梅涅劳斯定理与塞瓦定理
梅涅劳斯定理和塞瓦定理(教师版)
梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过∆ABC的顶点，并且与∆ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P 、Q、R，则BPPC ∙CQQA∙ARRB=1证明：设ℎA、ℎB、ℎC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：BPPC ∙CQQA∙ARRB=ℎBℎC∙ℎCℎA∙ℎAℎB=1。
例1若直角∆ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。
【解析】因为在∆EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以∆EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于∆ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDA ∙AEEK∙KFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC =BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以∆FKB≅∆CKE，所以BF∥CE。
例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，试证：ACBC :ADBD=A1C1B1C1:A1D1B1D1。
【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于∆A1AL和∆B1BL可得：ADLD ∙LD1A1D1∙A1KAK=1，LCAC∙AKA1K∙A1C1LC1=1，BCLC∙LC1B1C1∙B1KBK=1，LDBD∙BKB1K∙B1D1 LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：ADAC∙BCBD∙A1C1A1D1∙B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2设P、Q、R 分别是∆ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于∆ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPPC ∙CQQA∙ARRB=1，求证P、Q、R三点共线。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
梅涅劳斯定理和塞瓦定理是数学和物理学中两个经典定理，它们对研究
热力学有重要意义，它们可以帮助我们理解不同物质体系的能量变化。
梅涅劳斯定理是一个数学定理，英国数学家弗朗西斯·梅涅劳斯在1850年提出的。
梅涅劳斯定理述说，一个“完整”的物理过程，当它完全
可逆时，它的总热力学功将等于零。
这种定理要求物理过程必须完全可逆，
且不会发生任何热量流出或流入，否则结果会不等于零。
塞瓦定理也是一个数学定理，意大利数学家Carlo Sévé于1870年
提出来的。
它述说：“当一个物理过程是完全可逆的，而且没有涉及有外力，如引力，牛顿力等外力，作用在物体上，则其工作量为零，即功等于能量变化。
”由于没有任何外力介入，这对于理解物理过程有着重要的意义。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理在热力学研究中都有重要的意义，它们可
以帮助我们更好地理解物质体系的能量变化。
它们还有助于帮助我们认识物
理过程，是热力学研究中不可或缺的定理。
四个重要定理(梅涅劳斯-塞瓦-托勒密-西姆松)
平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯（Menelaus ） 定理（梅氏线）△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 P 、Q 、R ,贝U P 、Q 、R 共线的充塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点）△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ,贝U AP 、BQ 、CR 共点的充要条件西姆松（Simson ）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接要条件是 BP CQ AR1PC QA RB是BP 殂塑1。
PC QA RBP圆。
-可编辑-圆上。
例题:1、设AD 是厶ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。
求、 AE 2AF证：——ED FBAE DC BF【分析】CEF 截厶ABD T -------------------------- 1 （梅氏定理）ED CB FA【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。
【分析】连结并延长 AG 交BC 于M ，贝U M 为BC 的中点。
BE CF GM (DB DC) = GM 2MD EA FA = AG MD 2GM MDAB 、AC 于 E 、F ,交 CB 于 D 。
求证： BE CF 1。
EA FADEG 截厶 ABM T DGF 截厶 ACM TBE AG MD EA GM DB CF AG MD FA GM DC1 （梅氏定理） 1 （梅氏定理）A2、过△ ABC 的重心G 的直线分别交5、已知△ ABC 中，/ B=2 / C 。
求证:【评注】梅氏定理【评注】梅氏定理CG 相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理3、D 、E 、F 分别在△ ABC 的 BC 、匹圧些,AD 、BE 、DC FB EA【分析】4、以△ ABC 各边为底边向外作相似的等腰厶BCE 、△ CAF 、△ ABG 。
求证： AE 、BF 、-可编辑-【分析】过A 作BC 的平行线交△ ABC 的外接圆于D ，连结BD 。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
