高一数学第28课时 二次函数与一元二次方程

第28课时 二次函数与一元二次方程某某省通州高级中学 严东来【教学目标】1．让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点的关系，由此体会可以利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况．2．让学生在利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况的过程中．体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】高中数学中，函数与方程的思想是体现得比较多的数学思想方法，在高考中也是屡考不爽，已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，常常需要通过抛物线去考查函数的零点、顶点和函数值的正负等等，这是数形结合这一重要的数学思想的最好体现．本节重点有两个：一是会用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，二是会用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题．难点是能否画出符合题意的二次函数的图象．【例题精析】例1． 求证：⑴作出二次函数322-+=x x y 的图象，观察图象分别指出x 取何值时，y=0 ? y<0? y>0?⑵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0（a ＞0）之间有怎样的关系？【分析】通过研究本题，让学生理解用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，并体会借助于图形写出一元二次不等式的解集的方法（因为有很多的问题不可避免的会用到一些解一元二次不等式的知识）并体会由特殊到一般的探究问题的思想方法．【解法】⑴ (略) ⑵① 当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），（不妨设x 1＜x 2＝对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个不等实根x 1、x 2；② 当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且只有一个交点（x 0，0），对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个相等实根x 0；③ 当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）没有实根．【评注】这道习题基本上囊括了本节的内容，让学生自己通过探究得出结论比老师直接给出结论更能够体现新课程的理念．例2． 已知函数f (x )＝3x＋log 2x 问：方程f (x )＝0在区间［14，1］内没有实数解？为什么？【分析】运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．本题也为利用二次函数图象讨论二次方程根的情况做一个铺垫．【解法】∵f (41)＝341＋log 214＝43－2＜0， 又f (1)=31＋log 21＝3＞0，∵函数f (x )＝3x ＋log 2x 的图象是连续曲线，∴f(x)在区间［－1,0］内有零点，即f(x)＝0在区间［－1,0］内有实数解．【评注】 判断函数在给定区间是否有解，可以运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．例3．⑴关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值X 围；⑵关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[)4,0内，求m 的取值X 围；⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值X 围；⑷关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值X 围；【分析】按如图所示列出不等式【解法】令f(x)=142)3(22++++m x m x⑴∵ 对应抛物线开口向上，∴方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)<0 , 即 01421)3(212<++•++m m 解得 421-<m ． ⑵ 据题意 得552715370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2-≤<-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-<<->++++≥+⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-+=∆<+-<>≥m m m m m m m m m m f f 或． ⑶ 有图知，原命题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⇔⎩⎨⎧<<8414210)3(0)1(m m f f ∴421-<m ． ⑷ 令g(x)=142)3(22++++m x m mx ，据题意 得⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)4(00)4(0g m g m 或 可以解得 01319<<-m ． 【评注】讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1．根据条件画出图象；2．根据图象写出字母参数必须满足的条件；3．解不等式．例4．若4288(2)50x a x a +--+>对任意实数x 均成立，某某数a 的取值X 围．【分析】由于对数形结合这一重要的数学思想的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解展示1：由题意可得：2164(2)48(5)032a a a ∆=--⨯⨯-<⇒<<． 故所某某数a 的取值X 围是1(,3)2． 错解展示2：令2x t =，则原不等式可化为：288(2)50t a t a +--+>， 由2164(2)48(5)032a a a ∆=--⨯⨯-<⇒<<，故所某某数a 的取值X 围是1(,3)2．【解法】令2x t =，由x R ∈得0t ≥．则题设等价于不等式288(2)50t a t a +--+>对一切0t ≥均成立． 亦即：2()88(2)5f t t a t a =+--+在[0,)+∞上恒取正值． 从而有2164(2)48(5)032a a a ∆=--⨯⨯-<⇒<<， 或(0)508(2)028f a a =-+>⎧⎪-⎨-≤⎪⨯⎩⇒25a ≤<． 故所某某数a 的取值X 围是1(,5)2．【评注】 错解1误把原不等式看作是关于x 的一元二次不等式；而错解2虽通过换元将原不等式化为关于t 的一元二次不等式，然而却忽略了新变元t 的变化X 围．【本课练习】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知f （x ）＝（x －a ）（x －b ）－2（a ＜b ），并且α、β是方程f （x ）＝0的两个根（α＜β），则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ ）A ．α＜a ＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．a ＜α＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b4．不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0对x ∈R 恒成立，则a 的取值X 围是（ ）A ．（－∞，2）B ．(]2,2-C ．（－2，2）D ．（－∞，2）5．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，若A B ＝A ，求a 的取值X 围．6．已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图像与x 轴的交点在原点的右侧，试确定实数k 的取值X 围．7．二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞b ＞c ），f （1）＝0，()g x ax b =+．（1）求证：两函数f （x ）、g （x ）的图象交于不同两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上射影长的取值X 围．附答案 1．D （点拨：函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点,而函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上与横轴的交点的横坐标为-2，故它有有一个零点，且为不变号零点．）2．B （点拨：根据解的存在性定理进行判别．）3．A 本题采用数形结合法，画出函数图象加以解决即可．4．B 5．∵A ＝［1，4］，A B ＝A ，∴B ⊆A ． 若B ＝φ，即x 2－2ax ＋a ＋2＞0恒成立，则△＝4a 2－4（a ＋2）＜0，∴－1＜a ＜2；若B ≠φ， 令f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ．，＋＝－，－＝，＋－＝410187)4(03)1(0)2(442≤≤≥≥≥∆a a f a f a a 解之得2≤a ≤718，综上可知a ∈（－1，718）． 6（1）当0k ≠时，由(0)1f =可知：①当0k <时，()f x 的图像是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点两侧；②当0k >时，()f x 的图像是开口向上的抛物线，必须：2(3)40,30,2k k k k ⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩解得01k <≤． （2）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，适合题意． 综上所述，所某某数k 的取值X 围为(,1]-∞．7．（1）∵f （1）＝a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0．由⎩⎨⎧b ax y c bx ax y ＋＝＋＋＝2得ax 2＋（b －a ）x ＋c －b ＝0，△＝（b ＋a ）2－4ac ＞0．所以两函数f （x ）、g （x ）的图象必交于不同的两点；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），射影分别为A 1、B 1，则211A B ＝(x 1－x 2)2＝(a c －2)2－4．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴－2＜a c ＜－21．∴A 1B 1∈（23，32）．【教学建议】 结论与方法多多通过合作探究的方式让学生自己得出，并通过自己的练习掌握，切不可将此过程由老师包办代替．。