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2012-2014年高考抛物线解答题汇编(修订版)

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2012届高考数学一轮精品12.3抛物线(考点疏理+典型例题+练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品12.3抛物线(考点疏理+典型例题+练习题和解析)

2012届高考数学一轮精品：12.3抛物线（考点疏理+典型例题+练习题和解析）12.3抛物线【知识网络】1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．2．了解抛物线简单应用．3．进一步体会数形结合思想．【典型例题】[例1]（1）设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为（ ）Ａ、 (a,0) Ｂ、 (0,a) Ｃ、 (0,a161) Ｄ、 随a 的符号而定 （2）顶点在原点，准线为y=2的抛物线方程为（Ｄ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．x 2=8yD ．x 2=－8y（3）已知：Ｐ为抛物线ｙ＝241x 上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1,1)，则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为 （ ）A ．1617 B ．2 C ．12+ D ．12-（4）已知抛物线y 2=4x 过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12＋y 22的最小值是 ．（5）已知抛物线C 1：y=2x 2与抛物线C 2关于直线y=-x 对称，则C 2的准线方程是 .[例2] 抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－３与抛物线相交于点Ａ，5=AF ，求抛物线的标准方程．[例3]如图，抛物线px y 22=的弦21P P 交x 轴于点Q ，过1P 、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证：OQ 是OM 和ON 的比例中项．[例4] 如图，M （a ，0）（a ＞0)是抛物线y 2=4x 对称轴上一点，过M 作抛物线的弦AMB ，交抛物线与A ，B ．（1）若a =2，求弦AB 中点的轨迹方程；（2）过M 作抛物线的另一条割线CMD （如图），与抛物线交于CD ，若AD 与y 轴交与点E ，连ME ，BC ，求证：ME ∥BC ．【课内练习】1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ）A ．(716 ,0)B ．(－732 ,0)C ．(0,－ 732 )D ．(0,－ 716) 3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ）A ．43B ．75C ．85D ．3 4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为 （ ）A ．（2，±2 2 ）B ．（1，±2）C ．（1，2）D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ．6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ．8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ．（1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？12.3抛物线【典型例题】例1 （1）C ．提示：注意抛物线的开口方向．（2）D ．提示：逆用准线方程公式．（3）B ．提示：用抛物线定义结合三角形的性质．（4）32．提示：设出过点P 的直线方程与抛物线方程联列，用韦达定理及配方法．（5）x=18．提示：在抛物线方程中，先用－x 换y ，同时用－y 换x ．得到对称抛物线的标准方程．例2. 设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：)0(22≠=p px y ，)3,(-m A 则由抛物线的定义得25p m AF +==，又pm 2)3(2=- 所以9,1±=±=p p故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,222±=±=例3、设点1P 、2P 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则直线21P P 的方程为 121121x x x x y y y y --=-- ① 由于点Ｑ是直线21P P 和x 轴的交点，令y ＝０得点Ｑ的横坐标为212112y y y x y x x --=． 点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则112px y =，222px y -=． 代入①，得2121122222px px px x px x x ++=＝21x x ， 所以ON OM OQ =2即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．例4、（1）当AB 斜率存在时，由a=2,设其方程为y=k (x －2)，弦AB 中点为（x 0,y 0)由24(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得22224(1)40k x k x k -++=△=16（k 2＋1)2－16k 4=32k 2＋16＞0212022120122222212(22)22x x k x k k y y y kx k kx k k ⎧++===+⎪⎪⎨+⎪==-+-=⎪⎩消去k 得y 02=2x 0－4(x 0＞2)当AB 斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），满足y 02=2x 0－4． 综上所述，弦AB 中点的轨迹方程y 2=2x －4．（2）证明：设A （t 12,－2t ),B （t 22, 2t 2),C （t 32,－2t 3),D （t 42,－2t 4),其中t 1，t 2，t 3，t 4均为正数，用两点式求得AB 的方程为 y(t 2－t 1)＋2t 1t 2=2xCD 的方程为y (t 4－t 3)＋2t 3t 4=2x AB ,CD 都经过点M ，故t 1t 2= t 3t 4=a ， AD 的方程为y(t 4－t 1)＋2t 1t 4=2xAD 与y 轴交点为E （0，14142t t t t -） k ME =14412()t t a t t - 而k BC =23222323222t t t t t t +=--=142a a t t -=14412()t t a t t - ∴k ME =k BC ，ME ∥BC ．【课内练习】1．C ．提示：利用抛物线的定义．2．B ．提示：先将方程化成标准形式．3．A ．提示：设出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，用△法求出直线方程，再求两平行线间的距离．4．B ．提示：依据对称性排除C ，D ，再用坐标法排除A ．5．(－9,±6)．提示：利用抛物线的定义先求出p ．6．]221,41(+．提示：联想抛物线定义． 7．y 2=16x ．提示：运用抛物线定义．8．p=3．提示：运用通径的性质．9．（1）抛物线的方程为x 2= 23 y ；（2）所求点M，12 ）10．(1) 设M (x 1，y 1 )，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0 )则[ x —（a +4）]2 + y 2 = 16 ( y≥0)用y 2 = 4ax (a>0) 代入得x 2 + 2 (a —4)x + 8a + a 2 = 0由4△= ( a —4)2 — (8a + a 2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A 为焦点 ∴ |AM| + |AN| = (x 1 + a ) + (x 2 + a) = x 1 + x 2 + 2a = 8—2a + 2a = 8.(3) 若存在a 使使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列即 2|AP| = |AM| + |AN| = 8 ∴ |AP| = 4则 (x 0—a )2 + y 02 = 16，x 0 =221x x + = 4—a ，y 0 =21（y 1 + y 2）( 4—2a )2 + a [ 8— ∴ a = 1 与 0 < a < 1 矛盾故a 不存在.。

