泰勒公式的证明及应用(1)
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写
泰勒公式的证明及其应用课题意义怎么写泰勒公式是数学中一个重要的公式,可以用来展开一个函数在某一点处的函数值,从而得到该点处的函数表达式。
证明泰勒公式及其应用是一个复杂的数学问题,下面将给出一些介绍:一、泰勒公式的证明设$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数$f'(x_0)$,则在该点附近可以表示为:$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) +frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$其中$R_n(x)$为余项,它只与前$n-1$个项有关。
余项$R_n(x)$可以表示为:$$R_n(x) = frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} - frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$其中$c$是$x$和$x_0$之间的某个数。
泰勒公式的证明思路可以看作是将$f(x)$展开成一个多项式,并根据多项式的阶数和系数确定余项$R_n(x)$。
二、泰勒公式的应用泰勒公式在许多领域都有广泛的应用,包括:1. 数值计算:泰勒公式可以用来将一个复杂的函数逼近一个数值值,从而进行数值计算。
2. 数学分析:泰勒公式可以用来证明函数的连续性,并在微积分中应用。
3. 物理学:泰勒公式可以用来描述函数在时间和空间上的分布,从而研究物理系统的运动状态。
4. 统计学:泰勒公式可以用来估计一个函数的自变量取值范围,从而进行统计学推断。
泰勒公式是一个数学工具,它的证明和应用具有很高的实用价值。
泰勒公式证明及应用
泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。
泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。
首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。
其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。
关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。
Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。
泰勒公式 证明
泰勒公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解函数在某一点处的近似值。
泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。
我们来回顾一下泰勒公式的表达式。
对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。
R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。
现在，我们来证明泰勒公式。
我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。
根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。
我们可以将R_n(b)表示为：R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。
根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。
接下来，我们来证明ξ'等于ξ。
根据注脚法，设h(ξ) = f(b) -T_n(b)，我们可以得到：我们可以将h(ξ)的泰勒展开式表示为：由于h^(n+1)(ξ') = 0，我们得到h(ξ) = O((ξ - ξ')^(n+1))。
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式是高等数学的重要公式，也是考研数学的重要考点，在求极限，中值定理的证明题等方面有着广泛的应用，熟练掌握泰勒公式的几种常见应用对于考研复习是至关重要的，本人结合多年教学经验和考研数学的研究，系统总结了泰勒公式的一些常见应用和解题技巧。
泰勒中值定理：若f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n+1阶导数，则对任一x∈(a,b)，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)(x-x0)n+f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1(1)这里ξ是x0与x之间的某个值。
公式(1)称为f(x)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。
若f(x)在x0具有n阶导数，则对任一x∈U(x0,δ)，有(2)公式(2)称为f(x)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。
泰勒中值定理是讨论函数和各级高阶导数之间关系的中值定理，带有拉格朗日余项的泰勒公式具有区间的性质，因此一般用于证明等式或者不等式，带有佩亚诺余项的泰勒公式具有局部的性质，一般用于求极限。
1 利用泰勒公式求极限若分子、分母是多个同阶无穷小量的代数和，且洛必达法则求解过程复杂时，用泰勒公式求极限。
