运筹学1
运筹学(一)
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
a m 1 x1
a
m
2
x2
amnxn (,)bm
x1, x2 , , xn 0
n : 变 量 个 数 ; m:约 束 行 数 ;
n:变量个数 m：约束个数 cj:价值系数 bi:资源拥有量 aij :工艺系数
n m :线性规划问题的规模
c j : 价 值 系 数 ; b j : 右 端 项 ; aij : 技 术 系 数
2x1 x2 x3 x3 x4 9
st.34xx11
x2 2x3 2x3 x5 2x2 3x3 3x3 6
4
x1, x2, x3, x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
x2 2x2
2x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无约束
解： z令 z,x1x1,x3x3 x3 ,其x中 3 ， x3 0， 同时引入x4松 和弛 剩变 余 x5,标 量 变准 量形式
m z x a 1 2 x 2 x 3 x 3 3 x 3 0 x 4 0 x 5
1940年，英国军事部门成立了第一个由一些数学家、物理学家 和工程专家等组成的OR小组，负责研究一些武器有效使用的问题。
1942年，美国也成立了由17人组成的OR小组，研究反潜艇策 略等问题。
（3）二战后：推广与发展
战时从事运筹学研究的许多专家转到了经济部门、民用企业、大 学或研究所，继续从事决策的数量方法的研究，运筹学作为一门学 科逐步形成并得以迅速发展。运筹学发展到今天，已成为分支学科 众多的一个繁荣昌盛的大家族。随着电子计算机的发展和使用，运 筹学处理复杂性问题的能力大大加强，成为解决实际问题的有力工 具，广泛地应用于企业管理、交通运输、公共服务等领域。
运筹学(1)
一、绪论§1 运筹学的简史运筹学作为科学名称出现于20世纪30年代末。
英、美对付德国空袭，采用雷达，技术上可行，实际运用不好用。
如何合理运用雷达？“运用研究”（Operational Research）,我国1956年用“运用学”名词，1957年正式定名为运筹学。
运筹学小组在英、美军队中成立，研究：护航舰队保护商船队的编队问题、当船队遭受德国潜艇攻击时如何使船队损失最小问题、反潜深水炸弹的合理爆炸深度（德国潜艇被摧毁数增到400%）、船只在受敌机攻击时的逃避方法（大船急转向、小船缓转向，中弹数由47%降到29%）。
运筹学组织在英、美军队（RAND）中成立，研究：战略性问题、未来武器系统的设计和合理运用方法、美国空军各种轰炸机系统的评价、未来武器系统和未来战争战略、苏联军事能力及未来预报、苏联政治局计划的行动原则和未来战争的战略、到底发展哪种洲际导弹（50年代）、战略力量的构成和数量（60年代）。
运筹学在工业、农业、经济、社会问题等领域有应用。
运筹数学：数学规划（线性规划（丹捷格（G.B.Dantzig）1947，单纯形法；康托洛维奇1939解乘数法，1960《最佳资源利用的经济计算》，诺贝尔奖；列昂节夫1932投入产出模型；冯.诺意曼）、非线性规划、整数规划、目标规则、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）(丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917提出一些著名公式)、存贮论、对策论（冯.诺意曼和摩根斯坦，1944《对策论与经济行为》）、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
运筹学领域的诺贝尔奖得主：阿罗、萨谬尔逊、西蒙（经济学家）、多夫曼、胡尔威茨、勃拉凯特（Blackett,美，物理学家）。
运筹学会的建立：英国（1948年）、美国（1952年）、法国（1956年）、日本（1957年）、印度（1957年）、中国（1980年），38个国家和地区。
国际运筹学联合会（IFORS）的成立：1959年，英、美、法发起成立，中国1982年加入。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
运筹学 第一讲
标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
（二）线性规划问题一般形式
max(min) z=c1x1+c2x2+…+cnxn
（三） 线性规划模型的隐含假设： 1、比例性：决策变量在目标函数及约束条件中严格按比 例变化，不存在实际经济活动中的边际效用递减效应。
2、可加性：决策变量独立，相互之间不发生关联，且不
• 运筹学（Operations Research）是用数学方法研究各种系统的最优化问
题，运筹学强调发挥现有系统的效能，应用数学模型求得合理利用各种资
源的最佳方案，为决策者提供科学决策的依据。 • 运筹学的内容有数学规划、运输问题、图与网络分析、排队论、存储论、
决策论和对策论等，其中数学规划又包括线性规划，整数规划，非线性规
术求得系统运营的最优解。
４、运筹学的研究动机是为决策者提供科学决策的依据。 运筹学在工业，农业，商业，物流，经济计划，人力资源，军事等行业都有着非
常广泛的应用。有人曾对世界上500家著名的企业集团或跨国公司进行过调查，发现
其中95%曾使用过线性规划，75%使用过运输模型，90%使用过网络计划技术，90%使用 过存储模型，43%使用过动态规划。 由此可见运筹学一门应用性很强的学科。特别是随着计算机技术的不断发展，计 算机成为运筹学最强有力的运算工具，运筹学越来越显示出其广泛的使用价值。
0 4KG/件
8台时
