2021高考数学人教版一轮复习练习：第二章 第4节 幂函数与二次函数
2021年高考数学总复习 2-4 二次函数与幂函数备选练习 文(含解析)新人教A版
2021年高考数学总复习 2-4 二次函数与幂函数备选练习 文（含解析）新人教A 版1．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D. ⎝⎛⎭⎪⎫0，12 解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )<0恒成立，即2mx －12mx ＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即8m 2x 2－1＋4m 22mx <0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，故m <0，因为8m 2x 2－(1＋4m 2)>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以x 2>1＋4m 28m 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立，所以1>1＋4m 28m 2，解得m <－12或m >12(舍去)，故m <－12. 答案：A2．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A 、B 两点(B 点在A 点右侧)．由规定可知，在A 点左侧、B 点右侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A 、B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．因此h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C3．(xx 年济南模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝f (1)＝0，且f (x )的最小值是－14. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数h (x )＝ln x －2x ＋f (x )，若函数h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，m －1上是单调函数，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f (1)＝0，∴b ＝－a ，∴f (x )＝ax 2－ax ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122－a 4， 又f (x )的最小值为－14，∴－a 4＝－14，∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x .(2)由(1)得h (x )＝ln x －2x ＋x 2－x ＝ln x ＋x 2－3x (x >0)，∴h ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x －1x －1x .易知函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，()1，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. ∴⎩⎨⎧ m －1>12，m －1≤1，∴32<m ≤2.27733 6C55 汕27286 6A96 檖 28903 70E7 烧25416 6348 捈31582 7B5E 筞35323 89FB 觻W30327 7677 癷33984 84C0 蓀I36132 8D24 贤23992 5DB8 嶸。
高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.
2021高考人A通用(理)数学一轮复习讲义：第2章 第4节 二次函数与幂函数
第四节二次函数与幂函数[考纲] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝x n在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，假设f(m)＝3，那么实数m 的值为()A.3B.±3C．±9D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝1 2.所以f(x)＝x＝x，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，那么a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 C [由题意知⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(2021·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )零点的个数是( )A ．0 C.2C [因为判别式Δ＝b 2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，应选C.] 5．假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，那么这个二次函数的表达式是________.【导学号：01772037】y ＝－x 2＋2x ＋8 [设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.]求二次函数的解析式二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【导学号：01772038】[解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 2分由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. 3分∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 12分法三(利用零点式)：由f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 6分又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1] 二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2. 2分 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3. 6分设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1. 10分∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 12分二次函数的图象与性质☞角度1 二次函数图象的识别及应用(1)设abc ＞0，那么二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )A B C D(2)函数f (x )＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，那么实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误．(2)作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，那么有⎩⎨⎧f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.] ☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2021·广西一模)假设x log 52≥－1，那么函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4 B.－3 C ．－1(2)(2021·安徽皖北第一次联考)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，那么a 的值为( )【导学号：01772039】A ．2 B.－1或－3 C ．2或－3D.－1或2(1)A (2)D [(1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x ≥15， 令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，那么有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.应选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，适合； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16. 4分因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12. 10分 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 12分[规律方法] “三点一轴〞数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用别离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .幂函数的图象与性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，那么幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D(2)幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，那么m 的值为________．(1)C (2)1 [(1)令f (x )＝x α，那么4α＝2，∴α＝12， ∴f (x )＝x 12.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. 又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2. 由于f (x )的图象关于y 轴对称． ∴m 2－2m －3的值应为偶数， 又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.][规律方法] y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．假设幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，那么α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．假设幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，那么α＞0，假设在(0，＋∞)上单调递减，那么α＜0.[变式训练2] (1)设a ，b ，c ＝log 50.3，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B.c ＞a ＞b C ．a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c(2)假设(a ＋1) ＜(3－2a ) ，那么实数a 的取值范围是________． (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [(1)a，b ，所以根据幂函数的性质知b ＞a ＞0，而c＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .(2)易知函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法(1)三个点的坐标时，宜用一般式．(2)二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)二次函数与x轴有两个交点，且横坐标时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进展分类讨论．3．利用幂函数的单调性比拟幂值大小的方法在比拟幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进展比拟．4．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．[易错与防范]1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，假设是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．。
新课程2021高考数学一轮复习第二章第4讲二次函数与幂函数课件
③当a2≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,1]上递减， ∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2. 令－4a－a2＝－5，解得 a＝－5 或 a＝1(舍去). 综上所述，a＝54或－5.故选 D.