解题方法和步骤：①展开分母各项，直到合并同类项首次出现不为零的项。
②将分子的各项展开至分母的最低阶次。
③代入后求极限。
例1：计算分析：“”用洛必达法则计算复杂，考虑用泰勒公式求解。
解：由于原式2 利用泰勒公式证明等式或不等式利用泰勒公式证明问题要全力分析三个问题：(1)展开几阶泰勒公式。
由泰勒公式知，条件给出n+1阶可导，展开至n阶。
(2)在何处展开(展开点x0)。
展开点x0通常选取导数为零的点，区间的中点，函数的极值点。
(3)展开后x取何值。
通常选取x为区间的端点。
例2：设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续的导数，且f(-1)=0,f(1)=1。
f′(0)=0,证明在(-1,1)内至少存在一点[-1,1]，使得f″(ξ)=3。
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究
有关泰勒公式的证明及其推广应用研究摘要：对于泰勒公式而言，由于其淋漓尽致地体现了逼近法的精髓，因而在各个领域中的各个方面均有着十分重要的应用。
本文重点就泰勒公式的几种证明形式进行了分析，并就其在不等式、函数极限等方面的推广及应用情况进行了研究。
关键词：泰勒公式；证明；应用中图分类号：o172 文献标识码：a 文章编号：1674-7712 （2013）04-0166-01泰勒公式是数学分析过程中的重要公式之一，因而在数学中占有极为重要的地位。
通常而言，一般性的数学分析教材中均采用的是柯西中值定理来对泰勒公式进行证明，此种方法也广为人知，但是，其实泰勒公式还可以采用其他多种证明形式进行证明。
鉴于此，本文采用多种形式对泰勒公式进行了证明，并就其在多个领域中的应用推广进行了研究。
（一）采用完全归纳法对泰勒公式进行证明定理：对于任何函数f（x）而言，只要其在a点处存在着直到n 阶为止的导数，则a点附近的f（x）就可采用如下公式进行表达：（二）采用积分法对泰勒公式进行证明采用积分法不仅可以巧妙地证明泰勒公式，还可以得出几个结论，其定理如下所示：定理：假设[a，b]区间内函数f（x）具有直到n阶的连续导数，而在（a，b）内也存在着n+1阶的导数，此时，对于任意一个给定的x而言，x0∈（a，b），则f（x）可以表示为一个余项所得结论如下：其他的余项中只知ξ∈（a，b），此时有xn→x0（n→+∞）；由公式（1）可知，重积分型余项可推出皮亚诺型余项，因此，也可推出其他各类余项公式的形式。
以上所述两种方法主要是以不同角度对泰勒公式进行了证明，虽然其形式发生了改变，但是总体内涵保持不变，因而体现了变化中求思想精髓的基本证明思路，因而较容易被理解。
二、泰勒公式的应用推广（一）采用带有皮亚诺型余项的泰勒公式可进行函数极限的求取（二）采用泰勒公式可对积分等式进行证明除此以外，对于判断级数的收敛性、近似值的求解、行列式的求解等等多个方面均需要借助于泰勒公式进行计算和求解，由此可见，泰勒公式具有十分广泛的应用，本文重点就上述几个常见领域的应用及推广进行了分析，由于泰勒公式多个领域均有应用，这里就不再进行一一叙述了。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。
它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。
由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。
1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。
假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。
公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。
2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。
3-4泰勒公式09[1].10.29
![3-4泰勒公式09[1].10.29](https://img.taocdn.com/s3/m/5d5101bff121dd36a32d8273.png)
的近似值 , 要求精确到小数点后的
2!
x2 1 = 6(1 + x − + R2( x)), 8 2
R 其中 2( x) =
5 − (1 +θ x) 2
16
x3 (0 < θ < 1).
1 其误差为 来计算， 取x = ( x0 = 0)来计算， 36
1 1 1 6 R2( ) < 6⋅ ⋅ 3 < 0.5×10−5, 16 36 36
f (−1) = −1,
f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
⋯, f (n)(−1) = −n!.
因此
f ( x) = −1− ( x + 1) − ( x + 1)2 −⋯− ( x + 1)n + Rn( x),
R 其中 n( x) =
(−1)n+1
ξ
n+2
. ( x + 1)n+1, ξ在− 1与x之间
pn(x) f (n)( x0 ) n n ( x − x0 ) + o((x − x0) ), + n!
只需证
f ( x) − pn( x) lim = 0. n x→x0 ( x − x0 )
令 Rn( x) = f ( x) − pn( x)(称为余项 , 称为余项 称为余项) 只需证
Rn( x) lim = 0. n x→x0 ( x − x0 )
x
f ′′(0) 2 f (n)(0) n ∴e = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x + Rn( x) 2! n! x2 x3 xn = 1 + x+ + + ⋯+ + Rn(x) 2! 3! n!
