[经济学]第四章债务偿还

23
例4.1.12 某人从银行贷款20000元，本金 部分按20年期等额年金形式偿还，每次还 本金的同时，偿还贷款的当期利息，年利
率为3%。10年后，银行将这种收款权卖给
另一家公司，卖出价格为P，使得买入公司
在前5年可获得5%的年收益，而后5年可获
得4%的年收益。计算P。
24
例4.1.13 甲年初从乙银行贷款10000元， 分10年偿还，年利率为10%，每年末的还 款额是前一年的1.2倍。计算前4年各期偿 还款中的本金部分、利息部分和贷款余额。
还款中的本金
贷款余额
v
n k 1
n k 1
an k 1 v
an k
11
可见，
表中的贷款余额是通过未来法计算而得的；
第k次偿还款中利息部分 I k 1 vnk 1 ，本金部 nk 1 分P ，本金部分成等比级数递增； v k 若每期还款额为P，则表中各列同比例增长为P 倍；
28
我们先考虑每次存入基金相同的款项D。假
设贷款额为1，年利率为i，贷款期限为n年，
按照偿债基金法偿还贷款，则每期支付利息i，
另外存入基金D，假设偿债基金的存款利率
也为i，则有
Ds 1 ，即 ni
D 1/ sn i 借款人
每期末支付的款项为
而根据分期偿还法，每期的偿还款为 1/ an i
例4.1.5 甲从乙处借款1000元，每季度末还 款一次，共6年，每年计息4次的年名义利 率为8%。第2年末，乙将这一收回债务的 权利转卖给丙，丙的收益率为每年计息4次 的年名义利率10%，计算乙、丙所得的利 息收入。
14
例4.1.6 某人投资一笔款项，以获得n年的 年末付年金，每次付1，预定年利率为i。 第1年，这笔投资实际收益率为i，年末获 得额度为1的付款。而在第2年，利率增至j， j>i，若：（1）第3年开始直到第n年，年 利率又降至i；（2）直至n年末，利率保持 j，计算变化后这两种情形下的年付款额。
35
例4.2.1 甲需要10000元贷款，分4年偿还， 乙、丙都可以提供这笔贷款，乙要求甲每 年末支付利息并建立偿债基金，偿债基金 存款利率为8%，贷款利率为10%。丙要求 甲按分期偿还法偿还贷款，求使这两会总 贷款等价的丙的贷款利率。
及其共包含的本金和利息。
17
计息频率低于偿还频率
假设每个计息期偿还m次，计息期共有n，偿 还次数nm为整数，每个计息期利率为i，每次 ( m) a 偿还款为1/m ，则贷款额为 n ，在时刻k/m 还款额 1/m
还款中的利息
还款中的本金 贷款余额
k 1 n i ( m) ( m) 1 a k 1 (1 v m ) m n m m
1 v n (t 1) k


还款中的本金
贷款余额
v
n ( t 1) k
an (t tk sk
16
例4.1.7 某人贷款1000元，每年计息4次的 年名义利率为12%，贷款偿还时间及数额 为第1年末400元，第5年末800元，第10年 末偿还剩余部分，计算第10年末的偿还额
2
第一节 分期偿还计划
1.


贷款余额 分析形式：年金 计算贷款余额的方法：过去法&未来法
过去法:基于已经历时间的贷款和还款的积累值而 计算贷款余额 未来法:根据未来要偿还款项的折现值计算贷款余 额

