要的量，以及将解析或数值解整合到一个可供使用的解决方案中。
总之，微分方程的解的唯一性是由它的初始条件、给定的解决方案函数和微分方程的复杂性决定的。
它的定义是非常重要的，它能有效地帮助我们解决常微分方程，以及将解析或数值解整合到一个可供使用的解决方案中。
几类随机微分方程解的存在性和稳定性
引入均方 S 渐近 ω 周期随机过程的概念。对于由 Le´vy 噪声驱动的分段连 续 型 随 机 分 数 阶 微 分 方 程 和 由 Le´vy 噪 声 驱 动 的 分 段 连 续 型 随 机 整 数 阶 微 分 方程，证明了它们适度解的存在性，并且给出了它们均方 S 渐近 ω 周期解存 在 的 充 分 条 件；同 时 给 出 Le´vy 噪 声 驱 动 的 分 段 连 续 型 随 机 整 数 阶 微 分 方 程 的均方 S 渐近 ω 周期解全局均方渐近稳定的充分条件。
For a stochastic prey-predator system with stage structure for the predator, we prove the existence of the unique global positive solution, and we give sufficient conditions for the global attractivity of the positive equilibrium. Based on the existence of the unique global positive solution of a stochastic cooperative system driven by white noise in a polluted environment, we get the asymptotical behavior of every species in the time average sense.
Banach空间中的随机微分方程样本解的存在唯一性
从
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B (x :
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条 件可 类 似 定 义
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微分方程的解与解的存在唯一性
微分方程的解与解的存在唯一性微分方程是数学中重要的研究对象，解微分方程是数学分析的核心内容之一。
微分方程的解与解的存在唯一性是微分方程理论中的一个重要问题，本文将对这个问题进行讨论和说明。
一、微分方程的定义和基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：$F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0$，其中 $y^{(n)}$ 表示 $y$ 的 $n$ 阶导数。
解微分方程就是要找到满足该方程的未知函数 $y(x)$。
二、解的存在性对于给定的微分方程，我们首先需要确定解的存在性。
常见的方法有积分因子法、试探解法、变量分离法、线性微分方程的常数变易法等。
1. 积分因子法若微分方程的形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，则可以通过确定一个积分因子 $\mu(x)$，使得方程两边同时乘以 $\mu(x)$，得到$\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$，从而可以将其化为恰当微分方程。
2. 试探解法对于一些特定的微分方程，可以根据问题的特点猜测一个解的形式，再代入微分方程进行验证。
不断尝试合适的解形式，最终得到满足方程的解。
3. 变量分离法对于可分离变量的微分方程，可以将方程两边关于变量进行分离，然后分别积分得到解。
4. 线性微分方程的常数变易法对于形如 $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_n(x)y = f(x)$ 的线性微分方程，可以通过常数变易法将其化为 $y^{(n)} + b_1(x)y^{(n-1)} +\dots + b_n(x)y = 0$ 的齐次线性微分方程，从而得到通解。
再结合特解可以得到原方程的通解。
通过以上方法，可以求得微分方程的解。
三、解的唯一性解的唯一性是指对于特定的初始条件，微分方程的解是否唯一确定。
微分方程的解的存在性与唯一性
微分方程的解的存在性与唯一性微分方程的解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题之一。
它涉及到了微分方程的解是否存在以及是否唯一的问题。
在研究微分方程的过程中，我们常常需要确定方程的解的存在性和唯一性，以便得到准确的结果和合理的推论。
首先，我们来讨论微分方程解的存在性。
对于一阶微分方程dy/dx=f(x, y)来说，如果函数f(x, y)在某个区域内是连续的，那么根据连续函数的存在性定理，方程必有一个解存在。
这个解可能通过求不定积分得到，也可能是通过其他方法求得的特解。
如果方程涉及到一些特殊的函数，如分段定义的函数或含有非连续点的解，那么解的存在性的问题可能就会更加复杂。
其次，我们来探讨微分方程解的唯一性。
唯一性通常需要借助某些定理来证明。
在微分方程理论中，最常用的唯一性定理就是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelof定理）。
该定理表明，如果函数f(x, y)在某个区域内是局部利普希茨连续的，即满足|f(x, y1)-f(x, y2)|≤K|y1-y2|，其中K是一个常数，那么方程的初值问题y(x0)=y0必有唯一解存在。
这里需要说明的是，皮卡-林德洛夫定理中的条件比较严格，f(x, y)需要满足利普希茨连续性，这并不是一个常见的条件。
对于一些非连续的函数，可能无法直接使用皮卡-林德洛夫定理来证明解的存在唯一性。
