17-09-1级复变函数与积分变换(A卷)
最新复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)
复变函数与积分变换期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin z e z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
复变函数与积分变换期末考试题
哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （ ）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。
复变函数与积分变换A(2017冬)A卷
北京信息科技大学
2017-2018学年第一学期
《复变函数与积分变换A 》课程期末考试试卷（A ）
一、解答题（本题满分60分，共含10道小题，每小题6分）
1、 对于映射z
w 1=，求出y =2x 的像. 2、将()6
3i -化为三角表示式和指数表示式. 3、计算 sin 3i
4、求i e 43-及其幅角主值.
5、dz z z sin e z ⎰=-1
253 6、函数22)(iy x z f +=在何处可导,何处解析.
7、计算积分()()⎰=++3
||d 21-1z z z z z 8、计算积分()
dz z z cos z ⎰
=432-． 9、求()t u e t f t j 0)(ω=的傅里叶变换.
10、求t sin t )t (f 2=的拉普拉斯变换.
三、解答题（本题满分40分，共含4道小题，每小题10分）
1、判别函数)2(cos 1)(--=z z z z f 的有限孤立奇点，指明类型，并求其在有限孤立奇
点处的留数.
2、 将3
1)(-=
z z f 在圆环域 (1）30<<z (2）+∞<-<12z 内展开成洛朗级数.
3、求函数⎩⎨⎧τ<=其它,0,E )(t t f 傅氏积分表达式.
4、利用拉氏变换求解下列微分方程t e t y t y -=-)('2)('',1)0(',0)0(-==y y .。
复变函数与积分变换A考试大纲
6、熟练掌握解析函数的求导公式 f ( z ) ux iv x , 会把一个解析函数表示为 z 的函数; 7等式或不等式； 8、理解并掌握支点、支割线定义；熟练掌握把（幂）函数 w
n
p( z ), p( z ) [ z ], 分解为单值解
析分支的方法（见课堂讲义或 钟玉泉 版 复函教材相关部分，较高要求） ； 9、理解并掌握指数函数、幂函数的几何意义（与第六章保形映射关系） 第三章 复变函数的积分 考试范围与内容： 第 1 节 柯西定理 复变函数积分的定义、计算方法、基本性质（P41-42） ；单连通区域上柯西积分定理（条件、结论） （了解定理产生的背景、古萨证明用到的技术和思想方法：闭集套定理、有限覆盖定理、逼近和化 归的思想方法等； ） ；柯西积分定理推广情形（定理 3.1’） ；积分的路径无关性、原函数存在定理与 不定积分；广义的牛顿-莱布尼兹公式；复多连通区域的柯西积分定理-复合闭路定理（条件、结论 与等价形式） 、n=1 情形，闭路变形原理 第 2 节 柯西公式 柯西积分公式（积分形式、使用条件） ；高阶导数公式（积分形式、使用条件，结论 -解析函数有任 意阶导数） ；柯西不等式；刘维尔定理；解析函数的平均值定理与最大模原理； Morera 定理（柯西 定理的逆定理） （条件、结论） 重点难点及要求 1、复积分的计算方法：
C
f ( z )dz udx vdy i vdx udy f ( z(t ))z (t )dt , C : z z(t )
c c
t , 熟练掌握复积分与实积分的关系、一般计算方法（转换为实的曲线积分，或曲线参数方
程计算） ； 2、理解并掌握单连通区域的柯西积分定理（条件、结论） 、推广情形及应用； 3、理解解析函数的不定积分概念，会利用广义牛顿-莱布尼兹公式计算与路径无关的积分； 4、理解并掌握复合闭路定理（条件、结论） 、闭路变形原理；能熟练使用复合闭路定理计算带有两 个或以上有限个奇点的闭路积分（注意和第五章留数定理的关系） ； 5、熟练掌握和应用柯西积分公式与柯西高阶导数公式，理解柯西积分公式的几何意义（边界函数值 与内部函数值的关系-特例：解析函数平均值定理） ； 6、掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能用它们做一些简单证明题.(较高要求)； 7、理解和掌握函数解析的充分条件：Morera 定理； 8、综合第 1-5 章，总结计算各种积分的计算方法并举例（请同学们自己完成） 第四章 级数 考试范围与内容： 第 1 节 级数和序列的基本性质 复数数列概念及敛散性定义、与实部，虚部实数数列敛散性的关系；复数项级数概念及敛散性（部 分和数列、与实部和虚部相应实级数敛散性关系） ；复级数的柯西收敛准则；级数收敛的必要条件； 绝对收敛定义及性质；收敛、条件收敛和绝对收敛的关系；数项级数的柯西乘积；复变函数列（级 数）的敛散性、一致收敛的复函数列（级数）及其和函数的性质（连续性、 （逐项）可积性） ；内闭 一致收敛于逐项可微性；复函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法（优级数判别法） ；幂级数定 义及收敛域；Abel 定理；幂级数收敛域结构（收敛圆） ；收敛半径的计算（达朗贝尔-柯西-阿达玛 公式） ；幂级数和函数的解析性（定理 3.4） ；收敛、绝对收敛、内闭一致收敛，一致收敛的关系（见
成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）
2019-2020-1复变函数与积分变换A卷答案
2019 至 2020 学年复变函数与积分变换第一学期试卷（A 卷）
标准答案及评分标准
一、判断题（2 分×4=8 分）
1.×
2.×
3.×
二、选择题（2 分×5=10 分）
1.B
2.D
3.C
三、填空题（2 分×5=10 分）
1. 1 + 1 i 22
2.∞ 3.一阶极点（或简单极点）
4.√ 4.B
对(1)两边求 y 的积分，可得 v= 6x dy x = 6xy x (3)
再对(3)两边同时求 x 的偏导，对比(2)可得， x =0, x C
从而 v= 6xy C ， f z = 3y2 3x2 i 6xy C
由于 f (0) 2i ，故 C=-2，
