第四章 不完全区组试验设计
区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计
文章编号:100021506(2002)0620102204区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计王 昕,常彦勋(北方交通大学理学院,北京100044)摘 要:如果从一个有向平衡不完全区组设计DB (k ,λ;v )(X ,B )到(X ,B -1)之间存在一个同构映射f ,则这个DB (k ,λ;v )被称为自反的,记为SCDB (k ,λ;v )(X ,B ,f ),其中B -1={B -1:B ∈B },当B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k )时B -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1).本文主要证明了SCDB (4,λ;v )存在的充分必要条件是λ≡1,2(mod 3)时,v ≡1(mod 3)且v ≥4,(v ,λ)≠(7,1);λ≡0(mod 3)时,v 为≥4的任意整数.关键词:有向平衡不完全区组设计;自反;可分组设计中图分类号:O157.5 文献标识码:AExistence of Self-Converse DirectedBIBDs with B lock Size FourW A N G Xi n ,CHA N G Yan-x un(School of Sciences ,Northern Jiaotong University ,Beijing 100044,China )Abstract :A directed balanced incomplete block design DB (k ,λ;v )(X ,B )is called self-converseif there is an isomorphic mapping f from (X ,B )to (X ,B -1),where B -1={B -1:B ∈B },andB -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1)for B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k ).In this paper ,we show that SCDB(4,λ;v )exists if and only if v ≡1(mod 3)and v ≥4,(v ,λ)≠(7,1)when λ≡1,2(mod 3);v ≥4when λ≡0(mod 3).K ey w ords :directed balanced incomplete block design (DB );self-converse ;group divisible design1 问题的提出设v ,k ,λ为任意正整数,集合{(a i ,a j ):1≤i <j ≤k}通常记为(a 1,a 2,…,a k ),称作可迁k 元组.一个有向平衡不完全区组设计DB (k ,λ;v ),定义为一个序偶(X ,B ),其中X 是v 元集,B 是一些可迁k 元组的集合(称为区组),满足X 中每两个不同元素组成的有序对恰出现在λ个区组中.如果不计区组中元素的顺序,那么一个DB (k ,λ;v )蕴含一个平衡不完全区组设计B (k ,2λ;v ).众所周知DB (k ,λ;v )存在的必要条件是2λ(v -1)≡0(mod k -1)λv (v -1)≡0mod k 2 ,其中,定义B -1={B -1:B ∈B },这里当B =(x 1,x 2,…,x k -1,x k )时B -1=(x k ,x k -1,…,x 2,x 1).易知(X ,B -1)也是一个DB (k ,λ;v ).如果在(X ,B )和(X ,B -1)之间存在一个同构映射f ,使得B -1={f (B ):B ∈B },就称DB (k ,λ;v )为自反的,记为SCDB (k ,λ;v ).康等[1]证明了SCDB (3,1;v )存在的充分必要条收稿日期:2002207208基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071002);国家博士点基金资助项目(20010004001)作者简介:王昕(1978—),女,河北邯郸人,硕士生.em ail :myhop01@ 第26卷第6期2002年12月 北 方 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF NORTHERN J IAO TON G UN IV ERSIT Y Vol.26No.6Dec.2002件是v ≡0,1(mod 3)且v ≠6.本文将证明SCDB (4,λ;v )存在的充分必要条件.2 辅助设计及其构造一个阶为v 的带洞的DB (k ,λ;v )设计,记作IDB (k ,λ;v ,w ),定义为一个有序三元组(X ,Y ,B ).