江西省红色七校2020届高三第一次联考数学(理)试卷Word版含答案
江西省红色七校2020届高三第一次联考数学（理）试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知复数201812i z i=-，则复数z 的虚部为（ ）A. 25-B. 25i -C. 15iD.152.已知集合{}421|<≤=x x P ，{}30|≤<∈=x N x Q 则=Q P （ ）A. [1,2]B. (0,2)C. {1,2}D. {1}3. 已知向量b a ,的夹角为2|2|2||60=-=b a a，，，则=||b （ ） A ．4 B ．2 C. 2D ．14.执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. k ≤ 14?B. k ≤ 15?C. k ≤ 16?D. k ≤ 17?5. 已知直线m ，n ，平面α，β；命题:p 若α//β,m //α,则m //β；命题:q 若m //α,m //β,n αβ=,则m //n ，下列是真命题的是( )A ．p q ∧ B. ()p q ⌝∨ C.()p q ⌝∧ D.()p q ⌝∧ 6.二项式()()21011x xx ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 1007.设0a >，则函数()y x x a =-的图象的大致形状是（ ）8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12 B ．13C.41π- D ．42π- 9. 一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该 立体图形的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 10.函数y =sin （2x ﹣6π）的图象与函数y =cos （x ﹣3π）的图象（ ） A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴11. 设抛物线28y x =的焦点为F ，过点()4,0M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，4BF =，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（ ）A.34 B. 45 C. 56 D. 2512. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则20172019a a －()22018a 等于( )A ．1B ．－1 C.2017 D ．－2017 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.14.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝__ __. 15.小明有中国古代四大名著：《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》，《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有_______.16.定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在)(,2121b x x a x x <<<满足，ab a f b f x f --=')()()(1a b a f b f x f --=')()()(2则称函数)(x f 是[]b a ,上的“中值函数”.已知函数m x x x f +-=232131)(是[]m ,0上的“中值函数”，则实数的取值范围是_____.三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a （sin A ﹣sin B ）=（c ﹣b ）（sin C +sin B ） （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =7，△ABC 的面积为 233，求△ABC 的周长．18.数列{}n a 满足11()n a a n N ++==∈.（1）求证：数列{}2n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和.19.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点。
（1）求二面角A 1-BD -A 的大小；（2）在线段AA 1上是否存在一点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由。
20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（Ⅰ）请估算2018年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2018年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用1万元，出现6级严重污染，则该天需要净化空气费用2万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用X 万元，求X 的分布列及数学期望.21. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，圆0324:22=+--+y x y x Q 的圆心Q 在椭圆C 上，点)1,0(P 到椭圆C 的右焦点的距离为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作直线l 交椭圆C 于B A ,两点，若AQB S AQB ∠=∆tan ，求直线l 的方程．22.已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）； （2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥.江西省红色七校2020届高三第一次联考数学（理）试卷参考答案1-12 ADDBD BBCCA DA 13. 8 14 .34 15.30 16.33(,)4217.解：（Ⅰ）由已知a （sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）（sinC+sinB ） 由正弦定理，得a （a ﹣b ）=（c ﹣b ）（c+b ），（2分） 即a 2+b 2﹣c 2=ab ．（3分）所以cosC==，又C ∈（0，π），所以C=．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 2+b 2﹣c 2=ab ．所以（a+b ）2﹣3ab=c 2=7，又S=sinC=ab=，所以ab=6，所以（a+b ）2=7+3ab=25，即a+b=5．（9分）所以△ABC 周长为a+b+c=5+．（10分）18.......6分....12分19.（1）作CO ⊥AB 于O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1，所以在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中如图建立空间直角坐标系O-xyz 。
因为AB=2，AA 1=3，D 是AC 的中点。
所以A （1，0，0），B （-l ，0，0），C （0，0，3），A 1（1，3，0），所以D （21，0，23），=（23，0，23），1BA =（2，3，0）。
设n=（x ，y ，z ）是平面A 1BD 的法向量，所以⎪⎩⎪⎨⎧==，，0·0·1BA n n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,032,02323y x z x 令x=-3，则y=2，z=3，所以n=（-3，2，3）是平面A 1BD 的一个法向量。
由题意可知1AA =（0，3，0）是平面ABD 的一个法向量， 所以cos<n ，1AA >=3432=21。
由题知二面角A 1-BD-A 为锐角，所以它的大小为3π。
......6分 （2）设E （1，x ，0），则C 1=（1，x-3，-3），11B C =（-1，0，-3）， 设平面B 1C 1E 的法向量m=（x 1，y 1，z 1），所以⎪⎩⎪⎨⎧==，，0·0·111B C m E C m 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--+,03,03)3(11111z x z y x x令z 1=-3，则x 1=3，y 1=x-36，m=（3，x-36，-3），又m ·n=0，即-33+x-312-33=0，解得x=33， 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE=33。
......12分 20试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为1105.1093653.0365)2.01.0(≈=⨯=⨯+（天） ......4分（Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5，6， 则：12564)54()0(3===X P ，12524)54(101)1(213=⨯⨯==C X P 12527500108)54()101()54()101()2(2131223==⨯⨯+⨯⨯==C C X P 10004954101)101()101()3(12133=⨯⨯⨯⨯+==C C X P 10002754)101(101)101()4(223223=⨯⨯+⨯⨯==C C X P10003101)101()5(223=⨯⨯==C X P 10001)101()6(3===X P .....8分 X 的分布列为 (10)万元）(9.010001610003510002741000493125272125241125640=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ......12分21：试题解析：（1）因为椭圆C 的右焦点)0,(c F ，2=PF ，所以3=c ，:因为)1,2(Q 在椭圆C 上，所以11422=+ba ，由322=-b a ，得62=a ，32=b ，所以椭圆C 的方程为13622=+y x ......4分 （2）由AQB S AQB ∠=∆tan 得：AQB AQB QB QA ∠=∠tan sin 21，即2cos =∠AQB QB QA ，可得，2=⋅ ......6分①当l 垂直x 轴时，2314)13,2()13,2(=-+=---⋅--=⋅， 此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0=x ；......7分②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1+=kx y ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+113622kx y y x 消去y 得044)21(22=-++kx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B 所以221214k k x x +-=+，221214kx x +-=，代2=⋅入可得：2)1,2()1,2(2211=--⋅--y x y x ，代入111+=kx y ，122+=kx y ，，得2)2()2(21221=+-⋅-x x k x x ，代入化简得：0221821)1(4222=+++++-k k k k ，解得41=k ，经检验满足题意，则直线l 的方程为：044=+-y x 综上所述直线l 的方程为0=x 或044=+-y x ．......12分 22.（1）由'1()f x ax b x=-+，得'(1)1f a b =-+，l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-，又l 过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-，解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+，∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x --+-+-+=-+-==>， 当1(0,)x a ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减.故2max 111111()()ln ()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-.......6分（2）证明：∵4a =-，∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，'1()m m mϕ-=，令'()0m ϕ<得01m <<；令'()0m ϕ>得1m >. ∴()m ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1m ϕϕ≥=，∴212122()1x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥.......12分。
