数学总结(函数连续性)
数学公式知识：微积分中的极限与连续性
数学公式知识：微积分中的极限与连续性微积分是数学中的一个重要分支，通过其理论和方法可以对各种实际问题进行分析和解决。
其中，极限和连续性作为微积分的基本概念，是理解微积分的基础。
本文将介绍极限与连续性的概念、性质及其在微积分中的应用。
一、极限的概念极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近程度。
在微积分中，极限可以看作自变量的增量为0时，函数取值的变化量趋于某个值的情况。
数学上可以用“∞”、“-∞”、“+∞”、“无穷大”等符号表示。
例如，当自变量x趋近于0时，函数y=1/x的取值趋近于无穷大，可表示为y→∞。
当自变量x趋近于1时，函数y=(x-1)/(x+1)的取值趋近于0，可表示为y→0。
当自变量x趋近于2时，函数y=x^2的取值趋近于4，可表示为y→4。
二、极限的性质1.唯一性：如果函数f(x)的极限存在，则该极限唯一。
2.局部有界性：如果函数f(x)的极限存在，则该函数在极限的邻域内是有界的。
3.保号性：如果函数f(x)在极限的邻域内恒大于（小于）0，则该函数的极限也大于（小于）0。
4.夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)、h(x)满足在极限的邻域内，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且f(x)和h(x)的极限都为L，则g(x)的极限也为L。
三、连续性的概念连续性是指函数在其定义域内，每个点x以及其邻域内的任意点x'，只要x'趋近于x，则函数值f(x')也趋近于f(x)。
也就是说，一个函数在某一点可导，其充分条件是在该点处连续。
例如，函数y=x^2在定义域[-∞,+∞]上连续。
在某一点x处，如果f(x)=L，则f(x+h)和f(x-h)的极限都为L，也就是说，函数在该点处连续。
四、连续性的性质1.初等函数的和、差、积仍是连续函数。
2.初等函数的商在分母不为零时仍是连续函数。
3.反函数在原函数在定义域内连续的点处也连续。
四、极限和连续性在微积分中的应用1.函数的导数：若函数在某一点处连续，且极限存在，则在该点处可求导。
连续与可导函数
连续与可导函数函数是数学中的重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
在微积分中，我们经常讨论连续函数和可导函数，它们在数学以及实际问题的解决中扮演着重要角色。
本文将探讨连续函数和可导函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、连续函数连续函数是指在定义域上没有间断的函数。
具体地说，一个函数f(x)在某个点x=a处连续，意味着在该点的左极限、右极限和函数值都相等，即\[ \lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) = f(a) \]。
如果函数在定义域的每个点都连续，则称函数是连续的。
连续函数具有一些重要的性质。
首先，两个连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
其次，连续函数经过数值的运算后，结果仍然是连续函数。
最后，连续函数在闭区间上一定达到最大值和最小值，即存在点x=c和x=d，使得函数在这两个点上达到最大值和最小值。
二、可导函数可导函数是指在某一点处存在导数的函数。
函数f(x)在点x=a处可导，意味着其导数存在且连续，即\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h} \]存在。
可导函数具有一些重要的性质。
首先，可导函数是连续函数。
这是因为导数的存在要求函数在该点处连续。
其次，可导函数在某一点处的切线为函数图像在该点的切线。
最后，可导函数的导函数是连续函数。
三、连续与可导函数的关系连续函数和可导函数之间存在一定的关系。
具体地说，如果函数在某点处可导，则该点处必然连续。
然而，连续函数不一定可导。
例如，绝对值函数\[ f(x) = |x| \]在点x=0处连续，但在该点处的导数不存在。
如果函数在定义域的每个点处都可导，则称函数是可导的。
可导函数一定是连续函数。
四、连续与可导函数的应用连续函数和可导函数在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
在物理学中，运动的变化可以通过函数来描述。
例如，一个物体在时刻t的位置可以表示为函数s(t)。
数学分析中的连续与间断
数学分析中的连续与间断在数学分析中，连续与间断是重要的概念，用于描述函数在某个点的行为。
本文将详细介绍连续与间断的定义、分类以及相关定理。
1. 连续的定义在数学分析中，一个函数f(x)在某个点a上连续，意味着当x接近于a时，f(x)也接近于f(a)。
换句话说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意满足|a-x|<δ的x，都有|f(a)-f(x)|<ε成立，那么函数f在点a上连续。
2. 间断的定义与连续相对应，间断表示函数在某个点上的行为不连续。
间断点可以分为三种类型：第一类间断、第二类间断和跳跃间断。
2.1 第一类间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在，但是两个极限不相等，即lim_(x→a^-) f(x)≠lim_(x→a^+) f(x)，那么点a就是函数f(x)的第一类间断点。