此时，我们可以尝试使用其他的方法来证明解的存在性和唯一性，如变量分离、恰当方程等。
此外，还有一种特殊情况需要考虑，即微分方程解的多解性。
有时候，微分方程的解可能存在多个，这取决于方程本身的特性和约束条件。
比如，对于一元二次方程dy/dx=ax²+bx+c，根据韦达定理，方程的解可能有两个或零个。
在这种情况下，我们需要根据问题的具体条件来确定解的个数，并选择出最符合问题要求的解。
总结起来，微分方程解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题。
通过合理选择条件和引入适当的定理，我们可以判断微分方程的解是否存在，以及是否唯一。
具无限时滞随机偏泛函微分方程解的存在唯一性及渐进性
具无限时滞随机偏泛函微分方程解的存在唯一性及渐进性
本文中,我们将考虑Lp(Ω,Chp)空间中具无限时滞的随机偏泛函微分方程温和解的存在性,唯一性及渐进性质
(p>2) :dX(t)=[-AX(t)+f(t,Xt)]dt+g(t,Xt)dW(t),其中,我们假设-A是一个闭的,稠密定义的线性算子,它是某一个解析半群的无穷小生成元. f:R+×Cαh →H,g:R+×Cαh→L20(K,H)是两个局部李普希兹连续函数.这里Cαh=C(R-,D(A α))和L20(K,H)是两个无限维空间,0<α<1,W(t)是一个给定的K-值维纳过程,H和K都是可分的希尔伯特空间.本文由两章构成.第一章简述了问题产生的历史背景,本文的主要工作以及本文中主要定理证明所使用的工具.在第二章中,首先,我们研究巴拿赫空间Chp和Lp(Ω,Chp),它是后面研究的基础.其次,我们利用半群方法给出了当函数f和g满足局部李普希兹条件和线性增长条件时,具无限时滞的随机偏泛函微分方程解的存在性,唯一性.再次,通过利用随机卷积估计,我们将致力研究温和解的p-阶矩和几乎必然李雅普诺夫指数稳定性(见下面的引理2. 3. 1) .最后,我们将给出具无限时滞的Volterra随机积分-微分方程的一些应用,另外,我们将给出一个Volterra随机积分-微分反应-扩散方程的例子来说明我们的主要定理.。
解的存在唯一性定理和
而当 n=k+1 时，
x x0
k 1 ( x) y0 f ( , k ( )) d M ( x x0 ) Mh b
k 1 ( x)
在 x0 x x0 h 上有定义，连续。
常微分方程-重庆科技学院-李可人
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2019/1/22
2019/1/22 常微分方程-重庆科技学院-李可人
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
证明 因为 y ( x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d ( x ) f ( x, ( x)) dx
x x0
两边从x0 到 x 积分得到:
的解的充要条件是 y ( x) 是积分方程
y y0 f ( x, y)dx
x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x0 x x0 h ……(3.1.6)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。 •积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。 12
0 ( x) [ k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1
(3.1.11)
0 ( x) 它的部分和为：
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[
k 1
n
k
( x) k 1 ( x)] n ( x)
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常微分方程-重庆科技学院-李可人
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性
理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性肖嘉慧哈尔滨理工大学2011年3月国内图书分类号：O177.9理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性硕士研究生：肖嘉慧导师：姚慧丽申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2011年3月授予学位单位：哈尔滨理工大学Classified Index: O177.9Dissertation for the Master Degree in ScienceThe Existence and Uniqueness of Almost Periodic Type Solutions for Several Classes of DifferentialEquationsCandidate：Xiao JiahuiSupervisor：Yao HuiliAcademic Degree Applied for：Master of Natural Science Specialty：Fundamental MathematicsDate of Oral Examination：March, 2011University：Harbin University of Scienceand Technology哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。
据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。
对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。
