学生用函数与方程
高中数学教案：函数与方程的关系及应用
高中数学教案：函数与方程的关系及应用一、函数与方程的关系介绍函数与方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关系，并且在实际问题中具有广泛的应用。
本文将对函数与方程的关系进行详细介绍，并展示它们在实际问题中的应用。
二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义和表示方式函数是两个集合之间的某种特定规律。
常用的表示方式包括显式表达式、隐式表达式和参数方程等。
2. 方程的定义和分类方程是含有一个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式。
常见类型包括一元一次方程、二元一次方程等。
三、一元一次方程与线性函数1. 一元一次方程的基本形式一元一次方程是最简单也最常见的代数方程，形如ax + b = 0，其中a和b为已知实数，x为未知数。
2. 线性函数与一元一次方程的关系线性函数是指以直线作为图像的函数，其表示形式为f(x) = kx + b，其中k和b 为常数。
可以发现，线性函数就是一个描述了因变量y和自变量x之间关系的一元一次方程。
四、二元一次方程与平面直线1. 二元一次方程的基本形式二元一次方程是含有两个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式，形如ax + by = c。
2. 平面直线与二元一次方程的关系通过对二元一次方程进行变形，我们可以得到它的标准形式y = mx + b，其中m和b为常数。
这就是平面直线的一般表示方式。
五、函数与方程在实际问题中的应用1. 函数模型的建立与使用通过对实际问题进行分析和抽象，可以建立相关的函数模型。
例如，在物理学中，运动学方程就是描述运动过程中速度、位移和时间之间关系的函数模型。
2. 方程求解与实际问题解释利用方程求解方法，我们可以求解出实际问题中所涉及的未知量。
例如，在经济学中，利用成本、收入等相关信息构建代表企业盈亏情况的方程，并通过求解这些方程来分析企业经营状况。
六、总结通过本文对函数与方程的关系及其应用进行了全面地介绍。
函数是一种特定规律，而方程则是含有等号和未知数（或变量）的表达式。
用函数方法解决不等式和方程问题
由数引形，以形助数函数有两种主要表示方法：解析法和图像法。
解析法是通过“数（式）”的形式准确地表示出函数的自变量和应变量之间的等量关系，而图像法是从“形”的角度直观形象地刻画了函数的变化规律。
这两种表示方法是同一个函数的两种不同表现形式，这也就决定了我们对函数的研究要多从这两个角度入手，让这两者相辅相成。
而不等式和方程其实就是在不等号和等号的两侧放置不同的函数，一般出题的形式是以研究这两个函数表达式之间的关系为主，解决这类问题需要由数（式）引形，以形助数即用数形结合的方法解决这类问题。
下面就举例说明如何用这个思想方法解决函数中常见的含有参数的不等式恒成立，不等式存 在问题，以及函数的零点等相似，相通的问题。
一．不等式存有和恒成立问题例1. 已知函数x ex x f ln )(-= （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）在区间],1[e e 内存有0x ，使不等式m x x f +<)(成立，求m 的取值范围。
【解析】该不等式有四种等价形式：①不变形：m x x ex +<-ln②参变分离：m x x e <--ln )1(③移项让不等式的一边为0：0ln )1(<---m x x e④不等号两侧均为常见初等函数：x m x e ln )1(<--不管是哪种变形形式，均是研究左侧函数图像存有．．位于右侧函数图像下方的局部。
故只要能够模拟出两函数的图像，就能解决这个问题。
上面四种变形对应的各自解法如下： 解法一：由第一问可知：当],1[e e x ∈时，x ex x f ln )(-=单调递增；m x x g +=)(是斜率为1，纵截距为m 的动直线。
由图观察可知，当动直线与)(x f y =的图像相切为临界位置。
令,11,11)(000-==-='e x x e x f 则此时1)1ln(+-=e m ；故1)1ln(+->e m 解法二：令x x e x ln )1()(--=ϕ，易求得当单调递减，)(],11,1[x e e x ϕ-∈当],11[e e x -∈，)(x ϕ单调递增；所以1)1ln()(min +-=e x ϕ，1)1ln(+->e m 解法三：参数m 在常数项上，故左侧函数的单调性与解法二中)(x ϕ相同，解法同上解法四：令x x t m x e x h ln )(,)1()(=--=，由图像观察可知当直线与对数函数相切时有临界值，同解法一。
高中数学函数与方程的综合应用
高中数学函数与方程的综合应用函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过具体的案例，介绍数学函数与方程在实际问题中的综合应用。
一、投资问题假设小明在银行存储了一笔10000元的本金，并根据银行的利率1.5%进行定期存款，期限为5年。
我们可以通过函数来表示存款金额的变化。
设函数P(t)表示t年后小明的存款金额，其中t为时间（单位：年）。
根据复利计算公式，我们可以得到函数的表达式：P(t) = 10000 × (1 + 0.015)^t通过计算，我们可以得出小明存款的具体金额。
此外，如果我们希望知道小明存款超过15000元的时间，可以使用方程进行求解。