其中X 为v 元点集,Y <X 且|Y |=w ,B 为区组集,使得任意一个有序对(x ,y )∈(X ×X )\(Y ×Y ),恰出现在B 的λ个区组中,Y 被称作这个IDB (k ,λ;v ,w )的洞.如果存在一个从(X ,Y ,B )到(X ,Y ,B -1)的同构映射f ,并且满足f (Y )=Y ,那么这个IDB (k ,λ;v ,w )称为带洞的SCDB ,记为ISCDB (k ,λ;v ,w )(或(X ,Y ,B,f )).设K 为正整数集,一个阶为v ,区组大小属于K 的可分组设计,记做{K ,λ}2G DD ,定义为一个有序三元组(X ,G,A ),其中X 为v 元点集,G 为X 的某些子集(称为组)组成的集合,它构成X 的一个划分,A 为X 的某些子集(称为区组)组成的族,满足下列性质:(1)对任意的B ∈A ,有|B |∈K ;(2)对任意的B ∈A 和G ∈G ,有|B ∩G |≤1;(3)X 中任意一对属于不同组的点,恰好同时包含在A 的λ个区组中.集合T ={|G |:G ∈G }被称为该G DD 的组型,1i 2j …表示长为1的组出现了i 次,长为2的组出现了j 次,等等.当K ={k}时,{K ,λ}2G DD 简记为{k ,λ}2G DD .定理1[2] 设t 、u 为正整数,那么存在组型为t u 的{4,1}2G DD 当且仅当下列条件之一被满足:(1)t ≡1,5(mod 6),u ≡1,4(mod 12)且u ≥4;(2)t ≡2,4(mod 6),u ≡1(mod 3)且u ≥4,(t ,u )≠(2,4);(3)t ≡3(mod 6),u ≡0,1(mod 4)且u ≥4;(4)t ≡0(mod 6),u ≥4,且(t ,u )≠(6,4).定理2[3] 组型为2u 51的{4,1}2G DD 存在当且仅当u ≡0(mod 3)且u ≥9.定理3[4] 存在组型为6591的{4,1}2G DD .定理4[5] 假设w ≡7,10(mod 12),v ≡7,10(mod 12)且v ≥3w +1,那么就可存在一个组型为3(v -w )/3(w -1)1的{4,1}-G DD .对于一个给定的SCDB (4,λ;v )(X ,B,f ),它的同构映射f 作为集合X 上的一个置换,可以看作若干个不相交的圈的乘积.设I 为恒等映射,使得f k =I 的最小正整数k 称为f 的阶,记为p (f ).对任意x ∈X ,如果f (x )=x ,则称x 为f 的固定点.定理5 设V 是一个v 元集,W 是一个w 元集,并且V ∩W = ,π是集合W 上的任意一个置换.对于1≤j ≤t ,f j 是集合G j 上的置换,并且f j 的阶p (f j )≤2.假设有下面的设计存在:(1){k ,λ}-G DD (V ,G,B ),其中G ={G j :j =1,2,…,t};(2)ISCDB (k ,λ;|G j |+w ,w )(G j ∪W ,W ,B j ,πξf j ),其中1≤j ≤t -1.那么存在一个ISCDB (k ,λ;v +w ,|G t |+w ),它的同构映射f =πξf t ξ…ξf 2ξf 1.而且,如果存在一个SCDB (k ,λ;|G t |+w )(G t ∪W ,B t ,πξf t ),其中∪为并集的符号,ξ表示置换的复合.那么就有一个SCDB (k ,λ;v +w )存在,它的同构映射即为f .证明 对于(1)中给定的{k ,λ}-G DD (V ,G,B ),定义一个集合V 上的置换σ=f t ξ…ξf 2ξf 1,从而能够得到另一个{k ,λ}-G DD (V ,G,σ(B)).将B 中每一个区组的点按照它们所在组的顺序进行升序排列,σ(B )中每一个区组中的点按照它们所在组的顺序进行降序排序,得到的区组都作为可迁k 元组.这些可迁k 元组构成的集合称作B 0,它恰好包含了所有由不同组中的点所构成的有序对λ次.因为置换σ的阶p (σ)≤2,所以对于任意一个区组B ∈B 0,σ(B -1)∈B 0.这时,用(2)中的ISCDB (k ,λ;|G j |+w ,w )(G j ∪W ,W ,B j ,πξf j )(1≤j ≤t -1)替换G j ∪W (1≤j ≤t -1),设X =V ∪W ,Y =G t ∪W ,f =πξσ=πξf t ξ…ξf 2ξf 1,A =∪0≤j ≤t -1B j .所得到的(X ,Y ,A ,f )就是一个ISCDB (k ,λ;v +w ,|G t |+w ).如果用置换为πξf t 的SCDB (k ,λ;|G t |+w )代替G t ∪W ,就得到一个SCDB (k ,λ;v +w ),它的同构映射为f .301第4期 王 昕等:区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计401北 方 交 通 大 学 学 报 第26卷3 存在性结果311 SCDB(4,1;v)的存在性如果置换f有一个固定点,那么以f为同构映射的SCDB(k,λ;v)等价于ISCDB(k,λ;v,1).