单纯形优化法
最优化方法-单纯形法
记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。
X
1
X
2
X
3
X 4
X
5
(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29
X
6
(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.
x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln
最优化方法第二讲 单纯形法
令 xˆ x d ，其中 0 ，取搜索方向 d (B1Am ,0, ,0,1,0, ,0) (a1k , amk ,0, ,0,1,0, ,0) 其非基变量（自由求知量）中第 k 个非基变量取值为 1，其它为 0。 故 xˆ x d = B1b a jk , 由于 x 0 ，可知 xˆ 0 为可行解。 当 时，目标值 cxˆ cB1b k 。
17
换入变量和换出变量的确定：
换入变量的确定— 最大减小原则
假设检验向量 N CN CBB1N ( m1, m2,, n )
若其中有两个以上的检验数为负，那么为了使目标函数 值下降得快些，通常要用“最大减小原则”，即选取最小 负检验数所对应的非基变量为换入变量，即若
min j j 0, m 1 j n mk
0, 1
i
m
( B1b)l ( B1Pmk )l
则选取对应的基变量 Xl 为换出变量。
19
4. 用初等变换求改进了的基本可行解——旋转运算
假设Ｂ是线性规划 min z CX , AX b, X 的0 可行基，则
AX
b
(B
N )
XB XN
b
(I , B1N )
XB XN
B1b
令非基变量 XN 0 ，则基变量 XB B1b。
。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本
可行解，然后转会到步骤（2）。
3
其步骤如下： 找出一个初始可行解
是否最优
是
最优解
循
环
否
结束
转移到另一个目标函数 （找更小的基本可行解）
直到找出为止，核心是：变量迭代
4
1 确定初始的基本可行解
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始 的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定.
【精品】最优化单纯形法例题讲解
【精品】最优化单纯形法例题讲解最优化单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法。
它通过不断迭代调整基变量的取值来寻找使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
下面我们通过一个例题来详细讲解最优化单纯形法的求解过程。
例题：假设有如下线性规划问题：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 ≤ 8 x1 + 2x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0首先，我们将原问题转化为标准型，即将约束条件全部转化为等式，并引入松弛变量。
将原问题转化为如下形式：Max Z = 3x1 + 4x2 s.t. 2x1 + x2 + x3 = 8 x1 + 2x2 + x4 = 6 x1, x2, x3, x4 ≥ 0接下来，我们构造初始单纯形表。
单纯形表由目标函数系数矩阵、约束条件系数矩阵和右端常数向量组成。
目标函数系数矩阵： 3 4 0 0约束条件系数矩阵： 2 1 1 0 1 2 0 1右端常数向量： 8 6再构造一个松弛变量的列向量，也就是单位矩阵的第一列。
接下来，我们要选择一个入基变量和一个出基变量，通过迭代调整基变量的取值来逼近最优解。
选择入基变量：我们要选择一个非基变量进入基变量集合，使得目标函数系数矩阵中的相应列元素最大（如果是最小化问题，则选择最小的）。
选择出基变量：我们要选择一个基变量出基变量集合，使得约束条件系数矩阵中相应列元素最小的行对应的非基变量列元素大于等于0。
