单纯形优化法
最优化方法-单纯形法
记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。
X
1
X
2
X
3
X 4
X
5
(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29
X
6
(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.
x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln
第五章 单纯形优化设计法1
E
0 0 0 0 0 0.775 0.129 0.129 0.129 0.129 0.129
F
0 0 0 0 0 0 0.764 0.109 0.109 0.109 0.109
G
H
I
J
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.756 0 0 0 0.094 0.750 0 0 0.094 0.083 0.745 0 0.094 0.083 0.075 0.742
23
上述方法是根据初始点和步长来计算初始单纯形的各 个顶点，各因素的步长是相同的,称作固定步长法或正 规单纯形法。 如二因素实验举例： 因素1：pH，因素2：温度。 初始值x0=(7.0,40);步长a1=0.5, a2=5。 这是几维单纯形？有几个顶点？ 第一个顶点x1=(x11,x12)=(x01+p1,x02+q2)
10
什么是单纯形？ 单纯形（Simplex）是数学里最优化方法中的一个名 词。它是指多维空间的凸多面体，其顶点数比空间维 数多1。
例如：一维空间的单纯形是一条直线，二维空间中是
三角形，三维空间中是四面体。
11
什么是单纯形优化法？
单纯形优化法是一种多维搜索寻优方法。 它是利用单纯形的顶点计算目标函数值,按一定的规则 进行探索性搜索,判断目标函数的变化趋势,确定有利的 搜索方向和步长。 经过不断的迭代，最终使结果收敛
f ( x) W1 f1 ( x) W2 f 2 ( x) ... Wq f q ( x)
6
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。
优化设计的数学表达（数学模型式）：
最优化方法第二讲 单纯形法
令 xˆ x d ，其中 0 ，取搜索方向 d (B1Am ,0, ,0,1,0, ,0) (a1k , amk ,0, ,0,1,0, ,0) 其非基变量（自由求知量）中第 k 个非基变量取值为 1，其它为 0。 故 xˆ x d = B1b a jk , 由于 x 0 ，可知 xˆ 0 为可行解。 当 时，目标值 cxˆ cB1b k 。
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换入变量和换出变量的确定：
换入变量的确定— 最大减小原则
假设检验向量 N CN CBB1N ( m1, m2,, n )
若其中有两个以上的检验数为负，那么为了使目标函数 值下降得快些，通常要用“最大减小原则”，即选取最小 负检验数所对应的非基变量为换入变量，即若
min j j 0, m 1 j n mk
0, 1
i
m
( B1b)l ( B1Pmk )l
则选取对应的基变量 Xl 为换出变量。
19
4. 用初等变换求改进了的基本可行解——旋转运算
假设Ｂ是线性规划 min z CX , AX b, X 的0 可行基，则
AX
b
(B
N )
XB XN
b
(I , B1N )
XB XN
B1b
令非基变量 XN 0 ，则基变量 XB B1b。
。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本
可行解，然后转会到步骤（2）。
3
其步骤如下： 找出一个初始可行解
是否最优
是
最优解
循
环
否
结束
转移到另一个目标函数 （找更小的基本可行解）
直到找出为止，核心是：变量迭代
4
1 确定初始的基本可行解
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始 的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定.
单纯形法大m法
单纯形法和大M法都是线性规划中的求解方法。
单纯形法是一种在约束条件下寻找最优解的方法。
它通过不断地迭代和转换，寻找使目标函数值最大或最小的解。
单纯形法适用于具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
大M法是一种处理线性规划问题的方法，当约束条件中存在“≤”的不等式约束时，可以用大M法来处理。
大M法通过引入一个非常大的数M，将原问题转化为标准形式，从而可以利用单纯形法进行求解。
大M法的关键在于如何选择合适的M值，以保证原问题的约束条件得以满足，并且目标函数取得最大或最小值。
综上所述，单纯形法和大M法都是解决线性规划问题的方法，其中单纯形法适用于具有线性约束和线性目标函数的优化问题，而大M 法则适用于处理含有“≤”的不等式约束的问题。
最优化单纯形法
最优化单纯形法最优化单纯形法是一种用于解决线性规划问题的算法。
线性规划问题是在给定一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解的问题。
最优化单纯形法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。
最优化单纯形法的基本思想是从一个可行解出发，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。
在每一次迭代中，通过选择一个合适的进入变量和离开变量来改善当前解。
进入变量是指在当前基本解中非基本变量中的某个变量，使得目标函数值增加。
离开变量是指在当前基本解中的基本变量中的某个变量，使得目标函数值减少。
最优化单纯形法的关键步骤包括初始化、选择进入变量、选择离开变量、更新基变量等。
首先，需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数是最小化的，并且约束条件都是等式形式。
然后，通过初始化得到一个可行解。
接下来，在每一次迭代中，选择进入变量和离开变量。
进入变量的选择通常是根据目标函数的系数，选择系数最小的非基本变量作为进入变量。
离开变量的选择是根据约束条件的限制，选择使得当前基变量中的某个变量离开基变量集合的变量。