2.2 第二类间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在，但是至少一个极限不存在或为无穷大，即至少一个极限lim_(x→a) f(x)不存在或为无穷大，那么点a就是函数f(x)的第二类间断点。
第二类间断可以进一步细分为可去间断和无穷间断。
2.2.1 可去间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在但不相等，并且lim_(x→a) f(x)不存在，那么点a就是函数f(x)的可去间断点。
2.2.2 无穷间断如果函数f(x)在点a的左右极限存在但不相等，并且至少一个极限为无穷大，那么点a就是函数f(x)的无穷间断点。
2.3 跳跃间断如果函数f(x)在点a的左右极限不存在，即lim_(x→a^-) f(x)和lim_(x→a^+) f(x)都不存在，那么点a就是函数f(x)的跳跃间断点。
3. 连续与间断的性质与定理3.1 连续函数的性质若函数f和g在点a处连续，则以下函数也连续：- f(x)+g(x)- kf(x)（k为常数）- f(x)g(x)- f(g(x))（复合函数）3.2 间断函数的性质若函数f在点a处存在第一类间断，则以下函数也存在第一类间断：- |f(x)|- kf(x)（k为常数）- f(x)+g(x)- f(x)g(x)（假设g(x)在点a连续）若函数f在点a处存在第二类间断，则以下函数也存在第二类间断：- |f(x)|- kf(x)（k为常数）- f(x)+g(x)（假设g(x)在点a存在第二类间断）- f(x)g(x)（假设g(x)在点a存在第二类间断）3.3 介值定理若函数f在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，对于任意介于f(a)和f(b)之间的y，存在一个点c∈(a,b)，使得f(c)=y。
指数函数和对数函数的极限和连续性
指数函数和对数函数的极限和连续性指数函数和对数函数是高中数学中非常重要的函数，它们在数学和科学的应用中发挥着重要作用。
本文将探讨指数函数和对数函数的极限和连续性。
1. 指数函数的极限和连续性指数函数可以用以下形式表示：f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
对于指数函数来说，其极限存在且连续。
1.1 极限的定义我们先来探讨指数函数的极限。
当x趋近于无穷大时，指数函数的极限可以表示为：lim(x→∞) a^x = +∞，当a>1；lim(x→-∞) a^x = 0，当0<a<1。
1.2 连续性的定义指数函数在定义域内是连续的。
具体而言，当x取任意实数时，指数函数f(x) = a^x是连续函数。
2. 对数函数的极限和连续性对数函数可以用以下形式表示：f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1。
对于对数函数来说，其极限存在且连续。
2.1 极限的定义对数函数的极限可以表示为：lim(x→0+) log_a(x) = -∞，当a>1；lim(x→+∞) log_a(x) = +∞，当a>1；lim(x→0+) log_a(x) = +∞，当0<a<1；lim(x→+∞) log_a(x) = -∞，当0<a<1。
2.2 连续性的定义对数函数在定义域内是连续的。
具体而言，当x取任意正实数时，对数函数f(x) = log_a(x)是连续函数。
3. 指数函数和对数函数的性质指数函数和对数函数有许多重要的性质，以下列举几个常用的性质：3.1 指数函数的性质- a^m * a^n = a^(m+n)，指数函数的乘法规则；- (a^m)^n = a^(m*n)，指数函数的幂法则；- a^(-m) = 1/a^m，指数函数的负指数规则；- a^m/a^n = a^(m-n)，指数函数的除法规则。
3.2 对数函数的性质- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)，对数函数的乘法对数法则；- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)，对数函数的除法对数法则；- log_a(x^n) = n * log_a(x)，对数函数的指数对数法则。
高等数学微积分第七节函数的连续性与连续函数的
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
例如, sin x, cos x在(,)内连续,
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
y sin 1 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况的间断点称为 振荡间断点 .
例8 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
lim f ( x ) limcos x 1,
第七节 函数的连续性与连续函数的运算
一、函数的连续性
1. 函数在一点处连续的定义
定 义1 设 函 数 y f ( x )在 点x0的 某 邻 域 内 有 定 义 , 如果
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
则称函数 f ( x ) 在点 x0 处连续 . 并说 x0 是 f ( x ) 的连续点 .
