数列求和公式证明

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(完整版)数列求和常见的7种方法

(完整版)数列求和常见的7种方法
解:由于 (找通项及特征)

= (分组求和)



[例16]已知数列{an}: 的值.
解:∵ (找通项及特征)
= (设制分组)
= (裂项)
∴ (分组、裂项求和)


提高练习:
1.已知数列 中, 是其前 项和,并且 ,
⑴设数列 ,求证:数列 是等比数列;
⑵设数列 ,求证:数列 是等差数列;
2.设二次方程 x - +1x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
∴ 原等式成立
答案:
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解:设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∴ =
= =
∴当 ,即n=8时,
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和: ………………………①
解:由题可知,{ }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ }的通项之积
…………..②(反序)
又因为
①+②得(反序相加)
=89
∴S=44.5
题1已知函数
(1)证明: ;
(2)求 的值.

数列的求和公式

数列的求和公式

数列的求和公式数列是数学中常见的概念,它是一系列按照特定规律排列的数字的集合。

在数学中,求解数列的和是一个重要的问题,因为它可以帮助我们计算和分析一系列相关的数值。

对于一个数列,我们常常想知道其中所有项的和是多少。

在解决这个问题时,我们可以使用数列的求和公式。

数列的求和公式可根据数列类型的不同而有所差异。

下面将介绍几种常见的数列,以及它们对应的求和公式。

一、等差等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

设等差数列的首项为a₁,公差为d,第n项为aₙ。

那么,等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算:Sn = (n / 2) * (a₁ + aₙ) = (n / 2) * (2a₁ + (n - 1)d)二、等比等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

设等比数列的首项为a₁,公比为r,第n项为aₙ。

那么,等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算:Sn = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)三、算术级数的求和公式算术级数是指数列中第一项是常数,而后面的项依次在前一项上加上相同的常数得到的数列。

设算术级数的首项为a₁,公差为d,项数为n。

那么,算术级数的前n项和Sn可以通过以下公式计算:Sn = (n / 2) * (a₁ + aₙ)四、几何级数的求和公式几何级数是指数列中第一项是常数,而后面的项依次在前一项上乘以相同的常数得到的数列。

设几何级数的首项为a₁,公比为r,项数为n。

那么,几何级数的前n项和Sn可以通过以下公式计算:Sn = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)综上所述,数列的求和公式为了更方便地计算数列各项之和,提供了更简洁的数学表达式。

通过掌握不同类型数列的求和公式,我们可以更高效地进行数学运算和推导,解决实际问题。

在实际应用中,灵活运用数列的求和公式可以节省时间,提高计算准确度。

数列的求和与通项公式推导

数列的求和与通项公式推导

数列的求和与通项公式推导在数学中,数列是一组按照一定规律排列的数的集合。

而数列的求和以及推导通项公式是数列研究中的重要内容。

本文将介绍数列的求和以及通项公式推导,并通过实例进行说明。

一、等差等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之差是一个常数,这个常数被称为公差。

我们将针对等差数列的求和与通项公式进行讨论。

1. 求和公式:设等差数列的首项为a₁,公差为d,我们要求前n项的和Sn。

我们可以观察等差数列的前n项和与首项与末项的关系:Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) + (aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁)根据等差数列的性质,我们可以得到:Sn = (a₁ + aₙ)(n/2)这就是等差数列的求和公式。

2. 通项公式推导:为了推导等差数列的通项公式,我们假设等差数列的首项为a₁,公差为d,第n项为an。

通过观察等差数列的规律,我们可以发现:aₙ = a₁ + (n-1)d二、等比等比数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之比是一个常数,这个常数被称为公比。

我们将针对等比数列的求和与通项公式进行讨论。

1. 求和公式:设等比数列的首项为a₁,公比为r,我们要求前n项的和Sn。

类似地,我们观察等比数列的前n项和与首项与末项之间的关系:Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)Sn * r = (a₁r + a₂r + ... + aₙr)通过两式相减,我们可以得到:Sn * (1 - r) = a₁(1 - rⁿ)化简后得到:Sn = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)这就是等比数列的求和公式。

2. 通项公式推导:为了推导等比数列的通项公式,我们假设等比数列的首项为a₁,公比为r,第n项为an。

通过观察等比数列的规律,我们可以发现:an = a₁ * r^(n-1)综上所述,我们介绍了等差数列和等比数列的求和以及通项公式推导。

这些公式在数列相关问题的求解中起到重要的作用。

数列求和公式总结

数列求和公式总结

数列求和公式总结数列是数学中一个重要的概念,它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

在数学问题中,我们经常需要求解数列的和,即求和。

为了简化求和过程,数学家们发现了一些数列求和公式,并总结出了一些常用的公式。

一、等差数列求和公式:等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列,常用的求和公式有以下两种:1.首项为a,公差为d的等差数列前n项和公式:Sn=n/2*[2a+(n-1)d]其中,Sn表示前n项和,a是首项,d是公差。

