2020-2021长春市高三数学下期末一模试卷(附答案)
转化为 xex a 0 在 (1, ) 上有不等于 2 的解，令 g x xex ，利用奥数求得函数的单
调性，得到 a g 1 e 且 a g 2 2e2 ，又由 f (x) 在 (1, 2) 上单调递增，得到
f x 0 在 (1, 2) 上恒成立，进而得到 a xex 在 (1, 2) 上恒成立，借助函数 g x xex 在
25．如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱
AB 的中点，AB=2，AD= 2 3 ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
26．已知椭圆
式 an ____；
14．若正数 a, b 满足 ab a b 3，则 a b 的取值范围_______________。
15．若三点 A(2,3), B(3, 2),C(1 , m) 共线，则 m的值为
．
2
16．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， c 4 ， a 4 2 sin A ，且 C 为锐 角，则 ABC 面积的最大值为________.
即 a xex 在 (1, 2) 上恒成立，
又由函数 g x xex 在 (1, ) 为单调递增函数，所以 a g(2) 2e2 ，
综上所述，可得实数 a 的取值范围是 a 2e2 ，即 a (2e2, ) ，故选 C.
【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计 算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲 线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参 数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合 思想的应用.
17．已知函数 f (x) sin x(x [0, ]) 和函数 g(x) 1 tan x 的图象交于 A, B,C 三点，则
2 ABC 的面积为__________．
18．若函数 f (x) 1 x3 1 x2 2ax 32
范围是_______.
在
2 3
,
上存在单调增区间，则实数
a
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一 棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一 棒，不合题意． 【详解】 由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个， 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C． 【点睛】 本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能 力，是基础题．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
10．抛掷一枚骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B 为“落地时向上的
点数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的点数是 3 的倍数”，事件 D 为“落地时向上的点
数是 6 或 4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
23．选修 4-5：不等式选讲：设函数 f (x) x 1 3 x a .
（1）当 a 1时，解不等式 f (x) 2x 3 ；
（2）若关于 x 的不等式 f (x) 4 2 x a 有解，求实数 a 的取值范围.
24．已知函数 f (x) | x 1|
（1）求不等式 f (x) | 2x 1| 1的解集 M （2）设 a,b M ，证明： f (ab) f (a) f (b) .
式相减可得出数列an 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求
出 a5 的值.
【详解】
当 n 1 时， S1 2a1 1 ，即 a1 2a1 1，解得 a1 1； 当 n 2 时，由 Sn 2an 1 ，得 Sn1 2an1 1，两式相减得 an 2an 2an1 ，得 an 2an1 .
6．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个 4 100 米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们
四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在
(1, ) 为单调递增函数，求得 a g(2) 2e2 ，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数 f (x) (x 3)ex a(2 ln x x 1) ，
可得 f (x) ex (x 3)ex a( 2 1) (x 2)(ex a ) (x 2) ( xex a ) ，
人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A． 5 钱 4
B． 4 钱 3
C． 3 钱 2
D． 5 钱 3
12．在 ABC 中， A 60 ， B 45， BC 3 2 ，则 AC （ ）
A． 3 2
二、填空题
B． 3
C． 2 3
D． 4 3
13．数列 an 满足 a1 1, 前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2an (n 2, n N *) ，则{an} 的通项公
C． 2 3
D． 3 4
5．已知函数 f (x) (x 3)ex a(2 ln x x 1) 在 (1, ) 上有两个极值点，且 f (x) 在
(1, 2) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． (e, )
B． (e, 2e2 )
C． (2e2 , )
D． (e, 2e2 ) (2e2, )
x
x
x
又由函数 f x 在 (1, ) 上有两个极值点，
则 f x 0 ，即 (x 2) ( xex a ) 0 在 (1, ) 上有两解，
x
即 xex a 0 在在 (1, ) 上有不等于 2 的解，
令 g x xex ，则 g(x) (x 1)ex 0, (x 1) ，
7．B
解析：B 【解析】
【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算
【详解】
由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底
为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
. 【点睛】
4
5
5
5
5
cos2 2sin 2 16 4 12 64 ，故选 A． 25 25 25
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消 去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间 的联系．
所以，数列an是以1为首项，以 2 为公比的等比数列，则 a5 1 24 16 ，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用
Sn
来求通项
an
，一般利用公式
an
SS1n,
n
1 Sn1, n
2
，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
3．A
解析：A 【解析】
试题分析：由 tan 3 ，得 sin 3 , cos 4 或 sin 3 , cos 4 ，所以
4．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．
从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，总的方法数是 C42 6 种，数学之和为偶数的有1 3, 2 4
两种，所以所求概率为 1 ，选 B ． 3
考点：古典概型．
5．C
解析：C 【解析】
【分析】
求得函数的导数 f (x) (x 2) ( xex a ) ，根据函数 f x 在 (1, ) 上有两个极值点，
【参考答案】***试卷处理标记，请不
由 S6 S4 a6 a5 6a4 得， q2 q 6 a4 0, q2 q 6 0 ，解得 q
2 ，从而
a5 a2 23 =2 8=16 ，故选 C. 2．B
解析：B 【解析】 【分析】
令 n 1 ，由 a1 S1 可求出 a1 的值，再令 n 2 ，由 Sn 2an 1 得出 Sn1 2an1 1 ，两
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
6 ，以椭圆的 2 个焦点与 1 个短轴端点 3
为顶点的三角形的面积为 2 2 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为 k 的直线 l 过椭圆的右焦点 F，且与椭圆交与 A, B 两点，以线段 AB 为
直径的圆截直线 x 1 所得的弦的长度为 5 ，求直线 l 的方程．
A． A 与 B
B． B 与 C
C． A 与 D
D． C 与 D
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人
所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五
A． 16
B．16
C． 31
D． 32
3．若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （
）
4
A． 64
吉林省长春市2020届高三数学一模考试试题文(含解析)
【分析】
分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.
【详解】因为 a
(1)3 3
(1)0 3
1
，
1
33
30
1
，
log
1 3
3
log1 1
3
0
，
所以 0 a 1,b 1, c 0 ，∴ c a b ，
故选：C. 【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合间的关系推出 p、q 之间的关系.
【详解】{x | x 1} Ý {x | x 2} ，则 p 是 q的必要不充分条件,
故选：B.
【点睛】 p 成立的对象构成的集合为 A ， q成立的对象构成的集合为 B ： p 是 q的充分不必要条件则有： A Ü B ；
故选：D. 【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意 图，这样在判断的时候能更加直观.
9.函数 y 2 sin( x ) ( 0,| | ) 的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( ) 2
A.
f
(x)
2
sin(2x
)
6
C. f (x) 2sin(4x ) 6
∴ A B {x | x 3, 或 x ≤ -2}
故选：B. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.
3.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S5 15 ， a4 5 ，则 S9 ( )
A. 45
B. 63
C. 54
吉林省长春市2021届新高考数学一模试卷含解析