利用B(4,1;v)存在的充分必要条件[6],易得如下定理.引理1 对于v≡1,4(mod12),SCDB(4,1;v)存在,即ISCDB(4,1;v,1)存在.定理6 设G是一个u阶的阿贝尔群,u为奇数.如果存在(u-1)/2个有序对(a i,b i),i=1,…,(u -1)/2,a i、b i∈G,使得{a i,b i:a i,b i∈G,1≤i≤(u-1)/2}=G\{0},{a i±b i:a i,b i∈G,1≤i≤(u-1)/2}=G\{0},那么就存在SCDB(4,1;3u+1),它的同构映射f的阶p(f)=2.证明 设X=(G×Z3)∪{∞},f是X上的置换且对于任意x∈G,i∈Z3,定义f:(x,i)→(-x,i), f(∞)=∞.则B包含下列区组:(1)((a i+k,j),(b i+k,j+1),(-b i+k,j+1),(-a i+k,j)),(2)(∞,(k,0),(k,1),(k,2))和((k,2),(k,1),(k,0),∞),其中,k∈G,j∈Z3,i=1,2,…,(u-1)/2.容易验证:(X,B,f)是一个SCDB(4,1;v),并且f的阶p(f) =2.引理2 当v=10,19,22时,SCDB(4,1;v)存在.注1 SCDB(4,1;10)和SCDB(4,1;19)是通过计算机搜索而得到的,其中SCDB(4,1;10)的同构映射f的阶p(f)=2,并含有一个固定点,因此等价于ISCDB(4,1;10,1).注2 应用定理6,取G=Z7,{(a i,b i):a i、b i∈Z7,1≤i≤3}={(1,3),(2,6),(4,5)}可知SCDB(4, 1;22)存在.引理3 SCDB(4,1;7)不存在.如果SCDB(4,1;7)存在,那么它的置换的最大圈长可以是1,2,…,7,通过分别分析这7种情况,总能够找到矛盾.定理7 SCDB(4,1;v)存在的充分必要条件是v≡1(mod3),v≥4且v≠7.证明 由DB(4,1;v)的存在性可知必要条件显然成立.当v≡1(mod3)且v≥4时,若v|{7,10, 19,22},SCDB(4,1;v)的存在性由引理1以及引理2得到ISCDB(4,1;10,1)和定理4得到的组型为3(v-10)/391的{4,1}-G DD,再应用定理5可得.若v∈{10,19,22},由引理2可知SCDB(4,1;v)的存在性,再由引理3可知本定理成立.312 λ≥2时SCDB(4,λ;v)的存在性定理8 当v≡1(mod3)且v≠7时,SCDB(4,λ;v)存在,其中λ为任意整数.由定理8和DB(4,λ;v)存在的必要条件可以知道,只需要考虑λ≡0(mod3)且v≡0,2(mod3)时SCDB(4,λ;v)的存在性以及λ≥2时SCDB(4,λ;7)的存在性.对于λ≡0(mod3),不妨先考虑SCDB(4, 3;v),然后将每个区组重复λ/3次,从而得到SCDB(4,λ;v).为了应用定理5,需要给出一些带洞的设计ISCDB(4,3;v,w).引理4 当(v,w)∈{(11,2),(11,3),(14,2),(15,3),(35,11)}时,置换的阶p(f)=2的ISCDB(4, 3;v,w)存在.证明 以(v,w)=(11,3)为例,余者皆由计算机搜索而得.设X=Z8∪Y,其中Y={∞1,∞2,∞3}.定义集合X上的置换f=(0)(1)…(7)(∞1∞2)(∞3),所求的ISCDB(4,3;11,3)为(X,Y,A∪f(A-1), f),A包含的区组有:(0,2,4,6)(+1,mod8),(∞1,0,1,3)(+1,mod8),(∞2,0,1,3)(+1,mod8),(∞3,0,1,5)(+1,mod8).引理5 当v ≡0,1(mod 4)时,SCDB (4,3;v )存在.证明 对于v ≡0,1(mod 4),B (4,3;v )(X ,A )存在[6].取同构映射f 为X 上的恒等置换,将A 中所有区组的原序及逆序形式组成一个区组集B,则(X ,B,f )即为所求的SCDB (4,3;v ).引理6 当v ∈{6,11,14,15,18,23,26,27}时,同构映射f 的阶p (f )=2的SCDB (4,3;v )存在.证明 以v =11为例,余者皆由计算机搜索而得.设X =Z 10∪{∞},映射f 为:x →x +5,其中x ∈Z 10.区组集B 可以由三部分构成,即B =B 1∪B 2∪f (B -11),其中B 0和B 1分别为: B 0: (0,1,6,5)(+2,mod 10);B 1: (0,1,2,3)(+2,mod 10),(0,4,8,∞)(+2,mod 10),(0,2,4,7)(+2,mod 10),(1,5,∞,2)(+2,mod 10),(1,3,0,6)(+2,mod 10).容易验证上面列出的(X ,B,f )即为所求的SCDB (4,3;11).引理7 当v ∈{35,38,39,47,59,71,83}时,同构映射f 的阶p (f )=2的SCDB (4,3;v )存在.