在初始单纯形表中，目标函数系数矩阵中3和4是最大的，所以我们选择x1和x2作为入基变量。
在约束条件系数矩阵中，对于x1，第一行的1最小，所以我们选择第一行的x4作为出基变量；对于x2，第二行的1最小，所以我们选择第二行的x3作为出基变量。
接下来，我们通过计算新的单纯形表来更新基变量的取值。
首先，我们计算新的基变量x1的系数矩阵。
将x1的列除以相应的出基变量的系数（即1），得到新的系数矩阵：1 0 1/2 0 0 1 -1/2 1然后，我们计算新的基变量x2的系数矩阵。
最优化单纯形法例题
最优化单纯形法例题单纯形法是一种常用的数学优化方法，用于求解线性规划问题。
下面我将以一个例题来说明单纯形法的步骤和过程。
假设我们有以下线性规划问题：最大化目标函数，Z = 3x1 + 5x2。
约束条件：2x1 + x2 ≤ 10。
x1 + 3x2 ≤ 18。
x1, x2 ≥ 0。
首先，我们将上述问题转化为标准形式。
引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束：2x1 + x2 + x3 = 10。
x1 + 3x2 + x4 = 18。
x1, x2, x3, x4 ≥ 0。
接下来，我们构建初始单纯形表。
表格的第一行为目标函数系数，第一列为基变量。
x1 x2 x3 x4 b.----------------------------------。
Z | -3 -5 0 0 0。
----------------------------------。
x3 | 2 1 1 0 10。
x4 | 1 3 0 1 18。
然后，选择进入变量和离开变量。
进入变量选择目标函数系数最小的负值，即x2。
离开变量选择约束条件中比率最小的变量，即x4。
通过计算比率b/离开变量系数，得到x4的比率为18/3=6。
接下来，进行主元素列变换，使得离开变量的列成为单位向量。
具体步骤如下：1. 将主元素列除以主元素系数，使主元素系数变为1。
2. 将其他列减去相应比率乘以主元素列，使主元素列下的其他元素都变为0。
x1 x2 x3 x4 b.----------------------------------。
Z | 0 -1 0 5 90。
----------------------------------。
x3 | 0 -1 1 0 4。
x2 | 1 3 0 1 18。
然后，更新目标函数行。
将目标函数行减去目标函数系数乘以主元素列，使得目标函数系数下的其他元素都变为0。
x1 x2 x3 x4 b.----------------------------------。
最优化单纯形法
最优化单纯形法最优化单纯形法是一种用于解决线性规划问题的算法。
线性规划问题是在给定一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解的问题。
最优化单纯形法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。
最优化单纯形法的基本思想是从一个可行解出发，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。
在每一次迭代中，通过选择一个合适的进入变量和离开变量来改善当前解。
进入变量是指在当前基本解中非基本变量中的某个变量，使得目标函数值增加。
离开变量是指在当前基本解中的基本变量中的某个变量，使得目标函数值减少。
最优化单纯形法的关键步骤包括初始化、选择进入变量、选择离开变量、更新基变量等。
首先，需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数是最小化的，并且约束条件都是等式形式。
然后，通过初始化得到一个可行解。
接下来，在每一次迭代中，选择进入变量和离开变量。
进入变量的选择通常是根据目标函数的系数，选择系数最小的非基本变量作为进入变量。
离开变量的选择是根据约束条件的限制，选择使得当前基变量中的某个变量离开基变量集合的变量。
更新基变量后，继续下一次迭代，直到找到最优解。
最优化单纯形法的优点是可以有效地解决线性规划问题，并且在实际应用中有广泛的应用。
然而，最优化单纯形法也存在一些限制。