吉林省长春市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系2．已知非零向量a r ，b r 满足()2a b a ⊥r r ，()2b a b ⊥r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a r 与b r的夹角. 【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得()2220a b a a b ⋅=-⋅=r r r r，()2220b a b b a b ⋅=⋅=r r r r，所以222a b b ==⋅r r r，即a b =r r ，由平面向量数量积定义可得22cos ,a b a b=⋅r r r r，所以2cos ,2a b =r r，而[],0,a b π∈r r ， 即a r 与b r 的夹角为4π.故选：B 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题. 3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A ．18B ．24C ．36D ．72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.4．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】 【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 5．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞UC ．(2,)+∞D ．(2,3)【答案】A 【解析】【分析】计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .故选：A . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.6．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u u r u u u r u u u r，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.7．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） AB．C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等的特征，求出3a 和b ，再利用复数的模公式，即可得出结果. 【详解】因为3(21)ai b a i +=--，所以3,(21),b a a =⎧⎨--=⎩，解得3,31,b a =⎧⎨=⎩则|3|13a bi i +=+==故选：A. 【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.8．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A 【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．103C ．113D ．83【答案】B 【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为1 22242⨯⨯⨯=，消去的三棱锥的体积为112212323⨯⨯⨯⨯=， ∴几何体的体积210433V =-=，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）A ．3-B ．13- C ．1 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即329n b n =-，因为函数()329f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且5331b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.故选:D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 11．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案是正确的，应选答案B 。
2020-2021高三数学下期末一模试卷附答案(20)
2020-2021高三数学下期末一模试卷附答案(20)一、选择题1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与c 所成的角的大小为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°2．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15 3．设向量a r ，b r 满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．424．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co παC ．sin()πα+D ．s()co πα+ 5．若,αβv v 是一组基底,向量γv =x αu v +y βu v (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γv 在基底αu v ,βuv 下的坐标,现已知向量αu v 在基底p u v =(1,-1), q v =(2,1)下的坐标为(-2,2),则αu v 在另一组基底m u v =(-1,1),n v =(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,-2)C ．(-2,0)D ．(0,2) 6．已知a r 与b r 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ）A ．7B ．10C ．13D ．47．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ）A ．53B ．35C ．37D ．578．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a b a b αβ⊂⊂P ，，，则αβ∥D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r11．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ） A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r 则BC=______A ．3B ．7C ．2D ．23二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 .14．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．16．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．17．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.18．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b a 的取值范围是__________． 19．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 20．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 三、解答题21．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.22．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --6，求PF 的长度. 24．若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．25． 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.26．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥；(2) 求三棱锥M EFD -的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】 ,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c r r 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线,b c 的方向向量,b c r r，,b c αβ⊥⊥， 所以,b c r r 分别是平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为60°， ,b c r r 的夹角为060或0120，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以b 与c 所成的角为060.故选:C.【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.2．B解析：B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】∵函数2log (1),0()4,0x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选B ．【点睛】 本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．3．D解析：D【解析】【分析】3=，求得2a b ⋅=-r r ，再根据向量模的运算，即可求解．【详解】∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r 3=，解得2a b ⋅=-r r ．则2a b +==r r ．故选D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．D解析：D【解析】【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断.【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符； ()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】【详解】 由已知αu r =-2p u r +2q r =(-2,2)+(4,2)=(2,4),设αu r =λm u r +μn r =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),则由224λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得02λμ=⎧⎨=⎩ ∴αu r =0m u r +2n r ,∴αu r 在基底m u r , n r 下的坐标为(0,2). 6．A解析：A【解析】 本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．7．A解析：A【解析】 由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项. 8．B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．9．D解析：D【解析】【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于1a >，所以1x x a y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.11．