16KG 12KG
该厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品 Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产获利最多？
决策变量 价值系数 技术系数
x1
2 1 4 0
x2
3 2 0 4
资源系数 8 16 12
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班级姓名学号
一、选择题（每题1分，共8分）
1、线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（）上找到
A．内点B．外点
C．顶点D．几何点
2、下列哪一种方法是运输问题表上作业法中求初始基本可行解的方法（）A．西北角法B．差值法
C．闭回路法D．位势法
3、满足线性规划问题全部约束条件的解称为（）
A．最优解B．基本可行解
C．无界解D．多重解
4、下述选项中不属于订货费用的支出是( )
A.采购人员的工资
B.采购存货台套或存货单元时发生的运输费用
C.向驻在外地的采购机构发电报、发传真采购单的费用
D.采购机构向供应方付款及结账的费用
5、从教材列举的实例中可以归纳出求最短路线问题应从( )开始推算。
A.终点
B.起点
C.中间点
D.终点和起点
6、只有一部分变量限制为整数的线性规划称为（）
A．混合整数规划B．局部整数规划
C．部分整数规划D．0—1规划正确答案：
7、线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是（）
A．正数B．非负数
C．无约束D．非零的
8、化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（）
A．松弛变量B．多余变量
C．自由变量D．非正变量
二、名词解释（每题3分，共9分）
1、灵敏度分析
2、连通图
3、可行域
三、简答题（共12分）
某公司受委托，准备把120万元投资基金A和B，其中基金A 的单位投资额为50元，年回报率为10%，基金B的单位投资额为100元，年回报率为4%，委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上投资风险最少，据测定，单位基金A的投资风险指数为8，单位基金B的投资风险指数为3，风险指数越大表明投资风险越大，委托人要求至少在基金B中的投资额不少于30万。
问：为了使总的投资风险指数最小，该公司应该在基金A和B中各投资多少？这时每年的回报金额多少？
现设x1为购买基金A的数量，x2为购买基金B的数量，可以建立下面的线性规划模型：
Min f =8 x1+3 x2
约束条件： 5 0x1+100 x2≤1200000
5 x1+4 x2≥60000
100 x2≥300000
x1，x2≥0
使用“管理运筹学软件”求的计算机解如下图所示：
请据图回答下列问题：
（1）对图中约束1的对偶价格的含义给以解释。
（2）图中约束3的松弛/剩余变量700000的含义是什么？
（3）请对图中目标函数中变量x1系数范围上、下限给以具体说明，并阐述如何使用这一信息。
（4）当每单位基金A的风险指数从8降为6，而每单位基金B 的风险指数从3上升为5时，其最优解是否发生变化，为什
么？
四、计算题（共71分）
1、某工厂生产A、B两种产品，已知生产A每公斤要用煤6吨、电4度、劳动
力3个；生产B每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
又知每公斤A、B 的利润分别为7万元和12万元。
现在该工厂只有煤360吨、电200度、劳动力300个。
问在这种情况下，各生产A、B多少公斤，才能获最大利润，请建立模型。
（10分）
2、根据所给的表和一组解判断是否最优解，若不是，请求出最优解（10分）。
（x13, x14, x21, x22, x32, x34）=（5，2，3，1，5，4）
3、如图，每个节点代表校园的一幢建筑，线上的数字为两节点间的距离（单位：
百米）。
为建校园网，需要铺设电缆将各建筑物连接起来。
问：该校应如何挖地下管道，才能使总长度最短，此时总长度为多少？（10分）
4、用标号法求由Vs 到Vt的最大流。
（10分）
5、设有某设备需进行一次大修，其各项活动的明细表如下（11分）
（1）试编绘该设备大修理的网络图；
（2）在编绘的网络图上标出各工序的有关时间参数，并用双箭头标示出关键路线。
（3）如果缩短活动E的工期，问是否会影响整个网络的工期?请说明理由。
6、某出版社要出版一本工具书，估计其每年的需求量为常量，每年需求18000套，每套的成本为150元，每年的存储费用为成本的18%，其每次生产准备费为1600元，印刷该书的设备生产率为每年3000套，假设该出版社每年365个工作日，要组织一次生产的准备时间为10天，请用不允许缺货的经济生产批量模型，求出（10分）：
a)最优经济生产批量；
b)每年组织生产次数(只需算出理论数值)；
c)最大存储量；
d)再订货点。
7、某科研项目组由三个小组用不同的手段分别研究，他们失败的概率分别是
0.40，0.60，0.80，为了减少三个小组都失败的可能性，先决定给三个小组增派两名高级科学家，到各小组后，各小组科研项目失败概率如下表：
问如何分派科学家才能使三个小组都失败的概率最小?
现对其求解如下,请你填充下面表格空格处,并指出最优解（10分）. 解: 用逆序法,设 阶段:每个小组为一个阶段 决策变量Xn:分配给第n 小组的科学家数目.
状态变量Sn:在阶段n 时可分配于阶段n,n-1,…1的高级科学家人数.
计算:当n=3
时
当n=2时
当n=1时。