恒定电场
合集下载
第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程 二、恒定电场的基本方程 三、导电媒质内的体积电荷
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
恒定电场和交变电场的作用和应用
恒定电场和交变电场的作用和应用1. 恒定电场1.1 定义恒定电场是指电场强度和方向不随时间变化的电场。
在理想情况下，恒定电场的电场线是直线，且电场强度在空间和时间上都是恒定的。
1.2 作用1.电荷分离：在恒定电场的作用下，正负电荷会分别移向电场的相反方向，从而实现电荷的分离。
2.电荷加速：带电粒子在恒定电场中会受到电场力的作用，从而产生加速度，实现电荷的加速。
3.电势差：恒定电场中，电场线与等势面垂直，因此可以通过电场线来确定电势差，进而计算电能。
1.3 应用1.静电场计算：在工程和物理问题中，经常需要计算在恒定电场中的电势、电场强度等物理量。
2.静电平衡：在静电场中，带电体的电荷分布会受到恒定电场的影响，从而达到静电平衡状态。
3.电容器设计：电容器是存储电能的装置，其工作原理就是基于恒定电场下的电荷存储。
2. 交变电场2.1 定义交变电场是指电场强度和方向随时间变化的电场。
交变电场的特点是电场强度和方向周期性变化，形成电场矢量在空间中的旋转。
2.2 作用1.电荷周期性运动：在交变电场中，带电粒子受到周期性变化的电场力，从而产生周期性运动。
2.电磁感应：交变电场可以通过电磁感应现象产生磁场，或者通过变化的磁场产生交变电场。
3.能量传输：交变电场是交流电信号传输的基础，可以有效地传输电能和信息。
2.3 应用1.交流电装置：交变电场是交流电灯、交流电动机、交流发电机等设备工作的基础。
2.信号传输：在无线电通信、有线通信等领域，交变电场是信号传输的重要手段。
3.电磁兼容性：交变电场的存在可能导致电磁干扰，因此在电子设备设计中需要考虑电磁兼容性。
3. 恒定电场和交变电场的比较恒定电场和交变电场在作用和应用上有很大的不同。
恒定电场主要涉及电荷的分离和加速，适用于静电场计算和电容器设计等领域。
而交变电场涉及电荷的周期性运动和能量传输，适用于交流电装置和信号传输等领域。
4. 结论恒定电场和交变电场是电磁学中的基础概念，它们在日常生活和工业应用中扮演着重要的角色。
恒定电场
S
R1 r
R1
电导
G I h ln R2 U R1
3.4.2 多电极系统的部分电导
三个及以上良导体电极组成的系统，任意两个电极之间的
电流不仅要受到它们自身间电压的影响，还要受到其他电极 间电压的影响。电压与电流的关系，不能再仅用一个电导来 表示，需要引入部分电导的概念。
第三章恒定电场
分界面可近似地看作等位面。
例3-3 铁1=5×106S/m，土壤2=102S/m，已知铁中电流J1
与法线的夹角1=895950，求土壤中电流J2与法线夹角。
解：根据
tan1 tan 2
1 2
5 10 6 10 2
5 10 8
当1=895950时，可得 2=8
第三章恒定电场
12
3.2.4 载流导体与理想介质
载流导体外的理想介质中，没有电流 J2=0 ,存在电场E2
D2 = 0
E2 = 0
22 = 0
由分界面衔接条件 J1n=J2n=0。 可知，载流导线内电流和场强 只有切线分量
J1 = Jt E1= E1t = J1t / 1
也就是说，无论导线如何弯曲，电流线和电力线同样弯曲。
6.091020 (C
/ m)2
第三章恒定电场
11
3.2.3 从良导体进入不良导体
设两种导电媒质的电导率12
tan1 1 tan 2 2
J1
1900
J2
20
可见，只要 190，tan1∞，
12
则 tan 20，20 。
电流从良导体进入不良导体时可看为与分界面垂直，
第三章恒定电场
20
恒定电场
B H
4.3恒定电场的边界条件
法向
SJ • dS 0
1
J1
J1n J 2n
2
J2
切向
CE • dl 0
E1t E2t
a1n
E1
1
2
a2n
E2
☆ 小结：边界条件
法向： 静电场介质边界 D1n D2n fc
切向：
E1t E2t
恒定电场媒质边界 J1n J2n 1E1n 2 E2n
式中σ是土壤的电导率。
提高级别例题1： 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间填充一种介电常数为ε、电导率为σ的电介质材料, 试 计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻R1。
同轴电缆的横截面
解法1: 根据静电比拟法，同轴线单位长度电容的表示式, 求 得
G1
2
1n b
a
(S / m)
所以
例 试计算如图所示的深埋在地下的铜球的接地电阻, 设铜球 半径为a。（例题4.4）
计算接地电阻
解: 大地中任一点的电流密度为
J
I
4 r2
er
E
J
I
4 r2
er
铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处)
U E dr
