导数与微分练习题

导数与微分
1.根据导数的定义求函数的导数
1）设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中1)(=x x 在ϕ处连续，则1)(0)1(==x x f 在是ϕ处可导的什么条件？
2）设0)0(=f ，则)1(1lim 0h h e f h
-→存在是0)(=x x f 在可导的什么条件？ 3）设函数)(x f 在a x =处可导，则0)(0)(≠'=a f a f 且是函数)(x f 在a x =处不可导的什么条件？
4）已知⎩⎨⎧≥<=00sin )(x x
x x x f ，求)(x f ' 5）设函数)(x f 可导，则)sin 1)(()(x x f x F +=，若使)(x F 在0=x 处可导，证明必有0)0(=f
2.利用导数求极限或待定参数
1）设)(0x f '存在，求下列各极限 i)x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()3(lim
000 ii)h h x f h x f h )()(lim 000--+→ 2)设⎩⎨⎧>+≤==0
02b )(x x ax x x x x f y ，选取合适的b a ,值，使得)(x f 处处连续可导
3.利用求导的四则运算及初等函数求导法则函数的导数
1）设)(),(x g x f 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（ ）
A.)()()()(x g b f b g x f >
B.)()()()(x g a f a g x f >
C.)()()()(b g b f x g x f >
D.)()()()(a g a f x g x f >
2)设函数)()2)(1()(2n e e e x f nx x x -⋅⋅⋅--=，其中n 为正整数，则=')0(f （ ）
A.)!1()1(1---n n
B.)!1()1(--n n
C.!)1(1n n --
D.!)1(n n -
3)设x x y 2
cos )(sin =，求y ' 4.复合函数求导
1）求下列函数的导函数
i)52)cos (x x y +=
ii)3cos x e y = iii)x y cos ln arcsin = iiii)x y 1
sin 1
=
2)设函数)(x g 可微，2)(,1)1(,)()(1='='=+x g h e x h x g ，则)1(g 等于多少？
3)设⎩⎨⎧⎩⎨⎧>-≤=>≤=000)(,000)(2x x x x g x x x x f ，求[])(x f g dx
d 4)设x x x f y g x arctan ln )()(+==是的反函数，求)4
(π
g ' 5.求函数的高阶导数
1）设函数2)(=x x f 在的某邻域内可导，且1)2(,)()(=='f e
x f x f ，则)2(f ''等于多少？ 2）设x x x y cos sin sin 3+=，求)(n y
3）求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 处的n 阶导数)3)(0()(≥n f n
4）设211ln x
x y +-=，则0=''x y 等于多少？ 5）函数)21ln(x y -=在0=x 处的n 阶导数)0()(n f
6.隐函数求导问题
1）设)(x y y =是由方程y e y x =+-12所确定的隐函数，则
dx dy 等于多少？ 2）设函数)(x y y =由方程y y f e xe =)(确定，其中f 具有二阶函数，且1≠'f ，求22dx
y d 3）设函数)(x y y =是由方程1+=+x e xy y 确定的隐函数，求0
22=x dx y d
7.适用于幂指函数和对数求导法则
1）设a
x x x x a x a x y ++=，求y '
2）设函数31321
2)())((x c x b x a y +++=，求y ' 8.参数方程求导法
1）设⎩⎨⎧==t
b y t a x sin cos ，求22dx y d 2）设⎩
⎨⎧+==322t y t x ，求22dx y d 3）设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-=5
2arctan 2t e ty y t x 确定，求22dx y d 9.求函数的微分
1）设函数)(x y y =由方程y x xy +=2所确定，则0=x dy 等于多少？
2）设)()(ln x f e
x f y =其中)(x f 可微，求dy 3）设方程y y x =确定y 是x 的函数，求dy
4）设函数⎩⎨⎧<-≥=1121
ln )(x x x x x f ，))((x f f y =，求0
=x dx dy 5）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(3x x x x x f
证明：（1）0)(=x x f 在处可微；
（2）)(x f '在0=x 处不可微。