02质点动力学
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
02质点动力学(守恒定律)
冲量为 I
t
0
Fdt mv4 mv0 16kg m s 1
（2）由动能定理
1 2 1 2 W mv4 mv0 176J 2 2
2. 如图所示，长为l 的细线一端固定，一质量为m的小球系在 细线的另一端，并可在竖直面内摆动。若先拉动小球使线保 持平直，并在水平位置静止，然后放手使小球下落，在线下 摆至 角时，求： （1）小球的速率v； （2）细线中的张力T。
I Fdt 25t 2dt
0 0
3
3
25 3 t 225N s 3 0
I 225 0.9m s 1 m1 250
3
由动量定理：
I m1v1 0 225 I m2 v2 0 225 v1
I 225 v2 0.45m s 1 m2 500
由质点动能定理得
1 1 1 2 2 W mv4 mv2 0.5 1625 425 300 J 2 2 2
4．一竖直悬挂的轻弹簧下系一小球，平衡时弹簧伸长量为d， 现用手将小球托住使弹簧不伸长，然后放手。不计一切摩擦， 则弹簧的最大伸长量为 (A) 2d； (B) 2d； (C) d ； (D) 条件不足无法判定。 解：由胡克定律，平衡时有
外 外
非保内
E E0 0 E E0
非保内
2. 质量m=1kg的质点，从原点处由静止开始沿Ox轴运动，所 受力为 F 3 2 x（SI），那么物体在运动到3 m时的速度为 __________ 6m s 1 。
解： W Fdx
3 2xdx 3x x
解：作图：
v0
30
大学物理习题答案02质点动力学
大学物理练习题二一、选择题1. 质量为ｍ的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率为ｖ的匀速圆周运动，如下左图所示。
小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为：（A ）mv 2j （B ）jmv2 （C ）i mv 2 （D ）i mv 2 [ B ]解： j mv j mv v m v m p A B)(j mv 2 ； 另解：取y 轴为运动正向，mv mv mv p 2)( ， pj mv 22. 如图所示，圆锥摆的摆球质量为ｍ，速率为ｖ，圆半径为Ｒ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为（A ）.2mv （B ）22/2v R mg mv（C ）v Rmg / （D ）０。
[ C ]解： v /R 2T ,2/T t ，t mgd I T 20v /R mg(注)不能用0v m v m p I，因为它是合力的冲量。
3. 一质点在力)25(5t m F （SI ）（式中m 为质点的质量，t 为时间）的作用下，0 t 时从静止开始作直线运动，则当s t 5 时，质点的速率为（A ）s m /50 （B ）s m /25 （C ）0 （D ）s m /50 [ C ]mvR解：F 为合力，00 v ，0525)25(5525t tt mt mt dt t m Fdt由mv mv mv Fdt tt 00可得0 v解2：由知)25(5t m F 知)25(5t a ，550)25(5dt t adt v v0)5(5520 t t v v ， （00 v ）4. 质量分别为ｍ和４ｍ的两个质点分别以动能Ｅ和４Ｅ沿一直线相向运动，它们的总动量大小为（A ）,22mE （B ）mE 23， （C ）mE 25， （D ） mE 2122 。
[ B ]解：由M p Mv E k 22122，有k ME p 2 ，mE 2p 1 ，12p 4)E 4)(m 4(2p ,1123)(p p p p 总m E 235. 一个质点同时在几个力作用下的位移为：k j i r654 （SI ） 其中一个力为恒力k j i F953 （SI ），则此力在该位移过程中所作的功为 (A) 67J (B) 91J (C) 17J (D) –67J [ A ]解：恒力作功，z F y F x F r F A z y x69)5()5(4)3()(67J6. 对功的概念有以下几种说法：（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
笫二章质点动力学
F
13
四、力的分类
在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，所有的 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现.
四种力：万有引力，电磁力，强力和弱力
万有引力 电 磁 力
强力
弱力
适用范围 m
相互作用举 例
长程力
长程力
1015
1016
恒星结合在一 电子和原子核 质子和中子结 表征核子
起形成银河系 结合形成原子 合形成原子核 衰变的力
相对强度
1039
102
1
105
14
㈣ 牛顿运动定律应用
一、动力学的典型问题可归结为两类：
笫一类问题：己知作用于物体（质点）上的力，由力 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态.