角度 4 与二次函数有关的恒成立问题 4.已知函数 f(x)＝x3，若不等式 f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数 t 恒成立， 则实数 m 的取值范围是( ) A.(－∞，－ 2) B.(－ 2，0) C.(－∞，0)∪( 2，＋∞) D.(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) 答案 A
2．如图是二次函数 y＝f(x)的图象，若|OC|＝|OB|＝3|OA|，且△ABC 的 面积 S＝6，求这个二次函数的解析式.
解 设二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为|OB|＝|OC|＝3|OA|，所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝4|OA|， 且 4|OA|×3|OA|×12＝6，得|OA|＝1， 所以 A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3).
1
(2)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2， 2)，则函数的解析式为_f(_x_)_＝__x_2_．
解析 设 f(x)＝xα，因为函数 f(x)的图象过点(2， 2)，所以 2＝2α，即
2
1 2
＝2α，所以
α＝12，所以
f(x)＝x
1 2
.
(3)若二次函数 y＝－2x2－4x＋t 的图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是 ___－__2___．
2．小题热身 (1)若 a<0，则 0.5a,5a,0.2a 的大小关系是( ) A．0.2a<5a<0.5a B．5a<0.5a<0.2a C．0.5a<0.2a<5a D．5a<0.2a<0.5a 答案 B 解析 因为 a<0，所以函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，又 0.2<0.5<5， 所以 0.2a>0.5a>5a，即 5a<0.5a<0.2a.
2021高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第4讲幂函数与二次函数课时作业(含解析)新人教版B版
幂函数与二次函数课时作业1．(2019·福州模拟)若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13答案 C解析 设f (x )＝x α，则4α2α＝3，即2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝12α＝13.2．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y ＝x 下方的增函数是( ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －1答案 A解析 结合常用幂函数的图象可知y ＝x 12 的图象满足条件．3．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2)答案 C解析 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C ．4．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限答案 D解析 y ＝x －1的图象经过第一、三象限，y ＝x 12 的图象经过第一象限，y ＝x 的图象经过第一、三象限，y ＝x 3的图象经过第一、三象限．故选D ．5．(2020·定州模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 ∵函数f (x )＝(a －1)x b是幂函数，∴a －1＝1，解得a ＝2，又点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在该函数的图象上，∴2b ＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A ．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a ＝1 ①.又f (－1)＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2，故选A ．7．(2019·唐山模拟)已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.8．(2019·成都模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)答案 B解析 当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B ．9．已知函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－5,4]，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1,7]B ．[1,6]C ．[－1,1]D ．[0,6]答案 A解析∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x＝－1或5.由f(x)的图象知，－1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m＋n≤7.10．(2019·西安模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③答案 B解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为直线x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．11．已知不等式xy≤ax2＋2y2对x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1,2] D．(0,2]答案 A解析 不等式xy ≤ax 2＋2y 2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，即a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x2对x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，令t ＝yx，则1≤t ≤3，∴a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，设y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18(t ∈[1,3])， ∴y max ＝－1，∴a ≥－1.故选A ．12．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B ．解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B ．13．(2019·南昌模拟)若x >1时，x a －1<1，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，1) 解析 因为x >1，xa －1<1，所以a －1<0，得a <1.14．已知幂函数f (x )＝x －12 ，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________. 答案 (3,5)解析 ∵f (x )＝x －12 ＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，∴3<a <5.15．(2019·武汉模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1解析 解法一：由于方程x 2＋ax －2＝0有解，设它的两个解分别为x 1，x 2，则x 1·x 2＝－2<0，故方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有唯一解． 设f (x )＝x 2＋ax －2，则f (1)·f (5)≤0， 即(a －1)(5a ＋23)≤0，解得－235≤a ≤1.解法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x－x 在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，0≤x ≤c ，x 2＋x ，－2≤x <0，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________.答案 －1和0 (0,4]解析 当0≤x ≤c 时，由x 12 ＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数f (x )的零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x 12 ，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．。
高考数学(文)大一轮复习检测：第二章第4讲二次函数与幂函数 Word版含答案