首先，该方法只适用于线性规划问题，无法解决非线性规划问题。
其次，当问题的规模较大时，计算量会很大，需要耗费较多的时间和资源。
此外，该方法还需要满足一些前提条件，如可行解的存在性和有界性等。
最优化单纯形法是一种解决线性规划问题的有效算法。
通过选择进入变量和离开变量，不断迭代改进当前解，最终找到最优解。
尽管最优化单纯形法存在一些限制，但在实际应用中仍然具有广泛的应用前景。
【精品】最优化单纯形法例题讲解
例1用单纯形法解下列问题:min x1 - Ix2 + x3sJ. x1 + x2 - 2X3 + x4 = 10, 2工1一工2+4工3 ≤8,-x1+2X2-4X3≤4, X7≥ 0,7 = 1,—,4.解：将原问题化成标准形：max -x l+2X2-X3sJ. x1+ ‰ - 2X3 + x4= 10,2x x-X2+4X3+X5=8,-X1 + Ix2 - 4X3+ x6 = 4,X/ ≥0,∕ = l, (6)Xl与添加的松弛变量有，益在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为¥= （0,0,0,10, 8,4） T列出初始单纯形表，见表1。
由于只有6> 0∙说明表中基可行解不是最优解，所以确定应为换入非基变量：以不的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
〃=min（一, ） = 2 = 一1 ɔ 2因此确定2为主元素（表1中以防括号口括起），意味着将以非基变量与去置换基变量与，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换,将4的系数列（1, “，2）τ变换成益的系数列（O,O,l）τ,变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
表检验数6=3>0,当前基可行解仍然不是最优解。
继续“换基”，确定2为主元素，即以 非基变量与置换基变量与。
变换结果见表，表3此时，3个非基变量的检验数都小于O∙ e=∙9∕4, σs=∙3∕2, σ5= -7/4,表明已求得最优 解：M= (0,12,5,8,0,0)，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：X'=(0,12,5,8)T,最 小值为J9例2用大M 法求解下列问题： min x 1 +x 2 -3x 3 sJ. x 1 - 2X 2 + x 3 ≤ ɪ ζ 2x 1+ x 2 β 4巧 ≥ 3, K -2七=1, x y ≥ 0√ = l,∙..,3.解引进松弛变量X4、、剩余变量XS 和人工变量*6、X7,解下列问题： minx 1 +x 2 -3x 3 +O A 4 +0X 5 + M (X 6 +X 7) sJ. x 1 -2X 2 ÷X 3 +X 4 = 112x 1 +X 2 -4X 3 -X 5 +X 6=3 玉 -2X 3+x 7 =1Xj≥0,j = l,2,…,7 用单纯形法计算如下：由于0,说明表中基可行解不是最优解，所以确定为为换入非基变量：以为的 系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
最优化方法单纯形表
x1
x2
x3
x4
b
1
-2
0
4
4
0
1
1
2
5
-3
-2
-1
2
0
将最后一行中的-3和-1用初等行变换化为0
x1
x2
x3
x4
b
1
-2
0
4
4
0
1
1
2
5
0
-7
0
16
17
③检查非基变量的检验数σj ,若所有的σj ≤ 0，则 当前的基可行解就是最优解，计算停止；
④若存在某个σk >0，且所对应的列向量P’k没 有正分量，则表明原问题不存在最优解，计 算停止；
利用单纯形表求解线性规划的步骤
例1 求解线性规划问题
max Z = -3x1 - 2x2–x3 + 2x4
s.t. x1 - 2x2
+ 4x4 = 4
x2 + x3 + 2x4 = 5
xj ≥ 0,j = 1,2,3,4
①将线性规划标准化，并使之含有标准基（ 即一个与约束方程的个数同阶的单位矩阵）
Z
XB
XN
b
0
E
B-1N
B-1b
-1
0
CN-CBB-1N -CBB-1N