高中数学抛物线练习(有答案)

高中数学抛物线练习(有答案)

1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。

所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。

所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。

所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳：抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

2014全国高考数学解析几何大题汇编答案

2014全国高考数学解析几何大题汇编答案

2014全国高考数学解析几何大题汇编1．[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．图1-7(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．1．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x－c )，所以B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2.又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值． 2．[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q . ①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．2．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1. (2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3.所以直线OM 的斜率k OM ＝－m 3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得，|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．3．[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．3．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.4．[2014·北京卷] 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．4．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0.圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 2＝4，t ＝－2y 0x 0，故 d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．5．[2014·重庆卷] 如图1-4所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程； (2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．5．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c .从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1→＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.6．[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．6．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 7．[2014·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-6所示)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．7．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0，0，⎝⎛⎭⎫0，4y 0.故其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知，当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值2，此时S 有最小值4，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此可设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1，解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0. 设直线l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋2 3my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2 3mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2，②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋2 3＝4 3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3m （y 1＋y 2）＋3＝6－6m2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0，⑤将①②③④代入⑤式整理得2m 2－2 6m ＋4 6－11＝0，解得m ＝3 62－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(3 62－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.8．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．8．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4tt 2＋4＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .9．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.10．[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1-510．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*)设点P 的坐标为(x P ，y P )， ∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4.同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．11．[2014·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l与该圆相切，求直线l 的斜率．11．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 12．[2014·浙江卷] 如图1-6，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l的距离的最大值为a －b .12．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2. 又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2m b 2＋a 2k 2.(2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k 2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.因为a 2k 2＋b 2k 2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab ＝a －b ，当且仅当k 2＝b a 时等号成立． 所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .13．[2014·福建卷] 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1-613．解：方法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c a ＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝⎛⎭⎫－mk ，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪2m 2－k －2m 2＋k ＝8，即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)．又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x得y 1＝2t1－2m ， 同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4. 所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a 2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0.因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0， 即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.14．[2014·安徽卷] 如图1-4，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．图1-4(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点，记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．14．解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ， 得A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1.同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 22，2p 2k 2.所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1， A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2 (2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2|A 2B 2→|知，|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2，故S 1S 2＝p 21p 22.15．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．15．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1.当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．16．[2014·山东卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E .①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．16．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①证明：由(1)知F (1，0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D >0)．因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)．所以直线AE 过定点F (1，0)．②由①知，直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由y 0≠0，得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0.代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0， 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