2019-2020学年江西省重点中学盟校高三下学期第一次联考数学试卷(理科) 含解析
2019-2020学年高三第二学期第一次联考（理科）数学试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（0，+∞）2．i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则a＝（）A．1B．C．D．23．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．15．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．0B．2C．4D．﹣27．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A．46B．12C．11D．28．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．9．函数y＝cos（2x+φ）的图象左移个单位后关于直线对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．10．在下列选项中，选出一个“对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立”的充分不必要条件（）A．a≤B．a≥1C．a≥D．a≥011．在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x﹣2）cosα+y sinα﹣＝0的概率为（）A．1﹣B．C．D．1﹣12．已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD＝3DC，球O为三棱锥P﹣ABC的外接球，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π二、填空题（共4小题）13．已知向量，的夹角为，且||＝1，||＝，则|﹣|＝．14．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为．15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于．16．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝a3＝1，a n+1＝，数列{b n}满足：b n＝．则b n+1﹣b n的取值范围是．三.解答题：（共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）证明：a，c，b成等比数列（2）若c＝3，且4sin（C﹣）cos C＝1，求△ABC的周长18．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED．现将△CDE 沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB．（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；（2）求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．19．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝xe x﹣e x﹣mx2+mx（m∈R）．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）存在三个零点x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，x3﹣x1≤2，求x1+x3的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．[选修4-5；不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明：（1）；（2）．参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（0，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），集合＝（﹣∞，0），则A∩B＝（﹣∞，﹣1），故选：C．2．i为虚数单位，a为正实数，若复数为纯虚数，则a＝（）A．1B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵＝＝为纯虚数，∴，解得a＝．故选：C．3．已知实数a＝2ln2，b＝2+2ln2，c＝（ln2）2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：易知1＜2ln2＜2，2+2ln2＞2，0＜（ln2）2＜1，∴c＜a＜b．故选：A．4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．5．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【分析】根据题意，画出编号为①、②、③的三棱锥的直观图，判断是否存在侧面与底面互相垂直的情况即可．解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．0B．2C．4D．﹣2【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出S随i变化的周期以及程序结束后输出S的值．解：模拟执行如图所示的程序框图知，第一次循环，S＝4，i＝1；第二次循环，S＝2，i＝2；第三次循环，S＝2，i＝1；第四次循环，S＝2，i＝2；…；可知S随i变化的周期为2，当i＝2019时，输出S的值为2．故选：B．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A．46B．12C．11D．2【分析】根据题意，设5人得到的面包数分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，且d＞0，结合题意可得，解可得a、d的值，计算即的答案．解：根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，设5人得到的面包数分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，且d＞0，又由面包总数为120，且较多的三份之和的是较少的两份之和，则有，解可得a＝24，d＝6，则a﹣2d＝12；即最少的一份面包个数为12；故选：B．8．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，直线与双曲线C的一个交点P在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】如图设P在第一象限，∴：∠POx＝60°，|OP|＝c，可得P的坐标，再代入双曲线方程可得．解：如图设P在第一象限，∴：∠POx＝60°，|OP|＝c，∴P（，c），将其代入﹣＝1，得﹣＝1，化简得：c4﹣8a2c2+4a4＝0，∴e4﹣8e2+4＝0，∴e2＝＝4±2，∵e＞1，∴e2＝4+2，∴e＝+1．故选：C．9．函数y＝cos（2x+φ）的图象左移个单位后关于直线对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】本题先平移，然后求出对称轴方程通式，＝﹣﹣φ，解出φ＝kπ﹣，进一步解出φ解：原式可变为y＝cos2（x++），∵2（x++）＝kπ，＝﹣﹣，∴φ＝kπ﹣，当k＝3时，φ＝．故选：C．10．在下列选项中，选出一个“对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立”的充分不必要条件（）A．a≤B．a≥1C．a≥D．a≥0【分析】先解出命题对应的集合，根据充要性求出解．解：∵对于∀x∈R，都有ax2﹣x+1≥0恒成立，∴，即，解之得，则a≥1是的充分不必要条件，故选：B．11．在平面区域，内任取一点P（x，y），则存在α∈R，使得点P的坐标（x，y）满足（x﹣2）cosα+y sinα﹣＝0的概率为（）A．1﹣B．C．D．1﹣【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数为可行域内的点与单位圆的交点，从而求解概率．解：由题意可知：单位圆与直线f（m，n）＝（x﹣2）m+yn﹣存在交点，∴，即（x﹣2）2+y2≥2，结合图形，可知：P＝＝1﹣．故选：A．12．已知三棱锥P﹣ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD＝3DC，球O为三棱锥P﹣ABC的外接球，过点D作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（）A．72πB．86πC．112πD．128π【分析】如图．M是BC边中点，E是AC边中点，由AB⊥AC，可得M是△ABC的外心，作OM∥PA，利用线面垂直的判定与性质定理可得：O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心．利用三角形中位线定理可得：ME∥AB，，ME⊥AC，再利用直角三角形的边角关系可得：MD，AM．可得：OA2＝OM2+AM2＝a2+25，过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，进而得出结论．解：如图．M是BC边中点，E是AC边中点，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，作OM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，∴OM⊥AM，OM⊥MD，取，易得OA＝OP，∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心．E是AC中点，则ME∥AB，，∴ME⊥AC，∵AD＝3DC，∴，∴，设PA＝2a，则OM＝a，OD2＝OM2+MD2＝a2+13，又，∴OA2＝OM2+AM2＝a2+25，过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，∴πOA2+πr2＝（a2+25）π+12π＝44π，OA2＝（a2+25）π＝32π．∴．故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，的夹角为，且||＝1，||＝，则|﹣|＝1．【分析】利用|﹣|＝＝可得．解：|﹣|＝＝＝＝1，故答案为：1．14．（x2+）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2+y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为﹣．【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．