数学物理方法5.3 留数在定积分计算上的应用
应用留数定理计算实变函数定积分
应用留数定理计算实变函数定积分留数定理是复变函数中的一个重要定理，用于计算围道中的奇点处的留数（residue），并应用于计算复变函数的积分。
但是，在实变函数中，我们也可以将留数定理应用于特定的情况下，来计算实变函数的定积分。
留数定理的基本思想是将实变函数扩展为复变函数，然后计算复变函数在久里斯曼圆中的奇点处的留数，最后应用留数定理将奇点的贡献转化为整个久里斯曼圆的贡献，从而得到实变函数的定积分。
下面我们将介绍如何应用留数定理计算实变函数的定积分。
首先，我们考虑一个一元实变函数f(x)，我们希望计算其在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx。
为了将实变函数扩展为复变函数，我们可以将f(x)视为复变函数在实轴上的取值，即f(z) = f(x)，其中z = x+iy为复平面上的复数，x为实数，y为虚数。
接下来，我们将实变函数扩展为复变函数的方法是引入一个收敛的复函数F(z)，并构造一个包含[x_1,x_2]区间的有限大小圆C的闭合曲线Γ，该圆C不包含[x_1,x_2]区间上的任何奇点。
然后，我们计算复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数。
根据留数定理，F(z)在C中的奇点处的留数之和等于C中的奇点数目与围道曲线Γ绕过奇点的次数的乘积。
由于圆C的半径是有限的，其包含的奇点数量是有限的。
因此，F(z)在C中的奇点处的留数之和是有限的。
然后，我们利用留数定理的一个推论，即围道曲线Γ上的积分等于复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数之和。
具体而言，我们有∫Γ F(z) dz = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。
最后，我们将上述等式中的围道曲线Γ替换为两条直线的组合，一条是[x_1,x_2]区间上的水平线段，另一条是连接x_1和x_2的垂直线段。
这样，我们得到了实变函数f(x)在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。
留数定理在定积分上的应用
《留数定理在定积分上的应用》
定积分中的留数应用最广泛了,而且应该知道它是来自于上一章留数的概念。
在求被积函数的原函数的时候(即上一章说到的求极限)要留数。
当然现在已经有了不少数学软件,直接求被积函数的原函数也很方便。
先根据题意得出积分区间(比如∫x= lnx),对x 求导并注意lny= lnx (记住这点即可推出这个结论),再根据第二步给出的lnx 的值和定义,可以得到∫(x\/ y) dx= lnx* ln (x\/ y)然后看y=- x 的部分,可以将其化为lnx 的平方和x 的乘积。
然后就等待积分,可以用定积分求解器计算了。
第5章 留数
则有Res[f (z),∞]=-C-1
注意
z=∞既便是f (z)的可去奇点，f (z)
在z=∞的留数也未必是0，这是同有限点的留
数不一致的地方。
方法2
1 1 Res f ( z ), Res f ( ) 2 ,0 z z
1 f ( z)
3.如果z0是f (z)的m级零点，则z0是 的m级零点。
的m
1 f ( z)
级极点。如果z0是f (z)的m级极点，则z0是
4.如果z0是f (z)的m级极点，则f (z)是可表示为
1 1 ( z) m f ( z ) ( z z0 )
※
Ψ(z)在z0解析，且Ψ(z0)≠0；反之，若f (z)可用(※)表 示，则z0是f (z)的m级极点。 5.设 f ( z ) P(z)的n级极点。
目录
第五章 留数
§1 孤立奇点
§2 留
数
§3 留数在定积分计算上的应用
第五章 留数
§1 孤立奇点
定义5.1.1 若函数f (z)在点z0处不解析，
但在点z0的某个空心邻域0 z z0 R(0 R )
内解析，则称点z0为f (z)的孤立奇点。 注意 f (z)在其孤立奇点的空心邻域内
那么dz=ieiθdθ,
2 1 i z 1 sin (e e i ) 2i 2iz 2 1 i z 1 cos (e e i ) 2 2z
从而，所设积分化为沿正向单化周围的积
分：
z 2 1 z 2 1 dz R , 2z 2iz iz z 1
(2)f (z)在z0点的某空心邻域 0 z z0 R 内能 表成
留数的应用
2. 形如 R( x)d x的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理 函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
不失一般性, 设 z n a1 z n 1 an R( z ) m ,m n 2 m 1 z b1 z bm
y
z3 CR
z2
为一已约分式. O R x R 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半 径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的 在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.