对引理7所列参数的存在性,是综合运用定理1和定理3得到的一些{4,3}-G DD 和引理4、引理6得到的小参数的ISCDB 和SCDB 设计,最后应用定理5而得.有了这些小参数的存在性结果,仍然应用定理5可得下面这个定理.定理9 当v ≡2,3,6,11(mod 12)且v ≥6时,SCDB (4,3;v )存在.证明 本定理主要是从引理4、引理6和引理7得到的小参数的ISCDB 和SCDB 设计以及定理1和定理2得到的一些{4,3}-G DD 出发,应用定理5而得.通过计算机搜索,可以找到SCDB (4,2;7)和SCDB (4,3;7),从而得到:定理10 当λ≥2时,SCDB (4,λ;7)存在.4 结论由定理7至定理10得到本文的主要结论.定理11 SCDB (4,λ;v )存在当且仅当λ≡0(mod 3)时v 为大于等于4的任意整数;λ≡1,2(mod 3)时v ≡1(mod 3)且v ≥4,(v ,λ)≠(7,1).参考文献:[1]K ang Q ,Chang Y ,Y ang G.The S pectrum of Self-converse DTS[J ]binatoral Design ,1994,(2):415-425.[2]Mullin R C ,Gronau H -D O F.The CRC Handbook of Combinatiorial Desi gns[M ].Boca Raton :CRC Press ,1996.185-192.[3]Brouwer A E ,Schrijver A ,Hanani H.Group Divisible Designs with Block Size 4[J ].Discrete Math.,1977,20:1-10.[4]Rees R ,Stinson D R.On Resolvable Grou p Divisible Designs with Block Size 3[J ].Ars Combin.,1987,23:107-120.[5]Rees R ,Stinson D R.On the Existence of Incom plete Designs of Block Size Four Having one Hole [J ].Utilitas Math.,1989,35:119-152.[6]Hanani H.Balanced Incomplete Block Designs and Related Designs[J ].Discrete Math.,1975,11:255-369.501第4期 王 昕等:区组长为4的自反有向平衡不完全区组设计。
试验设计：区组设计
平衡不完全区组设计， Balanced incomplete block design， BIB设计
(3)b v, r k.
处理数超过区组数的 BIB设计是不存在的。
附表9（P401）对 4 v 10, r 10 给出了一些BIB设计表。 附表使用方法见书本P90 例3.2.1,例3.2.2
j 1 b
,v
它们之间的差异受到区组间差异的影响，故按 传统的公式计算处理平方和已经不再适合，下 面用最小二乘法来获得SA ，为此先计算误差平 方和Se。
误差平方和Se可从最小二乘的剩余平方和获得：
Se min nij ( yij i j ) 2
i 1 j 1 v b
方差分析
一、区组是试验设计的基本原则之一。
几点注释
错误结 论是因 为没有 重视区 组设计 而造成 的！
二、把区组看成另一个因子，有争议。
三、随机效应问题
• 在实际中，处理效应和区组效应可能是随机的： 1）仅仅处理效应是随机的； 2）仅仅区组效应是随机的； 3）处理效应和区组效应都是随机的 这一类问题的处理将放在下一章“两因子试 验的统计模型”详细叙述。
统计模型及其参数估计
平衡不完全区组设计只适用于处理和区组 间无交互作用的试验问题。其统计模型是：
平衡不完全区组设计和随机化完全区 组设计模型相同，差别仅在于BIB设计中 不是每个区组都包含所有处理。
考虑到BIB设计是“不完全的”，不是 对所有(i,j)做试验，关联矩阵N会起到区分 作用。 下面先求处理效应i的最小二乘估计。
假如每个区组都包含着每个处理（区组大小正好等于处 理个数a）,成为随机化完全区组设计。
若区组大小小于处理个数a，这样的设计被称为随机化 不完全区组设计。
4.9 不完全区组设计：Durbin 检验
1. 建立检验问题
Durbin 检验的假设如下： H 0 : 1 2 k . H1 : 不是所有的位置参数都相等.
这里 d1 k 1, d 2 bt b k 1. 最近的一些研究表明，DF 比 Da 更精确.
例 4.3 比较四种材料(k 4)在四个部位(b 4)的磨损.
区组
I
处理
II 28 30
III 36
IV
A B
34 36
45
C
D
40
44
48
54
60
59
解：建立假设检验 H 0 : 1 2 3 4 . H1 : 不是所有的位置参数都相等.
2
性水平临界值 F 6， 8 3.58. 相同.