10000 × (1 + 0.015)^t > 15000通过解这个方程，我们可以求得小明存款超过15000元的时间。
二、图像运动问题假设有一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，我们希望通过函数来描述汽车的位置与时间的关系。
设函数d(t)表示t小时后汽车的行驶距离，其中t为时间（单位：小时）。
由于汽车以匀速60公里/小时行驶，我们可以得到函数的表达式：d(t) = 60t通过计算，我们可以得到任意时间时汽车的行驶距离。
此外，如果我们希望知道汽车行驶了多长时间才能达到100公里的距离，可以使用方程进行求解。
60t = 100通过解这个方程，我们可以求得汽车行驶达到100公里的时间。
三、生长问题假设一朵花每天的生长速度是2厘米，并且从初始状态开始生长。
我们可以通过函数来描述花的高度与时间的关系。
设函数h(t)表示t天后花的高度，其中t为时间（单位：天）。
由于花每天生长2厘米，我们可以得到函数的表达式：h(t) = 2t通过计算，我们可以得到任意时间时花的高度。
此外，如果我们希望知道花的高度达到10厘米需要多长时间，可以使用方程进行求解。
2t = 10通过解这个方程，我们可以求得花的高度达到10厘米所需的时间。
初中数学方程与函数解题技巧
初中数学方程与函数解题技巧数学方程与函数是初中数学中的重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说至关重要。
在解题过程中，通过运用一些常用的解题方法和技巧，我们可以更加高效地解决各种数学方程与函数的问题。
本文将介绍一些初中数学方程与函数解题的常见技巧，帮助学生提高解题能力。
一、方程解题技巧1. 确定未知数和列方程：在解方程的时候，首先要明确问题中的未知数是什么，并及时列出方程。
对于一些实际问题，可以先尝试用文字来表述方程，然后再转化为代数方程。
2. 一元一次方程：对于一元一次方程，可以运用平衡法、凑整法或去括号法等方法进行解题。
其中，平衡法指的是保持等号两边的平衡，同时进行等式的变形操作；凑整法是指将方程化为对应的整数关系，并运用观察和逻辑推理进行求解；去括号法主要用于解决带有括号的方程，去除括号后再进行变形和化简。
3. 一元二次方程：一元二次方程的求解包括因式分解法、配方法、根的判定和求解公式等方法。
如果一元二次方程可以因式分解，就可以直接得到它的解；如果不可因式分解，可以运用配方法将一元二次方程变形为一个完全平方，从而进行求解；对于一些无法通过因式分解和配方法求解的一元二次方程，可以利用根的判定和求解公式进行求解。
4. 绝对值方程：求解绝对值方程时，需要将绝对值表达式拆分为正值和负值，并分别对两种情况进行求解。
然后，将求得的解进行检验，保证其满足原方程条件。
5. 分数方程：对于分数方程，可以运用通分法将方程中的分母相同，从而将方程化简为分子的运算表达式。
然后，根据求解得到的分子的值，进行进一步的判断和验证。
二、函数解题技巧1. 函数定义域和值域：在解函数相关的题目时，需要明确函数的定义域和值域。
定义域指的是函数自变量的取值范围，值域则是函数的因变量所能取到的值的范围。
通过确定函数的定义域和值域，可以帮助我们更好地理解和解决函数相关的问题。
2. 函数图像的初步分析：对于给定函数的图像，可以通过观察来初步分析函数的基本特征。
函数与方程在实际生活中的应用
函数与方程在实际生活中的应用教案主题：函数与方程在实际生活中的应用引言：函数与方程作为数学的基本概念，在我们的日常生活中无处不在。
它们不仅仅存在于数学学科中，更是应用广泛于各个领域。
本教案将以实际生活中的例子为切入点，让学生深入了解函数与方程的应用，培养他们解决实际问题的能力。
一、让时间告诉你的身高我们都知道，人的身高是随着年龄的增长而不断变化的。
但是具体来说，身高与年龄之间的变化又遵循怎样的规律呢？这就需要用到函数与方程来分析。
请同学们回忆一下自己的成长过程，并绘制自己的身高增长曲线图。
然后通过观察曲线图，学生们可以发现身高的变化可以用一个函数来描述。
通过解方程，我们可以求出某一年龄对应的身高。
二、数学建模：汽车油耗问题我们平时开车时都会关注汽车的油耗，但是如何计算出每行驶一定距离所需要消耗的汽油量呢？这就需要运用函数与方程来解决。
请同学们思考一下，汽车的油耗是否与车速有关？如果有关，又如何表达二者之间的关系呢？通过实际测量，同学们可以得到一组数据，然后通过拟合曲线的方式，建立车速与油耗之间的函数关系。
进而，根据已知的车速求解相应的油耗。
三、轨迹规划问题在现代导航系统中，轨迹规划是非常重要的一环。
根据起始点和目标点之间的位置关系，我们需要找到一条最优的路径，来实现导航的目的。
这个问题可以用方程与函数来描述。
通过分析地理位置之间的联系，建立合适的函数模型，可以帮助我们规划最佳的行车路径。
四、医生的处方问题医生开具处方是日常生活中常见的情景。
医生会根据病人的具体情况，如体重、身高、年龄等，来制定相应的用药方案。
这里涉及到用药剂量的计算问题，可以通过函数与方程来解决。
请同学们思考一下，医生是如何根据病人的具体情况来确定用药剂量的？通过解方程，可以求得合理的用药剂量。
五、养半导体晶体的温度问题在半导体工业中，人们需要控制晶体的温度来确保产品的质量。
如何根据给定的环境温度和时间来控制晶体的温度是一个复杂的问题。
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用一、引言在高中数学课堂上，函数与方程的综合应用是一个重要的教学内容。
通过探究函数与方程在现实生活中的应用，学生不仅能够更好地理解抽象概念，还能培养他们的问题解决能力和创新思维。