•
（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A
出发还可以向“C”方向走，于是有：
•
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写
出公式：
•
• （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最 后一个方案：
•
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠C
OA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
梅涅劳斯定理的数学意义
• 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中 线段长度比例的计算，其逆定理还是可以 用来解决三点共线、三线共点等问题的判 定方法，是平面几何学以及射影几何学中 的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅 劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理
•
=（S△ADF：
S△BDF）·（S△BDF：
S△CDF）·（S△CDF：
S△ADF）
•
=1
•
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记
忆：
•
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取
L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、
ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
•
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
•
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，
因此就有了图中的另外一些公式。
•
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅
劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。
梅涅劳斯定理与塞瓦定理
设0是厶ABC内任意一点，AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,贝U BD/DC*CE/EA*AF/FB=1(I)本题可利用梅内劳斯定理证明：•••△ ADC被直线BOE所截，CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①而由△ ABD 被直线 COF 所截，••• BC/CD*DO/OA*AF/DF=1 ②①十②：即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1(n)也可以利用面积关系证明•/ BD/DC=S △ ABD/S △ ACD=S △ BOD/S △ COD=(S △ ABD-S △ BOD)/(S △ ACD-S △ COD)=S △ AOB/S △ AOC③同理 CE/EA=S △ BOC/ S △ AOB ④ AF/FB=S △ AOC/S △ BOC ⑤③X④X⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理：设P、Q、R分别是MBC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：氐杀詈」QC P C AB i证：先证必要性：设 AP 、BQ 、CR 相交于点M,贝V ：以上三式相乘，得：_BE.空=1PC QA RB再证充分性：若 =1，设AP 与BQ 相交于M ，且直线CM 交AB 于 R ， PC QA RB由塞瓦定理有： 拻.BP CQ ARAR AR‘ 1,于是：因为R 和R 都在线 PC QA R B R B RB 段AB 上，所以R ‘必与R 重合，故 AP 、BQ 、CR 相交于一点点 M ； 例1:证明：三角形的中线交于一点；证明：记 ABC 的中线秋，BB r CC,，我们只须证明也BA 1 CB 1=11 C 1B AC B 1A 而显然有：AG 二 GB, BA 二 AC ,CB j 二 B 1A 【练习1】证明：三角形的角平 分线交于一点; 【练习2】证明：锐角三角形的 高交于一点； 例2：在锐角 ABC 中,角.C 的平分线交 于AB 于L,从L 作边AC 和BC 的垂线，垂 足分别是M 和N,设AN 和BM 的交点是 P,证明：CP _ ABB例3设AD 是 ABC 的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任一点，BP 、CP 分别与AC 、AB 交于 E 和 F ，贝U EDA = FDA证：过A 作AD 的垂线，与DE 、DF 的延长线分别 交于M 、N 。
四个重要定理(梅涅劳斯,塞瓦,托勒密,西姆松)
四个重要定理梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。
托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
例题：1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。
求证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。
求证：。
【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。
求S△LMN。
【分析】【评注】梅氏定理4． 以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。
求证：AE、BF、CG相交于一点。
【分析】【评注】塞瓦定理5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。