A解析：A【解析】【分析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=，取112a =，得到当b 14=时，a 10＜10；对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，得到当b ＝﹣2时，a 10＜10；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=1a =，得到当b ＝﹣4时，a 10＜10；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，由此推导出104a a ＞（32）6，从而a 1072964＞＞10． 【详解】 对于B ，令214x λ-+=0，得λ12=， 取112a =，∴2111022n a a ==L ，，＜， ∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误； 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误；对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=取1a =，∴2a =，…，n a =10， ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误；对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥， 4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增，当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=， ∴5445109323232a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋅⎨⎪⋅⎪⋅⎪⎪⎪⎪⎩＞＞＞，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10．故A 正确． 故选A ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．A解析：A【解析】【分析】【详解】2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=u u u r u u u r Q|BC ∴故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.二、填空题13．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算解析：2-【解析】 试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以. 考点：复数的运算. 14．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐 解析：3π 【解析】 【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】 画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π3,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以133ππ224ABC S ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.15．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小解析：8【解析】分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.16．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令 解析：22(2)10x y -+=.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.17．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画 解析：画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画18．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以 解析：2,3)【解析】 【分析】 【详解】因为ABC ∆为锐角三角形，所以02202B A A B πππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以0463A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以(,)64A ππ∈，所以sin 2cos sin b B A a A==，所以(2,3)ba ∈. 19．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a qL L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用20．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1 【解析】 【详解】化简三角函数的解析式， 可得()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 三、解答题21．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 22．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,∴ρ2-2ρ (cosθcos +sinθsin )=2.∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=. 23．（1）见解析；（25【解析】 【分析】（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得26cos ,21411m AB m AB m ABλλ⋅===⎛⎫⋅++ ⎪-⎝⎭u u u vu u u v u u u v ，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ， ∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量， 设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-u u u v，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ， ∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， ∴26cos ,21411m AB m AB m ABλλ⋅===⎛⎫⋅++ ⎪-⎝⎭u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），∴5PF =.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2； 由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-．所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<< 所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.25．（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-， 从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 26．（1）见解析；（2）13【解析】 【分析】（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】（1）证明：Q 在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ⋂=，MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；（2）解：E Q 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，111122MEF BEF S S V V ∴==⨯⨯=，由（1）知，111123323M DEF MEF V S MD -=⋅=⨯⨯=V ．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．。
2020-2021长春市高中三年级数学下期末模拟试卷(及答案)
2020-2021长春市高中三年级数学下期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1−i C ．−1+i D ．−1−i 2．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．243．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i -4．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±5．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种6．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A 2B 3C 5D 7 8．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称9．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2π)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )A ．2，－3πB ．2，－6π C ．4，－6πD ．4，3π 11．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．2722012．已知,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题13．设25a b m ==,且112ab+=,则m =______. 14．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC V 的面积为______． 16．计算：1726cos()sin43ππ-+=_____． 17．已知向量a r 与b r 的夹角为60°，|a r |=2，|b r |=1，则|a r+2 b r |= ______ .18．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．19．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．20．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.三、解答题21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．22．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c .23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？24．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.25．已知3,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅rr .（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u v u u u v .