2014高考数学真题汇编（解析几何）部分

2014高考数学真题汇编（解析几何）部分

2014高考数学真题汇编（解析几何）部分2014解析几何部分：一选择题1（2014全国大纲卷）6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，离心率为2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为 A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124 x y += 2（全国大纲卷）9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（） A ．14 B ．13 CD3（2014课标1）4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB .3 CD .3m4（2014课标1）10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 5（2014新课标2）10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A.B.C. 6332D. 946（2014辽宁卷）10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学科网过点A 的直线与C在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．437（2014福建卷）10设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（） A.25 B.246+ C.27+ D.268（2014广东卷）4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等9（2014四川卷）10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（）A 、2B 、3 CD二填空题1（2014全国大纲卷）15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2（2014新课标2）16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.3（2014陕西卷）12若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.4（2014辽宁卷）15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .5（2014广东卷）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿6（2014湖南卷）15.如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.7（2014四川卷）14设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ?的最大值是____________8（2014上海卷）3若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.9（2014上海卷）14.已知曲线C：x =l ：x=6。

(精编)高中数学高考总复习抛物线习题及详解

(精编)高中数学高考总复习抛物线习题及详解

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1 的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上 的一点，F 为抛物线 的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴 的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点 的纵坐标为2，则该抛物线 的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1 的渐近线上一点A 到双曲线 的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线 的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1 的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上 的一个动点，则点P 到点(0,2) 的距离与点P 到该抛物线准线 的距离之和 的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线 的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2) 的距离与点P 到抛物线 的准线 的距离之和 的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2) 的距离与点P 到焦点F 的距离之和 的最小值，结合图形不难得知相应 的最小值就等于焦点F 与点(0,2) 的距离，因此所求 的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上 的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点) 的面积之比为31，则点A 的坐标为()A．(2,22) B．(2，－22)C．(2，±2) D．(2，±22)[答案] D[解析]如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点) 的面积之比为3∶1，∴S△AMFS△AOF＝12×|AF|×|AM|×sin∠MAF12×|OF|×|AF|×sin(π－∠MAF)＝3，∴|AM|＝3，设A⎝⎛⎭⎫y024，y0，∴y024＋1＝3，解得y0＝±22，∴y024＝2，∴点A的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5) 的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0) 的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－32xC．y2＝4x D．y2＝－4x[答案] D[解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5) 的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F⎝⎛⎭⎫m4，0，∴m＝－4，故选D.8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上 的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样 的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0) 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切 的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时 的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为60° 的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线 的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0) 的焦点 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线 的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线 的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点 的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p 2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB | 的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦 的中点，且这条弦所在直线 的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1) 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线 的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2) 的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0) 的焦点在椭圆C 1 的顶点上．(1)求抛物线C 2 的方程；(2)若过M (－1,0) 的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2 的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆 的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆 的上顶点为(0,1)，即抛物线 的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线 的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2 的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点 的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14 的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件 的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，。

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习

抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。

历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上， 将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析 如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一 抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ， 则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1， 作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二 抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)， 由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ， 则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上， 且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )， 则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ， 即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |， 即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ， 代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ， 则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ， 可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6， 从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析 由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)， 则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6， 所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4， 所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2， 由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析 由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析 由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析 设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22， 又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2， 所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ， 所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ， 代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。