本声明的法律结果将完全由本人承担。
作者签名： 日期： 年 月 日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。
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关键词
随机微分方程，存在唯一性，Cauchy-Schwarz不等式，Lipschitz条件，Gronwall引理
1. 引言
随机微分方程是 20 世纪中叶发展起来的一个较新学科分支。 系数为随机量的常微分方程和由随机过 程驱动的微分系统，一般称为随机微分方程专门指后者。随机微分方程的概念最早以布朗运动的形式，由 Einstein 在他 的那篇著名的论文中提出。 这个方向的研究工作随后由 Langevin 等继续研究， 此后伊藤清和 Stratonovich [3]完善了随机微分方程的数学基础，使得这门学科更加科学严谨。随机微分方程多用于对一些多样化现 象进行建模，比如不停变动的股票价格，部分物理现象如热扰动等。随机微分方程在数学以外的许多领 域有着广泛的应用，它对数学领域中的许多分支起着有效的联结作用。近年来，在一些新兴的科学技术 领域中大量出现随机微分方程的问题，如在随机干扰下的控制问题，通信技术中的滤波问题，生物数学 模型的建立问题和随机振动问题等，都依赖于随机微分方程的研究和解决。
Keywords
Stochastic Differential Equation, Existence and Uniqueness, Cauchy-Schwarz Inequality, Lipschitz Conditions, Gronwall’s Lemma
几种随机微分方程解的存在性与唯一性
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2015, 4, 37-45 Published Online February 2015 in Hans. /journal/aam /10.12677/aam.2015.41005
th th th
Abstract
Stochastic differential equation (SDE) is a relatively new discipline branch linking the deterministic and non-deterministic phenomenon [1]. The method of studying SDE is proceeded from two aspects of qualitative and quantitative. Qualitative aspect is studying the existence, uniqueness and stability of the solution of SDE; and quantitative aspect is concerning the solving method and the statistical characteristics of the solving process [2]. In order to carry out the following proof, the thesis presents some basic theory knowledge about stochastic differential equation. By means ˆ, of doing transforms, we obtain the expressions solution of SDE with the help of the formula Ito and thus we show the existence of the SDE. And finally, we prove the uniqueness of the solution of the SDE by utilizing the Cauchy-Schwarz inequality, the Lipschitz condition and the Gronwall’s lemma.
陈 晨，张引娣*，任丽梅
长安大学，理学院，陕西 西安 * Email: chdccq@, mathydzh@
*
通讯作者。
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几种随机微分方程解的存在性与唯一性
收稿日期：2015年1月27日；录用日期：2015年2月10日；发布日期：2015年2月17日
摘
要
随机微分方程是把确定性现象和非确定性现象联系起来的一门比较新兴的学科分支[1]。 研究随机微分方 程的方法是从定性和定量两方面进行的，定性方面是研究解的存在性、唯一性和稳定性；而定量方面是 研究求解的方法及求解过程的统计特性[2]。此篇论文首先介绍了随机微分方程的一些基本理论知识，对 几种具体的随机微分方程做了一些定性的探讨，证明了几种随机微分方程解的存在性与唯一性。解的存 在性的证明方法是先作变换，再借助伊藤公式，推导出解的表达式，从而也就证明了解的存在性。而解 的唯一性证明过程中运用了Cauchy-Schwarz不等式和Lipschitz条件，还用到了Gronwall引理。
The Existence and Uniqueness of Solution for Some Kinds of Stochastic Differential Equations
Chen Chen, Yindi Zhang*, Limei Ren
College of Science, Chang’an University, Xi’an Shaanxi * Email: chdccq@, mathydzh@ Received: Jan. 27 , 2015; accepted: Feb. 10 , 2015; published: Feb. 17 , 2015 Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/