D 小于其 5％ 显著性水平临界值 12.59，DF 大于其 5％ 显著
小样本下后者更准确，所以几种冰淇淋受欢迎程度不完全
两处理间的多重比较： 自由度为 bt b k 1 8 的 t1 / 2 2.306. 所以 rt (t 1) t1 / 2 (n(t 1) Da ) 6(nt n k 1)
r t 1 1 k 1 k b 秩总平均为 Ri Rij . k i 1 k i 1 j 1 2
k 个处理的秩和在 H 0 下是非常接近的，
当某处理效应大时，则反映在秩上，其秩和与总平均之间 的差异也较大，于是可以构造
Durbin 检验统计量为 12( k 1) k r (t 1) D Ri 2 rk (t 1) i 1 2
《试验统计方法 》 第四章 常用的试验设计方案
2）平衡不完全区组的条件： r·t＝b·k r·(k-1) ＝λ·（t-1） b≥t r≥k
注：t：处理数 r：重复数 b：区组数 k：每 个区组的小区数 λ：每对处理在同一区组 中的相遇次数
3）设计方案：（P304）
2、设计方案
1）根据处理数查标准的拉丁方表（P25页）， 也可以人工排标准的拉丁方表。
常用拉丁方理论方案
2）在标准表的基础上按随机的方法进行行间随 机化 3）、在行间调整的基础上， 随机的方法进行列 间随机化得到应用的拉丁方表。
标准表
应用方案
(1) A B C D E
BCDEA
CABED
(2) B C D E A (3) C D E A B (4) D E A B C (5) E A B C D
2. 设计方案
2 3 3 1 61 5 3 6 2 1 2 52 13 21 42 11 41 43 32 51 22 63 33
6个处理3次重复的完全随机设计试验方案
3. 完全随机设计的优缺点
优点：
满足试验设计的3个基本原则；设计方法简 单；可以进行统计分析，且统计分析简单 。
缺点：
要求试验地能满足安排全部试验小区，且规 则的地块；
Ⅱ P- K- K- N- P- N- P- N- K- P - K- N-
214143323 124
Ⅲ N- K- P- K- P- K- N- P- N- K- P- N-
422311241433
2、优缺点：
优点：同随机区组，并且获得的信息量较 单因素随机区组多
缺点：同随机区组，但分析较单因素随机 区组复杂。
试验设计与数据分析课件-3单因素试验设计与分析
方差分析表
变异来源 自由度(df) 平方和(SS) 均方（MS） F值 F0.05 F0.01
区组间
2
27.56
第三部分 单因素试验设计与分析
1 基本概念 2 完全随机设计的方差分析 3 随机完全区组设计 4 平衡不完全区组设计
1
1 基本概念
第三部分 单因素试验设计与分析
单因素试验（single-factor experiment）：是 指整个试验中只变更、比较一个试验因素的不
同水平，其他作为试验条件的因素均严格控制 一致的试验类型
✓平衡不完全区组设计（balanced incomplete block design）
3
1 基本概念
第三部分 单因素试验设计与分析
单因子试验设计的统计分析方法：方差分析 （analysis of variance，简记ANOVA）
✓方差分析因子或水平间差异显著与否的判断用F或P 检验
➢方差检验达显著的前提下，必须作水平/因素之间的多重比较。 多重比较常用的方法
5.29
杂交组合内（误差） 16
27.69 1.73
总变异
19
277.77
9
2 完全随机设计的方差分析
☺ 应用表3-2数据进行方差分析
组合Fl l 2
3（CK） 4
2.89 5.07 6.23 12.29
4.88 3.52 3.94 13.68
单株产量 3.03 2.57 2.66 1.09 4.26 3.22 10.48 11.07
✓区组平方和 SSt =
=(32.22+ 37.12 +…+ 34.12)/3 – 3 220.17 =34.08
✓误差平方和 SSe = SST - SST - SSt = 84.61 – 27.56 – 34.08 = 22.97
配合力及alpha拉丁方格子试验设计
பைடு நூலகம்
报告内容：
• 一、配合力 • 二、不完全随机区组试验设计
配合力定义及意义
配合力：(combining ability)指一个亲本(纯系、自交系或品种)材料在由它 所产生的杂种一代或后代的产量或其他性状表现中所起作用相对大小的度量。 又称结合力、组合力。亲本的配合力并不是指其本身的表现，而是指与其他 亲本结合后它在杂种世代中体现的相对作用。
不完全双列杂交设计—配合力效应值估计:
不完全随机区组设计
α-格子试验设计（Alpha-Lattice），是当前国外育种企业采用的一种不 完全区组试验设计，主要应用于育种过程中早、中期产量试验阶段的品种筛 选。其采用的不完全区组的试验设计方式，提升了试验效率，减小了试验误 差，降低了育种试验成本。
2 配合力试验设计