2014 届高考解析几何专题复习试题汇编.doc

专题七 解析几何1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：选C.由e ＝52，得c a ＝52，∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x .2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 20＝42x 0＝42×32＝24， ∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33 解析：选D.如图，由题意知s in 30°＝|PF 2||PF 1|＝12， m∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1)C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)解析：选C.设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ， ∴13|BF |＋1|BF |＝1， ∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2θ，∴163＝4sin 2θ， ∴s in 2θ＝34，∴s in θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.故选C.6．(2013·高考大纲全国卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是 ( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]解析：选B.由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P (2619，2419)，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P (27，127)，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]． 7．(2013·高考大纲全国卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8．(2013·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选D.抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 9．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04解析：选A.设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．10．(2013·高考山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433解析：选D.∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′(0，p2)．设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433.11．(2013·高考浙江卷)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D.由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3，所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.12．(2013·高考北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623 解析：选C.∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83. 13．(2013·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2p x (p>0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选C.由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p·p 2＝3，可得p ＝2.14．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m>12 B ．m ≥1C ．m>1D ．m>2解析：选C.∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e>2，∴1＋m>2，∴m>1.15．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25 B.45 C .255 D.455解析：选C.双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.16．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线a x －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C.由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线a x －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a|1＋a 2＝5，解得a ＝2.17．(2013·高考福建卷)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A .12 B.22 C ．1 D. 2 解析：选B.双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，∴x ±y ＝0，∴顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22.18．(2013·高考湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C .83 D.43 解析：选D.分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为AB ＝AC ＝4，故B(4,0)，C(0,4)．设P(t,0)为线段AB 上的点，点P 关于AC 的对称点P ′(－t,0)．点P 关于直线BC 的对称点为M(4,4－t)．由光的反射定理知，点P ′，M 一定在直线RQ 上．又△ABC的重心坐标为G(43，43)，由题意知点G 在线段RQ 上，即P ′，G ，M 三点共线．∵P ′G →＝(43＋t ，43)，MP ′→＝(－4－t ，t －4)，P ′G →∥MP ′→，∴(43＋t)(－4＋t)－43(－4－t)＝0，解得t ＝43， 即|AP →|＝43.19．(2013·高考辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0解析：选C.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a＝－1， 所以a(a 3－b)＝－1，即b －a 3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 20．(2013·高考陕西卷)已知点M(a ，b)在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线a x ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B.由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交．21．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33. 22．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝co s θ，b ＝s in θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝s in θ，b ＝s in θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ.故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等．23．(2013·高考江西卷)已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C . 1∶ 5D ．1∶3 解析：选C.如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN ∽△FOA ，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12， 则|MH|∶|MN|＝1∶5， 即|MF|∶|MN|＝1∶ 5.24．(2013·高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D.双曲线C 1和C 2的实半轴长分别是s in θ和co s θ，虚半轴长分别是co s θ和s in θ，则半焦距c 都等于1，故选D.25．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C . 3 D ．1 解析：选D.抛物线y 2＝8x 的焦点为F(2,0)，则d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝1.故选D.26．(2013·高考四川卷)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A .24 B.12 C .22 D.32解析：选C.设P(－c ，y 0)，代入椭圆方程求得y 0，从而求得k OP ，由k OP ＝k AB 及e ＝ca可得离心率e.由题意设P(－c ，y 0)，将P(－c ，y 0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得c 2a 2＋y 20b 2＝1，则y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 2·a 2－c 2a2＝b 4a 2. ∴y 0＝b 2a 或y 0＝－b 2a (舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac.∵A(a,0)，B(0，b)，∴k AB ＝b －00－a ＝－ba .又∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，∴－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c.∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c 2＝22.故选C. 27．(2013·高考四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A .12 B.32 C ．1 D. 3解析：选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32 或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 28．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3， ∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 29．(2013·高考重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2 解析：选B.如图，圆心M(3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.30．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b|12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.31．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，故选B.32．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A .x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C .x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y23＝1，故选D.33．(2013·高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6 解析：选C.圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP|＝R 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4. 34．(2013·高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 解析：设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r ＝2，当弦过点A(3,1)且与CA 垂直时为最短弦． |CA|＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2.∴半弦长＝r 2－|CA|2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2. 答案：2 2 35．(2013·高考安徽卷)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．解析：设C(x ，x 2)，由题意可取A(－a ，a)，B(a ，a)， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a)x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a)y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )>0，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)36．(2013·高考江苏卷)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x37．(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系x Oy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2,若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c.又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca.由已知可得b 2c ＝6·bca，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：3338．(2013·高考浙江卷) 直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________. 解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 5 39．(2013·高考北京卷)若抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．