数理方程资料
数理方程公式大全
数理方程公式大集合1. 考察两端固定的弦的自由振动问题● 可得出 X"(x) + l X(x) ＝ 0 在不同的齐次边界条件下的本征函数系(表2-1). 容易发现如下的规律:● (1)若齐次边界条件含X (0)＝0，则本征函数为正弦函数；若齐次边界条件含X ‘ (0) ＝ 0，则本征函数为余弦函数 ● (2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一类或均为第二类)，则本征函数的宗量为若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征函数的宗量为2. 有界长杆的热传导问题3. 二维拉普拉斯方程的边值问题4. 圆域上拉普拉斯方程的边值问题 (化为极坐标)⎪⎩⎪⎨⎧====><<=),()0,( ),()0,( ,0),( ,0),0(),0 ,0( 2x x u x x u t l u t u t l x u a u t xx tt ψϕ sin )cos sin (),(1∑∞=+-=nn n tlxn l at n b l at n a l a n t x u ππππ,sin)(2dx lxn x la ln ⎰=πϕ,sin)(2dx lxn x an b ln ⎰=πψπ⎪⎩⎪⎨⎧===><<= ),()0,( ,0),( ,0),0( ),0 ,0( 2x x u t l u t u t l x u a u xx t ϕ,sin ),(1)(2l x n e a t x u n t l a n n ππ∑∞=-=,sin)(20dx l x n x l a l n ⎰=πϕ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+ .0),( ,0),0( ),(),( ),()0,(),y 0 ,0( 0y a u y u x g b x u x f x u b a x u u yy xx sin) (),(1∑∞=-+=n y an n y an n x an eb ea y x u πππ,sin )(20⎰=+an n xdx an x f a b a π,sin)(2⎰=+-ab an n b an n xdx an x g aeb ea πππ11),0(0r r <<5. 圆域内的泊松公式6. 无限长弦自由振动问题的达朗贝尔解为公式其中方程(3)的通解形式为7. 无限长弦强迫振动问题的解为公式和差化积sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意：此时公式前有负号） cosαcosβ= [cos(α-β)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2).(|θf u r r ==)20(πθ≤≤.)sin cos (21),(10∑∞=++=n n n n r n b n a a r u θθθ⎰=πθθθπ20cos )(1d n f r a n n ⎰=πθθθπ20sin )(1d n f r b nn), ,2 ,1 ,0( =n ),,2 ,1( =n ),( )(cos 2)(21),(0200220220r r d n r r r r r r f r u <--+-=⎰ϕϕθϕπθπ),0 ,( 2>+∞<<-∞=t x u a u xx tt)()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ.)(21⎰+-+atx atxd a ααψ).()(),(at x g at x f t x u ++-=(3)),0 ,( ),(2>+∞<<-∞+=t x t x f u a u xx tt )()0,( ),()0,(x x u x x u t ψϕ==2)()(),(at x at x t x u ++-=ϕϕ⎰+-+atx atxd aααψ)(21..),(21)()(⎰⎰-+--+t t a x t a xd d f aτξτξττ222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆是三维拉普拉斯算子。
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数理方程第1讲
CDx
v+Dv
x+Dx
10
L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di
v+Dv x+Dx
11
i v (v Dv) LDx t v i L x t
i LD x v x CDx i+Di
(1.4)
v+Dv x+Dx
12
div D (1.11) J—传导电流面密度,—电荷的体密度.
26
D rot H J t B rot E t div B 0 div D
(1.8) （ 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)
D E B H J E
(1.13) (1.14)
1
第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立
2
例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.