分别令 N’ = B-1N C’N = CN-CBB-1N（即C’N是非基变
量XN所对应的检验数向量） b’ = B-1b
η’ = -CBB-1N
转换后的单纯形表如下：
Z
XB
XN
b
0
E
N’
b’
-1
0
线性规划中的单纯形法优化思路
线性规划中的单纯形法优化思路线性规划是一种优化问题的数学建模工具，通过数学模型的建立和求解，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
而在线性规划中，单纯形法是一种经典的解法，通过迭代比较线性规划问题的可行解，逐步接近最优解的方法。
在本文中，将详细介绍单纯形法的优化思路。
1. 线性规划问题概述在介绍单纯形法之前，先了解线性规划问题的基本概念和常见形式。
线性规划问题由目标函数和约束条件构成，其中目标函数是一个线性函数，约束条件也是一组线性不等式或等式。
线性规划问题的求解目标是找到满足所有约束条件下使目标函数取得最优值的变量取值。
2. 单纯形法的基本思路单纯形法是一种通过不断迭代改进可行解来求解线性规划问题的方法。
其基本思路是从一个初等可行解开始，通过不断地迭代，每次选取一个更优的可行解，最终达到最优解。
3. 单纯形法的步骤3.1 初等可行解的选取单纯形法的第一步是选取一个初等可行解，该可行解必须满足所有约束条件，并且可以通过线性规划问题的约束条件和目标函数来确定。
3.2 进行单纯形表的构造单纯形表是单纯形法中的一种重要表格，通过将线性规划问题的约束条件和目标函数进行整理，能够更清晰地观察问题的结构和计算过程。
3.3 计算单纯形表中的优化函数值在单纯形表的基础上，通过计算表中各行最右侧的数值，可以得出当前目标函数的值，并判断是否满足最优解的条件。
3.4 确定进入变量和离开变量单纯形法中，每一次迭代都需要选择一个进入变量和一个离开变量来进行优化。
进入变量被选取为能够提高目标函数值最多的变量，而离开变量则是根据约束条件限制来确定的。
3.5 更新单纯形表通过选择好进入变量和离开变量后，需要对单纯形表进行更新，以得出下一次迭代的最优解。
3.6 终止条件的判断在每一次迭代过程中，都需要判断是否满足终止条件，即最优解的判断。
如果不满足终止条件，则继续进行下一次迭代，直到达到最优解。
4. 单纯形法的优化思路单纯形法的优化思路在于不断地找到使目标函数值更优的可行解，通过迭代的方式逐步接近最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1 a1+q
a1+p
E 因素1
第七章 单纯形优化法
▪由A、B、C三点构成得单纯形称为初始单纯形
▪首先在A、B、C三点下分别试验，得出三个响应值，比较 其大小，找出最坏响应值的点称为坏点 ▪此处设A为坏点，去掉A点并取A的对称点D点作为新试验 点，比较B、C、D三点响应值的好坏 ▪此处设C为坏点，去点C点，取其反点E，此时C、D、E三 点又构成新的单纯形 ▪………… ▪重复以上结果，最终达到优化试验的目的
第七章 单纯形优化法
▪规则2：去掉次坏点，用其对称反射点作新试点对称计算公 式与前面相同 经过反复使用后，如果有一个点老是保留下来，必须使用 规则3 ▪规则3：重复、停止和缩短步长 一般一个点经过3次单纯形后仍未被淘汰，它可能是一个 很好点，也可能是偶然性或试验误差导致的假象。 此时需要重复试验：结果不好，淘汰；结果已很满意则停 止试验 反之则以它为起点缩短步长，继续试验
第七章 单纯形优化法
▪其中
p
n 1 n 1a 2n
q
n 11a 2n
(9 8)
▪新点计算
[新坐标点]＝2×[n个留下点的坐标和]/n
－[去掉点坐标]
(9-11)
第七章 单纯形优化法
四、n，p，q取值对应表
由(9-8) 我们可以算出n取不同值的p、q的取值
p
n 1 n 1a 2n
q
=+-=(a1+2p1,a2) 、、构成一个新单纯形，比较其结果，若最坏， 则用规则2去掉次坏点，若次坏点为，则新点
=+-=(a1+2p1,a2-p2) 如此等等，有时还会使用规则3，直至结果满意为止。
第七章 单纯形优化法
一般在任意n个因素时 =(a1, a2, a3, … an) =(a1+p1,a2,a3,… … an) =(a1,a2+p2,a3,… … an) ………… (n)=(a1,a2, … an-1+pn-1, an) (n+1)=(a1,a2,a3,… … an+pn)