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
2.区间上的连续函数
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
x 1
f (1 ) 2,
高中数学中的极限与函数连续性
高中数学中的极限与函数连续性在高中数学课程中，极限和函数连续性是两个重要的概念。
它们在微积分和数学分析中起着核心作用，对于理解和解决数学问题至关重要。
本文将深入探讨高中数学中的极限和函数连续性。
一、极限极限是数学中的一个基本概念，它用于描述函数在某一点上的趋近情况。
通常来说，我们将自变量趋近于某个特定值，观察函数的表现。
如果函数在该特定值的附近逐渐接近一个确定的值，那么我们称此值为函数在该点的极限。
极限可以用符号表示。
如果当自变量趋近于特定值时，函数值无限接近于一个常数L，我们可以表示为：lim[f(x)] = L (x→a)其中，lim代表极限的意思，f(x)是函数，x→a表示自变量x趋近于a，L是函数f(x)在点a处的极限值。
通过求取极限可以帮助我们研究函数的性质和行为。
二、函数的连续性函数连续性是指函数在整个定义域上的连续性质。
如果一个函数在其定义域上的任意一点处都满足极限存在且与函数值相等的条件，那么我们称该函数在定义域上连续。
在数学中，函数连续性的形式化定义如下：对于函数f(x)，如果满足以下条件，则称其在点a处连续：1. f(a)存在；2. lim[f(x)] = f(a) (x→a)这意味着函数在点a的函数值与极限值相等。
简单来说，函数的连续性要求函数在点a处没有突变或跳跃，它可以平滑地过渡。
连续性是函数在数值计算和解析推导中的重要性质。
三、极限与函数连续性的关系极限和函数连续性有着密切的联系。
实际上，函数在点a处连续的一个重要条件就是其在该点的极限存在且与函数值相等。
具体来说，如果一个函数在点a处连续，那么它的极限存在且等于函数值。
换句话说，如果函数在点a处不满足极限存在或者与函数值不等的条件，那么该函数在点a处就不连续。
举个例子来说明，考虑函数f(x) = 1/x。
在x=0处，这个函数的极限存在，为正无穷或负无穷，但函数在点x=0处并不连续，因为函数在此处的函数值并不等于极限值。
（完整版）高等数学基础知识点归纳
（完整版）⾼等数学基础知识点归纳第⼀讲函数，极限，连续性1、集合的概念⼀般地我们把研究对象统称为元素，把⼀些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
⽐如“⾝材较⾼的⼈”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体⾮负整数组成的集合叫做⾮负整数集（或⾃然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表⽰⽅法⑴、列举法：把集合的元素⼀⼀列举出来，并⽤“｛｝”括起来表⽰集合⑵、描述法：⽤集合所有元素的共同特征来表⽰集合集合间的基本关系⑴、⼦集：⼀般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意⼀个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的⼦集，记作A ?B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的⼦集，且集合B 是集合A 的⼦集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全⼀样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真⼦集：如何集合A 是集合B 的⼦集，但存在⼀个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真⼦集，记作A 。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的⼦集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下⾯的结论：①、任何⼀个集合是它本⾝的⼦集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的⼦集，B 是C 的⼦集，则A 是C 的⼦集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话⼦集包括“真⼦集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：⼀般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现⼀次。
）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：⼀般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。
数学分析第三章极限与函数的连续性03
二、连续函数的四则运算
设
lim
xx0
f (x)
f
( x0
),
lim
xx0
g(x)
g(x0 ),
则
（1）
lim
xx0
(f
(
x)
g(x))
f
应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15。
（3） 反三角函数. 由于y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; 反三角函数在其定义域内皆连续.
（4） 对数函数. （5） 幂函数.