32
例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比
数理方程-总结复习及练习要点
数理方程基本知识
➢ 方向导数
x x0 cos
数量场函数
uu(x,y,z;t)沿射线 cos
的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 (x0, y0, z0)
沿方向e r c o s,c o s,c o s方向导数，记作 Deu(x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
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数理方程基本知识
•
－劈形算符符合矢量运算
g=x22 y22 z22
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
光学与电子科技学院 3 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
基本知识 定解问题的确立及分析 定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。
在学习数学时，数理方程是必修课程之一。
但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。
下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。
数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。
这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。
例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。
例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。
只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
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一． 判断题（每题2分）. 1.2u u xy x yx∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4.(,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12uu 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12uu -是0u ∆=的解.( )二． 填空题（每题2分）. 1.()sin t xx yy u u u xt-+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3.2x的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5.[]()____________.at mL e t s =三．求解定解问题（12分）2sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2）230, 1.tt t y y y e yy =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
（12分）七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）0xx yy yu xu +=八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。
（12分）数理方程试卷答案一 判断题（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V 二 填空题 （1）抛物 （2）2222220,xx yy x y Ru u x y Ru φ+=⎧+=+<⎪⎨=⎪⎩（3）0212()()33P x P x +（4）11[()()]()22x at x atx at x at t dt φφφ-+++--⎰（5）1!()m m s a +-三 解 ：有条件知 固有值为2()n n l πλ=，固有函数系为 ：cos,0,1,2,...nn x n lπφ== （3分）设0(,)()cos n n n u x t T t x lπ∞==∑带入方程得 20['()()()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l lππω∞=+=∑ （2分）02'()sin ()'()()()0(0)0n n n T t A t n a T t T t lT ωπ∴=+== （4分）得0()(1c o s ),()0,1,2,...n AT t tT t n ωω=-==（4分）(,)(1cos )Au x t t ωω∴=- （1分）四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换， 不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分） 对方程两端同时作Laplace 变换得((,)1)1,d pU x p dx p-=（3分）(,)1dU x p p dxp∴=2(,)1dU x p dxp=（3分）且211(0,)U p p p =+22111(,)U x p xppp∴=+ （3分）(,)1u x y xy y ∴=++ （2分）（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分）对原方程两端同时作Laplace 变换得：21()12()3()1p Y p pY p Y p p -+-=- （4分）2311131()1614(1)163Y p p p p ∴=+---+ （3分）3313()16416ttty t e te e-∴=+-（4分）五．解：建立方程20000,00,cos 0tt xx t tt x x u a u x t u u x u===⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪=⎩ （3分）由方程的 边界条件，对原问题做偶延拓 ，得到无界弦的转动方程 2'',0'0,'cos tt xx t t t u a u x t u u x ===-∞<<+∞>== （4分）根据达兰贝尔公式得11'(,)cos sin cos 2x at x atu x t sds x at aa +-==⎰ （3分）从而，原问题的解为11(,)cos sin cos 2x at x atu x t sds x at aa+-==⎰（2分）六．解：定解问题为0000,00,00,xx yy x x a y y bu u x a y bu u u ux====⎧+=<<<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩（2分）由初值条件得 固有值 2(),n nx aλ= 固有函数系为 ()sin,1,2,...n n x X x n aπ== （2分）方程的解为0(,)()()n n n u x y X x Y y +∞==∑=0sin()n n n xY y aπ+∞=∑()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分）()n n aa yyn n n Y y C eD eππ-∴=+代入原方程得 1(,)()sinn n aa yyn n n n u x y C eD ex aπππ+∞-==+∑又 (,0)0,(,)u x u x b x ==解得()sinsinn n aa n nb bbn n C D n n C e D ex x xdxaaππππ-+=+=⎰（3分）n ban bn b aan b an b n b aan n e C ee eD eeππππππ---=-=- （3分）()()1(,)sinn b y n b y aan b n b n ee n u x y x aeeπππππ---+∞-=-∴=-∑（2分）七．解：显然 x ，y 不同时 为零，xy ∆=-，特征方程为2()0dy y x dx+= （1分）（1） 当0xy ∆=->时，方程式双曲型的。
（1分）0,0x y <>时，特征方程是dy dx= ，解得33221,2()x y c -±=，（1分）令 3322(),x y ξη=-=，得标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） 当 0,0y x <>时，特征方程是dy dx=标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） （2）0xy ∆=-= ，抛物型。
标准型为 0,xx u = 或 0yy u =。
（1分） （3）0xy ∆=-<，椭圆型。
特征方程解为 33221,2()x iy c -±=（1分） 令 3322,x y ξη==，得 标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη+++=。
（1分）八．证明：微分性质[()]()[()]()(0)d L f t s sL f t s f dt=-（2分）[()]()()()()()(0)()[()]()(0)stststststd d L f t s ef t dtdtdtedf t f t ef t def s ef t dt sL f t s f +∞-+∞+∞--+∞-+∞-===-=-+=-⎰⎰⎰⎰（3分）卷积性质1212[()*()]()[()]()[()]()L f t f t s L f t s L f t s = （2分）12120()12012012[()*()]()[()()][()()]()()[()]()[()]()tsts s t ststL f t f t s f f t d edtf ef t e dt d f t edt f t edtL f t s L f t s τττττττττ+∞-+∞+∞---+∞+∞--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（5分）第二章 分离变量法一 齐次偏微分方程的分离变量法 1 有界弦的自由振动（1） 考虑两端固定的弦振动方程的混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x xu a t u t t φϕ ① 这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。
求解这样的方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。
所谓),(t x u 具有分离变量的形式，即)()(),(t T x X t x u =把)()(),(t T x X t x u =带入方程①中，可得到常微分方程定解为：),(t x u ＝∑∞=1),(n nt x u＝lx n l t an D l t an C n n nπππ∑∞=+1sin)sincos(其中：⎰=lndx lx n x lC 0sin)(2πϕ，⎰=ln dx l x n x an D 0sin)(2πφπ2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一) 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。
(二) 确定特征值与特征函数。
(三) 求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解。
3 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，比热为c ，热传导系数为k ，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为0k ，已知杆上的初温分布为)(x ϕ，求杆上温度的变化规律，也就是要考虑下列问题：0,0,22222><<∂∂=∂∂t l x xu atu (2.18)0),(,0),0(=+∂∂=t l hu x t l u t u ），（ (2.19))()0,(x x u ϕ= (2.20)其中ρc k a =2，00>=kk h注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用分离变量法来求解。