求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】托勒密定理6． 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7． △ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
塞瓦定理与梅涅劳斯定理
塞瓦定理与梅涅劳斯定理1、比尔逊原理：比尔逊原理又称“比尔逊想象定理”，是指假定有一组有限的事件，并且这些事件之间没有重叠或互斥，那么所有可能出现的各种情况的概率之和恒定为1。
比尔逊原理是事件系统中概率论的基础思想，它可以被应用于大部分的有限的实验，包括随机的事件序列，如随机选择、随机抽样、相似性和易受作用的概率。
2、泊松分布：泊松分布是描述多个事件的发生概率的分布，它是概率论的一种基本概念，用于描述在有限的时间段内某个随机变量发生的次数，又称“先验概率分布”。
在理论上，泊松分布也称为泊松分布和泊松实验，是一种特殊类型的事件/次数统计上的概率分布。
简单来说，泊松分布是以次数或事件数为变量的概率分布，可用来度量一段时间内某事件可能出现的次数。
3、贝叶斯定理：贝叶斯定理是一种基于概率的观点，它将概率视为某事件发生前后条件跳跃的函数，即“后验概率”。
根据贝叶斯定理，在获得新信息后，某事件出现的概率是先验概率（不含新信息前发生概率）乘以后验概率（含新信息后发生概率）再乘以新信息发生概率的总和。
是统计学方法和模型选择的根本原理。
4、高斯概率分布：高斯概率分布（又称正态分布）是数学特殊的概率分布，它可描述连续随机变量的分布特性，可用来表达均值的基本信息。
它的概率密度函数有一个平坦的顶峰，两个参数：平均值μ和标准差σ。
高斯函数可以用来描述一维正太分布，在多维空间中也能被应用。
一般而言，大多数服从正态分布的原始数据集被称为“正态数据”。
5、卡方分布：卡方分布是一种常见的多元概率分布，用于估计能够预测总体参数的把握程度。
在概率统计中，卡方分布是某种指定条件下的概率分布，用于表示实验中不同变量之间的关系，这些变量通常与特定的总体参数相关。
卡方检验可以用来比较两个给定的比较集中水平，以及检验是否存在某种相关性。
6、塞瓦定理：塞瓦定理也称为“互补定理”或“事件定理”，是指某一个事件A发生的概率等于一个二分事件A和B的总概率减去不发生A的概率，即P(A)=P(A+B)-P(B)。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则证明：设分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：。
注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。
例1若直角中，CK是斜边上的高，CE是的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：。
【解析】因为在中，作的平分线BH，则：，，即，所以为等腰三角形，作BC上的高EP，则：，对于和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：，于是，即，根据分比定理有：，所以，所以。
例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和，试证：。
【解析】若，结论显然成立；若AD与相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，，，，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理2设P、Q、R分别是的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数为0或2，这时若，求证P、Q、R三点共线。
证明：设直线PQ与直线AB交于，于是由定理1得：，又因为，则，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于边上的点的个数也为0或2，因此R与或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R 与同在AB线段上，则R 与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当R 与同在AB的延长线上时，R 与也重合，综上可得：P、Q、R三点共线。
注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；例3点P 位于的外接圆上；是从点P向BC、CA、AB 引的垂线的垂足，证明点共线。
【解析】易得：，，，将上面三个式子相乘，且因为，，，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。
例4设不等腰的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD 与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。
【解析】被直线XFE所截，由定理1可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，，将上面的式子相乘可得：，又因为X、Y、Z丢不在的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线。