得一区间套 {[an , bn ]，} 满足 f (an ) 0, f (bn ) 0
根据区间套定理，知存在 r [a ,b]，有
lim
n
Байду номын сангаас
an
lim
n
bn
r
由 f (x) 在 r 连续，知
f
(r)
lim
n
f
(an )
0
f
(r)
lim
n
f
(bn
)
0
故 f (r) 0 定理证完。
(x), g(x)都是无穷小量, 如果
lim
x x0
f (x) g(x)
0，则称
f (x) 关于 g(x) 是高阶无穷小量（或g(x) 关于f (x)是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
关键词：初等函数，定义区间，连续函数
相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限
一．6个基本初等函数：
①常量函数②幂函数③指数函数④对数函数⑤三角函数⑥反三角函数 形式：
①f （x ）＝C （C 为常数） ②f （x ）＝x a
③f （x ）＝a x （1,0≠>a a ） ④f （x ）＝log a x （1,0≠>a a ）
⑤f （x ）＝sinx f （x ）＝cosx f （x ）＝tanx …… ⑥f （x ）＝arcsinx f （x ）＝arccosx f （x ）＝arctanx 二．函数连续的定义： 设函数)(x f 在
x
的某个邻域U （
x
）上有定义，若
)()(0lim
x f x f x x =→
，则称函数)(x f 在x 0处连续
注：定义中涉及“)(lim 0
x f x x →
”即为函数之极限
三．函数极限的定义：
为极限
极限存在，且以时当，则称A x )(A )(0::,0,0x 00→<-⇒<-<∀∍>∃>∀x f x f x x x εδδε
由此也可用""δε-定义)(x f 在x 0处的连续性：
εδδε<-⇒<-∀∍>∃>∀)()(::,0,000x x f x f x x
四．初等函数的定义：
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数 要证明原命题，先解决以下几个问题： （Ⅰ）复合函数的连续性
定义：若函数)(x f 在点x 0处连续，函数g （u ）在点u 0连续，
u 0
＝)(0
x f ，则复合函数g （f （x ）
）在点x 0
连续
证明：
∵ g （u ）在点u 0连续
∴ εεδδ<-⇒<-∍>∃>∀)()(:,0,00101u u g u g u 而)(x f 在点x 0处连续，
取δδδδε102021'
)()(:,0,0<-⇒<-∍>∃>=x x f x f x 即δ10)(<-u x f
故：ε<-))(())((0x f g x f g
综上：εεδδ<-⇒<-∍>∃>∀))(())((:,0,00202x x f g x f g x 即：g （f （x ））在x 0处连续 证毕！ （Ⅱ）反函数的连续性
定义：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数
)(1
y f
-
在其定义域[])(),(b f a f 或[])(),(a f b f 上连续且单调性与原函数相同
证明：不妨设)(x f 在[]b a ,上严格单增且连续，下证x ＝
)(1
y f
-在
[])(),(b f a f 上单增且连续
（1）[])(),(,)(),(,221121y x y x y y f f b f a f ==∈∀ 不妨设y
y 2
1<
若x x 21≥ 则 )()(21x x f f ≥矛盾！ 故x x 21< 即，x ＝
)(1
y f
-单增
（2）任取())(),(0b f a f y ∈ 证明x ＝)(1
y f
-在y 0
处连续
令)(1
0y f
x -= 0>∀ε 令
)(01
ε-=x y
f
)(02
ε+=x y
f
取{}y y y y 0
2
1
,min
--=δ 则：
),(0δy U y ∈∀ 有 ε<--x f
y 01
)(
故
)(1
y f
-在y 0
处连续
类似可证x ＝)(1
y f
-在左右端点分别左，右连续
证毕！
（Ⅲ）证明几个基本初等函数的连续性 ①为常数）C C x f ()(=
证明：
εδεδε<=-<-∀>∀∈∀0)()(,0,000x x x f x f x R 时，，＝取 故)(x f 在x 0处连续 ②e x
x f =)(
1） 证明：1lim
0==→e e
x
x εεε+<<-⇒<-111e e x
x )1ln()1ln(εε+<<-⇒x
取)}1ln(,11
min{ln
εε
δ+-= εδ<-<∀1e x
x 时，
2） 证明：e e x x x x x 0
lim ,00=≠∀→
即证：1lim
=→
e
e x x x
x
亦即：1lim 0
=-
→
e x x
x x
而 )t (1lim lim 000
x e e e x x x t t x x -===→-→
＝其中
（等式解释：第一个等号用到复合函数的连续性 第二个等号用到1）的结论）
③a x
x f =)(
证明：a e e
e a x x x x x a
t
a
t a x x x x 0000
ln ln ln lim
lim lim ====→
→
→
④x a x f =)( 证明：x e e e x
a
a t a t x
a x a
x x x x x 0
lim lim lim
00
ln
ln ln =
===→→→
⑤x x f sin )(=
证明：δεδε<->∀∈∀x x x R 00,0,，则＝取时， 2
cos
2sin 2sin sin 0
0x x x x x x +-=-
ε<-<-≤x x x x 00
2
sin
2
故 εδ<-⇒<-∀)()(00x x f x f x 即 x x f sin )(=在x 0处连续
⑥x x f cos )(=
证明：δεδε<->∀∈∀x x x R 00,0,，则＝取时，
2
sin
2sin 2cos cos 0
0x x x x x x +-=-
ε<-<-≤x x x x 00
2
sin
2
故 εδ<-⇒<-∀)()(00x x f x f x 即 x x f cos )(=在x 0处连续
根据
极限的四则运算原则并结合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可知：
任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
综上：原命题得证！。