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一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)（四）积分型泰勒公式 (6)（五）二元函数的泰勒公式 (7)三、泰勒公式的若干应用 (8)（一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor 公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。
在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。
在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。
并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。
定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。
1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()00()()!n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，"()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- （3）称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =⋯称为Taylor 系数。
从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即()()00()()k k n f x T x =，1,2,,k n =⋯. （4） 证明：设()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-，现在只要证0()0()lim n x x nR x Q x →= 由关系式（4）可知，')000()()()0n n n n R x R x R x ==⋯==（ 并易知 '1)000()()()0n n n nQ x Q x Q x -==⋯==（，()0()!n n Q x n = 因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某邻域0()U x 内f 存在1n -阶导函数()f x 。
于是，当x U ο∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次， 得到000'(1)'(1)()()()()()()lim lim lim n n n n n x x x x x x n n nR x R x R x Q x Q x Q x --→→→==⋯= 0(1)(1)()0000()()()()(1)2()limn n n x x f x f x f x x x n n x x --→---=-⋯-0(1)(1)()000()()1[()]!lim n n n x x f x f x f x n x x --→-=--0=()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0(())n x x ο-的余项称为佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的Taylor 公式。
1.2 其次是带有拉格朗日型余项的Taylor 公式：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点ξ∈(,)a b ，使得"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()(1)10000()()()()!(1)!n n n n f x f x x x x x n n +++-+-+ （1）证明：作辅助函数()'()()()[()()()()]!n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+⋯+-1()()n G t x t +=- 所需证明的（1）式即为(1)00()()()(1)n f F x G x n ξ+=+！或(1)00()()()(1)n F x f G x n ξ+=+！不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导，且(1)'()()()!n n f t F t x t n +=--，'()(1)()0n G t n x t =-+-≠又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得'(1)00'00()()()()()()()()()(1)n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+-===-+！， 其中0(,)(,)x x a b ξ∈⊂。
它的余项为(1)100()()()()()(1)!n n n n f x R x f x T x x x n ++=-=-+00()x x x ξθ=+- (01)θ<<，()()()n n R x f x T x =-称为拉格朗日余项。
所以（1）式又称为带有拉格朗日型余项的Taylor 公式。
1.3 柯西型Taylor 公式：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，使得"()'20000000()()()()()()()()2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- ()n R x + （5）(1)(1)0001()(())(1)()!n n n n R x f x x x x x n θθ++=+--- 证明：作辅助函数()'()()()[()()()()]!n n f t F t f x f t f t x t x t n =-+-+⋯+-()G t x t =-应用柯西中值定理可得，存在0(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得'(1)01'0()()()()()()()()()!n nn n R x F x F x F x f x x G x G x G x n ξξ++--===- 令x ξθ=(01)θ<< 即可得到（5）式。
1.4 积分型Taylor 公式：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +的导数, 则当x 在(,)a b 内时, ()f x 可表示为0()x x -的一个n 次多项式与一个余项()n R x 之和:"()'20000000()())()()()()()2!!()(n n n f x f x f x x x x x x x R x n f x f x +-+-+⋯+-+=其中 1(1)1121()()nooxx x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=⋯⋯⎰⎰⎰证明：由Newton Leibniz -公式得：0'011)()()(xx f x dx f x f x =-⎰即 0'011)()()(xx f x dx f x f x +=⎰1''022)"()()(x x f x dx f x f x +=⎰2""'''033)()()(x x f x dx f x f x +=⎰……0()()(1)011)()()(nx n n n n n x f x dx f x f x ++++=⎰从而有1''"01100221()()()()[()()]xxx x x x f x f x f x dx f x f x f x dx dx =+=++⎰⎰⎰100'"000221()()()()xx x x f x f x x x f x dx dx =+-+⎰⎰1200'"'''00003321()()()[()()]xx x x x x f x f x x x f x f x dx dx dx =+-++⎰⎰⎰12000"'2'''000003321()()()()()()2!x x x x x x f x f x f x x x x x f x dx dx dx =+-+-+⎰⎰⎰ ……"()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-+⋯+-+！其中 1(1)1121()()nooxx x n n n n x x x x f x dx dx dx R +++=⋯⋯⎰⎰⎰1.5 二元函数的Taylor 公式：若函数f 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有直到1n +阶的连续偏导数，则对0()U p 内的任一点00(,)x h y k ++，存在相应的(0,1)θ∈，使得2000000001(,)(,)(+k )(,)(+k )(,)2!f x h y k f x y hf x y h f x y x y x y∂∂∂∂++=+++⋯+∂∂∂∂1000011(+k )(,)(+k )(,)!(1)!n n h f x y h f x h y k n x y n x yθθ+∂∂∂∂+++∂∂+∂∂ （6） （6）式称为二元函数f 在点0p 的n 阶Taylor 公式，其中0000(+k )(,)(,)m mm ii m i m i m i i h f x y C f x y h k x y x y θ--=∂∂∂=∂∂∂∂∑ 证明：作辅助函数 00,)()(th y tk t f x ++Φ=由定理的假设，一元函数()t Φ在[0,1]上满足一元函数Taylor 定理条件，于是有'"()(1)(0)(0)(0)()(1)(0)+1!2(1)!n n n n θ+ΦΦΦΦΦ=Φ+++⋯++！！ (01)θ<< （7） 应用复合函数求导法则，可求得()t Φ的各阶导数： ()00()()(,)m m t hk f x th y tk x y∂∂Φ=+++∂∂ (1,2,+1)m n =⋯当0t =时，则有 ()00(0)()(,)m m hk f x y x y∂∂Φ=+∂∂ (1,2,)m n =⋯ （8） 及 (1)100()()(,)n n hk f x h y k x yθθθ++∂∂Φ=+++∂∂ （9） 将（8），（9）式代入（7）式就得到了Taylor 公式（6）。