f z = 3y2 3x2 i 6xy 2 3z2 2i
4. 3t 2
5.C
5. f (t)e jtdt
四、计算题（8 分×4=32 分）
1.（8 分）解：方程即为 z3 1 i=
2
cos
3 4
isin
3 4
根据 3 次方根公式可得：
1
z (1 i)3
2
3
1 3
cos
4
2k 3
3 isin 4
2k 3
, k 0,1,2
1
1 s
4
因此我们有
y(t) =L1 Y (s) 1 1 et 1 e4t
4 3 12
所以方程有 3 个根，对应于 k=0,1,2 分别为
z
6
2
cos
4
i
sin
4
,
6
2
cos
11 12
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换五套试题及答案
（2 分） （2 分） （2 分）
7
Re s[ f (z), ] 1
（1 分）
6．解：原式（3
分）
2iRe
s
z
ze z 2
1
,1
Re s
z
ze z 2
1
,1
zi i（ cos z）zi i cos i = ich1
五、1．解：
f
(z)
（1分）
1 (z i)
z
1 i
i
（1分） 1 (z i)
1 i 31
1 z
i i
（1分） 1 z
i
1 i
n0
z
i
i n
n1
（3分）2i
e 2
e 1 2
2i ch1
（1 分）
7．解：
原式=（2 分）
1 dz =（1 分）
2i dz
| z | 1
2
z2
1
iz
|z|1 z 2 4z 1
2z
=（1 分）
2i
dz
|z|1 (z 2 3)(z 2 3)
数，且 f(0)=0。
三、（10 分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|2 z 6 (z 1)(z 3)
四、计算积分（5 分×2）
dz
1． |z|2 z(z 1)
2． cos z c (z i)3
C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷-A卷及答案
云南师范大学2007 --2008 学年下学期统一考试__复变函数与积分变换__试卷学院 物电 班级__06 __专业 电子类 学号__ __姓名__ ___考试方式：闭卷 考试时间：120 分钟 试卷编号：A 卷 题号一 二 三 四 总分 评卷人得分 评卷人一．单项选择题（本大题共5题，每题2分，共10分）请在每小题的括号中填上正确的答案。
选项中只有一个答案是正确的，多选或不选均不得分1.设y e y x V ax sin ),(=是调和函数，则常数=a （ ）A.0B.1C.2D.32.设i iz z z f 48)(3++=，则=-'),1(i f （ ）A.-2iB.2iC.-2D.23.设C 为正向圆周0)(a >=-a a z ，则积分⎰-C a z dz 22=（ ） A.ai2π- B. a i π- C. a i 2π D. ai π 4.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（ ） A.0B.πiC.2πiD.6πi 5.f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.23 B.1C.2D.3 得分 评卷人二、填空题（本大题共10个题，每题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确的答案。
填错、不填均无分。
1、FT 解决的问题主要是： _____ ______.2、傅立叶级数中系数n a 、n b 和n c 之间的关系为__________________________.3、)(t f 的傅立叶积分公式为：____ ________.4、)(t f 的傅立叶变换为__ _____________.5、幂级数50n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z =+的幂级数展开式为______________________________. 7、积分==⎰∞∞-ωπωd e t f t i 21)( . 8、.=)(at δ ____ ___________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程编号：07000048 北京理工大学2010—2011学年第一学期
2009级复变函数与积分变换试题A 卷
班级_______ 姓名_________ 学号_______成绩__________ 题号
一 二 三 四 五 六 总分 得分
一 (10) (1) 求区域})arg(:{02>>z z π
在映射)(1+=z i w 下的像。
(2) 讨论函数在复平面上哪些点处可导，哪些点处解析。
z z z f 2||)(=二（6）设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的某个区域内解析，并且，其中为不全为零的实常数，试证是常数。
D c y x bv y x au =+),(),(c b a ,,)(z f 三（6）求解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 满足：。
))((),(224y xy x y x y x u ++−=四（58）计算下列积分：
(1) ，其中积分路径C 分别为1）从原点到的直线段；2）从原
∫+−C dz ix y x )(2),(00i +1点到i 以及从到的直线段。
),(00i i +1（2）dz z z z ∫=−+3121
||
（3）∫=+−12
212z z z zdz )
)(( （4）∫=−11||||z dz z
（5）∫=−++25
311z z dz z z e )
( （6）∫=
−22
1||)
(z z
dz z z e （7）dx x
x ∫+∞
+02
1cos （8）
dz z
z z z ∫=+26511
||cos 信息与电子二学部学生会学习部整理
（9）
dz z
z z ∫=−2121||sin 五（8）求函数31z
z f =)(在点1−=z 处的Taylor 级数展开式； 六（12）将函数)()(i z z z f −=
21分别在下列圆环域中展开为洛朗（Laurent ）级数 1), 2)10<−<||i z +∞<<||z 1 .。