数学家笛卡尔的简介

笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的 统称。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点 重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内， 任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐 标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用代 数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直 角坐标必须遵守这代数公式。 直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空 间 。ຫໍສະໝຸດ 笛卡尔坐标系解析几何
笛卡尔对数学最重要的贡 献是创立了解析几何。
在笛卡儿时代，代数还是一个比较 新的学科，几何学的思维还在数学家 的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力 于代数和几何相联系的研究，并成功 地将当时完全分开的代数和几何学联 系到了一起。于1637年，笛卡尔在创 立了 坐标系 后，成功地创立了解析几 何学。他的这一成就为微积分的创立 奠定了基础，而微积分又是现代数学 的重要基石。解析几何直到现在仍是 重要的数学方法之一。
其实，名字叫做欧拉公式的公式有很多。不过在几何学中，欧拉公式指的是——简单多面体的顶点 数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2。我们所学的几何体，如棱柱、棱锥等都是简单多面体。 欧拉公式的证明方法很多。证法一：逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E以简单的四面体ABCD为 例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都 没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1。（1）去掉一 条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形 中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变， V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只 剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。证法二：计算多面体各面内角和设多面体 顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（展开图）,求所有面内角总和Σα （1） 在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）（2）在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，则其内角和为 (n-2)·1800 ，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角 和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得：(E-F) ·3600 =（V2）·3600所以，V+F-E=2。
笛卡尔符号法则
笛卡儿符号法则首先由笛卡儿在他的作品《La Géométrie》中描述，是一个用于确定多项式的正根或 负根的个数的方法。如果把一元实系数多项式按降幂方式 排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的 符号的变化次数，要么比它小2的倍数。如5,3,1或4,2,0。 而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得 到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数。特 殊情况：注意如果知道了多项式只有实数根，则利用这个 方法可以完全确定正根的个数。由于零根的重复度很容易 计算，因此也可以求出负根的个数。于是所有根的符号都 可以确定。
欧拉-笛卡尔公式
欧拉-笛卡儿公式，是几何学中的一个公式。该公 式的内容为：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为 棱数，F是面数，则V−E+F=2。 该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右 证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于 1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工 作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。
解析几何
在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问 题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个 起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相 当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该 平面上任一点的位置都可以用（x,y）惟一地确定。 帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定 方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无 关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。《几何 学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标 志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学 阶段。
勒 内 · 笛卡儿
Le nei · Di ka er
CONTENT
01
生平简介
02
思想成就
03
具体内容
01
PART ONE
生平简介
勒 内 · 笛卡儿
勒 内 · 笛卡儿
勒内·笛卡儿，1596年3月31日生 于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷 拉海，1650年2月11日逝世于瑞典 斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、 数学家、物理学家。他是西方近代 哲学奠基人之一。 他对现代数学的发展做出了重要 的贡献，因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何之父。他 还是西方现代哲学思想的奠基人， 是近代唯物论的开拓者且提出了 普遍怀疑的主张。
笛卡尔叶形线
笛卡儿叶形线是一个代 数曲线，首先由笛卡儿在 1638年提出。
直角坐标系： x 3+y 3=3axy 3a sin cos 极坐标系 ： r= sin( ) 3 + cos(θ ) 3 3at x= 1+t 3 参数方程： 2 3 at y= 1+t 3 其中 ， t= t anθ
心脏线
心脏线是有一个尖点的外摆线。也 就是说，一个圆沿着另一个半径相同 的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心 脏线。心脏线是外摆线的一种，其n为 2。它亦可以极坐标的形式表示：r= 1 + cosθ 。这样的心脏线的周界为8， 围得的面积为 。心脏线亦为蚶线的一 种。在曼德博集合正中间的图形便是 一个心脏线。（未有严谨证据证明心 脏线是由笛卡尔发明）
轶事：蛛织网和平面直角坐标系的创立
据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复 思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能 不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形 来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点 和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过 什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。 突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功 夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛 卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里 可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确 定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如 果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那 么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个 数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点 P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个 点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是 坐标系的雏形。
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解析几何
在《几何学》卷一中，他用平面上的一点到两条 固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间 上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题 不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换 来实现发现几何性质，证明几何性质。笛卡尔把几何 问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。 为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、 除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过 线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这 将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段 间的关系作图。
02
PART TWO
思想成就
勒 内 · 笛卡儿
主要思想成就
数学 哲学命题 我思故我在
解析几何
主要 思想成就
哲学 二元论者
物理 动量守恒定律
03
PART THREE
具体内容
勒 内 · 笛卡儿
方法论
1637年，笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本 专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正 确的见解与良好的建议，对于后来的西方学术发展， 有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效，以 及对他个人在科学研究方面的帮助，在《方法论》 的附录中，他增添了另外一本书《几何》。有关笛 卡儿坐标系的研究，就是出现于《几何》这本书内。 笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧几里 得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图学的 建树，具有关键的开导力。
解析几何
在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次 数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则： 方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负 根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次数。 笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,… 表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。
解析几何
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和 几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形” 统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡 儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础， 从而开拓了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所说： “数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运 动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有 了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”