2.首项为a,末项为l,公差为d的等差数列求和公式:Sn=n/2*[a+l]其中,l是末项。

二、等比数列求和公式:等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列,常用的求和公式有以下两种:1.首项为a,公比为r的等比数列前n项和公式(当r不等于1时):Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中,Sn表示前n项和,a是首项,r是公比。

2.首项为a,末项为l,公比为r的等比数列求和公式(当r不等于1时):Sn=a*(1-r^(n+1))/(1-r)其中,l是末项。

三、几何数列求和公式:几何数列是指数列中相邻两项之比相等的数列,但是与等比数列不同的是,几何数列的首项可以是0。

在几何数列求和时,我们需要分两种情况讨论:r等于1和r不等于11.首项为a,公比为r的几何数列前n项和公式(当r不等于1时):Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中,Sn表示前n项和,a是首项,r是公比。

2.首项为a,末项为l,公比为r的几何数列求和公式(当r不等于1时):Sn=a*(1-r^(n+1))/(1-r)其中,l是末项。

当r等于1时,几何数列求和公式为:Sn=a*n其中,n是项数。

若首项为0,则公式可以简化为:Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中,a是首项,r是公比。

四、求解一些特殊数列的求和公式:1.自然数列求和公式:Sn=n*(n+1)/2其中,Sn表示前n项和。

2.平方数列求和公式:Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6其中,Sn表示前n项和。

数列的通项公式和求和公式如何推导

数列的通项公式和求和公式如何推导

数列的通项公式和求和公式如何推导一、数列的通项公式推导在数学中,数列是按照一定规律排列的一组数。

每个数列都有一个通项公式,它能够用来计算数列中第n项的数值。

下面我将详细介绍数列通项公式的推导过程。

1. 等差数列的通项公式推导:等差数列是指数列中相邻两项之间的差始终相等。

设等差数列的首项为a1,公差为d,第n项为an,则可以得到如下关系式:an = a1 + (n-1)d该关系式可以推导如下:首项a1加上项数减一n-1与公差d的乘积。

2. 等比数列的通项公式推导:等比数列是指数列中相邻两项之间的比例始终相等。

设等比数列的首项为a1,公比为r,第n项为an,则可以得到如下关系式:an = a1 * r^(n-1)该关系式可以推导如下:首项a1乘以公比r的n-1次幂。

3. 斐波那契数列的通项公式推导:斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。

设斐波那契数列的首项为a1,第二项为a2,第n项为an,则可以得到如下关系式:an = a(n-1) + a(n-2)该关系式表示,每一项等于其前一项与前两项之和。

二、数列的求和公式推导除了通项公式,数列还有求和公式,用来计算数列中一定范围内的数值之和。

下面我将详细介绍数列求和公式的推导过程。

1. 等差数列的求和公式推导:设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则可以得到如下求和公式:Sn = (n/2)(a1 + an)该公式可以推导如下:首项a1与末项an的和乘以项数n再除以2。

2. 等比数列的求和公式推导:设等比数列的首项为a1,公比为r,前n项和为Sn,则可以得到如下求和公式:Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)该公式可以推导如下:根据等比数列前n项和与首项、公比的关系推导出来。

3. 斐波那契数列的求和公式推导:由于斐波那契数列没有固定的求和公式,所以求解斐波那契数列的前n项和时通常需要运用其他方法,如递推等。

通过以上推导过程,我们可以得到数列的通项公式和求和公式。

数列求和公式七个方法

数列求和公式七个方法

数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法,包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。

一、等差数列求和:等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差,n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算:Sn = (n/2)(a1 + an)其中,n为项数,a1为首项,an为末项,Sn为和。

二、等比数列求和:等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1),其中a1为首项,q为公比,n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算:Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中,n为项数,a1为首项,q为公比,Sn为和。

三、等差数列二次项求和:对于等差数列的二次项和,可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。

Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中,n为项数,a1为首项,d为公差,Sn为和。

四、递归数列求和:递归数列是一种特殊的数列,其中每一项都是前一项的函数。

递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。

例如,对于斐波那契数列:F(n)=F(n-1)+F(n-2),其中F(1)=1,F(2)=1可以编写一个递归函数,将前两个项相加,并递归调用函数来求和。

五、斐波那契数列求和:斐波那契数列是一种特殊的递归数列,其中前两个项为1,从第三项开始每一项都是前两项的和。

斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现,累加每一项的值。

六、等差数列部分项求和:对于等差数列的部分项求和,可以通过求解两个和的差来实现。

设Sn为从第m项到第n项的和,Sm为从第1项到第m-1项的和,Sn 可以通过以下公式计算:Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中,m和n为项数,a1为首项,an为末项。