解：因为（x2+）6展开式的常数项是15，所以＝15，解得a＝2，所以曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为﹣＝﹣＝﹣．故答案为﹣．15．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于3．【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，由抛物线的性质及|AC|＝2|AF|，可得直线AB的斜率，即求出直线AB的方程与抛物线联立，求出A，B的横坐标，再由抛物线的性质求出弦长AF，BF的值，求出比值．解：由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，分别过A，B作准线的垂线交于A'，B'，由抛物线的性质可得|AF|＝|AA'|，由|AC|＝2|AF|，所以可得|AC|＝|AA'|，所以∠A'AC＝60°，即直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为：y＝（x﹣1），联立直线与抛物线的方程，整理可得：3x2﹣10x+3＝0，解得：x1＝，x2＝3，所以|m＝|BF|＝x2+＝3+1＝4，n＝|AF|＝x1+＝+1＝，所以＝＝3，故答案为：3．16．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝a3＝1，a n+1＝，数列{b n}满足：b n＝．则b n+1﹣b n的取值范围是{﹣1，1}．【分析】根据，构造新等式，求得b n＝b n﹣2，即可求得结论．解：因为①⇒a n+2a n﹣1﹣a n+1a n＝1，②两式相减可得：a n﹣1（a n+2+a n）＝a n+1（a n+a n﹣2）⇒b n＝b n﹣2，又由于a1＝a2＝a3＝1，得a4＝2⇒b1＝2，b2＝3，故：；∴b n+1﹣b n的取值范围是：{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．三.解答题：（共5小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）证明：a，c，b成等比数列（2）若c＝3，且4sin（C﹣）cos C＝1，求△ABC的周长【分析】（1）由余弦定理可得：+＝+＝，化简即可证明结论．（2）4sin（C﹣）cos C＝1，利用和差公式、三角函数求值即可得出C．再利用余弦定理及其（1）的结论即可得出．【解答】（1）证明：由余弦定理可得：+＝+＝＝＝，∴c2＝ab．∴a，c，b成等比数列．（2）解：∵4sin（C﹣）cos C＝1，∴4（sin C cos﹣cos C sin）cos C＝1，化为：sin2C﹣cos2C＝2，∴sin（2C﹣）＝1，C∈（0，π）．∴2C﹣＝，解得C＝．由余弦定理可得：ab＝c2＝a2+b2﹣2ab cos＝9，∴a＝b＝3．∴△ABC的周长＝a+b+c＝9．18．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED．现将△CDE 沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB．（1）求证：平面PCE⊥平面ABCE；（2）求二面角B﹣PA﹣E的余弦值．【分析】（1）推导出PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边，则PO⊥AB，PM⊥CE，由OM为梯形ABCE的中位线，得OM∥BC，BC⊥AB，从而OM⊥AB，进而AB⊥平面POM，AB⊥PM，且AB不与CE平行，PM⊥平面ABCE，由此能证明平面PCE⊥平面ABCE．（2）过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣E的余弦值．解：（1）证明：依题意可得：PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接△POM的三边，则PO⊥AB，PM⊥CE，而OM为梯形ABCE的中位线，有OM∥BC，BC⊥AB⇒OM⊥AB，且PO∩OM＝O，故：AB⊥平面POM，∴AB⊥PM，且AB不与CE平行，综上所述，PM⊥平面ABCE，∵PM⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面ABCE．（2）解：过点O作与PM平行线作z轴，分别以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系则A（1，0，0），B（﹣1，0，0），E（1，1，0），，，，，设向量，则有，令y＝1，得：，同理：平面PAE的法向量，得，故二面角B﹣PA﹣E的余弦值为．19．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【分析】（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）选择延保方案一，求出所需费用Y1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y2元的分布列和数学期望，由此能求出该医院选择延保方案二较合算．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6．，，，，，，，∴X的分布列为X0123456P（Ⅱ）选择延保方案一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P（元）．选择延保方案二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P（元）．∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．20．已知△ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），AB＝4，点P在线段AB上，且∠BAC＝∠PCA．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若Q（1，），过C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：为定值．【分析】（1）由题意可得点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点），即可求出点P的轨迹E的方程，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），根据韦达定理和斜率公式，化简整理即可证明解：（1）三角形ACP中，∠BAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴PB+PC＝PB+PA＝AB＝4，∴点P的轨迹是以，B，C为焦点，长轴为4的椭圆，（不含实轴的端点）∴点P的轨迹E的方程为+＝1，（x≠±2）；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），可设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），则K（4，3k），由，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴k1＝＝＝k﹣，同理可得k2＝k﹣，∵k3＝＝k﹣，∴k1﹣k3＝﹣，k2﹣k3＝﹣，∵k1﹣k3+k2﹣k3＝﹣+﹣＝1﹣•＝1﹣•＝0，∴＝﹣1为定值21．已知函数f（x）＝xe x﹣e x﹣mx2+mx（m∈R）．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）存在三个零点x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，x3﹣x1≤2，求x1+x3的最大值．【分析】（1）将m＝0代入函数解析式可得f（x）＝xe x﹣e x，导数研究函数的单调性情况，进而得出极值情况；（2）问题可转化为m＞e，且方程e x＝mx在区间（0，1）和（1，+∞）内各有一根，依题意，联立，，并设，可得，进而得到，进一步构造函数，利用导数即可求得最大值．解：（1）当m＝0时，f（x）＝xe x﹣e x，f'（x）＝xe x，令f'（x）＝0得x＝0，故f（x）的减区间为（﹣∞，0]，增区间为[0，+∞）；所以当x＝0时，f（x）的极小值为﹣1，无极大值；（2）方程f（x）＝（x﹣1）（e x﹣mx）＝0等价于x＝1或e x＝mx，记函数，⇒g（x）在（﹣∞，0），（0，1）上递减，（1，+∞）上递增，且当x＝0，e x≠mx，故：要使f（x）存在三零点，则需m＞e，方程e x＝mx在区间（0，1）和（1，+∞）内各有一根，满足①，②，且0＜x1＜x2＝1＜x3，设，则联立方程①②，得：，则lnt＝x3﹣x1≤2，∴1＜t≤e2，代入x3＝tx1，得：lnt＝（t﹣1）x1，故，∴，记函数，对于y＝x2﹣1﹣2xlnx，当x＝1时，y＝0，且y′＝2x﹣2﹣2lnx≥0恒成立，故：当1＜x≤e2时，h′（x）＞0，h（x）单增，所以当t＝e2时，x1+x3取得最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程是（k为参数），平方后得，又，曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝3，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣6＝0．（2）将曲线C化成参数方程形式为（α为参数），则d＝＝，其中，所以．[选修4-5；不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+2b＝3．证明：（1）；（2）．【分析】（1）由a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），代入a2+b2配方法证明即可；（2）先求出0＜ab，当且仅当a＝2b＝取等号，把要证明的式子左边转化为关于ab的式子，配方法证明即可．【解答】证明：（1）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，则a＝3﹣2b＞0，b∈（0，），所以a2+b2＝（3﹣2b）2+b2＝5b2﹣12b+9＝5（b﹣）2+，当b＝时，a＝3﹣2b＝时，取等号，故结论成立；（2）已知a＞0，b＞0，a+2b＝3，故0＜ab，当且仅当a＝2b＝取等号，所以a3b+4ab3＝ab（a2+4b2）＝ab[（a+2b）2﹣4ab]＝ab（9﹣4ab）＝﹣4（ab）2+9ab＝，当且仅当ab＝时，取等号，故命题成立．。
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
2020届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】A
【解析】分析函数 在 处的取值，以及该函数在区间 函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
对于函数 ，当 时， ，即该函数图象过原点，排除B选项；
当 时， ，则 ，排除D选项.
当 时， ，所以，函数 不是奇函数，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先根据题意分别算出 和 ，再利用条件概率公式计算即可.
【详解】
由题知：事件 ：甲和乙至少一人选择庐山共有： 种情况，
事件 ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，
共有 种情况，
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.
2020届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】首先化简 ，得到 ，再求出 ，判断对应的点位于的象限即可.
【详解】
因为 ，所以 .
所以 ，对应的点为 ，位于第四象限.
构造函数 ，则 ，
所以，函数 为偶函数，
当 时， ，
所以，函数 在 上单调递增，则该函数在 上单调递减，
，
由 得 ，
即 ，即 ，则 ，
由于函数 在 上单调递减，所以， ，解得 .