2.2 alpha试验设计
在开始菜单处，键入cmd，进入终端界面。 加入d:进入D盘目录 键入cd Gendex，进入Gendex 键入java MENU，进入Gendex界面。
2 配合力试验设计
2.2 alpha试验设计
Plots per block：区组内个数 Replicates：重复数 Blocks per rep：重复内区组数 Treatments：材料数 seed：进行随机排列
与随机区组试验设计相比，在参试材料很多的情况下，随机区组的小区 面积急剧扩大，地块地力差异，对试验本身产生了破坏性影响，或者可以表 述为，试验设计的局部控制失灵。在不扩大试验地块面积的情况下，尽量多 安排试验材料，这就是不完全区组试验设计的优越性。
alpha试验设计
安装软件： 1、安装java. 如何检测：打开终端cmd，键入java，如果出现内容，则说明已经安装。 2、将Gendex解压到D盘根目录。
第4章 试验设计基本知识
第4章试验设计基本知识4.1 基本概念一、试验指标在试验设计中，根据试验目的而选定的用来衡量试验效果的特征值，称为试验指标。
试验指标可以是数量指标、质量指标、成本指标、效率指标等。
试验指标可分为两大类，一类是定量指标，也称为数量指标，它是在试验中能够直接得到具体数值的指标，如强度、硬度、重量、光洁度、精度、寿命、成本、合格率、pH值等；另一类是定性指标，或称非数量指标，它是在试验中不能得到具体数值的指标，如颜色、味道、光泽、手感等。
在试验设计中，为便于分析试验结果，一般把定性指标定量化，例如，可把色泽按不同深度分成不同等级。
试验指标可以是一个，也可以同时是几个。
前者称单指标试验设计，后者称多指标试验设计。
二、试验因素对试验指标特征值可能有影响的原因或要素称为因素（factor），也称为因子，它是进行试验时重点考察的内容，因素一般用大写英文字母A、B、C……来标记，如因素A、因素B、因素C……等。
在确定试验因素时，必然以专业技术和生产实践经验为基础，应尽可能列出与研究对象目标有关的各种因素，然后判断哪些是需要探索的因素。
因素有各种分类方法，最简单的是分为可控因素和不可控因素。
可控因素是指人们可以控制和调节的因素，如温度、流量、pH值等；不可控因素指人们暂时不能控制和调节的因素，如设备的轻微振动、刀具的轻微磨损等。
进行试验设计时，一般只考虑可控因素。
只考察一个因素的试验叫单因素试验，考察两个因素的试验叫双因素试验，考察三个或三个以上因素试验中多因素试验。
三、因素水平（level of factor）在试验设计中，为考察试验因素对试验指标的影响情况，要使试验因素处于不同的状态。
我们把试验因素所处的各种状态称为因素水平或试验水平，简称水平或位级。
试验设计中，一个因素选了几个水平，就称该因素为几水平因素。
如某试验中温度A选了300C和500C二个水平，时间B选了20min、40min、60min三个水平，就称A为二水平因素，B为三水平因素。
bbd试验
bbd试验设计（仅供参考）Tuesday, November 18, 2014bbd试验简介概述一、 BBD概念：bbd试验全称Box-Behnken设计，是RSM二级模型的其中一种设计类型，这种设计是一种拟合响应曲面的二阶三水平设计，由 2^k 析因设计与不完全区组设计组合而成，所得出的设计对所要求的试验次数来说十分有效，且它们是可旋转的或接近可旋转的。
这种设计的另外一个优点就是它是球形设计，所有设计点都在半径为 2^(1/2)的球面上，即正方体各棱的中点，以及一个中心试验点。
BBD 设计不包含由各个变量的上限和下限所生成的立方体区域的顶点处的任一点。
所以当立方体顶点所代表的因子水平组合因试验成本过于昂贵或因试验限制而不可行，此设计就显示出它特有的长处。
图中每个设计点的三维立体坐标即代表了每一试验点的三个试验水平，试验本身要求三个水平在整个域里是平均分布的。
BBD 设计试验次数 N =2k?( k －1) + C 0 ，公式中 k 表示因素的个数， C 0 表示中心试验点的重复次数，用于估计试验误差。
二、 BBD试验设计原理：建立Box - Behnken模型对实验数据进行精确的统计分析，提供具有连续性特征的图像分析，从而直观地了解所研究因子与响应之间的对应关系。
BBD模型是利用含有二次项的方程来表征因子和响应之间的关系。
三、 BBD实验设计特点：1、可以进行因素数在3~~7个范围内的试验。
2、试验次数一般为15-62次。
在因素数相同时比中心复合设计所需的试验次数少，比较如下：3、可以评估因素的非线性影响。
4、适用于所有因素均为计量值的试验。
5、使用时无需多次连续试验。
6、Box-Behnken 试验方案中不需要将所有试验因素都同 时安排为高水平的试验组合，和中心复合试验相比， Box-Behnken 试验设计不存在轴向点，因而在实际操作时 其水平设置不会超出安全操作范围。