第4讲二次函数与幂函数,[学生用书P27])1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)1．辨明两个易误点(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3 [答案]A2.教材习题改编幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( )A ．81B ．13C ．181D ．3D [解析]设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3，故选D.3.教材习题改编如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c ，在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <bD [解析]根据幂函数的性质，可知选D.4．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫52，＋∞上是增函数，则a 的范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5C [解析]因为y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞上是增函数，由题意得－a 2≤52.所以a ≥－5，故选C.5.教材习题改编函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0] D ．[1，3]B [解析]由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.幂函数的图象及性质[学生用书P28][典例引领](1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．【解析】(1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.【答案】 (1)C (2)⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．[通关练习]1．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2B [解析]由于f (x )为幂函数， 所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3.当n ＝1时，f (x )＝x －2＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数；当n ＝－3时，f (x )＝x 18在(0，＋∞)上是增函数． 故n ＝1符合题意，故选B.2．已知幂函数f (x )满足f (8)＝4，则f ⎝⎛⎭⎫22________f ⎝⎛⎭⎫－33.(填＞、＝或＜) [解析]设f (x )＝x α(α为常数)，又f (8)＝4，所以4＝8α，所以α＝23.于是f (x )＝x 23，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－33＝f ⎝⎛⎭⎫33＜f ⎝⎛⎭⎫22. [答案]＞求二次函数的解析式[学生用书P29][典例引领]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．[解]因为二次函数图象的对称轴为x ＝－2， 所以可设所求函数的解析式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b . 因为二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4， 所以f (x )过点(－2＋2，0)和(－2－2，0)． 又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0，2a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.所以f (x )＝12(x ＋2)2－2＝12x 2＋2x －1.二次函数的图象与性质(高频考点)[学生用书P29]高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题；(4)一元二次不等式恒成立问题．[典例引领](1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )(2)(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，其中f (x )的最小值为f (－1)＝0，且f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围是________．(3)(2017·太原模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．【解】(1)选D.因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax 2－x －c ＝0的两根．所以a ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝－x 2－x ＋2.所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(2，0)．故选D.(2)由题意知a ≠0，f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． 所以g (x )min ＝g (－1)＝1. 所以k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．故填(－∞，1)． (3)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . 当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.若将本例(3)中的函数改为f (x )＝x 2－2ax ，其他不变，应如何求解？[解]因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a <0时，f (x )在[0，1]上是增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝0.②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2， ③当a >1时，f (x )在[0，1]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a .综上所述，f (x )min＝⎩⎨⎧0，a <0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a >1.二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(3)二次函数中恒成立问题的求解思路①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .[题点通关]角度一二次函数图象的识别问题1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是()D [解析]由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，选D.角度二二次函数的单调性问题2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x ＜1在R 上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] f (x )在R 上是单调增函数，需满足a ＝0或⎩⎨⎧－a2≤1，a ＜0，－12a ≥1，解得－12≤a ≤0.[答案]⎣⎡⎦⎤－12，0角度三二次函数的最值问题3．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0，4]B ．⎣⎡⎦⎤32，4C ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D ．⎣⎡⎦⎤32，3D [解析]二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.角度四一元二次不等式恒成立问题4．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．[解析]设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1，2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.[答案] (－∞，－5],[学生用书P30])——三个“二次”间的转化若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】(1)由f (0)＝1，得c ＝1， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x .所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[解析]根据函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ≥0，得到a 2－4b ＝0，又因为关于x 的不等式f (x )<c ，可化为：x 2＋ax ＋b －c <0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数g (x )＝x 2＋ax ＋b －c 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而，(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，又因为x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，a 2－4(b －c )＝a 2－4b ＋4c ＝36，代入a 2－4b ＝0得到c ＝9.[答案]9,[学生用书P305(独立成册)])1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2C [解析]因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( ) A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B ．在(－∞，3)上递增 C ．在[1，3]上递增 D ．单调性不能确定A [解析]由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．3．已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )<f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )>f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定A [解析]因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6，6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2，2]上单调递增，又m <0，所以f (m )<f (0)．4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0 C ．f (p ＋1)＝0 D ．f (p ＋1)的符号不能确定A [解析]由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则－1<x 1<x 2<0，根据图象知，x 1<p <x 2，故p ＋1>0，f (p ＋1)>0.5．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( ) A ．－4 B ．4 C ．4或－4 D ．