此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.
y CR z2
R
O
z3 z1
可以证明
R x
C Rz e
R
iaz
dz 0.
R
因此
也可写为
-
2 π i Res[ R( z )eiaz , zk ] R x e dx
iax
2 π i Res[ R ( z )e aiz , zk ] A iB
例3
计算
1 2 5 3 sin
2 0
2
0
d
解： q 令 2
2 令z e i
iq
2
5 3 sinq
1
2
dq
z z 1 (3z i) 2 ( z 3i) 2 dz
i 被积函数在 z 1 内只有一个二阶极点：z 3
1 2 dq 1 I 2 0 1 cos q 2
第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
高考数学冲刺留数定理在定积分计算中的应用
高考数学冲刺留数定理在定积分计算中的应用高考数学冲刺：留数定理在定积分计算中的应用在高考数学的冲刺阶段，掌握一些高级的数学方法和定理对于提高解题能力和应对复杂问题至关重要。
留数定理作为复变函数中的重要定理，在定积分计算中有着独特的应用，能够帮助我们巧妙地解决一些看似棘手的定积分问题。
首先，让我们来了解一下什么是留数定理。
留数定理是指在复平面上，对于某个解析函数在孤立奇点处的留数与沿着闭合曲线的积分之间存在着一种特定的关系。
简单来说，如果我们能找到函数的奇点，并计算出这些奇点处的留数，就可以通过留数定理来计算相关的积分。
那么，留数定理为什么能用于定积分的计算呢？这是因为一些在实轴上的定积分，可以通过巧妙的变量代换，将其转化为复平面上沿着某个闭合曲线的积分。
然后，利用留数定理，计算出这个复积分的值，从而得到原实轴上定积分的值。
接下来，我们通过一个具体的例子来看看留数定理是如何应用的。
考虑定积分，这个积分在常规的微积分方法中计算起来会比较困难。
我们令，则，。
当从变化到时，正好沿着单位圆的上半部分逆时针转了一圈。
此时，原积分就可以转化为复积分。
然后，我们需要找到被积函数在复平面上的奇点。
对于，分母为零的点就是奇点，即，解得。
因为我们只考虑单位圆的上半部分，所以只有是在我们所考虑的区域内的奇点。
接下来计算奇点处的留数。
留数的计算公式为：，其中是函数在奇点处的洛朗级数展开式中的系数。
对进行洛朗级数展开：。
所以，从而。
最后，根据留数定理，。
通过这个例子，我们可以看到留数定理在计算定积分时的强大作用。
但在实际应用中，还需要注意一些问题。
比如，在进行变量代换时，要确保代换的合理性和正确性，保证积分路径的连续性和封闭性。
同时，对于奇点的判断和留数的计算要准确无误，否则会导致整个计算结果的错误。
另外，留数定理并不是适用于所有的定积分计算，它通常适用于一些具有特定形式的积分，比如含有三角函数、指数函数等的积分。
在遇到具体问题时，需要先观察积分的形式，判断是否可以使用留数定理来求解。
留数的应用—用留数定理计算实积分
cos x dx a b sin x
2 2
2
a b sin x a b dx 2 2 0 b b 2 2 2 a b 2 a I 2 b b
2
2
0
1 dx a b sin x
I
2
0
1 dx a b sin x
1
| z| 1
2 dz 2 | z| 1 bz 2iaz b
例5 计算积分I 0
dx . 2 2 (1 x )
1 . 解 作辅助复函数f ( z ) 2 2 (1 z )
它在上半平面仅有一个二阶极点z i, 且
1 Re s( f , i) 2 ( i z )
Cr : {z reit ;0 t }.
