高职应用数学第六节 定积分在几何方面的应用
c
b
SS 1S 2af(x)d xcf(x)d x
y f(x)
(图20204/8/3.6.3)
S1
oa .
c
S2
bx
例4.6.1 求两条抛物线 y2x,yx2所围成的图 形的面积.
解 （1）先画出简图，求出曲线交点以确定积
y2 x
分区间，解方程组
y
x2
得交点 (0,0)及(1,1)；
（2）取积分变量，写出面积微元
平面图形的面积。
解 如图
4.6.4，由
y
x
y1
x 1
得
y
; 1
1
A(1
0
x)dx(x2 3x3 2)|1 01 3
y
y x
1
x
o
1
2020/8/3
例4.6.3 求证半径为 r 的圆的面积为
.
S R2
证明 圆的方程为
y
它在第一象限的解析式为
o
x
(图4.6.6) 所以在第一象限的面积(如图)是：
oa
bx
f (x)
2020/8/3
(3)若曲线 y f (x既) 有 x轴上方部分又有下方部分
时则应分开区别对待.即曲线当 f (x) 时0 ,面积直
接用定积分直接用定积分
b
f ( x)dx 表示；当 f (x) 0
a
时,面积应取定积分的反号
b
a f ( x)dx.
如(图4.6.3)中阴影部分面积
2020/8/3
绕 x 轴和 y 轴旋转而得的旋转体的体积公式分别是
Vx
b[f(x)]2dx,
a
VyBiblioteka d[g(y)]2dyc
按以上的公式，求旋转体的体积可分三步： (1) 确定平面图形（同时定区间）,作出草图； (2) 写出体积元素
(3) 代入公式,给出旋转体体积的表示式并计算.
注: 与平面图形面积算法类似，应尽可能作出准 确的图形以帮助直观分析.
(d x)2 (d y)21 (y/)2d x
从而得弧长元 ds 1(y/)2dx
将弧长元在区间 [ a , b ]上作定积分，便得到曲线 f ( x )
在区间 [ a , b ] 上的弧长
b
2020/8/3
s 1(y/ )2dx
a
例4.6.6 求曲线 y x 3 , 由 x 0 到 x 3一段的
Vy01[1( y)2]dy
(y(1图y42).61 .10)
2020/8/3
2 02
o
x
x=1
例4.6.5求由椭圆
绕 轴旋转所成椭球的体积.
解 如(图4.6.11)，该椭圆在 轴上方的
半椭圆方程为
所以,该椭圆绕 轴旋转得到
o
椭球体积为
(图4.6.11)
ba22
a2x13x3aa
4ab2
3
特殊的，当
时,椭球就变成球,此时球的体积为
思考：该椭圆绕 轴旋转所成椭球的体积
与以上的
2020/8/3
相等？
是否
三. 平面曲线的弧长
曲线 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上任一小区间 [x,xdx] 的一段弧的长度，可以用该曲线在点 (x, f (x)) 处切线 上相应的一小段的长度来近似代替, 而切线上这相应的 小段长度为
2020/8/3
例4.6.4 求由抛物线 y x 2 ，直线 y 0 和 x 1
围成的平面图形绕 x 轴及 y 轴旋转一周所得旋转体
的体积.
解如图4.6.10绕 x 轴旋转成旋转体的体积
V
x
为: Vx
1(x2)2dx
0
1x5 5
1 0
5
y y x2
绕 y 轴旋转成旋转体的体积 V y 为: 1
2020/8/3
所以，圆的面积
.
注:用例4.6.3相同的方法可以求得椭圆 的面积,留给读者完成.
2020/8/3
二.利用定积分求立体图形的体积
b
当 A ( x ) 表示面积时，定积分 A ( x ) d x 表示
a
立体图形的体积.
y
y f (x)
o
x x dx
x
定义4.6.1一个平面图形绕一定直线旋转一周所得到 的立体图形叫作旋转体.
弧长.
解 如图4.6.12, y 3 x , 2
3
s
1 (3
x )2dx
0
2
y
dy
o a x x dx b x
1 3 4 9xdx
22(049x)32 3 1(3132 8)
54
27
0
( 图4.6.12)
2020/8/3
第六节.定积分在几何方面的应用
一. 用定积分表示平面图形面积
(1)当 f (x)0时，曲边梯形的面积
b
可直接用定积分表示 A f ( x )dx
a
y
f (x)
2020/8/3
oa
bx
(2)当 f (x)0时，曲边梯形的面积
与定积分反号，面积可用定积分的绝对值表示.
b
A f (x) dx
a
y
dA( xx2)dx；
2020/8/3
（3）把面积表示成定积分.