不存在B [解析]依题意，函数f (x )是偶函数，则y ＝x 2＋ax －5是偶函数，故a ＝0，f (x )＝(1－x 2)(x 2－5)＝－x 4＋6x 2－5＝－(x 2－3)2＋4，当x 2＝3时，f (x )取最大值为4.6．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)C [解析]由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．[解析]因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. [答案] (3，5)8．二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．[解析]由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)，所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.[答案]y ＝13x 2－2x ＋39．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． [解析]由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1. [答案]－1或310．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．[解析]由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．[答案]⎝⎛⎦⎤－94，－2 11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( )D [解析]由四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2，由于a ＝c ，所以x 1x 2＝c a＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．13．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．[解]因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，所以f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，所以2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2，3]．14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立． 又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。
高考数学一轮复习第二章函数第4节幂函数与二次函数课件
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(3)幂函数的性质． ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当 α＞0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)， 且在(0，＋∞)上单调递增； ③当 α＜0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0， ＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式． 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
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考点 2 二次函数的解析式(讲练互动) [典例] (一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－ 1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定该二次函数 的解析式． 解：法一(利用“一般式”解题) 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得4a4a－a＋c4－ba2＋bb2＋c＝＝c8＝－，－1，1，解得abc＝＝＝7－4.，4， 所以所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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6．(2018·上海卷)已知 α∈{－2，－1，－12，12，1，2， 3}．若幂函数 f(x)＝xα 为奇函数，且在(0，＋∞)上递减， 则 α＝________．
解析：由幂函数 y＝xα 是奇函数，知 α 可取－1，1，3. 又 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数， 所以 α<0，即 α＝－1. 答案：－1
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所以 y＝ x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当 0＜x＜1 时，其图象在直线 y＝x 的上方，对照选 项，C 正确． 答案：C
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2．已知点a，12在幂函数 f(x)＝(a－1)xb 的图象上， 则 f(x)是( )
2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《2.4幂函数与二次函数》
a>b>c>d，故选 B.
3．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2) xn2－3n (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函
数，则 n 的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1 或 2
答案 B
解析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合
∴m－1<0，∴f(m－1)>0.
题型一 幂函数的图象和性质
2，1 1．若幂函数的图象经过点 4 ，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
答案 D
解析 设 f(x)＝xα，则 2α＝1，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故 4
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数
在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
单调性 对称性
R
R
4ac－b2，＋∞ 4a
－∞，4ac－b2 4a
－∞，－ b
－∞，－ b
在 x∈
2a 上单调递减； 在 x∈
题意，故选 B.
1
1
4．(2018·潍坊模拟)若(a＋1) 3 <(3－2a) 3 ，则实数 a 的取值范围是____________．
2，3 答案 (－∞，－1)∪ 3 2
1
1
解析 不等式(a＋1) 3 <(3－2a) 3 等价于 a＋1>3－2a>0 或 3－2a<a＋1<0 或 a＋1<0<3－2a，
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理
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2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝_____ax_2_＋__bx_＋__c_(a_≠__0_)_____． ②顶点式：f(x)＝_____a_(x_－__m_)_2＋__n_(a_≠__0_)____． ③零点式：f(x)＝____a_(x_－__x_1)_(x_－__x_2)_(a_≠__0_)___．
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法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12. 所以 m＝12.又根据题意函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1， 解得 a＝－4，所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
调递减，则 a 的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a<－3
D．a≤－3
解析：选 D.函数 f(x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其 对称轴是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知， 区间(－∞，6)应在直线 x＝－2a 的左侧， 所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D.
4a .( )
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(5)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
调 在____－__2_ba_，__＋__∞_____上单 性
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多维层次练10
[A级 基础巩固]
1．(多选题)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间(2，3)上是单调
函数，则实数a的取值范围可以是( )
A．(－∞，2] B．[2，3]
C．[3，＋∞) D．[－3，－2]
解析：f(x)图象的对称轴为x＝a，
若f(x)在(2，3)上单调递增，则a≤2，若f(x)在(2，3)上单调递减，
则a≥3，
因此选项A、C、D满足．
答案：ACD
2．已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)
上单调递减，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：p：由|m＋1|<1得－2
2－m－1)xm
在(0，＋∞)上单调递减．
所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.
