几何问题和三角函数
初中数学知识点几何与三角函数的关系
初中数学知识点几何与三角函数的关系几何学与三角函数是初中数学中两个重要的知识点。
它们之间存在着密切的联系与相互依赖关系。
本文将详细探讨几何与三角函数之间的关系及其应用。
一、几何中的角与三角函数在几何中，角是一个基本概念，它是由两条射线共同确定的，起始于同一个点，但末端方向不同。
角可以分为锐角、直角、钝角、平角四种类型。
而在三角函数中，角也是一个重要的概念。
通过引入单位圆的概念，我们可以定义正弦、余弦和正切等三个基本三角函数。
其中，正弦函数sin(x)定义为对于任意角x，y坐标值等于单位圆上对应点的纵坐标；余弦函数cos(x)定义为对于任意角x，x坐标值等于单位圆上对应点的横坐标；正切函数tan(x)定义为tan(x) = sin(x)/cos(x)。
二、几何中的三角比在几何中，我们常常遇到需要求解三角形的边长或角度的问题。
这时，三角比的概念就会派上用场。
在任意三角形ABC中，我们定义正弦比、余弦比和正切比如下：正弦比sinA = 边对边A/斜边，余弦比cosA = 边对边A/斜边，正切比tanA = 边对边A/边对边B。
三、几何与三角函数的应用几何与三角函数的关系在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用：1. 三角形的面积公式通过几何中面积公式与三角函数的关系，我们可以推导出三角形的面积公式。
对于任意三角形ABC，其面积S等于底边乘以高的一半，即S = (1/2) * AB * h，而高h可以表示为h = BC * sinA，故三角形的面积公式可以进一步简化为S = (1/2) * AB * BC * sinA。
2. 三角函数查表在实际计算中，我们往往会遇到无法直接计算出三角函数值的情况。
这时，我们可以利用三角函数表进行查表计算。
通过查表，我们可以快速得到特定角度对应的三角函数值，从而简化计算过程。
3. 三角函数在三角形相似中的应用在几何中，相似三角形是一个重要的概念。
而在相似三角形的定理中，三角函数也起到了至关重要的作用。
如何应用三角函数解决几何证明问题
如何应用三角函数解决几何证明问题几何证明是数学中需要独立思考的最具挑战性的领域之一。
三角函数可以应用到许多证明中，因此理解三角函数的概念及其用途对于解决几何证明问题至关重要。
下面将探讨如何应用三角函数解决几何证明问题。
一、三角函数的基本概念三角函数是比值函数的一种，它将角度与比值联系起来。
三角函数有正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)六个基本函数。
其中正弦、余弦、正切、余切是最常用的三个。
在直角三角形中，正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。
用这些比值可以确定三角形中所有的角度和边长。
三角函数最重要的用途之一就是计算一个角的大小，给定两条边，可以通过使用三角函数来计算该角的大小。
二、如何使用三角函数解决几何证明问题1. 求解角度大小在几何证明问题中，我们通常需要计算一个角的大小，已知两边（或角）的长度。
这种情况下我们可以使用三角函数来解决问题。
例如，已知一个三角形的两边及它们夹角的余弦值，我们可以使用反余弦函数来计算它们的度数。
2. 求解边长同样地，我们可以使用三角函数来计算三角形中的缺失边长。
例如，在一个直角三角形中，已知一条边长和一个角度，我们可以使用正切函数来计算另一条边长。
3. 利用三角函数的性质进行证明三角函数的某些性质也可以用来解决几何证明问题。
例如，正弦函数和余弦函数互为补角，即sin(90°-x) = cos(x)，cos(90°-x) = sin(x)。
这种性质可以用来证明两个角的和为90度。
类似地，我们可以利用其他三角函数的性质来解决各种几何证明问题。
三、应用三角函数的典型例子1. 求解角度大小使用三角函数来计算角度大小的一个典型例子是夹角定理（余弦定理）。
该定理对于解决与三角形中角度相关的问题非常有用。
例如，已知一个三角形的三条边，我们可以使用余弦函数来计算它的每个角度。
高考数学如何利用三角函数解决复杂的几何问题
高考数学如何利用三角函数解决复杂的几何问题在高考数学中，几何问题是考试中的重点。
解决复杂的几何问题需要运用数学知识和技巧。
而三角函数是在解决几何问题时经常使用的数学工具之一。
本文将介绍如何利用三角函数解决复杂的几何问题。
一、三角函数的基本概念在开始讨论如何利用三角函数解决几何问题之前，首先要了解三角函数的基本概念。
三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数。
在平面直角坐标系中，可以通过定义三角函数的方式来获得它们的值。
正弦函数和余弦函数的取值范围在-1到1之间，而正切函数的取值范围是整个实数集。
三角函数还有一些重要的性质，如定义域和值域等，在解决几何问题时需要深入理解。
二、三角函数在角度计算中的应用1. 正弦函数正弦函数在解决几何问题时经常用于计算角度的正弦值。
例如，已知一个直角三角形的一个角为θ，可以通过正弦函数计算出该角的正弦值。
而已知一个角的正弦值，也可以通过反函数计算出角度。
正弦函数在解决高考数学中的几何问题时具有重要的作用。
2. 余弦函数余弦函数在几何问题中常用于计算角度的余弦值。
例如，在解决平行线相交问题时，可以利用余弦函数计算出两条平行线的夹角的余弦值。
同样地，已知一个夹角的余弦值，也可以通过反函数计算出夹角的大小。
余弦函数也是解决几何问题时常用的关键工具之一。
3. 正切函数正切函数在解决几何问题中的应用较少，但仍然有一定的作用。
正切函数可以用来计算角度的正切值。
