浙江大学2000年研究生数学分析试题参考答案

xn − 2 − xn −1 , n = 2,3,⋯, 求 lim xn n→∞ 2
解： x n − x n −1 = − 1 ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛， 以 2 ( x n −1 − x n −2 ) 下求解就按照 { x n − x n −1 } 这个数列来进行即可。 二． （共 10 分）1．设 f‘ ( 0) = K , 试证明 lim−
浙江大学 2000 年研究生数学分析试题
1
e − (1 + x ) x 一． （共 10 分）(1)求极限 lim x →0 x
(1+ x )ln(1+ x )− x x (1 + x ) = 2 解：原式= lim x (1+ x )
1
x→0
e 2
(2)设 x0 = a, x1 = b, xn =
∫
1 2
ln(1 − x) dx ] x
3．设 ∑+ 表示半球面 z = 1 − x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ≤ 1) 的上侧，求第二类曲面积分
J=
∑+
∫∫ ( x + y) z
2
dydz + ( x 2 y − 2 z )dzdx + (2 x + z ) y 2 dxdy
分析：使用高斯公式，则 J= 3 . 六． （共 20 分）1．将函数 f ( x) = x (−π ≤ x ≤ π ) 展开成 Fourier 级数 分析：直接使用 Fourier 的定义公式； 2．级数 ∑
f (b ) + f ( a ) − 2 f (
a+b (b − a ) 2 )= f ′′(ξ ) 2 4
分析：考虑函数 F ( x )
= f (x +
a +b 2
∞
) − f ( x) 即可
三． （共 15 分）1．求数项级数 分析：S=2S-S
∞
∑
n =1
n 的和 S 2n
2．试证明 s ( x ) = 四． （共 15 分）
a→0 b →0+
f (b ) − f (a ) =K b−a
证： lim−
a→0 b→ 0 +
f (b ) − f ( a ) f (b) − f (0) + f (0) − f (a ) 3;
b →0
2． 设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续， f ′′( x ) 在 ( a, b) 内存在，试证明存在 ξ ∈ ( a, b) ，使得
y y
cos( x 2 y ) dx ，求 F ′(1) x
0
y
cos x y x
2
分析：
F ( y) = ∫
y
dx +
∫
0
cos x 2 y x
1
dx = ∫
0
cos y 2t 2 − cos y 3t 2 t
dt
五． （共 30 分） 1．计算定积分 I =
∫
2
π
0
x sin cos x dx 1 + cos 2 x
2π
1 的和 2 n =1 n
1
∞
分析：使用幂函数中的公式求解； 3．计算广义积分 ∫
0
1 2
ln(1 − x) dx x
1
1
2 ln(1 − x) ln(1 − x) ln(1 − x) 分析：原式 = ∫ dx = lim [ ∫ dx + ∫ dx + ε →0 x x x 1 0 ε 2
1− ε
∑n
n =1
1
x
在 (1, ∞) 上的连续函数
⎧x + y + u + v = 0 ⎧u = u ( x , y ) ∂v ∂v 1．设方程组 ⎨ ，确定了可微函数 ⎨ ，试求 du, , ∂x ∂y ⎩ x sin u + y sin v = 0 ⎩v = v ( x, y ) 分析：用隐函数组的方法求解； 2．设 F ( y ) = ∫
为顶，以平面 z = 0 为底，以柱面 x 2 + y 2 = 1 为侧面的曲顶
2
分析：令 t=cosx，I=0。 2．求以曲面 z = e − x 柱体的体积 V 分析： V = ∫∫ zdxdy ，其中 z = e − x
D
−y2 −y2
，D={(x,y)| 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1 }.