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z +===+∴=---+，选B. 【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.2．A解析：A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．3．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．6．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<Q ，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.7．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.8．C解析：C 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】解：()23x f x x+=Q0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞U ，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()()2233x x f x f x xx+-+-===-，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方 ∴可以排除B 答案 考点：函数图像．10．A解析：A 【解析】 【分析】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，3T 5π412=-（π3-）3π4=， ∴T 2πω==π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π12，2）， ∴2＝2sin （25π12⨯+φ）， ∴5π6+φ＝2kππ2+，k∈Z， 即φ＝2kππ3-， 又由π2-＜φπ2＜，则φπ3=-； 综上所述，ω＝2、φπ3=-． 故选A ． 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．11．D解析：D 【解析】 【分析】旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以129331227(4)220C C P X C ===，故选D ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅r rr r ，代入夹角公式即可.【详解】设,a b rr 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥r r r，(2)b a b -⊥，所以222a b a b ==⋅r r r r ，则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=r r r r r r ，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=r rr r r r 故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r . 二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =Q ，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C=，可得：233sin sin22sin cos B B B B==， ∴可得：3cos 4B =，可得：sin 4B ==， ∴可得：sin sin22sin cos 8C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．故答案为：16． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.【详解】 依题意，原式17π26ππ2πcossin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πcos sin 432=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.17．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】【分析】【详解】 ∵平面向量a r 与b r 的夹角为060，21a b ==r r ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=r r .∴2a b +====r r故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) a =r 常用来求向量的模． 18．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的 解析：18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.【详解】Q 函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增()210a f x x x '∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x = 18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18 【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.19．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h ==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h ⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =n 底，本题是中档题． 20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x +∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题21．（1）见解析；（2）1[,)e+∞.【解析】【分析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可； （2）由题意可知()10x b x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <， ∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '>∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.（2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭ ()1x b x e lnx =-- 由题意，()10x b x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意. ②若0b >，记()()1x h x b x e lnx =--，则()1x h x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增，（i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．(1)3A π=(2)b c ==2【分析】【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A 故bc =4， 而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==223．（1）12； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，记事件A 为甲商家被抽到，则()101202P A ==. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为 150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.（3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<所以选B 款订餐软件．本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．24．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-（2）()1,2-【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.【详解】解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.（2）因为(){}10x f x ax R +-=，所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.令()1g x ax =-+，其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.如图，()2,3A ，()1,3B -.则直线PA 的斜率131120k -==-， 直线PB 的斜率231210k -==---.因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，所以a 的范围为()1,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用.25．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】 解：（1）()2cos cos f x a b x x x =⋅+r r111sin2cos2sin 222262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+ （k Z ∈） 解得36k x k ππππ-≤≤+ （k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时， 得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.26．（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=u u u r u u u u r （）由NP =u u u r u u u r 得000x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-u u u r u u r u u u r u u r ，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---u u u r u u u r ，，（，）. 由OP PQ 1⋅=u u u r u u u r 得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0. 所以OQ PF 0⋅=u u u r u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
2020-2021高三数学下期末一模试卷(附答案)
25．已知函数 ， ．
Ⅰ 讨论函数 的单调区间；
Ⅱ 若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数b的取值范围．
26．如图所示，已知正方体 中， 分别为 ， 的中点， ， .求证：
（1） 四点共面；
（2）若 交平面 于R点，则 三点共线.