而存在轴向点的中 心复合试验却存在生成的轴向点可能超出安全操作区域 或不在研究范围之列考虑的问题。
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• • • • • • • • • • 设一水稻品比试验有6个品种（V=6），每区组包含3个品种 （k＝3）。小区面积60尺2，试作平衡不完全区组设计 。 1）查表： 当V＝6，K＝3时，品种代号1，2，3，4，5，6。 则有V＝6，K＝3，r＝5，λ ＝2，b＝10的平衡不完全区组设计表。 2）平衡不完全区组设计表 ： 区组1： 1，2，5 区组6： 2，3，4 区组2： 1，2，6 区组7： 2，3，5 区组3： 1，3，4 区组8： 2，4，6 区组4： 1，3，6 区组9： 3，5，6 区组5： 1，4，5 区组10：4，5，6
-----------------------------------------------------p q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.01 4.17 0.52 0.72 3 3.67 4.83 0.63 0.83 4 4.08 5.25 0.70 0.90 5 4.37 5.56 0.75 0.96 6 4.59 5.80 0.79 1.00
2）方差分析与多重比较
①校正值
T2 C= 51714 .45 vr
N=v.r=20 dfT=N-1=19
2 总 SST= xij C 55011 C 3296 .55
区组 方和）
1 SSBj= k
B
j 1
b
2 j
1 C (101 2 912 130 2 ) C 1090 .05 （未校正区组平 2
3.平方和与自由度计算
T2 242 .9 2 C 1999 .98 （矮正系数） N 30
1) SST
2 xij C (6.8 7.0 2 7.52 ) C 19 .9497
原始数据计算
dfT=N-1=30-1=29
R 2 (22 .82 22 .2 2 25 .0 2 )
•
1 A B 6 A C
一个BIB设计的田间安排
2 B C 7 B D 3 C D 8 C E 4 D E 9 D A 5 E A 10 E B 重复Ⅳ 重复Ⅰ 重复Ⅱ 重复Ⅲ
4.填写试验结果
品种 区组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 处理 TV TBj Qi=KVi-TBj 198 405 -9 -1.8 49.05 49 54 192 406 -22 -4.4 46.45 180 385 -25 -5 45.85 151 370 -68 -13.6 37.25 47 48 45 35 35 76 296 468 124 24.8 75.65 52 39 70 A 54 B 47 46 45 48 41 36 77 73 C D E 区组和（Bj） 101 91 89 113 120 100 84 105 84 130 T=1017
三、统计分析
• 1．资料整理见表1
表1 品种 区组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V
i
小区产量结果表 4 5 8.5 7.2 6 Tr 22.8 22.2 23.5 22.3 23.7 26.3 26.4 24.7 26.0 25.0 T..=242.9 Qi KT„=728.7 ∑ =0 y =8.0966
17.35
**
2.90
4.56
• 品种间F值达极显著，表示各品种小区平均产量间存在 极显著差异。
5．品种平均数间多重比较，采用q法进行
1） 计算
k S S2 x e V 3 S 0.1187 0.1723 x 26
2）计算 LSR 值 df=15 查 q 表计算 LSR , p S x q , p
-------------------------------------------------------------------------------------
3）品种间的平均数多重比较
• ①排序 α ＝0.05 α ＝0.01 • 表 水稻品种修正平均数间的比较（q测验）
品种代号 5 3 2 4 6 1 小区产量 9.37 8.40 7.97 7.78 7.76 7.31 5% a b bc bc bc c 1% A B BC BC BC C
4）平衡不完全区组设计表：
重复 区组 1（A） Ⅰ Ⅱ 1 2 3 4 5 Ⅲ Ⅳ 6 7 8 9 10 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 处 2（B） ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 理 3（C） 4（D） 5（E）
4）将处理、区组和重复进行随机化处理后列出方案
2.平衡不完全区组设计特点：