包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.
思想与方法： 把定积分化为一个复变函数沿 某条封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
例1 计算积分 I 0
ix
2
2
dx 3 cos x
2
解 ： z 沿正向圆周 z 1 绕行一周， 当 x 从0 到 2 时， 因此，
z z
z
z3
2
1
2
1 lim 0 z z
计算 f z 在上半平面奇点处的留数
z 2 Re s 2 2 f z ,i z i z i z i
2
z i
2z 2z2 2 3 z i z i
2
i
1 i z 1 i cos e e 2 2z
留数——精选推荐
留数5. 留数⽬录⾸先说明⼀下为什么会有留数？对于图中的这样⼀个积分路径，由于内部区域不完全解析。
所以根据柯西积分定理，我们可以将其转化为下图的积分路径：当通往奇点的两条路线⽆限接近时，就可以得到下图：即对于⼤回路的积分等于对所有奇点的路径的积分之和的相反数。
即：∮L=∮L−1+L−2+L−3所以问题变成了如何求对于奇点的路径的积分∮L f(z)dz由上⼀章的洛朗级数知，洛朗级数在幂次为-1项的系数为c−1=12πi∮Cf(ζ)(ζ−z0)−1+1dζ=12πi∮C f(ζ)dζ由于这个系数很有⽤，所以专门称复变函数在某⼀点的洛朗级数展开式的幂次为-1的项的系数为留数。
记作Res[f(z),z0]所以就可以提前给出留数定理，对于正向闭合路径C，如果其所围区域内除了有限个孤⽴奇点z1,z2,⋯,z k 外处处解析，则有∮C f(z)dz=2πin∑k=1Res[f(z),z k]所以留数定理本质上是对于柯西积分定理的应⽤。
5.1 孤⽴奇点5.1.1 解析函数的孤⽴奇点及分类若函数f(z)在z0的邻域内除z0外处处解析，则称z0为f(z)的⼀个孤⽴奇点。
根据洛朗级数的定理，我们可以将f(z)展开成洛朗级数f(z)=⋯+a−m(z−z0)−m+⋯+a0+a1(z−z0)+⋯+a n(z−z0)n,z∈D如果上式中的负幂项系数均为零，若记剩下的幂级数的和函数为F(z)，则F(z)是在z0处解析的函数。
且当z∈D时，F(z)=f(z)，当z=z0时，F(z)=a0。
于是令f(z0)=a0，所以f(z)在z0处就是解析的了，所以点z0被称为可去奇点。
如果上式只有有限个(z−z0)的负幂项的系数不为零，那么孤⽴奇点z0称为函数f(z)的极点。
如果负幂项的最⾼次幂为(z−z0)−m，则称z0为函数f(z)的m阶极点。
如果(z−z0)的负幂项系数有⽆穷多个不为零，那么孤⽴奇点z0称之为f(z)的本性奇点。
5.1.2 解析函数在有限孤⽴奇点的性质定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的可去奇点的充要条件为：存在着有限极限lim z→zf(z).定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的极点的充要条件为：lim z→zf(z)=∞.定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的本性奇点的充要条件为：不存在有限或⽆穷的极限lim z →z 0f (z ).如e 1z在z=0处为本性奇点，因为其展开成洛朗级数后有⽆穷多个负幂项不为05.1.3 函数的零点与极点的关系设函数f(z)在z 0的邻域N (z 0,δ)={z :|z −z 0|<δ}内解析，并且f (z 0)=0，则点z 0称为f(z)的⼀个零点。