本文将围绕函数与方程的综合应用，从数学模型、最优化、几何等多个角度进行探讨。
二、数学模型：了解函数与方程应用的基础数学模型是建立在函数与方程基础上的工具，帮助我们描述和解决各种实际问题。
例如，在经济领域中，股票价格变动可以使用函数来进行建模。
通过分析历史数据和市场趋势，确定适当的函数表达式，并利用这个模型来预测未来走势。
而在物理领域中，抛物线运动也是一个常见的研究对象。
通过观察抛出物体的轨迹并进行数据统计，可以得到它与时间、初速度、重力等因素之间的关系，并建立相应的方程。
三、最优化问题：找到最佳解在实际生活中，我们往往需要从各种选择中找到最佳解决方案。
函数与方程的综合应用帮助我们解决这类最优化问题。
例如，在投资领域，我们需要找到最佳的投资方案，以获得最大的收益。
通过建立代表不同投资方式的函数模型，并结合约束条件，可以利用数学方法求解最优解。
此外，最优化问题也广泛应用于工程和管理领域。
例如，某公司生产一种产品需要使用两种原材料A和B，并且每种原材料有一定的成本和限量。
通过建立成本模型和约束条件，并设置目标函数为最小化成本或最大化产量，可以运用函数与方程来求解最佳使用原材料的比例。
四、几何问题：探索空间关系函数与方程的综合应用也能帮助我们研究几何问题中的空间关系。
例如，在三角形中，我们常常需要寻找各边、角度之间的关系，以及各顶点坐标之间的联系。
通过利用函数与方程建立模型，并运用几何知识进行推导证明，可以揭示出许多隐藏在图形中的规律。
另一个常见的几何问题是研究曲线与曲面之间的关系。
例如，在计算机图像处理中，我们经常会遇到需要对曲线进行平滑处理的情况。
通过建立函数模型，并运用方程求解曲线上各点的导数和曲率，可以为平滑处理算法提供数学支持。
函数与方程教案
函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。
在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。
本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。
- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。
- 理解函数与方程之间的关系。
2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。
- 能够应用函数与方程解决实际问题。
- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。
三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。
- 函数与方程的应用。
2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。
- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。
四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。
- 复习函数与方程的相关知识。
2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。
- 复习与函数与方程相关的知识。
五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。
具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。
2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。
- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。
3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。
- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。
4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。
- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。
六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。
- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。
函数与方程的综合运用
函数与方程的综合运用一、引言在数学的学习中，函数与方程是两个核心概念。
函数是描述数值之间的关系的工具，方程则是用于解决未知数的数值的工具。
本文将探讨函数与方程的综合运用，旨在帮助读者更好地理解并应用这两个概念。
二、函数与方程的基本概念回顾1. 函数的定义函数是指一个或多个独立变量的值与相应的因变量之间的关系。
通常用符号 f(x) 表示函数，其中 x 为自变量，f(x) 为对应的因变量。
2. 方程的定义方程是描述两个表达式相等的数学陈述。
方程中包含未知数和已知数，我们需要找到使得方程成立的未知数的数值。
三、函数与方程的综合运用函数和方程是数学中最常用的工具之一，它们可以在各种数学问题中综合运用。
下面将分别探讨函数与方程的综合运用。
1. 函数的综合运用函数可以用于描述各种实际问题中的数值关系。