解析：∵ 抛物线y 2＝2p x 的焦点坐标为(p2，0)，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1. 答案：2；x ＝－1 40．(2013·高考浙江卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P(－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案：±141．(2013·高考天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y23＝142．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－143．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，co s ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF|＝|BF 1|＝6，|BO|＝|AO|.在△ABF 中，设|BF|＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF|＝8.所以∠BFA ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO|＝|AO|，所以|OF|＝12|AB|＝5，即c ＝5.所以e ＝57. 答案：5744．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：x 216－y2m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m.而e ＝54，∴16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：945．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c. 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－146．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a ，|QF|－|QA|＝2a ，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a ，则|PF|＋|QF|＝4a ＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：4447．(2013·高考陕西卷)双曲线x 216－y 29＝1的离心率为________．解析：由题意a 2＝16⇒a ＝4.又b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25⇒c ＝5，故e ＝c a ＝54.答案：5449．(2013·高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a. 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a. ∵在双曲线中c>a ，∴在△PF 1F 2中|PF 2|所对的角最小且为30°. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|co s 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，即3a 2＋c 2－23ac ＝0.∴(3a －c)2＝0，∴c ＝3a ，即ca＝ 3.∴e ＝ 3.答案： 350．(2013·高考江西卷)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 答案：651．(2013·高考江西卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．解：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c.代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B(2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，①①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D(0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P(x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0，联立，得⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)．52．(2013·高考四川卷)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M(2,4)． 答案：(2,4) 53．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解： 由已知得圆M 的圆心为M(－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r 2＝4.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝Rr 1，可求得Q(－4,0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627，所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.54．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.55．(2013·高考大纲全国卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，将其代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8 ＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1. 由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23，故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16， 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列．56．(2013·高考山东卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值． 解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.由题意知2b2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)， 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|(32x 0＋2)2＝|m －3|(32x 0－2)2.因为－3<m<3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0.因此－32<m<32.法二：设P(x 0，y 0)，当0≤x 0<2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P(3，－12)．若P(3，12)，则直线PF 1的方程为x －43y ＋3＝0.由题意得|m ＋3|7＝3－m ，因为－3<m<3，所以m ＝334.若P(3，－12)，同理可得m ＝334.②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22，所以(m ＋3)2(m －3)2＝1＋1k 211＋1k 22.因为x 204＋y 20＝1，且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以(m ＋3)2(m －3)2＝4(x 0＋3)2＋4－x 204(x 0－3)2＋4－x 20＝3x 20＋83x 0＋163x 20－83x 0＋16＝(3x 0＋4)2(3x 0－4)2，即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|. 因为－3<m<3，0≤x 0<2且x 0≠3，所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0，整理得m ＝3x 04，故0≤m<32且m ≠334.综合①②可得0≤m<32.当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0.综上所述，m 的取值范围是(－32，32)．(3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2k x 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k (1k 1＋1k 2)＝(－4y 0x 0)·2x 0y 0＝－8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.57．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系x Oy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →，求实数t 的值．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m. 由题意得－2<m<0或0<m< 2.将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y|＝ 2－m 22.所以 S △AOB ＝|m|·2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.①因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(2m,0)＝(mt,0)，又P 为椭圆C 上一点，所以(mt )22＝1.②由①②，得t 2＝4或t 2＝43，又t>0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝k x ＋h.将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kh x ＋2h 2－2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k 2，所以|AB|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k 2，所以S △AOB ＝12|AB|d ＝12×22×1＋k 2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|1＋k 2 ＝2×1＋2k 2－h 21＋2k 2×|h|.又S △AOB ＝64，所以2×1＋2k 2－h 21＋2k2×|h|＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0.解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④因为OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2)， 又P 为椭圆C 上一点，所以t 2[12(－2kh 1＋2k 2)2＋(h 1＋2k 2)2]＝1， 即h 2t 21＋2k 2＝1.⑤ 将④代入⑤，得t 2＝4或t 2＝43.又t>0，故t ＝2或t ＝233.经检验，适合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝23 3.58.(2013·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系x Oy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝k x ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125]．59．(2013·高考浙江卷)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求|MN |的最小值.解：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2|＝82|x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2 (5t ＋35)2＋1625≥852.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.60．(2013·高考安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明：设出点P 的坐标，并求出其横、纵坐标的关系式． 注意点在直线上时，点的坐标满足直线方程．设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －y 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)．因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2， 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．61．(2013·高考北京卷)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 解：(1)因为四边形OABC 为菱形， 所以AC 与OB 互相垂直平分．所以可设A (t ，12)，代入椭圆方程得t 24＋14＝1，即t ＝±3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 所以AC 的中点为M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)．因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·(－14k)≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．62．(2013·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解：(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线C D 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.63.(2013·高考浙江卷)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△AB D 面积取最大值时直线l 1的方程．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D(x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2，所以|P D|＝8k 2＋14＋k 2.设△AB D 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|P D|＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.64．(2013·高考福建卷)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1.。