第七章 单纯形优化法
六、特殊方法
前面介绍的单纯形是正规的，任意两点间的距 离一样，实际上，这个要求可以不要。尤其是由于 各个因素所取的量纲不一样（例如一个因素是温度 （℃），另一个因素是时间（秒）。即使量纲一样 所取的单位也可以不一样。
第七章 单纯形优化法
（一）直角单纯形法
我们考虑双因素模型，开始不从正三角形出发，而 是从一个直角三角形出发，其顶点取值如下：
第七章 单纯形优化法
▪发展简史
1962年，Spendley提出基本单纯形法 1965年，Nelder等提出改进单纯形法 之后，Routh提出加权形心法与控制加权形心法
针对等高线的快速寻优方式
第七章 单纯形优化法
基本单纯形
一、双因素基本单纯形法 如果我们有一个试验设计，只选有两个影 响因素，即因素数为2。分别取值a1和a2作 为试验的初点。记为A(a1,a2)。对其余两个 点分别设为B和C，再设三角形的边长为 a(步长)。那么B、C点就可以计算出来
第七章 单纯形优化法
（二）、双水平单纯形法
✓ 正规和直角单纯形未考虑因素对指标的影响 ✓ 利用双水平单纯形法来估计因素的效应 ✓ 为调节因素提供定量依据
第七章 单纯形优化法
=(a1,a2) =(a1+p1,a2) =(a1,a2+p2) 可以用图表示
第七章 单纯形优化法
因素2 a2+p2
a2
a1
a1+p1
a1+2p1
因素1
第七章 单纯形优化法
同样比较三个顶点响应值的结果，若最坏，新点就 用对称公式
=+-=(a1+p1,a2+p2) 在得到点后，再用、、三点试验，比较其结果， 若最坏，则取其对称点做新试验点
第七章 单纯形优化法
三、多因素基本单纯形
设有n个因素n＋1个定点构成的n维空间单纯形，设有一 点A=(a1, a2, a3, … an)，步长为a
则其余各点为：
B=(a1+p,a2+q,a3+q,… … an+q) C=(a1+q,a2+p,a3+q,… … an+q) (n)=(a1+q,a2+q, … an-1+p, an+q) (n+1)=(a1+q,a2+q,a3+q,… … an+p)
第七章 单纯ห้องสมุดไป่ตู้优化法
二、新试验点的计算方法
以初始单纯形A、B、C为例，设A为坏点，A应该 去掉，求其反射点D，此时
A(a1,a2)、B=(a1+p, a2+q)、C=(a1+q, a2+p) D=B+C-A=(a1+p+q,a2+p+q) E=B+D-C=(a1+2p,a2+2q)
即：[新试验点]＝[留下各点之和]－[去掉点] (9-8)
第七章 单纯形优化法
➢五、小结
▪用前面的例子，对两因素问题A、B、C构成初始单纯形， 在此三点上进行试验 ▪规则1：去掉最坏点，用其对称反射点作新试点
例A、B、C中，A为最坏点，去掉A点并取A的对称点D点作为新试 验点。 D＝[留下各点之和]－[去掉点]＝B＋C－A 在B、C、D三角形中继续使用规则1，如果C为坏点，去点C点，取 其反点E，此时C、D、E三点又构成新的单纯形。 如果最坏点为D那么对称点就会返回到与A重合，改用规则2
n 11a 2n
(9 8)
第七章 单纯形优化法
n、q、p取值对应表
n
p
q
n
p
q
2 0.966 a 0.259 a 9 0.878 a 0.171 a 3 0.943 a 0.236 a 10 0.872 a 0.165 a 4 0.926 a 0.219 a 11 0.865 a 0.158 a 5 0.911 a 0.204 a 12 0.861 a 0.154 a 6 0.901 a 0.194 a 13 0.855 a 0.148 a 7 0.892 a 0.185 a 14 0.854 a 0.147 a 8 0.883 a 0.176 a 15 0.848 a 0.141 a
第七章 单纯形优化法
假设AB、 AC、BC间距均为a，等边三角形可以算出B点为：
B=(a1+p, a2+q) 根据对称性可知：
C=(a1+q, a2+p) 可以根据等边三角形性质解得：
q
3 1a
22
p
3 1a 22
(9 1)
第七章 单纯形优化法
因素2
a2+p
a2+q a2
D C
a a
o
aB A