I
a
4
dr I
a r2 4a
所以接地电阻是 R U 1
()
I 4 a
恒定电场 散度方程 旋度方程 特征方程
恒定磁场 散度方程 旋度方程 特征方程
积分形式
微分形式
D • dS Q E • dl 0
• D E 0
D E
SJ• dS 0
•J 0
CE • dl
恒定电场
E J I 2l R2 I I R U E dl d ln 2 R1 2l 2 l R1 2l G I 电导 U R2 ln R1 I I J 设 2l
图2.5.1
同轴电缆横截面
绝缘电阻
1 1 ln R2 R G 2l R1
I dI J lim n n S 0 S dS
单位: 安培/米2 (A/m2)
电流密度
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一
般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。
此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通
量，即
I J dS JdScosθ
R2
1
U 0 e
电流 电导
I J dS
U 0 U h R (e ) hd (e ) 0 ln 2 S R R1 I h R2 G ln ( S m) U 0 R1
2.5.2
接地电阻
安全接地与工作接地的概念
接地器电阻
接地电阻 接地器与土壤之间的接触电阻 土壤电阻（接地电阻以此电阻为主） 1. 深埋球形接地器
•
• •
两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;
相应电极的电压相同; 若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似
r1 1 r2 2
的几何形状，且满足条件
时，则这两种场
在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。
2.4.3
静电比拟的应用
1. 静电场便于计算—— 用静电比拟方法计算 恒定电场
2 0
D1n D2n
I J dS
S
2 0
S
q D dS
E1t E2t
图2.5.1
同轴电缆横截面
绝缘电阻
1 1 ln R2 R G 2l R1
I dI J lim n n S 0 S dS
单位: 安培/米2 (A/m2)
电流密度
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一
般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。
此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通
量，即
I J dS JdScosθ
R2
1
U 0 e
电流 电导
I J dS
U 0 U h R (e ) hd (e ) 0 ln 2 S R R1 I h R2 G ln ( S m) U 0 R1
2.5.2
接地电阻
安全接地与工作接地的概念
接地器电阻
接地电阻 接地器与土壤之间的接触电阻 土壤电阻（接地电阻以此电阻为主） 1. 深埋球形接地器
•
• •
两种场的电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）;
相应电极的电压相同; 若两种场中媒质分片均匀，只要分界面具有相似
r1 1 r2 2
的几何形状，且满足条件
时，则这两种场
在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。
2.4.3
静电比拟的应用
1. 静电场便于计算—— 用静电比拟方法计算 恒定电场
2 0
D1n D2n
I J dS
S
2 0
S
q D dS
E1t E2t
3-恒定电场
γ2
=
γ1 γ1
+
I’
γ2 γ2
镜像法
γ1 −γ 2 I′ = I γ1 +γ 2
2γ 2 I ′′ = I γ1 +γ 2
实验——用恒定电场实验模拟静电场 用恒定电场实验模拟静电场
模拟法就是应用一种具有中等导电率的媒质代替静电场所 在空间的介质或真空； 在空间的介质或真空；另外一种具有高导电率的导体制成电极 使其形状与形成静电场的导体电极相同。 使其形状与形成静电场的导体电极相同。在模拟电极上加上与 原静电场中电极上电位成比例的电位， 原静电场中电极上电位成比例的电位，于是在导电媒质中形成 恒定电流场。 恒定电流场。 v v 完全相同。 这个恒定电场的 E 与静电场中的 E 完全相同。电位分布也 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 必然与被模拟的静电场的电位分布完全相同。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。 实际的模拟装置有电阻纸、电解槽、电阻网络等。
第3章 恒定电场 章
导体内电场如何求解？ 导体内电场如何求解？ 1. 2. 3. 4.