七、正弦数列求和:正弦数列是一种特殊的数列,其中每一项的值由正弦函数确定。

数列求和公式的几种方法

数列求和公式的几种方法

数列求和公式的几种方法数列求和公式是数学中十分重要的内容之一,它是指由一系列的数按照一定规律排列而成的序列的和的计算方法。

在数列求和公式中,常见的有等差数列求和公式和等比数列求和公式等。

下面将介绍几种数列求和公式的计算方法。

1.等差数列求和公式:等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差值都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁,公差为d,第n项为aₙ,则等差数列的求和公式为:Sn=(n/2)[2a₁+(n-1)d]其中n表示数列的项数。

例如,我们求等差数列2,5,8,11,14的和。

首项a₁=2,公差d=5-2=3,项数n=5代入公式Sn=(n/2)[2a₁+(n-1)d]可得:S₅=(5/2)[2*2+(5-1)*3]=(5/2)(4+12)=(5/2)*16=40所以,等差数列2,5,8,11,14的和为40。

2.等比数列求和公式:等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁,公比为q,第n项为aₙ,则等比数列的求和公式为:Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)其中n表示数列的项数。

例如,我们求等比数列3,6,12,24,48的和。

首项a₁=3,公比q=6/3=2,项数n=5代入公式Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)可得:S₅=3(1-2⁵)/(1-2)=3(1-32)/(-1)=3(-31)/(-1)=93所以,等比数列3,6,12,24,48的和为933.平方和公式:平方和公式是指求1²+2²+3²+...+n²的和的公式。

平方和公式为:Sn=n(n+1)(2n+1)/6其中n表示数列的项数。

例如,我们求和1²+2²+3²+4²+5²的和。

项数n=5代入平方和公式Sn=n(n+1)(2n+1)/6可得:S₅=5(5+1)(2*5+1)/6=5(6)(11)/6=11*5=55所以,1²+2²+3²+4²+5²的和为554.等差数列差分求和法:等差数列差分求和法是一种利用等差数列的性质进行求和的方法。

高三数学数列的求和

高三数学数列的求和
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ; 6
13 23 33 n3 [ n(n 1) ]2 2
二、倒序求和法
倒序求和法在教材中是推导等差数列前n 项和的方法
例1.设f
x
4x 4x 2
,求f
1 2008
f
例3:求Sn

1 1 2

1 23

n
1 (n
1)
练习
.求和
1 Sn=2×5
1 +5×8
1 +8×11
1 + …+(3n-1) (3n+2)
常见的拆项公式
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k ) k n n k
3. 1
11
1
(

)
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4.
1
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
三、错位相消法
“错位相减法”求和,常应用于型如
{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数 列, {bn} 为等比数列.
例2.求数列 x, 2x2,3x3, … nxn , …
的前n项和
练习: 求和Sn

1 2

2 4

3 8

n 2n
.
Sn

2

2n 2n
四、裂项相消法
“裂项相消法”,此法常用于形如 {1/f(n)g(n)}的数列求和,其中f(n),g(n) 是关于n(n∈N)的一次函数。把数列中的每 一项都拆成两项或几项的差,从而产生一些 可以相消的项,最后剩下有限的几项
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1)1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边
数学归纳法可以证
也可以如下做比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
2)1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)=?
设n为奇数,
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)/3
设n为偶数,
请你自己证明一下!
所以,
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
设an=n×(n+1)=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1)
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
(n+1)*n*(n+1)=(n^2-1)*n=n^3-n
数列求和的几种方法
1. 公式法:
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式:
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2.错位相减法
适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如:an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加得到2Sn 即Sn= (a1+an)n/2
4.分组法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如:an=2^n+n-1
5.裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)
则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)=1-1/(n+1)=n/(n+1)
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

注意:余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

例:求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) =
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明:当n=1时,有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5 假设命题在n=k时成立,于是:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) =
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有:1×2×3×4 + 2×3×4×5 +
3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) =
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) =
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证
7.通项化归
先将通项公式进行化简,再进行求和。

如:求数列1,1+2,1+2+3,
1+2+3+4,……的前n项和。

此时先将an求出,再利用分组等方法求和。

8.并项求和:
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n (并项)
求出奇数项和偶数项的和,再相减。

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