例如，在解决相似三角形的比例问题时，可以利用正切函数计算出两个角的正切值并进行比较。
同样地，已知一个角的正切值，也可以通过反函数计算出角度的大小。
三、三角函数在距离、高度和角度的计算中的应用除了在角度计算中的应用，三角函数还可以用于计算距离、高度和角度等几何量。
例如，在解决三角形的边长和高度问题时，可以利用正弦函数和余弦函数计算出相应的几何量。
在解决斜面问题时，也可以利用三角函数计算出物体的高度和角度。
三角函数在几何问题中起着至关重要的作用，能够帮助我们解决复杂的问题。
如何应用三角函数解决空间几何问题
如何应用三角函数解决空间几何问题在数学中，三角函数是一个重要的概念，它们是一组用于描述角和三角形关系的函数。
三角函数被广泛应用于几何、物理、工程、技术等领域中。
在本文中，我们将会探讨如何应用三角函数来解决空间几何问题。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：正弦函数sin θ = 对边÷斜边余弦函数cos θ = 邻边÷斜边正切函数tan θ = 对边÷邻边其中，θ代表角度，对边、邻边、斜边分别代表角的对边、邻边和三角形的斜边。
二、应用三角函数解决空间几何问题1.空间直角坐标系中的点的坐标假设在空间直角坐标系中，有一点P(x,y,z)。
如果已知点P到坐标轴的距离及与坐标轴正方向的夹角，我们可以使用三角函数来求解点P 的坐标。
以P到x轴的距离及与x轴正方向的夹角α为例，可以得出以下公式：x=cosα * D其中，D代表P到x轴的距离。
同理，可以得到以下公式：y=sinαcosβ * Dz=sinαsinβ * D其中，β代表P到y轴的夹角。
2.空间向量的垂直投影当我们需要求解空间向量a在另一个向量b上的垂直投影时，可以采用以下公式：a∙b/|b|^2 * b其中，∙代表点积，|b|代表向量b的模长。
3.三角形的面积当我们需要求解三维空间中三角形的面积时，可以采用以下公式：S=1/2 * |AB∙AC|其中，AB、AC代表三角形两个向量，∙代表点积。
4.直线与平面的交点当我们需要求解直线与平面的交点时，可以采用以下公式：设经过点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)的直线与平面ax+by+cz+d=0相交，交点为P(x,y,z)，则有：t=(−ax1−by1−cz1−d)/(a(x2−x1)+b(y2−y1)+c(z2−z1))x=x1+t(x2−x1)y=y1+t(y2−y1)z=z1+t(z2−z1)其中，t代表交点P在直线AB上的比率。
三角函数在解析几何中的应用
三角函数在解析几何中的应用三角函数是数学中重要的一部分，广泛应用于解析几何中。
解析几何是研究几何图形与代数方程之间关系的学科，通过运用三角函数，我们能够更好地描述和分析几何图形的性质和特征。
本文将探讨三角函数在解析几何中的应用，并介绍一些常见的几何问题解法。
一、三角函数的定义及基本关系在介绍三角函数在解析几何中的应用之前，我们首先需要了解三角函数的定义及其基本关系。
在平面直角坐标系中，以原点为坐标原点，建立x轴和y轴，任意一点P(x, y)对应的角度为θ。
则定义三角函数sinθ为y坐标与斜边的比值，cosθ为x坐标与斜边的比值，tanθ为y坐标与x坐标的比值。
根据这些定义，我们可以得到三角函数之间的基本关系：sin²θ + cos²θ = 1tanθ = sinθ / cosθ这些基本关系对于解析几何中的问题分析和解决非常重要。
二、三角函数在角度和弧度转换中的应用在解析几何中，我们常常会遇到要求将角度转换为弧度或弧度转换为角度的问题。
这时，三角函数将会派上用场。
我们知道，在单位圆上，角度和弧度之间存在着特定的对应关系。
例如，在单位圆上，角度为30°的点对应的弧度为π/6，而角度为45°的点对应的弧度为π/4。
通过使用三角函数，我们可以轻松地进行角度和弧度的相互转换。
三、三角函数在直线和曲线的方程中的应用在解析几何中，我们经常遇到研究直线和曲线的方程的问题。
这时，三角函数能够帮助我们更好地描述这些方程。
以直线方程为例，我们知道直线的方程可以用一般式表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
如果我们将斜率k表示为tanθ的形式，则直线的斜率可以通过三角函数来表示。
对于曲线方程，三角函数同样能够发挥重要作用。
以圆的方程为例，设圆心在原点O，半径为r，那么任意在圆上的点P(x, y)与x轴的夹角θ与半径r的关系可以表示为x = rcosθ，y = rsinθ。
三角函数的应用
三角函数的应用
三角函数是数学中的一种基本函数，广泛应用于各种数学问题中。
本文将介绍三角函数在几何、物理、工程等领域中的应用。
几何应用
1. 求角度：可以利用正弦、余弦和正切函数来求解三角形的角度。
例如，已知三角形两条边的长度，可以通过正切函数求得其夹角。
2. 求边长：三角函数可以用于计算三角形中未知边长的长度。
例如，已知一个角度和与之相邻的一边的长度，则可以通过正弦或余弦函数计算出另外两条边的长度。
3. 解决三角形的面积问题：三角函数可以帮助计算不规则三角形的面积。
例如，可以通过正弦公式求出三角形面积。
物理应用
1. 物体运动的计算：正弦和余弦函数可以用来描述物体在水平
方向和垂直方向的运动。
2. 振动和波动：三角函数也被广泛运用于描述振动和波动现象。
例如，正弦函数可以描述声波的传播，余弦函数可以描述气体分子
在空气中的振动。
工程应用
1. 静力学：三角函数可以用来解决物体在平衡状态下的问题。
例如，可以通过正弦和余弦函数计算某个角度对应的平衡点位置。
2. 电学：三角函数可以用来描述交流电路的行为。