更新基变量后，继续下一次迭代，直到找到最优解。
最优化单纯形法的优点是可以有效地解决线性规划问题，并且在实际应用中有广泛的应用。
然而，最优化单纯形法也存在一些限制。
首先，该方法只适用于线性规划问题，无法解决非线性规划问题。
其次，当问题的规模较大时，计算量会很大，需要耗费较多的时间和资源。
此外，该方法还需要满足一些前提条件，如可行解的存在性和有界性等。
最优化单纯形法是一种解决线性规划问题的有效算法。
通过选择进入变量和离开变量，不断迭代改进当前解，最终找到最优解。
尽管最优化单纯形法存在一些限制，但在实际应用中仍然具有广泛的应用前景。
探讨单纯形法的改进
探讨单纯形法的改进单纯形法是一种常见的线性规划求解算法，其基本思路是通过构建初始可行解和不断进行单纯形变换来逐步优化目标函数值。
尽管单纯形法具有一定的优越性和适用性，但在实际问题中，其存在一些问题，如对初始可行解的依赖性、极端点模糊等。
因此，对单纯形法进行改进是非常必要的。
一、基于初始点优化的单纯形法改进传统的单纯形法在构建初始可行解时通常采用随机选取变量赋初值，但这种方法存在依赖性和不确定性，容易导致求解结果出现错误。
因此，提出了一种基于初始点优化的改进方法，即将常用的预处理算法与单纯形法相结合，利用已知的问题结构和性质，从而能够更准确地构建初始可行解，并快速找到最优解。
二、非正则化单纯形法改进传统的单纯形法在处理极端点问题时存在一定的缺陷，其主要原因除了初始可行解的问题之外，还与算法本身的局限性有关。
为了克服这些问题，可以通过非正则化单纯形法来进行改进。
这种方法不仅可以克服传统单纯形法无法处理的极端点问题，还可以有效减少目标函数下降的步骤，从而提高算法的效率和可靠性。
三、随机游走单纯形法改进在应用单纯形法解决实际问题时，如果问题本身具有复杂性和难以预测性，传统的单纯形法可能会出现效率低下和求解结果不稳定等问题。
针对这些问题，可以采用随机游走单纯形法进行改进。
该方法通过随机游走和概率转移等操作，将求解过程从搜索解空间的确定性过程转变为概率性的过程，从而能够更有效地避免局部最优解，并提高算法的稳定性和可靠性。
双端单纯形法是一种新颖的基于单纯形法的优化算法，其基本思路是同时从两个端点开始进行求解，分别向另一个端点移动，直到找到最优解为止。
相较于传统的单端单纯形法，双端单纯形法具有更强的适应性和搜索能力，能够更好地应对复杂性和非线性性问题，从而提高算法的求解效率和质量。
综上所述，单纯形法的改进是一个不断完善和发展的过程，不同的改进方法可以针对不同的问题和应用场景，有效提高算法的效率和可靠性，并在实际问题中得到广泛应用。
最优化方法单纯形表
x1
x2
x3
x4
b
1
-2
0
4
4
0
1
1
2
5
-3
-2
-1
2
0
将最后一行中的-3和-1用初等行变换化为0
x1
x2
x3
x4
b
1
-2
0
4
4
0
1
1
2
5
0
-7
0
16
17
③检查非基变量的检验数σj ,若所有的σj ≤ 0，则 当前的基可行解就是最优解，计算停止；
④若存在某个σk >0，且所对应的列向量P’k没 有正分量，则表明原问题不存在最优解，计 算停止；
利用单纯形表求解线性规划的步骤
例1 求解线性规划问题
max Z = -3x1 - 2x2–x3 + 2x4
s.t. x1 - 2x2
+ 4x4 = 4
x2 + x3 + 2x4 = 5
xj ≥ 0,j = 1,2,3,4
①将线性规划标准化，并使之含有标准基（ 即一个与约束方程的个数同阶的单位矩阵）
Z
XB
XN
b
0
E
B-1N
B-1b
-1
0
CN-CBB-1N -CBB-1N
分别令 N’ = B-1N C’N = CN-CBB-1N（即C’N是非基变
量XN所对应的检验数向量） b’ = B-1b
η’ = -CBB-1N
转换后的单纯形表如下：
Z
XB
XN
b
0
E
N’
b’
-1
0
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
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2-3
2-3
linearity [lɪnɪ'ærəti] n. 线性 / nonlinearity n. 非线性
variable ['vɛrɪəbl] n. 变量; adj. 变量的；可变的 variables ['vɛrɪəbl] n. 变量
91页 2-4 auxiliary [ɔːɡ'zɪlɪəri] adj. 辅助的；副的 response [rɪ'spɑns] n. 响应；反应；回答 2-5 maximum [ˈmæksəməm] n. [数] 极大值 2-6 principal ['prɪnsəpl] adj. 主要的 / principal response 主反应 2-11（倒4）responses surface ['sɝfɪs] 响应面 4-1 factorial [fæk'tɔrɪəl] adj. 因子的 ；n. [数] 阶乘 factorial experiments 析因实验；因子试验
93页
标题 constraints [kən'streint] n. [数] 约束；限制；约束条件（constraint的复数形式） 13-3 miscibility [,mɪsə'bɪləti] n. 可混和性，互溶性 14倒5 equilateral ['ikwə'lætərəl] adj. 等边的 / equilateral triangle [数] 等边三角形
1953年，丹齐克为了改进单纯形法每次迭代中积累
01.首次提出
1947 年，丹齐克首次提出了单纯形法来 解决极值问题的求解。单纯形法是应对 一般线性规划问题的最早的可行算法。
单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否是最优解，如果是，则输出结果并 停止计算。如果不是，则转入下一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转回到步 骤（2）。
第一部分：第一段，开门见山，引出下文 第二部分：第二段，确定要优化的数量 第三部分：3——8段，因素的选择
第四部分：9——12段，步长的选择
第五部分：第13段，系统约束条件的确定 第六部分：14——15段，定位初始单纯形值并讲述表格的用法
03 Main Idea of each paragraph
we should choose it at a low enough value.