• ① 每一处理在每个区组中最多出现一次， 总共 在r个区组中出现，即各处理在整个试验中的重复次数 相同（r＜b）。 • ②任意两个处理（或水平）在同一区组相遇进行比较 的次数相同，均为：
•
λ
r (k 1) ＝ v 1
（平衡性）
二、平衡不完全区组设计方法
• 1．BIBD满足的三个条件（必须）
1 .5 ˆ V 8.0966 7.97 2 12
„„„„„„„
ˆ 15 .3 8.0966 9.3716 V 5 12
4）计算各品种Qi（消除区组因素后的第i个品种的效应） • Qi=kvi·－Ti· • Q1=3×35.0－T1·=3×35.0-114.5＝－9.5 • Q2=3×40.3－112.4＝－1.5 • 同理，Σ Qi=0 检验计算Qi是否正确。
第四章 不完全区组试验设计
• 第一节 平衡不完全区组设计（BIBD设计）
• 平衡意味着各处理（水平）之间是平等的
• 不完全则表示每个区组容不下所有的处理 • 处理组合较多，重复也较多时，必须多设几个 区组或扩大区组范围，但过于扩大区组范围， 很难保证区组内试验条件的一致，而过于缩小 区组，同一区组就无法同时安排全套处理组合。 这时，可采用不完全区组设计。
y 50.85 TBj K B j
Qi 0
1 ui Qi V yi ui y
y T / r
3．计算分析：
• 1) 直观分析：各区组和TBj 各处理和TVi • 总和 T=Σ xij =Σ Bj=1017 • 总平均数
1017 y 50 .85 10 2
• 缺点：区组数必须严格按规定数目设置，否则失去平衡性，试
验规模大于完全区组，只有难以进行随机区组设计时采用。
例2：
• 1.平衡意味着各处理（水平）之间是平等的，不完全 则表示每个区组容不下所有的处理。 • 2．方案设计 • 1）确定试验处理个数V，一般可取4～16（不含12个） • 2）选取合适的平衡不完全区组设计表。 • 如有A～E，5个处理，区组容量K=2，r=4（重复次 数）。选平衡不完全区组设计方案，V=5，K=2，r=4， b=10，λ =1 。
3）平衡不完全区组设计的区组、处理 田间随机排列图
• 对各区组进行随机排列，各处理随机排列。
区组 5 区组 10 区组 7 区组 1 区组 4
5 4 2 1 3
1 6 5 2 1
4 5 3 5 6
区组 2 区组 8 区组 3 区组 6 区组 9
1 2 4 3 6
6 4 3 2 5
2 6 1 4 3
Q1＝2×198－405＝-9 Q2＝2×192－406＝-22 Q3＝2×180－385＝-25
– * Qi只反映了第i个处理组合的效应，而不包括其它处理和组 合的效应 • Σ Qi＝0
• ③ 处理效应的估计量Ui计算
Q 第i处理的Q值 ui= 两处理相遇数处理数 V
i
u1=195 1.8
• ① 同一处理所在区组“区组和”和计值TBj。 • TBi=所有包含第i个处理的区组相对应的区组指标之和 Bj相加 • 如TB1=包含处理A的所有区组之和相加 • =101＋120＋100＋84=405
② Qi计算
• • Qi=KVi-TBi •
• Qi=每一区组的处理数×该处理的指标和一区组指标和。
• 5）计算修正后的品种平均数
Q ˆ i T Vi V N
T··= xij
全试验小区总和数。
N= 试验小区数
N=Vr=Kb λ =2 V=6 同理
N=Kb=3×10=30
Q ˆ 1 T 9.5 242 .9 7.31 Vˆ2 V 1 V N 2 6 30 ˆ ˆ T 可验算i 计算的正确性。 V ∴ Vi r
1．概念：
• 平衡不完全区组设计应用平衡不完全区组设计 表安排试验的一种设计方法。 • 平衡不完全区组设计表，有5个基本参数：
– 1）V—处理数。 – 2）K—区组大小（容量）: • 即每一区组所包含的小区（供试单元）数目 – 3）r—每一处理在整个试验中出现的重复次数 – 4）b—区组总数（同一试验中所占用的） 。 – 5）—任意两个处理（配成对子）在相同区组中相 遇的次数
6．结论
• 品种5产量极显著高于其他品种，品种3的产量 极显著高于品种1产量，而2、4、6、1间无显 著差异，品种5的产量最高。
四、应用
• 特点 ： 利用不完全区组安排试验处理，仍可作出多处 理间正确比较。 • 用途：大田作物，难以采用完全区组时。畜牧试验，每区组需用
相似头幼畜作试验，幼畜数量有限。林木、果树，植株大，又要 一定株数，难以区组内土地均匀。
dfr=b-1=10-1=9
3）SSv 品种平方和计算，用 Qi 计算
Q 2 1 SSV i. [( 9.5) 2 (1.5) 2 ( 4.1) 2 ] 10 .30 kv 2 3 6
dfv＝v－1＝5
4.列方差分析表, F测验
方差分析表
变源 区组 品种 误差 总计 SS 7.8697 10.30 1.78 19.9497 df 9 5 15 29 均方 0.8744 2.06 0.1187 F F0.05 F0.01