例如，可以
利用正弦函数描述电流和电压的周期变化。
综上所述，三角函数在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，是数学中的一种基本工具。
掌握三角函数的应用可以帮助我们
更好地理解和解决各种实际问题。
如何应用三角函数解决初中几何问题
如何应用三角函数解决初中几何问题在初中数学的学习过程中，几何问题是一个重要的知识点。
而三角函数作为几何学的重要工具，可以帮助我们解决很多初中几何问题。
本文将介绍如何应用三角函数来解决初中几何问题，并以具体案例进行说明。
一、利用正弦定理解决三角形问题正弦定理是应用三角函数解决三角形问题的重要工具之一。
当我们遇到三角形的边长和角度的关系问题时，可以利用正弦定理来求解。
正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别是三角形的边长，A、B、C分别是三角形对应的角度。
例如，已知三角形ABC，已知角A的度数为40°，边AC的长度为10 cm，边BC的长度为8 cm，我们可以利用正弦定理来求解角B的度数。
根据正弦定理可得：10/sin40° = 8/sinB通过求解这个方程，可以得到sinB的值，再通过逆正弦函数求解出角B的大小。
二、利用余弦定理解决三角形问题余弦定理也是应用三角函数解决三角形问题的重要方法之一。
当我们已知三角形的两边和夹角的关系时，可以利用余弦定理求解未知角度或边长。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c分别是三角形的边长，C为两边夹角的大小。
例如，已知三角形ABC，已知边AB的长度为4 cm，边AC的长度为5 cm，角B的度数为60°，我们可以利用余弦定理来求解边BC的长度。
根据余弦定理可得：BC² = 4² + 5² - 2*4*5*cos60°通过求解这个方程，可以得到BC的长度。
三、利用正弦函数解决高度问题在解决一些高度与角度的关系问题时，可以利用正弦函数来求解。
例如，已知一个三角形ABC，已知角A的度数为30°，边AB的长度为10 m，需要求解边BC的垂直高度CD。
根据正弦函数我们可以得到 sin30° = CD / 10通过求解这个方程，可以得到CD的长度。
利用三角函数性质解决几何证明问题
利用三角函数性质解决几何证明问题三角函数是数学中非常重要的概念，它们在几何证明问题中起着关键的作用。
本文将探讨一些利用三角函数性质解决几何证明问题的方法。
一、余弦定理余弦定理是三角函数中的一条重要公式，可以用来求解三角形的边长和角度。
假设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC利用余弦定理，我们可以解决一些与三角形边长和角度相关的几何证明问题。
例如，证明角平分线的性质。
假设在三角形ABC中，角A的角平分线交边BC于点D。
我们需要证明BD/DC = AB/AC。
根据余弦定理，我们可以得到：AC² = AD² + CD² - 2AD⋅CD⋅cos∠DACAB² = AD² + BD² - 2AD⋅BD⋅cos∠BAD将这两个方程相除，可以得到：AC²/AB² = (AD² + CD² - 2AD⋅CD⋅cos∠DAC)/(AD² + BD² -2AD⋅BD⋅cos∠BAD)化简上述表达式，可以得到:BD/DC = AB/AC这就证明了角平分线的性质。
二、正弦定理正弦定理是三角函数中的另一条重要公式，可以用来求解三角形的边长和角度。
假设三角形ABC的三边长度分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC利用正弦定理，我们可以解决一些与三角形边长和角度相关的几何证明问题。
例如，证明正弦定理本身。
我们需要证明a/sinA = b/sinB = c/sinC。
根据正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinBb/sinB = c/sinC我们需要证明a/sinA = c/sinC。
将上述两个方程相乘，可以得到：(a/sinA)⋅(b/sinB) = (b/sinB)⋅(c/sinC)化简上述表达式，可以得到：a/sinA = c/sinC这就证明了正弦定理本身。
高中数学三角函数的应用
高中数学三角函数的应用三角函数是数学中一项重要的内容，其应用广泛。
在高中数学课程中，学生要学习三角函数的基本概念和性质，并掌握其在几何图形、物理问题、振动问题等方面的应用。
本文将探讨三角函数在这些领域的具体应用。
一、三角函数在几何图形中的应用1. 正弦函数的应用正弦函数可以用来描述直角三角形中三角形的边长比例关系。
在几何图形中，我们可以利用正弦函数求解未知角的大小。
例如，在一个已知底边和对角边的直角三角形中，可以利用正弦函数求解未知角的大小。
2. 余弦函数的应用余弦函数也可以用来描述直角三角形中三角形的边长比例关系。
在几何图形中，我们可以利用余弦函数求解未知角的大小。
例如，在一个已知底边和斜边的直角三角形中，可以利用余弦函数求解未知角的大小。
3. 正切函数的应用正切函数可以用来描述直角三角形中的角的切线斜率。
在几何图形中，我们可以利用正切函数求解角的切线斜率。
例如，在一个已知两条边长的直角三角形中，可以利用正切函数求解角的切线斜率。
二、三角函数在物理问题中的应用1. 轨迹问题三角函数在描述物体运动轨迹的问题中有重要应用。
例如，一个物体在水平方向以匀速运动，垂直方向受到重力的作用。
我们可以利用正弦函数描述物体在垂直方向上的位移，利用余弦函数描述物体在水平方向上的位移。
2. 振动问题三角函数在描述振动问题中也有重要应用。