恒定电场的特点
导体电位差？ 导体电位差？
电荷处于动态平衡状态。 电荷处于动态平衡状态。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 导体内电场不为零，表面不是等位面。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动——转化为热能。 转化为热能。 外电源供给的能量用于电荷克服阻力运动 转化为热能 对导电媒质以外而言场相对稳定----与静电场相似 相似， 对导电媒质以外而言场相对稳定 与静电场相似，可用静电场 方法求解。 方法求解。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。 恒定电场周围还有恒定磁场，二者互不激发，均可分别讨论。
J 2n
(电磁场PPT)第二章 恒定电场
第二章
由电路理论
恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式
U RI
R l
S
电导率与电阻率的关系： 1 ，
（r 电阻率）， （电导率）。 r
图2.1.5 J 与 E 之关系
在场论中 dI J dS
dU dI R J dS dl
dS
E dl
J E 欧姆定律 微分形式。
第二章
恒定电场
U RI 欧姆定律 积分形式。
本章要求:
理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。
掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。
熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
第二章
恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
欧姆定律
恒定电场
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法 电导与接地电阻 特殊解(静电比拟)
第二章
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
恒定电场
第二章
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电 荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定 ），它与静电场有相似之处。
—焦耳定律积分形式
第二章
2.2 电源电动势与局外场强
2.2.1 电源 (Source)
恒定电场
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因静电场是恒定电场的特例
1E1n
2
1 2
E1n
1 1
2 2
1E1n
表明 一般情况下介质交界面上总有净自由电荷存在
上页 下页
第二章
恒定电场
折射定律
tan1 J1t J1n J1t tan2 J2t J2n J2t
E1 1t 1
2E2t
2
电流线的折射
分界面上电位 的衔接条件
由 E1t E2t J1n J2n
电源内总场强 E Ec Ee
J (Ec Ee )
因此，对闭合环路积分
b
a
图2.2.2 电源电动势与局外场强
E dl
l
l(Ec Ee ) dl
l Ec dl l Ee dl
b
a Ee dl
局外场 Ee 是非保守场。 0
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
2.3 基本方程•分界面衔接条件• 边值问题
上页 下体与理想介质的分界面
在理想介质中
2 0， J2 0 故 J2n J1n 0
表明 1 分界面导体一侧的电流一定与导体表面平行
。
空气中
E2n
J2n ＝ 0
2 0
0
导体中 J2n J1n 0 E1n 0
图2.3.2 导体与理想介质分界面
D2n D1n 2E2n
l1
l2
U1 U2 U 0
应用到电 路的回路
恒定电场
恒定电场的基本方程是基尔霍夫定律的场的表示。
上页 下页
第二章
恒定电场
2. 分界面上的衔接条件（Boundary Conditions)
采用与静电场类比的方式可以方便的得到恒 定电场中不同媒质分界面的衔接条件。
静电场（=0）
恒定电场（无源区）
lE dl 0
Basic Equations • Boundary Conditions • Boundary Value Problem
2.3.1 基本方程 (Basic Equations)
1. J 的散度
电荷守恒原理 J dS q
亦称电流连续性方S程
t
(由任一闭合面流出的传导电流，应等于该面内自由电荷的减少率）
E1t E2t D1n D2n
1 2
1
1
n
2
2
n
恒定电场（电源外）
E1t E2t
J1n J2n
1 2
1
1
n
2
2
n
对应物理量 E D q E J I
电流密度 J v A m2
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位面积上的电流
电流
I S J dS
（垂直）
图2.1.1 电流面密度矢量
图2.1.2 电返流回的计上算 页 下 页
第二章
恒定电场
2. 电流线密度 K
面电荷 在曲面上以速度 v 运动形成的电流。
电流线密度 K v A m
描述了某点处通过垂直于电流方向的单位宽度上的电流
第二章
恒定电场
2.2.2 电源电动势 (Source EMF)
电源电动势是电源本身的特征量，
与外电路无关。
局外场强
Ee
=
fe q
图2.2.1 恒定电流的形成
即作用于单位正电荷上的局外力
fe －局外力 （电源中将正负电荷分开的力）
局外场强的方向由电源的负极指向电源的正极
第二章
恒定电场
电源电动势
b