2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学(理)试题(解析版)
2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合1,1,2,3,{(1)(2)0}2A B x x x ⎧⎫==-->⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{3}B ．1,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{1,3}D ．{2,3}【答案】B【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集即可.【详解】因为()()1,1,2,3,{120}{12A B x x x x x ⎧⎫==-->=<⎨⎬⎩⎭或2}x >，所以1,32A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故选：B ．2．若复数z 满足(2i)5i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．2i B ．2i - C ．2- D ．2【答案】D【分析】利用复数除法和乘法运算法则求出z 即可得到虚部. 【详解】因为(2i)5i z -=，所以5i (2i)5i12i 2i 5z +⋅===-+-，故z 的虚部为2. 故选：D ．3．下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势； ②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9； ③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为533． 则说法正确的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，可判断①，求出2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的中位数可判断②；由古典概率的计算公式代入可判断③【详解】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为4.67.25.92+=，故②正确；从这12个增速中随机抽取2个，都超过10的概率25212C5C33P==，故③正确.故选:D．4．函数20.25()sinxf xx+=的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负判断即可.【详解】因为22()0.250.25()()sin()sin x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 为奇函数，故排除C ，D ；又21024f ππ+⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故排除B. 故选：A ．5．2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A ，B 等4个场馆，其中A 场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ） A ．48 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B【分析】先安排2人去A 场馆，再安排剩余的人去其它场馆即可.【详解】分为两步，第一步：安排2人去A 场馆有25C 种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有33A 种结果，所以不同的安排方法种数为2353C A 60=.故选：B ． 6．设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（ ） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023【答案】B【分析】利用函数()g x 的奇偶性求出a ，得到函数()f x 的解析式，根据解析式求函数值即可.【详解】由已知可得12()(1)1111a x a g x f x a x x a -+=-+=+=+-+-，则2()1ag x x a -=-+-．因为()g x 是奇函数，所以22()()011a ag x g x x a x a +-=+=+--+-，因为0a ≠，解得1a =，所以1()1x f x x -=+，所以2021(2022)2023f =-. 故选：B ． 7．设0.30.932,0.8,log 0.83a b c ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】A【分析】跟特殊值1，2比较即可判断大小. 【详解】因为331>且33382<=，所以0.30.90.912,0.81,log 0.8log 0.812a b c <<=<>==，所以c a b >>. 故选：A ．8．将函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到如图所示的函数()y g x =的图象，则π(0)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】C【分析】由三角函数的图象变换得到()g x 的解析式，再由其图象性质得出,,A ωϕ后计算原式【详解】依题意，ππ()cos cos 66g x A x A x ωωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故2A =，又()g x 的周期T 满足ππ4312T =-，得πT =，所以2ω=， 所以π()2cos 23g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又π23g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得ππ22π,Z 33k k ϕ⨯-+=∈，又π0ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以πππ(0)2cos 2cos 2333f f ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C9．“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A ，B 两地竖起高度均为a 寸的标杆AE 与BF ，AC 与BD 分别为标杆AE 与BF 在地面的影长，再按影长AC 与BD 的差结合“寸影千里”来推算A ，B 两地的距离．记,2CEA BDF παββα⎛⎫∠=∠=<- ⎪⎝⎭，则按照“寸影千里”的原则，A ，B 两地的距离大约为（ ）A ．1000sin()sin sin a αβαβ+里B ．1000sin()sin cos a αβαβ+里C ．1000cos()sin cos a αββα+里D ．1000cos()cos cos a αβαβ+里【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出BD AC -，再由同角三角函数及两角和的余弦公式化简，最后根据“寸影千里”的原则得解. 【详解】由题意可知tan ,tan BFAC AE BD αβ==， 所以cos sin (cos cos sin sin )cos()tan tan sin cos sin cos sin cos BF a a a a BD AC AE βαβααβαβαββαβαβα-+-=-=-==，所以可以估计A ，B 两地的距离大约为1000cos()()1000sin cos a BD AC αββα+-⨯=里，故选：C ．10．已知00，x y >>，满足2210x xy +-=，则32x y +的最小值是（ ） A 2B 3C ．3D ．2【答案】D【分析】将给定等式变形为212x y x-=，01x <<，再代入并结合均值不等式求解作答.【详解】由2210x xy +-=，得212x y x-=，而0,0x y >>，则有01x <<，因此，2113232x x y x x x x -+=+=+≥12x x =，即x =时取“=”，所以32x y +的最小值为故选：D11．已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，2,120AB BC ABC ==∠=︒，若三棱锥P ABC -的体积最大值为2，则球O 的半径为（ ）AB C D 【答案】D【分析】根据已知条件及同弧所对圆心角与圆周角的关系，再利用勾股定理及棱锥的体积公式即可求解.【详解】设ABC 的外接圆圆心为1O ，依题意可知1AO B 为正三角形，所以圆1O 的半径2r AB ==，设球O 的半径为R ，因为1OO ⊥平面ABC ，所以1OO当三棱锥P ABC -的体积最大时，三棱锥P ABC -的高等于1OO R R +=，所以V三棱锥P ABC -11232=⨯⨯⨯2sin120︒)2R ⨯=R =R =所以球O 故选:D ．12．若曲线1e x y -=与曲线y ==a （ ）A B C ．2eD ．1e【答案】A【分析】设公共点为(),P s t ，根据导数的几何意义可得出关于a 、s 的方程组，即可解得实数a 、s 的值.【详解】设公共点为(),P s t ，1e x y -=的导数为1e x y -'=，曲线1e x y -=在(),P s t 处的切线斜率1e s k -=，y =y '，曲线y =(),P s t 处的切线斜率k =，因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以1es -=1e s t -=，t =所以11e e s s --⎧=⎪⎨⎪=⎩=12s =，所以112e -=a = 故选：A ．二、填空题13．已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=-，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________． 【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥-， 所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=， 解得2a =． 故答案为：2.14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点F 到直线:230l x y --=则p 的值为_____________． 【答案】2或4【分析】求出,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意用点到直线的距离公式即可求出p 的值.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，则,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则点F 到直线:230l x y --=的距离为：d =， 所以31p -=，因为0p >，所以2p =或4. 故答案为：2或4.15．韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m 个士兵，若[2021,3021]m ∈，符合条件的m 共有___________个．【答案】10【分析】由题意，m 除3余2、除5余3、除7余4，可得m 最小的项为53，且为公差357⨯⨯的等差数列，即可由[2021,3021]m ∈求解.【详解】由“三三数之，剩二”知，m 是等差数列5，8，11，14，…中的项，其中满足“五五数之，剩三”的最小数是8，故m 是等差数列8，23，38，53，…中的项， 其中满足“七七数之，剩四”的最小数是53，故m 是等差数列53，158，263，368，…中的项，可得通项公式53105(1)n a n =+-，令202153105(1)3021n ≤+-≤，解得2029n ≤≤，且n *∈N ，故符合条件的m 共有10个．故答案为：10.三、双空题16．已知π,0,,sin 3sin(2)02αβααβ⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，则tan()tan αββ-=___________，tan(2)αβ-的最小值是_____________． 【答案】120.5【分析】利用凑角及两角和差的正弦公式，结合同角三角函数的商数关系、两角差的正切公式及基本不等式即可求解.【详解】由题意得，sin[()]3sin[()]0αββαββ-++--=，所以sin()cos cos()sin αββαββ-+-+3[sin()cos cos()sin ]0αββαββ---=， 即2cos()sin 4sin()cos αββαββ-=-，于是有tan 2tan()βαβ=-， 所以tan()1tan 2αββ-=．又tan()tan tan(2)tan[()]1tan()tan αββαβαββαββ---=--=+-，设tan 0x β=>，则1tan()2x αβ-=，所以2tan(2)221x x x xαβ-=-=-≥=++ 当且仅当2x x =即x tan(2)αβ-的最小值为 故答案为：12；-.四、解答题17．在①()2115,242,n n n a S S S n n *+-=+=+≥∈N ，②121n nS S n n+=++，③1(41)(43)n n n a n a ++=-这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且____________． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若n b 是1,n n a a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，43n a n =-； (2)41n nT n =+.【分析】（1）选①，利用n a 与n S 的关系求解作答；选②，构造等差数列求出n S 求解作答；选③，构造常数列计算作答； （2）由（1）求出21n b ，再利用裂项相消法求解作答. 【详解】(1)选①，2,N n n *≥∈，由1124n n n S S S +-+=+，得114n n n n S S S S +--=-+，则14n n a a +=+，即14n n a a +-=，而214a a -=，因此{}n a 是以1为首项，4为公差的等差数列，14(1)43n a n n =+-=-， 所以{}n a 的通项公式为43n a n =-． 选②，由121n n S S n n +=++，得121n n S Sn n +-=+，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列， 则12(1)21nS n n n=+-=-，则22n S n n =-， 当2n ≥时，22122(1)(1)43n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为43n a n =-． 选③，由1(41)(43)n n n a n a ++=-，得14143n n a a n n +=+-，因此数列{}43n an -是常数列， 则有1143413n a a n ==-⨯-，即43n a n =-， 所以{}n a 的通项公式为43n a n =-．(2)由（1）知，43n a n =-，依题意，21(43)(41)n n n b a a n n +==-+，则211111(43)(41)44341n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以22212111111111145594341n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11144141n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 所以数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和41n nT n =+．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是正方形，PA AD =，点E 为PC 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，则OEPA ，由PA ⊥平面ABCD ，可证得OE ⊥平面ABCD ，则AC OE ⊥，而由正方形的性质可得AC BD ⊥，所以由线面垂直的判定可证得结论，（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ． 因为底面四边形ABCD 为正方形， 所以,AC BD AO CO ⊥=． 又点E 为PC 的中点， 所以OEPA ．因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以,PA AB PA AD ⊥⊥，所以,OE AB OE AD ⊥⊥,因为,AB AD ⊂平面ABCD AB AD A ⋂=，，所以OE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以AC OE ⊥．因为BD OE O ⋂=，,BD OE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ．(2)解：设2AD =，则2PA AB BC CD ====．以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0)A D P C ，可得(0,2,2),(2,0,0),(2,2,0)DP DC AC =-==．由（1）知，平面BDE 的一个法向量为(2,2,0)AC =．设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则20220n DC x n DP y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得0,1x z ==，所以(0,1,1)n =， 设平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角为θ， 则222222|||01cos 2||||011220n AC n AC θ⋅===++⨯++， 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=， 即平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角的大小为3π． 19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2sin cos a A b B c C c B A =+-．(1)求A ；(2)若22,sin a B ==b 和c ．【答案】(1)π4A =(2)b c == 【分析】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，结合正弦定理将原式化为222cos 2cos a R A b c cb A ⋅=+-，再结合余弦定理可求出角A ，（2）由正弦定理结合已知求出b ，再利用余弦定理可求出c .【详解】(1)设ABC 的外接圆半径为R ，因为cos sin sin 2sin cos a A b B c C c B A =+- 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===， 得222cos 2cos a R A b c cb A ⋅=+-，结合余弦定理2222cos a b c cb A =+-，得22cos a R A a ⋅=，因为0a ≠，所以2cos 2sin R A a R A ==，得cos sin A A =，因为(0,π)A ∈，所以π4A =． (2)由（1）知π4A =，所以22sin a R A ==，所以2sin 2b R B ===由余弦定理2222cos a b c cb A =+-得，21222c =+-， 即22230c c --=，解得c =或c =．综上．b c ==．20．设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(0,1)． (1)求C 的方程；(2)若直线:l x ky m =+与C 交于P ，Q 两点，且OPQ △的面积是32，求证：2229m k -=． 【答案】(1)2219x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由椭圆过的点可得1b =，再结合离心率即可计算作答；（2）联立直线l 与椭圆C 的方程，求出弦PQ 长及点O 到直线l 的距离即可求解作答.【详解】(1)因椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,1)，则1b=，又椭圆C的离心率为，则有3e=，解得3a=，所以C的方程为2219xy+=．(2)依题意，0m≠，由2299x yx ky m⎧+=⎨=+⎩消去x并整理得：()2229290k y kmy m+++-=，22222244(9)(9)36(9)0k m k m k m∆=-+-=+->，设()()1122,,,P x y Q x y，则12221222999kmy ykmy yk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是得||PQ==O到l的距离d=因此13||22OPQS PQ d=⋅==△，即()()2422244990m m k k-+++=，整理得()222290m k⎡⎤-+=⎣⎦，即2229m k-=，显然2229m k-=满足0∆>，所以2229m k-=.21．已知函数1()e lnxf x x-=-．(1)求()f x的极值；(2)若函数()()(1),g x f x a x a=--∈R，求()g x的极小值的最大值．【答案】(1)极小值1，无极大值(2)1【分析】（1）由导数判断()f x单调性后求解，（2）设出()g x'的零点x，在()g x中消去a，转化为关于x的函数求解最值【详解】(1)）函数的定义域为11{0},()e xx x f xx-='>-．令11()e xh xx-=-，则121()e0xh xx-+'=>，所以()h x在(0,)+∞上单调递增，且(1)(1)0h f'==．当(0,1)x∈时，()()0f x h x'=<；当(1,)x∈+∞时，()()0f x h x'=>．所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时()f x 有极小值(1)1f =，无极大值．(2)因为1()()(1)e ln (1)x g x f x a x x a x -=--=---，所以()()g x f x a ''=-．由（1）知，()g x '在(0,)+∞上单调递增，当0x →时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x ． 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 在0x x =处取得极小值()()01000e ln 1x g x x a x -=---，且0x 满足0101e x a x --=． 所以()()01000012e ln 1x g x x x x -=--+-． 令11()(2)e ln 1x x x x x ϕ-=--+-，则121()(1)e x x x x ϕ-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'． 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，即()ϕx 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1x ϕϕ==，此时0a =，所以当0a =时，()g x 的极小值的最大值为1．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,5x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ππ,0,,π22θβρβ⎛⎫⎡⎫⎛⎫=∈∈⎪ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭R ． (1)求C 的极坐标方程和l 的直角坐标方程；(2)l 与C 交于A ，B 两点，若||AB =β．【答案】(1)210sin 120ρρθ-+=，tan y x β=⋅(2)π4β=或34π．【分析】（1）由C 的参数方程化为直角坐标方程，再根据公式cos ,sin x y ρθρθ==转化为极坐标方程，根据极坐标意义直线l 方程可化为直角坐标方程；（2）根据极径的几何意义及根与系数的关系，由||AB =β.【详解】(1)将C 的参数方程化为直角坐标方程得22(5)13x y +-=，即2210120x y y +-+=，∴C 的极坐标方程为210sin 120ρρθ-+=．∵l 的极坐标方程为ππ,0,,π22θβρβ⎛⎫⎡⎫⎛⎫=∈∈⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭R ， ∴l 的直角坐标方程为tan y x β=⋅．(2)将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得210sin 120ρρβ-+=． 当2100sin 480β∆=->时，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ， 则121210sin ,120ρρβρρ+==>，∴12||||||||AB OA OB ρρ=-=-=，∴2100sin 482β-=，∴sin β=Δ0>， 又ππ0,,π22β⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，∴π4β=或34π． 23．已知函数()|||1|f x x m x =++-．(1)当2m =时，求不等式()5f x ≥的解集；(2)若不等式()f x ≥对x ∈R 和(2,2)a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3][2,)-∞-+∞(2)(,3][1,)-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号即可求解；（2）原不等式可转化为(min max ()f x ≥，利用绝对值不等式及均值不等式分别求出最值即可得解.【详解】(1)由题意得()|2||1|5f x x x =++-≥，当2x <-时，215x x --+-≥，解得3x ≤-；当21x -≤≤时，215x x ++-≥，无解；当1x >时，215x x ++-≥，解得2x ≥．综上，()5f x ≥的解集为(,3][2,)-∞-+∞．(2)()|||1||1|f x x m x m =++-≥+，当且仅当()(1)0x m x +-≤时取等号， 所以min ()|1|f x m =+．因为22422a a +-≤=，当且仅当a =所以(max 2=．若不等式()f x ≥x ∈R 和(2,2)a ∈-恒成立，则(min max ()f x ≥，所以|1|2m +≥，解得3m ≤-或1m ≥， 即实数m 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞．。