②中 与 定义域都是R，但 与 对应关系不一致，所以②不是同一函数；
③中 与 定义域都是 ，且 ， 对应关系一致，所以③是同一函数；
④中 与 定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C
【点睛】
本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
8．A
解析：A
【解析】
余弦定理 将各值代入
20．能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
三、解答题
21．设 .
（Ⅰ）求函数 的定义域；
（Ⅱ）若存在实数 满足 ，试求实数 的取值范围.
22．已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
【详解】
解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;
③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．
2020-2021高三数学下期末一模试卷(含答案)(20)
2020-2021高三数学下期末一模试卷(含答案)(20)一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+2．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2）3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11C ．12D ．154．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．8．设集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．9．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A．13B．12C．23D．5610．已知sin cos0θθ<，且cos cosθθ=，则角θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角11．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A．60︒B．30°C．45︒D．15︒12．在△ABC中，AB=2，AC=3，1AB BC⋅=u u u r u u u r则BC=______A3B7C2D23二、填空题13．设n S是等差数列{}*()na n N∈的前n项和，且141,7a a==，则5______S=14．已知实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y=-的最小值是__________．15．复数()1i i +的实部为 ．16．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 17．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 ．18．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r=______．三、解答题21．已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =u u u v u u u v（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.22．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．23．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．24．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C CPQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值 25．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP V ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP V 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 26．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）： ①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA u u u v对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB uuu r对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.2．A解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．4．C解析：C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。
2020-2021高三数学下期末一模试卷(含答案)(12)
2020-2021高三数学下期末一模试卷(含答案)(12)一、选择题1．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 2．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．5D ．73．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．174．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A ．19B ．29C ．49 D ．7186．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v在向量a v 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-27．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．53B ．35 C ．37D ．578．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．3-B ．32C ．12D ．12-9．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3- 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．513x << B ．135x << C ．25x <<D ．55x <<11．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角12．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30°C ．45︒D ．15︒二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 16．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．17．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ． 18．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程. 24．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.25．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为2，求直线AP 的方程. 26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u v u u u v.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．B解析：B 【解析】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.3．B解析：B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑5．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v 即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1， 故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．7．A解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项.8．B解析：B 【解析】 【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴23πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.10．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得0x <<x 的取值范x << A. 考点：余弦定理.11．D解析：D 【解析】 【分析】由cos cos θθ=以及绝对值的定义可得cos 0θ≥,再结合已知得sin 0,cos 0θθ<>,根据三角函数的符号法则可得. 【详解】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角， 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.12．C解析：C 【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2 【解析】【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数15．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：3+【解析】21a b Q +=，则1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的【解析】 【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 422223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．18．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基 32+ 【解析】 【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式17π26ππ2πcossin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π32cos sin 43+=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理解析：【解析】【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求出b c ==【详解】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B=， ∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=， 又1cos 3A =， ∴BC =，于是b c =． 由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-即(222223b b b =+-，解得b =，故c =∴11sin 22ABC S bc A ∆===故答案为．【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．20．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为 解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x <， 解得51322,66k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 三、解答题21．（1）见解析；（2）3-. 【解析】【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD . 以F 为坐标原点，FA u u u v 的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以PC ⎛= ⎝⎭u u u v，)CB =u u u v，PA =⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u u v . 设(),,n x y z =r 是平面PCB 的法向量，则 0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,n =-r . 设(),,m x y z r=是平面PAB 的法向量，则 0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r即0,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =r .则cos ,3n m n m n m ⋅==-r r r r r r ， 所以二面角A PB C --的余弦值为 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22．(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点】线面平行与面面垂直．23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.24．(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110a b -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-；当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解；当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤，要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >，∵a b M ∈、，∴221,1a b >>，∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.25．（Ⅰ）22413y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=. 【解析】 试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则12a c -=，又椭圆的离心率为12，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为2m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =.（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得()223460m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222223613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V 的面积为2，故22162232m m m ⨯⨯=+，整理得2320m -+=，解得m =m =.所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.26．（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=u u u r u u u u r （）由NP =u u u r u u u r 得0002x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-u u u r u u r u u u r u u r ，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---u u u r u u u r ，，（，）. 由OP PQ 1⋅=u u u r u u u r 得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0. 所以OQ PF 0⋅=u u u r u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。
吉林省长春市第一0三中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试卷含解析
吉林省长春市第一0三中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P参考答案：B【考点】2I：特称命题．【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系．2. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：A略3. 若集合满足，，则不可能是A．B．C．D．参考答案：C略4. 在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点=λ，若，则λ的最小值是（）A．1 B．C．D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件解不等式求出λ的最小值．【解答】解：直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示；则C（0，0），A（1，0），B（0，1），∴=（﹣1，1）；又=λ，∴λ∈[0，1]；∴=λ（﹣1，1）=（﹣λ，λ），∴=+=（1﹣λ，λ），=﹣=（λ﹣1，1﹣λ）；又，∴（1﹣λ）×（﹣1）+λ≥λ（λ﹣1）﹣λ（1﹣λ），化简得2λ2﹣4λ+1≤0，解得≤λ≤；又∵λ∈[0，1]，∴λ∈[，1]，∴λ的最小值是．故选：B．5.关于有一个根为1，则一定是A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形参考答案：答案:A6. 设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. 设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件，构造函数g（x）=x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；∴g（x+2015）＞g（﹣3）；∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；∴﹣2018＜x＜﹣2015；∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．故选A．8. 由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．参考答案：D略9. 已知数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D. 的大小关系不确定参考答案：B10. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）A. B.C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，则________参考答案：212. （a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．参考答案：3考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．解答：解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．点评：本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．13. 等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k =________．参考答案：法1：有题意知,即，所以，又，所以。
吉林省长春市榆树实验中学校2020-2021学年高三数学理下学期期末试题含解析
吉林省长春市榆树实验中学校2020-2021学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若关于x的不等式f(x)＞f(x+m)的解集为M，且，则实数m的取值范围是（）A．[-1,0] B．C．D．参考答案：C2. 已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切，则平面截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】内切球的球心为正方体的体对角线交点，根据三棱锥为正三棱锥及各棱长，可求得点O到平面的距离；根据内切圆半径和圆心到平面的距离可求得切面的圆心半径，进而求得圆锥的体积。
【详解】因为球与棱长为的正方体的各面都相切所以球O为正方体的内切球，则球O的半径球心O到A的距离为底面为等边三角形，所以球心O到平面的距离为所以平面截球所得的截面圆的半径为所以圆锥的体积为所以选C【点睛】本题考查了正方体的内切球性质，平面截球所得截面的性质，属于中档题。
3. 函数的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C4. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取名学生，并编号；（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A. B. C. D.参考答案：B略5. 函数的最大值与最小值之和为（）.A. B.0 C.－1 D.参考答案：A略6. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 7. 三棱锥中，平面，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：【知识点】球的体积和表面积．G8A 解析：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中线OB=PC∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【思路点拨】根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是A. 2B.1 C. D.参考答案：A9.设函数项和是（ ）A ．B ．C ． D．参考答案：答案:C 10. 已知，则“函数在上单调递增”是“数列是递增数列”的充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件 （ ）参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是_______.参考答案：12. 若函数（,）的部分图像如右图，则.参考答案：由图象可知，即，所以，即，所以，因为，所以当时，，所以，即。
吉林省长春市九台市第三中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析
吉林省长春市九台市第三中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果数列满足，，且(≥2)，则这个数列的第10项等于[A. B. C. D.参考答案：D略2. 设在四次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为，则在一次试验中事件发生的概率是A． B． C．D．参考答案：D3. 已知函数存在区间，使得函数在区间上的值域为，则最小的值为( ) A．36 B． 9 C．4D． 1参考答案：B 4. 已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P，Q，若，且，则双曲线C的离心率为A．B．C．C．参考答案：B5. 己知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时,，如果关于的方程有解，记所有解的和为，则不可能为A. B. C.D.参考答案：D6. 已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i等于A. 4B. 8C. 16D. 32参考答案：C初如值n=11i=1,i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1.i=8,n=25, 不满足模3余2,i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.输出i=16.选C。