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板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形．GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一：如左图，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF= ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=．证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点，如果1AF BD CE FB DC EA⋅⋅=，则F 、D 、E 三点共线．梅涅劳斯定理与塞瓦定理夯实基础【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求证：:2:AE ED AF FB =．EC D B FA【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线，∴1AE DC BF ED BC FA ⋅⋅=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ⋅⋅=，即2AE AF ED BF=．习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．求证：FA EAFC EB=． EFBDCA【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知1CD BE AFDB EA FC⋅⋅=，又因为BD BC =，所以1BE AF EA FC ⋅=，即FA EAFC EB=．习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=︒，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AEEB． DEBMCA【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，由射影定理224AD AD AM AC DM DM AM CM ⋅===⋅． 对ABM △和截线EDC ，由梅涅劳斯定理，1AE BC MD EB CM DA ⋅⋅=，即21114AE EB ⋅⋅=． 所以2AEEB=．探索提升【例2】 如图，在ABC △中，D 为AC 中点，BE EF FC ==，求证：::5:3:2BM MN ND =．NMDCF EBA【解析】 ∵直线AE 是BCD △的梅氏线，∴1BM DA CE MD AC EB ⋅⋅=． ∴12121BM MD ⋅⋅=，∴11BM MD = ∵直线AF 是BCD △的梅氏线， ∴1BN DA CF ND AC FB ⋅⋅=， ∴11122BN ND ⋅⋅=，41BN ND =． ∴::5:3:2BM MN ND =．习题3. 如图，在ABC △中，D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =．求::AG GH AB ．CEF DBH GA【解析】 ∵HFC 是ABD △的梅氏线，∴1AH BC DFHB DC FA⋅⋅=． ∵D 为BC 的中点，::4:3:1AE EF FD =， ∴21BC DC =，17DF FA =． ∴21117AH HB ⋅⋅=，∴72AH HB =． ∵GEC 是ABD △的梅氏线， ∴1AG BC DE GB DC EA ⋅⋅=， ∴21111AG GB ⋅⋅=，∴12AG GB =． ∴::3:4:2AG GH HB =． ∴::3:4:9AG GH AB =．【例3】 过ABC △的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB 的延长线于点D ．求证：1BE CFEA FA+=．M DGFECB A【解析】 作直线AG 交BC 于M ，∵:1:2MG GA =，BM MC =． ∴AE BD MG EB DM GA ⋅⋅112AE BD EB DM =⋅⋅=． ∴2EB BD AE DM=． 同理，2CF DCFA DM=， 而2BD DC BD BD BM +=++2()2BD BM DM =+= ∴21222BE CF BD DC DM EA FA DM DM DM+=+==．【例4】 如图，点D 、E 分别在ABC △的边AC 、AB 上， AE EB =，23AD DC =，BD 与CE 交于点F ，40ABC S =△．求AEFD S ．FDECBA【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1EF CD AB FC DA BE ⋅⋅=，即32121EF FC ⋅⋅=， 所以13EF FC =．所以1148BFE BEC ABC S S S ==△△△， 进而211140115840AEFD ABD BEF ABC S S S S ⎛⎫=-=-=⋅= ⎪⎝⎭△△△．习题4. 如图，在ABC △中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x的值．x 1085F DE CBA【解析】 对ECA △和截线BFD ，由梅氏定理得：1CD AB EF DA BE FC ⋅⋅=，即1823115152x x +⋅⋅=+，解得22x =．【备选】如图，ABC △被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC △的面积．354030O F ECDBA【解析】 对ABD △和截线COF ，由梅氏定理得：1AF BC DO FB CD OA ⋅⋅=，即41132BC CD ⋅⋅=，所以32BC CD =，所以3BCBD=．所以33105315ABC ABD S S ==⨯=△△．非常挑战【例5】 如图， 在ABC △中，A ∠的外角平分线与边BC 的延长线交于点P ，B ∠的平分线与边CA 交于点Q ，C ∠的平分线与边AB 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．P C B QRA【解析】 AP 是BAC ∠的外角平分线，则BP ABPC CA=① BQ 是ABC ∠的平分线，则 CQ BCQA AB=② CR 是ACB ∠的平分线，则 AR CARB BC=③ ⨯⨯①②③得1BP CQ AR AB BC CAPC QA RB CA AB BC⋅⋅=⋅⋅= 因R 在AB 上，Q 在CA 上，P 在BC 的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P 、Q 、R 三点共线．习题5. 证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点．F EDCBAP F E D CBA【解析】 如图，CD BE AF 、、分别为三角形ABC 的三个外角平分线，分别交AB AC BC 、、于D E F 、、．过C 作BE 的平行线，则BCP CBE EBD CPB ∠=∠=∠=∠，所以BPC △是等腰三角形．则PB CB =．