(全国卷)高三数学第一次大联考试题理
（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2019-2020年高三上学期第一次联考试题 数学(理) 含答案
俯视图正视图xx 高三第一次联考2019-2020年高三上学期第一次联考试题 数学（理） 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）1．已知集合{|5},{|20}A x Z x B x x =∈<=-≥，则等于（ ）A ．（2，5）B ．C ．{2，3，4}D ．{3，4，5}2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．y ＝e xB ．y ＝ln x 2C ．y ＝xD ．y ＝sin x3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为（ ）A ．－23B ．－13C ．13D ．234．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则（ ） A ．2B ．1C ．D ．5．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个函数的图像，则“是偶函数”是“φ＝π4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．188．已知是等差数列的前n 项和，且，给出下列五个命题： ①；②；③；④数列中的最大项为；⑤.其中正确命题的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．19．过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点F 作圆的切线，设切点为M ，延长FM 交双曲线于点N ，若点M 为线段FN 的中点，则双曲线C 1的离心率为（ ）A ．B ．C ．+1D ． 10．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知点C 为线段上一点，为直线外一点，PC 是角的平分线，为PC 上一点，满足)0||||(>+=λλAP AC ，，，则的值为（ ）A.B. 3C. 4D.12．已知函数，则函数的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列的各项均为正数，且，则＝________. 14．已知函数满足，函数关于点对称，，则_________.15．设满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则的取值范围是__________.16．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称为函数的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.①； ②； ③，；④； ⑤.三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 在中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，已知，. （1）求的值；（2）若，D 为的中点，求CD 的长.18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。
江西省红色七校2020届高三第一次联考数学(文)试题 Word版含解析
江西省红色七校2020届高三第一次联考试题文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集,U =R 且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()UA B ⋂=( )A. [1,4)- B. (2,3)C. ](2,3D. (-1,4)【答案】C 【解析】 【分析】解不等式分别求出集合,A B ，然后再求出()UA B ⋂即可得到答案．【详解】由题意得{}|13A x x x =-或，{}|24B x x =<<， ∴UA ={}|13x x -≤≤，∴(){}]|23(2,3UA B x x ⋂=<≤=．故选C ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，解题的关键是正确求出集合,A B ，属于基础题． 2.已知复数()123z i ⋅-=（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A.3655i + B.3655i - C.1255i - D.1255i + 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由()123z i ⋅-=，则()()()31233612121255i z i i i i +===+--+， 所以数z 的共轭复数z =3655i -. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的共轭复数概念，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足8345S S -=，则6a 的值是（ ） A. 3 B. 5C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列中n S 与1n S -的关系求出8345678S S a a a a a -=++++，再由等差数列的性质： 若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，即可求解. 【详解】由8345S S -=，则4567845a a a a a ++++=， 即6545a =，所以69a =， 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和以及等差数列的性质，需熟记性质，属于基础题. 4.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A. 1x ，2x ，…，n x 的标准差B. 1x ，2x ，…，n x 的平均数C. 1x ，2x ，…，n x 的最大值D. 1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A 【解析】 【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.5.已知角θ的终边经过点()2,3-，将角θ的终边顺时针旋转4π后得到角β，则tan β=（ ）A. 15- B. 5 C.15D. -5【答案】B 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再由tan tan 4πβθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，展开两角差的正切即可求解.【详解】由角θ的终边经过点()2,3-，可得3tan 2θ=-， θ的终边顺时针旋转4π后得到角β，tan tantan 14tan tan 541tan 1tan tan 4πθπθβθπθθ--⎛⎫∴=-=== ⎪+⎝⎭+， 故选：B【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角差的正切展开式，需熟记定义和公式，属于基础题.6.设向量(3,4)a =-，向量b 与向量a 方向相反，且10b =，则向量b 的坐标为（ ） A. 68,55⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()6,8-C. 68,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. ()6,8-【答案】D 【解析】 【分析】设()3,4,0b a λλλλ==-<，利用10b =求出2λ=-，从而可得结果. 【详解】因为向量b 与向量a 方向相反， 所以可设()3,4,0b a λλλλ==-<，29255510b λλλλ====-=，2λ=-，()()()()32,426,8b ∴=-⨯-⨯-=-，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题. 7.已知()0.52log a e =，()2ln 2b =，ln 2c e =，则（ ）A. c a b <<B. b c a <<C. b a c <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性即可比较出大小. 【详解】由()()0.50.50.5222(log 2)log log 4e <<，故1a <<；又因为0ln1ln 2ln 1e =<<=，即()201ln 2<<，故01b <<； ln 22c e ==，所以b a c <<， 故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的单调性以及对数的运算性质，属于基础题.8.已知命题p ：(0,π)x ∀∈，tan sin x x >；命题q ：0x ∃>，22x x >，则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. ()p q ⌝∨C. ()p q ∨⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，tan 0x <，sin 0x >，故tan sin x x >不成立，所以命题p 为假命题； 当3x =时，2332>，故命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题.故选D.9.实数,x y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--≤⎩，则5yz x =+的最小值是（ ）A. -3B. -5C. 3D. 5【答案】A 【解析】 【分析】首先作出约束条件的可行域，再根据目标函数表示为(),x y 、()5,0-两点构成直线的斜率即可求解.【详解】作出约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--≤⎩的可行域，如图：5yzx =+表示为(),x y 、()5,0-两点构成直线的斜率，显然在点A 处的斜率最小， 联立10220x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 解得43x y =-⎧⎨=-⎩，即A ()4,3--，所以()()min 03354z --==----故选：A【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.10.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A. 4 3 3 2D. 6【答案】C【解析】 【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积． 【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：2的正方形， 故底面的对角线长为2. 所以四棱锥的高为12×2＝1， 故四棱锥的侧面高为h 22212⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭62， 则四棱锥的表面积为164223222S =⨯+=. 故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 11.若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ．【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12.设函数[)[),0,1()1,1,x e x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若函数()y f x k =-存在两个零点1x ，2x (1x <2x )，则211()()x x f x -⋅的取值范围为（ ） A. )22,e⎡⎣B. )21,e⎡⎣C. )2,e e⎡⎣D. 21,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据()0y f x k =-=有两个零点，求得k 的取值范围.用k 表示12,x x ，代入所求表达式，由此构造函数()h k ，利用()h k 的导数求得其单调区间，由此求得其取值范围.【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()0y f x k =-=，得()f x k =，即()y f x =和y k =有两个不同的交点.根据图像可知[)1,k e ∈.