历年高考抛物线真题详解理科定稿版

历年高考抛物线真题详解理科精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】历年高考抛物线真题详解理科1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．102.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）（B ）（C ）（D ）13.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)ypx =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A （B ）23（C （D ）1 4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24yx =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

2012年高考数学试题分类考点42 抛物线

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考点42 抛物线一、选择题1.（2012·山东高考文科·Ｔ11）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ） (A)283x y =(B)2163x y =(C)28xy = (D)216xy =【解题指南】本题关键利用离心率求出渐近线方程，而抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，再利用点到直线的距离公式求出p. 【解析】选D.因为双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2==a ce ，所以c=2a ，所以()22222a b a c =+=，a b 3=，双曲线的渐近线为xa by ±=， 即x y 3=.抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点⎪⎭⎫⎝⎛2,0p 到双曲线1C 的渐近线x y 3=的距离为：所以p=8, 所以抛物线2C 的方程为216xy =.二、填空题2.（2012·陕西高考文科·Ｔ14）与（2012·陕西高考理科·Ｔ13）相同如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【解题指南】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为22x py =-（0p >），则点（2，-2）在此抛物线上 代入可求出抛物线的方程是22xy =-，当3y =-时，22(3)6x =-⨯-=，所以6x =±，水面宽是26米.【答案】263.（2012·北京高考理科·Ｔ12）在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该抛物线相交于A ，B 两点.其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60º.则△OAF 的面积为 .【解题指南】写出直线l 的方程，再与抛物线方程联立，解出A 点坐标，再求面积.【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，直线:3(1)l y x =-.由解得(3,23)A ，12(,3)33B .所以112332OAF S ∆=⨯⨯=34.（2012·天津高考文科·Ｔ11）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与双曲线222:1416x y C -=有相同的渐近线，且1C 的右焦点为5F （，0），则________________,a b ==.【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解.【解析】由题意可得22b 4a 2a b 5⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1,2a b ==. 【答案】1 2 三、解答题5.（2012·江西高考理科·Ｔ20）已知三点O （0,0），A （-2,1），B （2,1），曲线C 上任意一点M （x ，y ）满足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r.（1） 求曲线C 的方程.（2）动点Q （x 0，y 0）（-2＜x 0＜2）在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P （0，t ）（t ＜0），使得l 与PA ，PB 都相交，交点分别为D,E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值.若不存在，说明理由. 【解题指南】（1）将各点坐标代入||()2MA MB OM OA OB +=⋅++u u u ru u u ru u u u r u u u r u u u r.，化简整理即得曲线C 的方程；（2）根据题目中的已知条件用t 表示出QAB PDES S ∆∆，探求当QAB PDES S ∆∆之比为常数时，t 所满足的等式条件，根据条件建立方程或方程组，求得t 的值.【解析】（1）由()()2,1,2,1MA x y MB x y =---=--u u u r u u u r ，()()(),0,22MA MB OM OA OB x y y +=⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，22y =+， 化简得曲线C 的方程：24x y =. (2)假设存在点()()0,0P t t <满足条件， 则直线PA 的方程是1,2t y x t PB -=+的方程是1.2ty x t -=+ 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是00,24x x y x =-它与y 轴的交点为200,4⎛⎫- ⎪⎝⎭x F .由于022x -<<，因此0112x -<<.① 当10t -<<时，11122t --<<-，存在()02,2x ∈-，使得0122x t -=， ② 当1t ≤-时，00111,12222--≤-<≥>x x t t ，所以l 与直线PA ，PB 一定相交，分别联立方程组2001224-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t y x t x x y x ，，2001224-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t y x t x x y x ，，解得D ，E 的横坐标分别是 ()()22000044,2+12+1D E x t x tx x x t x t ++==--，则()()2022041,1E D x t x x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有()()220220411281PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-⋅⋅-=⋅--＝， 又22004141242QABx x S ∆⎛⎫-=⋅⋅-=⎪⎝⎭， 于是()()()2220022041414QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+ ()()22420042200414141816⎡⎤-+-+-⎣⎦=-++g x t x t t x tx t. 对任意()02,2x ∈-，要使QAB PDES S ∆∆为常数，即只需t 满足()()222418,4116,⎧---=⎪⎨-=⎪⎩t t t t 解得 1.t =-此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2.6.（2012·新课标全国高考理科·T20）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD °，ABD ∆的面积为24，求p 的值及圆F 的方程.（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点， 求坐标原点到,m n 距离的比值.【解题指南】（1）由∠BFD=90°及抛物线的对称性可推知BFD ∆为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质表示出ABD ∆的面积，建立等式关系求得p 的值，然后由圆心和半径写出圆的方程；（2）由“A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行”这一条件求出直线,m n 的斜率，设出直线n 的方程，与抛物线方程联立，利用两者只有一个公共点（0∆=），可求得直线n 的方程（方程中含有p ），然后根据距离公式求出坐标原点到m ，n 距离的比值.【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角三角形，斜边2BD p =， 点A 到准线l 的距离2d FA FB p ===所以()0,1F ， 圆F 的方程为22(1)8x y +-=. (2)因为A 、B 、F 三点在同一直线上，所以AB 为圆F 的直径，90ADB ∠=︒. 由抛物线定义知12AD FA AB ==，所以30ABD ∠=︒，m 的斜率为3或3.当m 的斜率为3时，由已知可设3:n y x b =+，代入22x py =得223203x px pb --=由于n 与C 只有一个公共点，故24803p pb ∆=+=，解得6pb =-. 因为m 的截距12p b =，13b b =，所以坐标原点到,m n 距离的比值为3.当m 的斜率为3时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.7.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ20）设抛物线C ：x 2=2py(p>0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点. （1）若∠BFD=90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程.（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.【解题指南】（1）由∠BFD=90°及抛物线的对称性可推知BFD ∆为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质表示出△ABD 的面积，建立等式关系求得p 的值，然后由圆心和半径写出圆的方程.（2）由“A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行”这一条件求出直线,m n 的斜率，设出直线n 的方程，与抛物线方程联立，利用两者只有一个公共点（0∆=），可求得直线n 的方程（方程中含有p ），然后利用距离公式求出坐标原点到m ，n 距离的比值.【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角三角形，斜边2BD p =， 点A 到准线l 的距离2d FA FB p ===，所以()0,1F ， 圆F 的方程为22(1)8x y +-=. (2)因为A ，B ，F 三点在同一直线上，所以AB 为圆F 的直径，90ADB ∠=︒. 由抛物线定义知12AD FA AB ==，所以30ABD ∠=︒，m 的斜率为33或33-.当m 的斜率为3时，由已知可设3:3n y x b =+，代入22x py =得22320x px pb --=由于n 与C 只有一个公共点，故24803p pb ∆=+=.解得6p b =-. 因为m 的截距12p b =，13b b =，所以坐标原点到,m n 距离的比值为3.当m 的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.综上可得坐标原点到m ，n 距离的比值为3.关闭Word 文档返回原板块。