则有：CE PB CBEA BA BA ==． 同理AD AC DB CB =；BF BA FC AC=． 所以1CE AD BF CB AC BA EA DB FC BA CB AC ⋅⋅=⋅⋅=．所以D E F 、、共线．板块二 塞瓦定理及其逆定理知识导航塞瓦定理：如果ABC △的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于点D 、E 、F ，如图，那么1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．通常称点P 为ABC △的塞瓦点． PFED CB A证明： ∵直线FPC 、EPB 分别是ABD △、ACD △的梅氏线，∴1BC DP AF CD PA FB ⋅⋅=，1DB CE AP BC EA PD⋅⋅=． 两式相乘即可得：1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=．塞瓦定理的逆定理：如果点D 、E 、F 分别在ABC △的边BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AF DC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或平行）． F PF'ED C BAFED CB A证明： ⑴ 若AD 与BE 相交于一点P 时，如图，作直线CP 交AB 于'F ．由塞瓦定理得：'1BD CE AF DC EA F B⋅⋅='，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=，∴AF AF FB F B '='， ∴AB AB FB F B ='，∴FB F B '=． ∴'F 与F 重合 ∴'CF 与CF 重合∴AD 、BE 、CF 相交于一点．⑵ 若AD 与BE 所在直线不相交，则AD ∥BE ，如图． ∴BD EA DC AC=，又已知1BD CE AF DC EA FB ⋅⋅=， ∴1EA CE AF AC EA FB ⋅⋅=，即CE FB AC AF =． ∴//BE FC ，∴AD BE FC ∥∥．说明：三线平行的情况在实际题目中很少见．探索提升【例6】 （1）设AX BY CZ ，，是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA（2）若AX BY CZ ，，为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYXCBA【解析】 （1）由条件知，BX XC YC YA ZA ZB ===，，．∴1BX CY AZXC YA ZB⋅⋅=， 根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX BY CZ ，，共点． 这个点称为这个三角形的重心．（2）由三角形内角平分线定理得：BX AB CY BC AZ ACXC AC YA BA ZB BC===，，． 三式分别相乘，得：1BX CY AZ AB BC ACXC YA ZB AC AB BC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX BY CZ ，，共点， 这个点称为这个三角形的内心．习题6. 若AX BY CZ ，，分别为锐角ABC △的三条高线，求证：AX BY CZ ，，三线共点．ZYX CBA【解析】 由ABX CBZ △∽△得：BX AB BZ BC =；由BYA CZA △∽△得：AZ ACAY AB =； 由AXC BYC △∽△可得：YC BC CX AC =．所以1BX AZ YC AB AC BCBZ AY CX BC AB AC⋅⋅=⋅⋅=．根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX BY CZ ，，共点．对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点．我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心．【例7】 如图， M 为ABC △内的一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AB 交于点F ，若AM 通过BC 的中点D ，求证：EF BC ∥．FDEMBA【解析】 对ABC △和点M 应用塞瓦定理可得：1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．又因为BD DC =，所以1AF CE FB EA ⋅=．进而AF AEFB EC=，所以EF BC ∥．习题7. 如果梯形ABCD 的两腰AD 、BC 的延长线交于M ，两条对角线交于N ．求证：直线MN必平分梯形的两底．BQ ANCP DM【解析】 ∵AB CD ∥∴MD CM DA BC = ∴1MD BC DA CM⋅=∵1MD AQ BCDA QB CM ⋅⋅=（由塞瓦定理得） ∴1AQ QB=，∴AQ QB = ∵DP PC AQ QB =，∴DP PC =．板块三 梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【备选】如图，E 、F 分别为ABC △的AC 、AB 边上的点，且3AE EC =，3BF FA =，BE 、CF 交于点P ，AP 的延长线交BC 于点D ．求:AP PD 的值．ABCD EFP【解析】 ∵P 为ABC △的塞瓦点．∴11133AF BD CE BD FB DC EA DC ⋅⋅=⋅⋅= ∴91BD DC =，∴910BD BC =． ∵EPB 为ACD △的梅氏线， ∴911103AP DB CE AP PD BC EA PD ⋅⋅=⋅⋅= ∴103AP PD =【备选】如图，四边形ABCD 的对边AB 和DC ，DA 和CB 分别相交于点L K ，，对角线AC 与BD 交于点M ．直线KL 与BD 、AC 分别交于点F G 、．求证：KF KGLF LG=．F L K M DC BA【解析】 对DKL △与点B 应用塞瓦定理得：1DA KF LC AK FL CD⋅⋅=． 对DKL △和截线ACG 应用梅涅劳斯定理可得：1DA KG LC AK GL CD⋅⋅=． 进而可得KF KG LF LG=．。