假设在0时刻贷款额为L，分n期偿还，每期期 末还款额为P，每期贷款利率为i。现在考虑在 时刻k（刚刚偿还P后）的贷款余额。
25
连续偿还的分期偿还表
假设每个计息期偿还额相等，贷款额 为
an
，贷款期限为n年，按照每计息期
偿还额为1的连续偿还形式偿还贷款，则 t时刻的贷款余额为 ant
t a (1 i ) st 记作 n
0 t n（或者
0 t n ），在t时刻
的偿还款中，利息部分为 an t ，本金
6
过去法和未来法的选择
在实务中，可以根据不同条件，选择利用
过去法或者未来法进行计算，使得计算更
为简单。若已知每次还款额和尚未还款次
数，则未来法较为简单，若不知尚需还款
次数或者不知最后一次不规则还款额，则
过去法较为简单。
7
例4.1.1 已知某住房贷款100000元，分10 年还清，每月末还款一次，每年计息12次
31
根据偿债基金的定义，有 L D sn L 即 D
j
sn j
因此
L 1 P Li D Li L(i ) sn j sn j 1 L(i j ) an j L an j 1 (i j )an j
32
定义
an i & j
an
按照未来法，借款者将来还需要还款n-k次，
每次还款额仍为P，在k时刻的贷款余额现
值为
Pan。 k i
事实上，这两种方法是等价的。
5
证明：
L(1 i ) Psk i Pan i (1 i ) Pak i (1 i)
k k k
k 1 vn 1 v P (1 i ) k P (1 i ) k i i k k n k 1 v v v 1 v k P (1 i ) P (1 i ) k i i nk vk vn 1 v k P (1 i ) P Pan k i i i
由于计算误差，往往最后贷款余额不是0，因此 一般对最后一次偿还款进行调整，使得调整后 的偿还额恰好等于前一年末的贷款本金余额和 其所生利息之和。
12
例4.1.4 某借款人每季度末偿还贷款一次， 每次1000元，共5年，每年计息4次的年名 义利率为12%，计算第6次还矿中本金部
分和利息部分。
13
v
n
n
iv sk 1 i
偿债基金总额
净贷款余额
v sk i
an i v sk i an k i
n
30
n
在实务中，更多的情形是贷款利率与存款利 率不同，并且一般都是贷款利率高于偿债基 金的存款利率。接下来我们考虑两者不同时 的贷款偿还。首先假设： L：贷款额 n：贷款期限 i：贷款利率 j：偿债基金存款利率 D：每期存入偿债基金的款项 P：每期借款人的总支出额
v
( m) k 1 n m
n ( t 1) k
a
1 v m
n
k 1 m
a ( m )k
n m
18
例4.1.8 一种贷款要在每半年末偿还1元，
共5年，每年的利率为i，计算第8次还款中
的贷款本金部分。
19
例4.1.9 甲购买住房，贷款2000000元，分 3次领取。办理贷款后，首次领取1000000 元，半年后又领取500000元，1年末又领 取500000元。贷款按每年计息2次的年名 义利率15%，积累到第2年末，然后甲按照 每月计息1次的年名义利率12%进行分期偿 还，为期30年。前5年每月偿还额是其后各 年每月偿还额的一半。首期偿还额发生在 第3年初，计算第12次偿还额的数量。
的年名义利率为6%，分别利用过去法和
未来法计算在还款50次后的贷款余额。
8
例4.1.2 若某借款人每年末还款1000元， 共20次。在第5次还款时，他决定将手头多 余的2000元也作为偿还款，然后将剩余贷 款余额期调整为12年，若利率为9%，计算
调整后每年的还款额。
9
例4.1.3 某年轻借款人预计其10年后工资会
大幅上涨，他决定在前10年每年末还款
8000元，而后5年每年末还款20000元，年
利率为8%，计算B5.5。
10
分期偿还表
假设分析偿还款按照标准年金进行，年利 率为i，还款期限为n，每期期末还款额为1， 则在时刻k有 还款额
还款中的利息
1
ian k 1 1 v
n k 1
j j
1 (i j )an
则有
P
L an i& j

并有
a
1 n i& j
1 i sn j
33
第k次利息支付及向基金存款后的贷款净余额为

NBk L Dsk
j
第k期内的净利息支出为第k期支出的贷款利息与 偿债基金所得利息之差，即

NI k Li jDsk 1 j
3
过去法
在时刻0，有 L Pa
贷款额。
ni
，即各期还款的现值等于
在时刻k， L(1 i ) k Pan i (1 i ) k
款积累值为 Psk i ，贷款余额为
，此时已还
L L(1 i) Psk i L(1 i) sk i an i
k k
4
未来法
20
变动偿还系列
假设计息频率与还款频率一致，第k次还款额
为，贷款利率为i，则有贷款额为 L v k Rk ，
一般情况下， Rk 0 。若呈现某种规律，如等差
k 1
n
数列、等比数列等，可以利用第二章变动年金
中的相关公式计算贷款本金，然后根据每次还
款额计算各期还款中的本金部分、利息部分和
第四章 债务偿还
1
债务偿还的三种方式
1. 满期偿还，是指借款者在贷款期满时一次性偿 还贷款的本金和利息。
2. 分期偿还，是指借款者在贷款期间，按照一定 的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。 3. 偿债基金，是指借款者每期向贷款者支付贷款 利息，并且另存一笔款项，建立一个基金，在 贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次 性偿还给贷款者。