由121x e x k =-=得12ln ,1x k x k ==+，所以211()()x x f x -⋅2ln k k k k =+-，构造函数()[)()2ln 1,h k k k k k k e =+-∈.由于()'2ln h k k k =-，()[)''120,1,h k k e k=->∈，所以[)1,k e ∈时()'h k 递增，因为()()''120h k h ≥=>，所以()h k 在[)1,k e ∈时递增，所以())22,h k e ⎡∈⎣，故选A.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查指数式和对数式运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.执行下面的程序框图，则输出的S 的值是________．【答案】30 【解析】 【分析】根据框图的流程模拟运行的结果，发现S 的值为123402222++++，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值. 【详解】由程序框图可知： 第一次循环022S =+=; 第二次循环2226S =+=;第三次循环36214S =+=; 第四次循环414230S =+=; 第四次循环5i =跳出循环，∴输出的S 的值为30.故答案为：30【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法.14.已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有A ，B ，C 三位学生对其排名猜测如下：A ：甲第一名，乙第二名；B ：丙第一名；甲第二名；C ：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，A ，B ，C 三人都恰好猜对了一半，则第一名是__________． 【答案】丙 【解析】【分析】根据假设分析，现假设A 中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B 的说法，即可得到答案.【详解】由题意，假设A 的说法中“甲第一名”正确，则B 的说法中“丙第一名”和C 说法中“乙第一名”是错误，这与B 中“甲第二名”和C 中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以A 中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；又由B 中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A 中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的， 所以B 中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙. 【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知点P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左支上一点,2F 是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线,则该双曲线的离心率是__________．【解析】【详解】由题意可设直线2PF 的方程为()ay x c b=--，设直线2PF 与渐近线的交点为M ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab M c c .∵M 是2PF 的中点∴222,a ab P c cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵点P 在双曲线C 上∴()2222222222222222()()241a ab c c a a b cc a b a c c b---=-=，即4225c a c =∴e =点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t ='，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数31()313g x x x =--+为函数()2ln f x x x ax =-的“友导”函数，则a 的取值范围是_________． 【答案】[4,)+∞ 【解析】 【分析】首先求出()g x 的导数()23g x x '=--，由题意可知22ln 3x x ax x --=-有解即可，再采用分离参数法可得32ln a x x x =++，令()32ln h x x x x=++，求()h x 的最值即可求得a 的取值范围.【详解】由31()313g x x x =--+可得()23g x x '=--， 函数31()313g x x x =--+为函数()2ln f x x x ax =-的“友导”函数， ∴22ln 3x x ax x --=-有解，即32ln a x x x =++有解，令()()32ln 0h x x x x x =++>，则()22232231x x h x x x x+-'=-+=， 令()0h x '=，则1x =， 令()0h x '>，则1x >， 令()0h x '<，则01x <<，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 14h x h ==，即()4h x ≥，所以4a ≥ 故答案为：[4,)+∞【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sinB =b a <，故cos B =因此sin22sin cos B B B ==21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =-，{}n b 为等比数列，且111b a =+，22b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()2212log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c的前n 项和n T .【答案】（1）()*22n a n n N =-∈，12n n b -=；（2）()21n nT n =+【解析】 【分析】（1）由n S 与n a 的关系可求n a ，由等比数列的通项公式可求n b ； （2）由（1）的通项公式，利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）当1n =时，110a s ==，当2n ≥时，()()221(1)(1)22n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 此式对1n =也成立.()*22n a n n N =-∈.从而1111b a =+=，222b a ==.又因为{}n b 为等比数列，1111122n n n n b b q ---=⋅=⋅=.（2）由（1）可知，()22111112log 2(1)21n n n c a b n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅++⎝⎭，所以1111111112223341n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()21n n =+【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系，等比数列的通项公式以及裂项求和法，考查了数列中的基本知识，需熟记公式，属于基础题.19.2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30 捐款低于500元 6 合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率. 附：临界值表0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82820()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有把握；（2）218. 【解析】 【分析】(1)由直方图得到22⨯列联表，利用公式求得2K 的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，得到试验的全部结果所构成的区域及事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求()78P A =，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】(1)如下表：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500元 5 6 11 合计 351550()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． (2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,x y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为(){,|78,7.58.5}Q x y x x =≤≤≤≤，则S Ω＝1，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，即图中的阴影部分面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以()78A QS P A S ==，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布73,8B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，721388E ξ=⨯=. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1B E ∕∕平面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1B ACF -的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）33【解析】 【分析】（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，由三角形性质得//EM BC 且12EM BC =，结合已知得到1//EM B F 且1EM B F =，则四边形1EMFB 为平行四边形，可得1//B E FM ，再由线面平行的判定可得1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）设O 为BC 的中点，由已知得到AO ⊥平面11BCC B ，然后利用等积法求三棱锥1B ACF -的体积．【详解】（Ⅰ）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，∵E 、M 分别为AB ，AC 的中点，∴EM BC ∕∕且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11B C BC ∕∕，∴1B F BC ∕∕且112B F BC =， 即1EM B F ∕∕且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，∴1B E FM ∕∕， 又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊄平面ACF ， ∴1B E ∕∕平面ACF ； （Ⅱ）解：设O 为BC 的中点，∵棱柱底面是正三角形，2AB =，∴有3AO =又因为ABC ∆为正三角形，且O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥, 又由正三棱柱，所以平面11BCC B ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AO ⊥平面11BCC B ，即三棱锥1A B CF -3 所以1111113233323B ACF A B CF B CF V V S AO --∆==⨯⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及利用等体积法七届多面体的体积问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及合理利用等体积法求解体积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．21.已知点()2,1M 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线l 斜率的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由已知可得()()2,12,13a a -----=-，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b +=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（Ⅱ）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为21yk x ，代入椭圆方程消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210k ∆=+>，即12k ≠-，又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN ⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-， 所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数()()ln 1f x x a x =-+， a R ∈在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()212122x f x x k x -++>-成立，求k 的取值范围.