l Ee dl = a Ee dl L
E2 E2n
E2 E2n
表
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降，电流
明
分布在导体表面，导体不损耗能量
2）理想介质中的E垂直于导体表面。
上页 下页
第二章
恒定电场
恒定电场与静电场不同之处
① 有推动自由电荷运动的电场存在，说明E不仅存在于 介质中而且存在于导体中；
② 电流恒定说明流走的自由电子被新的自由电子补充，空
间电荷密度处于动态平衡，因而场分布不同于静电场； En
Et
+
+
U
U
-
-
静电场
恒定电场
上页 下页
第二章
恒定电场
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
+
-+
-+
-
导线端面电荷 引起的电场
导线侧面电荷 引起的电场
所有电荷引起 的电场叠加
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
导电媒质周围介质中的恒定电场
1 2
由
J1n J2n
得
1
1
n
2
2
n
思考 恒定电场中是否存在泊松方程？
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电场及
导体分界面上的面电荷分布。
解: 选用圆柱坐标系，边值问题为：
21
1
2
21 2
0
( 1 区域）
2 2
1
2
2 2 2
0
( 2 区域）
2 0 0
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
积分形式 微分形式
SJ dS 0
J 0
l E dl 0
E 0
构成方程 J E
结论： 恒定电场是无源无旋场。 返 回 上 页 下 页
第二章
恒定电场的基本方程与电路的基本定律
J dS 0
s
应用到电 路的结点
I 0
l E dl E dl E dl
1 2
1
1
n
2
2
n
上页 下页
第二章
讨论 ① 良导体与不良导体的交界面。
1 2
tan1 1
1
tan2 2
tan2
tanα1 2 1
0
α1
2 00
E1t E2t 0
恒定电场
2
α2
表
1）不良导体中电流线与良导体界面几乎垂直。
明
2）良导体可以近似认为是等位体。
3）可以用电流场模拟静电场。
电流
I l (K en ) dl
en 是垂直于 dl，且通过 dl 与 曲面相切的单位矢量。
图2.1.3 电流线密度及其通量
返回 上页 下页
第二章
工程应用
恒定电场
媒质磁化后的表面磁化电流；
同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；
高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。
图2.1.4 媒质的磁化电流
E2
4 1U 0 π(1 2 )
e
电荷面密度
D2n
D1n
0E1 0E2
4 0U 0 π(1 2 )
(1 - 2 )
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
2两.4种导场电各媒物理质量中满恒足定相电同场的与定解静问电题场，的则比解拟也相
同。Co那nt么ra，st 通of 过St对ead一y个El场ec的tri求c F解ie或ld实an验d 研El究ect，ro利sta用ti对cs
表明 2 恒定电场下导体与理想介质分界面上必有面电荷。
E1t E2t J1t / 1 0
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体
表面非等位面
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1 J1 E1 1 有限值
E1 0
1 2 0
E1t E2t 0
在恒定电场中 q 0 t
J dS 0 散度定理 JdV 0
S
V
故 J 0
恒定电场是一个无通量源场，电流线是连续的。
返回 上页 下页
第二章
2. E的旋度 所取积分路径不经过电源，则
恒定电场
E dl 0 斯托克斯定理 ( E)dS 0
l
S
得 E 0 恒定电场是无旋场。 D E 仍成立
位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电荷总量。
I dq A dt
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
2.1.2
电流密度（Current
（描述导体中每一点的电荷运动情况）
Density)
1. 电流面密度 J
电流密度的方向为正电荷的运动方向
体电荷 以速度 v 在某一体积内作匀速运动形成体电流
3. 线电流的概念 以线密度 以速度v运动形成的电流
dI v
返回 上页 下页
第二章
恒定电场
元电流段是元电荷 dq 以速度 v 运动形成的电流
νdV (体电流元) JdV
dq ν dS (面电流元） KdS
ν dl (线电流元） Idl
第二章
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm’s Law)
介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷所 产生的恒定场，与静电场的分布相同。
上页 下页
第二章
2.3.3 边值问题（Boundary Value Problem)
恒定电场
由基本方程出发
E 0 E
常数
J 0 ( E) E 0
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
E1t E2t
应量2.4关.1系比便拟可方得法到(另Co一nt个ras场t M的et解ho。d)
静电场 ( 0)
E 0 D 0
D E
2 0