例如，在经济学中，我们可以使用函数来描述价格与需求之间的关系。
在物理学中，函数可以用于描述运动物体的位置随时间变化的关系。
2. 方程的综合运用方程可以用于解决各种未知数的数值问题。
例如，在几何学中，我们可以使用方程来计算未知角度的数值。
在金融学中，方程可以用于计算贷款的还款额。
四、函数与方程的综合运用案例为了更好地理解函数与方程在实际问题中的应用，下面将针对两个案例进行说明。
案例一：财务规划小明计划在未来五年内存储一笔钱，他希望每年存入的金额与前一年相比都增加10%。
设第一年存入金额为 x 元，则第二年存入金额为1.1x，第三年存入金额为 1.1(1.1x)，以此类推。
假设小明未来五年共存入金额为 5000 元，我们可以建立以下方程：x + 1.1x + 1.1(1.1x) + 1.1(1.1(1.1x)) + 1.1(1.1(1.1(1.1x))) = 5000通过求解该方程即可得到小明第一年存入的金额 x。
案例二：运动轨迹小红站在一个起始点，经过一段时间后朝北走了若干步，然后朝西走了 5 步，又继续向南行走了 10 步，最后向东行走了 a 步，回到了起始点。
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1已知2>a ，且函数13
1)(23+-=ax x x f 在区间)2,0(上是减函数，则方程013
123=+-ax x 在区间)2,0(上的实根个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.函数x x x f 2ln )(-
=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(
B ．)3,2(
C ．)1,1(e 和)4,3(
D ．),(+∞e
故选B 。
3.已知)1)(1(+-=x x x y 的图象如图所示，因考虑01.0)1)(1()(++-=x x x x f ，则方程式
0)(=x f （ ）
A ．有三个实根
B ．当1-<x 时，恰有一实根
C ．当01<<-x 时，恰有一实根
D ．当1>x 时，恰有一实根
4.关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的两根21,x x 满足0)1)(1(21<--x x ，则a 的取
值范围为 。
5.已知函数).30(42)(2<<++=a ax ax x f 若a x x x x -=+<1,2121，则（ ）
A ．)()(21x f x f >
B ．)()(21x f x f <
C ．)()(21x f x f =
D ．)(1x f 与)(2x f 的大小不能确定
6．三次方程01223=--+x x x 在下列哪些连续整数之间有根？（ ）
A ．2-与1-之间
B ．1-与0之间
C ．0与1之间
D ．1与2之间
E ．2与3之间 7.若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，
则下列说法正确的是（ ）
A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；
8．方程0lg =-x x 根的个数为（ ）
A ．无穷多错误！未指定书签。
B ．3
C ．1
D ．0
9．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x
的解，
则21x x +的值为（ ）
A ．23错误！未指定书签。
B ．3
2 C ．
3 D ．31 10．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
11．若方程0x
a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,1)
C ．(0,2)
D ．(0,)+∞ 二、填空题
12．已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________．
13．利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根：
①01272=++x x ；②0)2lg(2=--x x ；
③0133=--x x ； ④0ln 31=--x x 。
14．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，
那么下列命题中正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点
B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C ．函数()f x 在区间[)2,16内无零点
D ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点
15．求3()21f x x x =--零点的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
16．若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
17 函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为 。
18．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______。