例如，一个物体在弹簧的作用下进行简谐振动，其运动可以用正弦函数或余弦函数来表示。
我们可以利用三角函数的性质来计算振动的频率、周期和相位。
三、三角函数在数学建模中的应用1. 弧度和角度的转换在数学建模中，我们经常需要将角度转换为弧度或将弧度转换为角度。
这涉及到三角函数的应用。
通过三角函数的性质和公式，我们可以轻松地进行这样的转换，以满足建模需求。
2. 复数的表示在数学建模中，复数的表示也涉及到三角函数的应用。
复数可以用幅角和角度表示，其中幅角可以通过三角函数来求解。
通过利用三角函数的性质，我们可以实现复数的运算和表示。
利用三角函数解简单几何问题
利用三角函数解简单几何问题在初中数学中，我们经常会遇到一些涉及几何的问题，如求解三角形的边长、角度等。
而解决这些问题的一个重要工具就是三角函数。
本文将以一些具体的例子来说明如何利用三角函数解决简单的几何问题，并希望能够帮助中学生及其父母更好地理解和应用三角函数。
例一：已知一个直角三角形的斜边长为5cm，其中一个锐角的正弦值为0.6，求另一个锐角的正弦值。
解析：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。
设另一个锐角的正弦值为x，则有：0.6 = 对边长度 / 5通过移项，得到对边长度 = 0.6 * 5 = 3cm因此，另一个锐角的正弦值为3 / 5 = 0.6。
通过这个例子，我们可以看到，利用正弦函数，我们可以求解一个直角三角形中的各个边长和角度。
例二：已知一个等边三角形的边长为4cm，求其内角的正弦值。
解析：由于等边三角形的三个内角均相等，设每个内角的正弦值为x，则有：x = 对边长度 / 斜边长度由于等边三角形的三边均相等，所以对边长度等于斜边长度，即：x = 4 / 4 = 1因此，等边三角形的内角的正弦值为1。
通过这个例子，我们可以看到，利用正弦函数，我们可以求解一个等边三角形中的内角的正弦值。
例三：已知一个直角三角形的斜边长为10cm，其中一个锐角的余弦值为0.8，求另一个锐角的余弦值。
解析：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比值。
设另一个锐角的余弦值为x，则有：0.8 = 邻边长度 / 10通过移项，得到邻边长度 = 0.8 * 10 = 8cm因此，另一个锐角的余弦值为8 / 10 = 0.8。
通过这个例子，我们可以看到，利用余弦函数，我们可以求解一个直角三角形中的各个边长和角度。
通过以上几个例子，我们可以看到，三角函数在解决几何问题中起到了至关重要的作用。
在实际应用中，我们可以根据已知条件，选择合适的三角函数来求解问题。
同时，我们还可以通过利用三角函数的性质，进一步推导出一些结论，从而解决更复杂的几何问题。
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三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a 的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当A=90°时，sinA和cosA=1；当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，∴sinA+cosA＞当A=45°时，sinA+cosA=当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞∴sinA+cosA＞∵1, 都大于.∴淘汰（A）、（C），选（B）.例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）（A）-1 （B）2-（C）-1（D）（E）分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，ctg67°30′=ctg∠DCB=∴选(A).例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:R≤a²证明作△ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则x+a=y+b, ①且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,x-a=y-b. ②①+②得,x=y.从而知a=b.∴GE=BC=a.设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0 ①x2+2xsinA2+sinA3=0 ②x2+2xsinA3+sinA1=0 ③都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.解∵各内角只能是、、、，∴正弦值只能取当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）=0.方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.综上所述，可知sinA1=1，A1=.同理，A2=A3=.这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且A4+A5+A6=4³2.解三角形和三角法定理推论设a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.