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1．（2013福建文）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ．（1）若点C 的纵坐标为2，求MN ；（2）若2AFAM AN =⋅，求圆C 的半径．【解析】（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)所以点C 到准线l 的距离2d =，又||5CO =．所以22||2||2542MN CO d =-=-=.（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+，即22200202y x x y y y -+-=.由1x =-，得22002102y y y y -++=设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y = 所以2142y +=，解得06y =±，此时0∆>所以圆心C 的坐标为3(,6)2或3(,6)2-从而233||4CO =，33||2CO =，即圆C 的半径为3322.(2014浙江文) 已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.【解析】（1）由题意知，焦点为)1,0(F ，准线方程为1-=y ，设),(00y x P ，由抛物线的定义知，1||0+=y PF ，得到20=y ，代入24x y =求得220=x 或220-=x ，所以)2,22(P 或)2,22(-，由FM PF 3=得)32,322(-M 或)32,322(M ， （2）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P ，由⎩⎨⎧===yx m kx y 42得0442=--m kx x ，于是016162>+=∆m k ，所以k x x 421=+，m x x 421-=，所以AB 的中点M 的坐标)2,2(2m k k +，由FM PF 3=，所以)12,2(3)4,(200-+=--m k k y x ，所以⎩⎨⎧--=-=mk y kx 3646200，因为0204y x =，所以154312+=m k ，由0>∆，0>k ，所以3431≤<-m ， 又因为m k k AB +⋅+=2214||，点)1,0(F 到直线AB 的距离为21|1|km +-，所以1531516|1|64232+-=+⋅-==∆∆m m m k m S S ABF ABP ， 记153)(23++-=m m m m f ，)3431(≤<-m ，令01109)(2=+-='m m m f 解得911=m ，12=m ，所以)(m f 在)91,31(-上是增函数，在)1,91(上是减函数，在)34,1(上是增函数，又)34(243256)91(f f >=， 所以当91=m 时 ，)(m f 取得最大值243256，此时1555±=k ，所以ABP ∆的面积的最大值为1355256. 解答题B1．（2014安徽理）如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B两点。