【答案】(1)增区间01)（， 减区间(1,)+∞ (2) (,1).-∞ 【解析】试题分析：()1先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造新函数()()21ln 122x g x x x k x =-+---，求导，分类讨论k 的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果解析：（1）由已知可得()f x 的定义域为()0,.+∞()1,f x a x ='- ()110,f a ∴=-=' 1.a ∴= ()111,xf x x x-∴=-=' ()001,f x x >'<<令得 ()01,f x x '令得()011+.f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）（2）不等式()()212122x f x x k x -++>-可化为()21ln 122x x x k x -+->-，()()21ln 1,(1),22x g x x x k x x =-+--->令()()21111,x k x g x x k x x-+-+=-+-='令1,x > ()()211,h x x k x =-+-+令 ()1,2kh x x -=的对称轴为 111,2kk -≤≥-当时，即 ()01),h x x 易知在（，上单调递减 ()()11,h x h k ∴<=-()1,0,k h x ≥≤若则 ()0,g x ∴'≤ ()01),g x x ∴在（，上单调递减 ()()10g x g ∴<=，不适合题意.()-11,10,k h ≤若则 ()001)0,x x x g x ∴∈>'必存在使得（，时()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.111,2kk -><-当时，即 ()001),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()()110,h x h k ∴>=-> ()0,g x ∴'> ()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.综上，k 的取值范围是(),1.-∞点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围。
江西省红色七校2020届高三数学第一次联考试题文
江西省红色七校2019届高三数学第一次联考试题 文考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
1．已知集合A ={}|3x y x =-，集合{}2≥=x x B ,AB =（ ） A. ]3,0[ B ．]3,2[C ．),2[+∞D ．),3[+∞ 2．设z=1+i （i 是虚数单位），则=（ ）A ．2﹣2iB ．2+2iC ．﹣3﹣iD ．3+i 3．已知数列}{n a 为等差数列，若21062π=++a a a ，则)tan(93a a +的值为（ ） A. 0 B ．33 C ．1 D ．3 4．已知平面向量，，且，则=（ ）A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（1，﹣2）D ．（﹣1，﹣2） 5．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x6．设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设f （x ）是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f （2018）+f （2019）=（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．0 8．若函数f （x ）=2x 3﹣3mx 2+6x 在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，2） 9.已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率；先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为（ ）A ．0.2B ．0.25C ．0.4D ．0.3510.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos sin b a C C ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，2a =，26c =，则角C =（ ） A ．34π B ．3π C ．6π D ．4π 11．下列命题正确的个数是( )①．“在三角形ABC 中，若sinA ＞sinB ，则A ＞B”的逆命题是真命题；②．命题p ：x≠2或y≠3，命题q ：x+y≠5则p 是q 的必要不充分条件； ③．“∀x∈R，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“∀x∈R，x 3﹣x 2+1＞0”；④．“若a ＞b ，则2a ＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a ≤2b ﹣1”．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数y=f （x ）是R 上的可导函数，当x ≠0时，有，则函数的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．．．．．．．．．。
2020-- 江西省 红色七校高三第一次联考 数学(理)试题--(附解析答案)
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，集合{|1}B x y x ==-，则()R C A B =U （ ）A ．{|13}x x -剟B ．{}|3x x ≥C ．{}|1x x ≤-D ．{}1|x x ≥-【答案】D【解析】先解一元二次不等式求出集合A ，根据函数定义域的要求求出集合B ，再通过补集与并集的运算，可得到本题答案. 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，从而{}|13R C A x x =-≤≤，由10x -≥，得集合{|1}B x x =≥，从而(){|1}≥-=U R x x C A B .故选：D 【点睛】本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题.2．设复数，则A ．iB ．C ．D ．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】解：，．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．命题p ：曲线216y x =的焦点为()4,0；命题q ：曲线2241x y -=5；则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标；把双曲线方程化为标准方程，可知道,,a b c 并求出其离心率，先判断命题p 与命题q 的真假，再根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案. 【详解】命题p 中，曲线方程可化为2116=y x ，其焦点坐标为1(,0)64，所以P 为假命题，p ⌝为真命题；命题q 中，曲线方程可化为22114y x -=，对应的1551,14==+===c a c e a ，所以q 为真命题，所以p q ⌝∧为真命题. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复合命题真假性的判断，主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题，属于基础题.4．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，4AB =，3AC =，则BC uuu v 在CA u u u v方向上的投影是（ ） A ．4 B ．3C ．-4D ．-3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥u u u r u u u r ，再结合图形求出BC uuu r 与CA u u u r方向上的投影即可. 详解：如图所示：Q AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，0AB AC ∴⋅=u u u v u u u v，∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，又4AB =，3AC =，BC ∴u u u v 在CA u uu r 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vπ=-∠=-∠=-，故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ）C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定,a c 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b 的范围，进而比较三个数的大小． 详解：因为223(2,2)a=∈，所以12a <<，因为32(1,3)c =∈， 所以01c <<，又22log 5log 42b =>=， 所以c a b <<．点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．6．下表是鞋子的长度与对应码数的关系长度（cm ）24 24.5 25 25.5 26 26.5码数 38 39 40 41 42 43如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为77.6y x =-.若某人的身高为173，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A ．40 B ．41C ．42D ．43【答案】C【详解】令173=y 代入直线方程77.6y x =-，解得25.8=x ，所以脚板长为25.8()cm ，查表得穿的鞋子的码数应为42. 故选：C 【点睛】本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题.7．函数3()x xx f x e e-=+（其中e 为自然对数的底数）在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本题的答案. 【详解】33()()()+e-----===-+Q x xx x x x f x f x e e e ，∴()f x 为奇函数，故其函数图象关于原点对称，故选项D 不正确；显然，当0x >时，()0f x >，故选项C 不正确；当3x =时，3333(3)1-=>+f e e，而选项B 的最大值小于1，故选项B 不正确；所以通过排除法，可得本题的答案为A. 故选：A本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键.8．在正项数列{}n a 中，12a =，且点()()*1ln ,ln n n P a a n N +∈位于直线ln 20x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >，则n 的最小值为（ ） A ．2 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】点P 代入直线方程化简可得{}n a 为等比数列，写出数列的前n 项和公式，解不等式可得本题的答案. 【详解】由题意得，1ln ln ln 20+-+=n n a a ，化简得12n na a +=，则2()*=∈n n a n N ，所以2(12)2(21)12-==--n n n S ，200>Q n S ，2(21)200∴->n ，得2101>n ，则n 的最小值为7. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题. 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径22211262R ++==，所以外接球的表面积22644()6πππ===S R . 故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中.10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移π个单位长度 D ．向右平移π个单位长度。