（1）解三角形例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC 和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα解如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.∴应选(C).例6 (1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c, ∠A=α,求内接正方形的边长.解过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得又∵△ABC∽△GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4解由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF²AB=AE²AC.在Rt△ABE中，∠ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例8 (1981年上海中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.证明如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②由①、②和代数基本不等式，得例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.解如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例10 (1964年福建中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:a n+b n＜c n.分析如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sin nα+cos nα＜1来讨论.证明设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则竞赛讲座－平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。
解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。
即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。
【例2】若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。
解：∵在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴sin(cosφ)< cosφ。
∵在（0，）中，y=cosx单调递减，∴cosφ< cos(sinφ)。
∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。
【例3】已知x,y∈[-，]，a∈R，且。
求cos(x+2y)的值。
解：原方程组化为。
∵x,-2y∈[-，]，函数f(t)=t3+sint在[-，]上单调递增，且f(x)=f(-2y)∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。
【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝c， cos（sind）＝ d．证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0，∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。
显然c∈（0，）。
且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。
故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例5】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。
比较α、β、γ的大小。
解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ<。
∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。
作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。
【例6】n∈N，n≥2，求证：cos²cos² ²²² ²cos>。
证明：∵0<<<²²²<<<1，∴0<sin<，cos2=1-sin2>1-=，k=2，3，…，n。
∴(cos²cos² ²²² ²cos)2>(²)²(²)²(²)²²²(²)=²>>()2，∴cos²cos² ²²² ²cos>。
二、三角恒等变换众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。
要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。
【例1】（1）已知cosβ= -，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα的值。
（2）已知sin(-α)= ，求的值。
提示：（1）sinα=。
（2）sin2α=1-2 sin2(-α)=；=。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求cos cos cos…cos的值。