（Ⅰ）证明：;//2211B A B A（Ⅱ）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。

记111C B A ∆与222C B A ∆的面积分别为1S 与2S ,求21S S 的值。

【简解】（Ⅰ）证：设直线12,l l 的方程分别为1212,,(,0)y k x y k x k k ==≠，则由1212y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122(,)p p A k k ；由1222y k x y p x =⎧⎨=⎩得22221122(,)p p A k k 同理可得11122222(,)p p B k k ，22222222(,)p p B k k 所以111111122222121222221111(,)2(p p p p A B p k k k k k =--=-2222222222*********22221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=-- 故111222p A B A B p = ，所以1122A B A B ∥。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1122A B A B ∥，同理可得1122B C B C ∥，1122AC A C ∥ 所以11122A B C A B C∆∆∽，因此2111222S ||()||A B S A B =又由（Ⅰ）中的111222p A B A B p = 知111222||||A B p p A B =，故211222S p S p =。

2．(2014大纲) 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =.（I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 【解析】（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；3．（2012福建文）如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线)0(2:2>=p py x E 上。

（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1-=y 相交于点Q 。

证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。

【解析】(Ⅰ)B(43,12)在抛物线上，解出p=2，得E ：x 2=4y（Ⅱ）设P(x 0,14x 02),直线l :y=2001124x x x -;解得Q(20042x x -,-1)；设M(0,y 1)在以PQ 为直径的圆上，则MP MQ ⋅ =0，y 12+y 1-2+(1-y 1)14x 02=0恒成立时，只要21112010y y y ⎧+-=⎨-=⎩；y 1=1; 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点M(0,1)4（2013福建理）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．【简解】（Ⅰ）设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x ，即210=x y ，抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）设直线l 的方程为10=+y kx 与抛物线联立得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x 4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x 又120⋅< x x ，∴124=-x x 分别代入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k ，直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y解答题C1．（2013广东）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值.2．（2012广东文）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点1(10)F -，， 且在(01)P ，在1C 上。

（1）求1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程【解析】（1）2212x y += （2）①设直线:l x m =，直线l 与椭圆1C 相切2m ⇔=±，直线与抛物线22:4C y x =相切0m ⇔=，得：m 不存在②设直线:l y kx m =+，直线l 与椭圆1C 相切222(12)4220k x kmx m ⇔+++-=两根相等221021m k ⇔∆=⇔=+直线与抛物线22:4C y x=相切222(2)0k x k m x m ⇔+-+=两根相等 201km ⇔∆=⇔=解得：2,22k m ==或22,2:(2)22k m l y x =-=-⇒=±+3．（2013湖南理）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D 。

以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l 。

（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN P < ；（II ）若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程。

4．(2014江西文) 如图，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.（1） 证明：动点D 在定直线上；（2） 作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值.【解析】（1）依题意可设AB 方程为2y kx =+，代入24x y =，得2480x kx --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则有：128x x =-，直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =；解得交点D 的坐标为1221(,)y x x x ，注意到128x x =-及2114x y =，则有212121211244y x x x x x y x x ====-，因此D 点在定直线2(0)y x =-≠上.（2）依题设，切线l 的斜率存在且不等于零，设切线l 的方程为(0)y ax b a =+≠，代入24x y =得24()x ax b =+，即2440x ax b --=，由0∆=得2(4)160a b +=，化简整理得2b a =-，故切线l 的方程可写为2y ax a =-，分别令2,2y y ==-得12,N N 的坐标为1222(,2),(,2)N a N a a a +-+-，则222222122()4()8MN MN a a a a -=-+-+=，即2221MN MN -为定值8.5．（2013辽宁）如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )． 当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 【解析】 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22③，y ＝x 21＋x 228.④ 切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .6．（2012山东理）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34。

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