1
A(
0
xx2)dx (2 3x3 21 3x3)|1 01 3
y
x y2
dA
A (1,1) y x2
o
x x△x
x
思考：如果以y为积分变量，该怎么表示和计算面积.？
2020/8/3
例4.6.2求由曲线 y x， y1和 x0所围成
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
定积分的几何应用
的面积为
1
A
1
(2
1
x2
y
x2 )dx
2
2x
2 3
x3
0
8. 3
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
(1, 1)
-1
O x x+dx 1 x
例2 求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 y = x – 4 所围图
形的面积.
解
解方程组
y2
2x,
体的体积差,
y y = f (x)
a x x+dx b x
即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2x f (x)dx - f (x)(dx)2. 上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小, 因此体 积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为
所围成的曲边梯形的面积为
b
y
A a f (x)dx.
y = f (x)
其中被积表达式 f ( x ) dx 是
直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的
dA f (x)
小矩形面积, 见图5-7.
O
a x x + dx b x
一般地, 平面图形以连续曲线 y = f ( x )与 y = g ( x ) 为上下曲边的曲边形的面积元素为dA = [ f (x) – g (x)]dx. 这样, 由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 所围图形 ( 如图5 – 8 ) 的面积为
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面 半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积 元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
o
a
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
(0 t 2 )
y b
o xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
一、平面图形的面积
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
2
(1
1 y 2 ) 2d y 1 (2 y)2 d y 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 极坐标方程
2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( ) 2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
一、平面图形的面积
例 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A 2 1 (a )2 d
02
a2 2
13
3
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
定积分在几何上的应用
2
a
y x2 y 2 2 1 2 b a b
4ab sin tdt ab.
2 0
2019/4/7 第六章 定积分的应用
2
o
图6-2-5
a x
8
2.极坐标情形
设由曲线 ( ) 及射线
d
()
d 、 围成一曲边扇 ( ) 形，求其面积．这里， 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ． 1 o 面积元素 dA [ ( )]2 d x 2 图6-2-6
3
a
o
a x
旋转体的体积
V a x a
2 3
图6-2-12
2019/4/7
第六章 定积分的应用
32 3 dx a . 105
16
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
第六章 定积分的应用
1
b
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解
两曲线的交点
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1]
面积元素 dA ( x x 2 )dx
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
R 2 2
1 2 R x dx R h. 2
23
第六章 定积分的应用
三、平面曲线的弧长
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M2
M1
A M0
M n1
定积分在几何中的应用 课件
类型一 求不分割型图形的面积
例1 试求曲线y＝x2－2x＋3与y＝x＋3所围成的图形的面积. 解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积. 由yy＝＝xx＋2－32，x＋3， 解得 x1＝0，x2＝3. 从而所求图形的面积为：S＝ʃ30[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx ＝ʃ30(－x2＋3x)dx＝ －13x3＋32x230＝92.
类型二 分割型图形面积的求解 例 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积.
类型三 定积分的综合应用
例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围 成的面积为 1 ，试求：
12 切点A的坐标以及在切点A处的切线方程.
定积分在几何中的应用
知识点 定积分在几何中的应用
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来 表示面积，然后计算定积分即可. 1.当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积S＝_ʃba_f_(x_)_d_x_.
2.当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积Sபைடு நூலகம்－__ʃ_baf_(_x)_d_x_.
答案
3.当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)， y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______ʃ_ba[_f_(x_)_－__g_(.x()如]d图x )
定积分在几何中的应用 课件
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
定积分在几何中的应用-文档资料
直线与x轴交点为(4,0)
SS S x [ 2 x d x (x 4 ) d x ] 1 2 2xd
0 4 4 8 8
x d x 4 ) d x ( x d x x d x ) ( x 4 ) d x 2 (x 2 2
0 4 4
0 4
4
确 定的 f () x 原 函 数 F () x
1、平面图形的面积
y
y f( x )
y
y f ( x ) 2
y f ( x ) 1
o
a
b x
o
Байду номын сангаас
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A f(x ) dx a
b
A [ f( x ) f ( x )] dx 1 a 2
b
1、平面图形的面积
2 y x 4 及其在点 ( 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2． 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .
x d x x d x
2 0 0
1
1
D
2 y xx
A
1
2
例 2 计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
解 两曲线的交点
( 0 ,0 ) ,( 8 ,4 ) .
y 2x
S2
S1
y x 4
y 2x y x4
3
y x2
A 6 x x) d x 1 (x
3 2 2
0
3 yx 6 x
A x 6) xd x 2 (x
2 3 0
3
于是所求面积