所以p是q的必要不充分条件．
答案：B
3．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值
是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，
则m＝x
21＋ax1＋b，M＝x2
2＋ax2
＋b.
所以M－m＝x
22－x2
1＋a(x2－x1
)，显然此值与a有关，与b无关．
答案：B
4．(2020·广东揭阳一中检测)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与
函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]是具有相同的单调性，则k的
取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：易知f(x)＝－x
3
＋m在R上是减函数．
依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，
所以抛物线的对称轴
k
2
≥1，所以k≥2.
答案：B
5．(多选题)已知定义在[1－a，2a－5]上的偶函数f(x)在[0，2a－
5]上单调递增，则函数f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝－a|x|
C．f(x)＝xa D．f(x)＝|x－a|
解析：因为函数f(x)是定义在[1－a，2a－5]上的偶函数，所以1
－a＋2a－5＝0，解得a＝4，所以函数f(x)的定义域是[－3，3]．研究
的区间是[0，3]，从而能够得到A，C项对应的函数都满足在[0，3]上
是增函数，B项f(x)＝－a|x|在[0，3]上是减函数，D项不是偶函数，故
选AC.
答案：AC
6．(2020·荆州质检)若对任意x∈[a，a＋2]均有(3x＋a)3≤8x3，则
实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．(－∞，0] D．[0，＋∞)
解析：因为y＝x
3
在R上是增函数，
由(3x＋a)3≤8x3，得3x＋a≤2x，即x≤－a，
所以∀x∈[a，a＋2]时，x≤－a恒成立．
所以a＋2≤－a，因此a≤－1.
答案：B
7．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点2，12，则函数g(x)＝(x－1)f(x)
在区间12，2上的最小值是________，最大值为________．
解析：由f(x)＝x
α
的图象过点2，12，
得2a＝12，知a＝－1，
所以g(x)＝x－1x＝1－1x在12，2上单调递增，
所以g(x)
min＝1－2＝－1，g(x)max
＝g(2)＝12.
答案：－1 12
8．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝12，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实
数a等于________．
解析：设f(x)＝xa，则4a＝12，所以a＝－12.
因此f(x)＝x－12，从而a－12＝4(a＋3)－12，解得a＝
1
5
.
答案：15
9．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1
解析：由题意得a> 又2x－2x2＝－21x－122＋12， 所以2x－2x2max＝12，所以a> 答案：12，＋∞ 当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍 则2－k≥1，4－k≤4，即k≤1，k≥0，得0≤k≤1. BM＝MN＝NA，那么a－1b＝( ) A．0 B．1 3 1 所以a－1b＝log1323－1log2313＝0. 答案：A ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a 正确．对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误．结合图象， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝x－322－54，
2x－2
x
2
对1
14<1
x
<1，
1
2
.
10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递
增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：
x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意得：(m－1)
2
＝1⇒m＝0或m＝2，
去，所以m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x
2
，
当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，
即B＝[2－k，4－k)，
因p是q成立的必要条件，则B⊆A，
故实数k的取值范围是[0，1]．
[B级 能力提升]
11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图
象是一组美丽的曲线(如图所示)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，
线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有
C.12 D．2
解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M13，23，N23，13，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log1323，b＝log
2
3
.
12.右图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点
A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①
当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a.
所以5a
13．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图
象的上方，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，
所以2a＝2，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上
方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立．
即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立．
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
[C级 素养升华]
14．(多选题)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已
知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，…，求证：这个二次
函数的图象关于直线x＝2对称．”根据已知消息，题中二次函数的图
象具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段长是2
B．与y轴交于点(0，3)
C．顶点为(2，－2)
D．过点(3，0)
解析：因为函数图象过点(1，0)，且对称轴是直线x＝2，所以可
求得函数的解析式为y＝x2－4x＋3.令y＝0，得x＝1或x＝3，所以在
x轴上截得的线段长是2，故A正确；令x＝0，可得该函数图象与y
轴的交点为(0，3)，故B正确；由函数的解析式可得其图象的顶点坐标
为(2，－1)，故C错误；易知该函数图象与x轴的交点为(1，0)和(3，
0)，故D正确．
答案：ABD