第五段 Instead, after the experiments employing the
treatment combinations dictated by the design have
been run, the magnitude of the effects can be calculated by a standard method and their relative importance judged by inspection.
auxiliary response 副反应
4-11（倒2）screening ['skrinɪŋ] n. 筛选；[化]筛分
6-5 precision [prɪ'sɪʒn] n. 精度，[数] 精密度
92页
6'-3 experimental conditions 实验条件 6'-4 sequence ['sikwəns] n. [数][计] 序列 6'-6 slopes [slop] n. 倾斜，斜坡；[数] 斜率；slope的复数形式
Choose the step size
12
10
the maximum is approached more rapidly and error will have a proportionally smaller influence. A large step may also make it difficult to maneuver between
7-1 reagent [rɪ'edʒənt] n. [试剂] 试剂；反应物
7-1 concentration ['kɑnsn'treʃən] n. 浓度；集中；浓缩 7-1 substance ['sʌbstəns] n. 物质
溶液 ——— 溶解度 —— 溶剂 ——— 溶质
8-2 solvent
标题 step size
['sɑlvənt] n. 溶剂
[数] 步长
solution— solubility—solvent— solute
9倒1 disproportionately [,disprə'pɔ:ʃənitli] adv. 不成比例地，不相称地 10-2 proportionally [prəu'pɔ:ʃənəli] adv. 成比例地；相称地
9
Scales must be assigned to the factors being optimized and the spacing between successive experimental levels decided. An initial large step size is usually an advantage, since
Simplex Optimization
姓名： 学号：
C
ONTENTS 01 Backgrand knowledge
Professional words 02 03
Complex sentences 04
Main Idea of each paragraph
PART
01
Backgrand knowledge
第三段 第二段 Define the quantity to be To simplify the optimization it is usually preferable to choose only the
optimized and propose a practical solution.
most important factors.
11
constraints or to stay on a high yield portion of a steep slope, but a reduction in size can be made after these problems are encountered. sIndividual optimization of quantitative factors.Then the optimization results are compared and the optimal qualitative factors are determined.
随着单纯形最优化方法（BSM）的发展，使其在分析化学中占据重要的地位。光 学分析法是应用单纯形最优化较多的一个方面，Long利用BSM法对蔷薇苯胺法测定二 氧化硫进行了条件优化；Deming研究了乙酰丙酮法测定甲醛的最优化问题；Suchanck 等人以氮的比色测定讨论了单纯形法应用。多元络合物在光度分析中，Massart等人研 究了单纯形法在钼蓝法萃取光度测定磷酸盐中的应用。Parker等人在原子吸收光谱中应 用单纯形最优化方法，对其中的空气流速，燃气流速，空心阴极灯电流，燃烧器高度等 多种因素进行了研究。在ICP光谱分析中、多元素的X射线荧光光谱分析、色谱法和分 离应用、核磁共振波谱等方面也都采用了单纯形优化法。总之，由于此方法简单而有效 的特点，使其应用越来越广泛，尤其对那些单元试验耗资多或耗时长的多因素试验。
factors and they give a quantitative measure of the contribution of each factor to the overall response.
03 Main Idea of each paragraph
第七段 第六段 we must be realized that the apparent changes in response are not an absolute measure of effect but depend upon the scales and differences in levels selected for the experiments. 第八段 For the case where two factors are concentration of the substance being analyzed should not be taken as a variable for the simplex.
optimal solution is optimal according to the optimal theory. If yes, output the
result and stop the calculation. If not, then convert to new values, and again determine if it is optimal. We're going to go through multiple cycles until we find the optimal solution.
第四段
第一段
The details of the optimization procedure are categorized below in the form of steps.
Factorial experiments are a good way of
judging the relative significance of the possible
将两种或多种因素的各水平交叉分组，进行实验的设计。 作用：检验各因素不同水平间有无差异。