笫二类问题：己知物体的运动情况或平衡状态，由 力学规律来推究作用于物体上各种力.
d 2
d 2
,
cos
d 2
1
整理以上方程可得：
dT N
1 dTd Td N
2
18
TA TB
dT T
0d
ln TA TB
TB TAe
讨论： 如果 0.25
则： 时， TB 0.46TA
2时， TB 0.21TA
10时， TB 0.00039TA
19
例题2－2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为空 气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运动 的物体,其速度将如何变化？
一、万有引力与重力
F
G
m1m2 r2
mr
1
m
2
重力:地球对表面物体的 万有引力mg
g
大物b课后题02-第二章质点动力学
习题2-1质量为0.25kg 的质点，受力为()F ti SI =r r的作用，式中t 为时间。
0t =时，该质点以102v jm s -=⋅r r的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____.解 因为40.25dv F ti ti dt m ===r r r r ,所以()4dv ti dt =r r ，于是有()004v t v dv ti dt =⎰⎰r r ，222v t i j =+r r r ；又因为dr v dt=r r ，所以()222dr t i j dt =+r r r ，于是有()222dr t i j dt =+⎰⎰r r r ，3223r t i tj C =++rr r ，而t=0时质点通过了原点，所以0C =，故该质点在任意时刻的位置矢量为3223r t i tj =+rr r 。
2-2一质量为10kg 的物体在力(12040)()f t i SI =+r r作用下，沿x 轴运动。
0t =时，其速度106v im s -=⋅r r，则3t s =时，其速度为（ ）A. 110im s -⋅rB. 166im s -⋅rC. 172im s -⋅rD. 14im s -⋅r解 本题正确答案为C 在x 方向，动量定理可写为()312040t dt mv mv+=-⎰，即0660mv mv -=所以 ()1066066067210v v m s m -=+=+=•。
2-3一物体质量为10kg 。
受到方向不变的力3040()F t SI =+的作用，在开始的2s 内，此力的冲量大小等于______;若物体的初速度大小为110m s -• ，方向与F同向，则在2s 末物体的速度大小等于_______.解 在开始的2s 内，此力的冲量大小为 ()23040140()I t dt N s =+=•⎰由质点的动量定理得0I mv mv =-当物体的初速度大小为110m s -•，方向与F r同向时，在2s 末物体速度的大小为101401024()10I v v m s m -=+=+=•2-4一长为l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。
第02章 质点动力学问题2：变质量火箭问题及其解答★★
１
喷出气体相对火箭的速度u 为常数模型：
一方面，记火箭开始飞行初始时刻为0t ，记火箭开始飞行初始时刻0t 的火箭质量为00)(M t m =，记火箭开始飞行初始时刻0t 的火箭速度为00)(V t v =。
另一方面，记火箭燃料用尽时刻为1t ，记火箭燃料用尽时刻1t 的火箭质量为M t m =)(1，记火箭燃料用尽时刻1t 的火箭速度为V t v =)(1。
记火箭消耗燃料行时刻10,
t t t t
≤≤ 的火箭质量及火箭速度分别为
)(,)(t v v t m m ==
这里，0d ,0d ><v m 。
假设喷出气体相对火箭的速度为u ，则有
厦门大学《普通物理》课程
质点动力学的变质量火箭问题及其解答
２
证明： 当10,
d t t t t
t t ≤≤+→时；利用“动量守恒定律”
，有 v m v v u m v v m m ⋅≡++-⋅-++⋅+]d [)d ()d ()d (
整理之，等价地表达为
0d d ≡⋅+⋅m u v m
等价地表达为
0]ln d[≡⋅+m u v
于是得到解答
)(ln )()(ln )(00t m u t v t m u t v ⋅+=⋅+
特别地，得到
)(ln )()(ln )(0011t m u t v t m u t v ⋅+=⋅+
等价地表达为
M
M u V V M u V M u V 000
0ln
ln ln ⋅+=⇔
⋅+=⋅+
证明完毕。
02 质点动力学答案
第二章 质点动力学答案1，【基础训练1 】、一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M 的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量M m 21=．若人相对于绳以加速度a 0向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是(A) 3/)2(0g a +． (B) )3(0a g --．(C) 3/)2(0g a +-． (D) 0a ［ A ］解答：()()()()3/2,3/,)(00000a g a a a g a ma a m M g m M a a m mg T MaT Mg +=+∴-=++=-+=-=-2，【基础训练3】 图示系统置于以g a 21=的加速度上升的升降机内，A 、B 两物体质量相同均为m ，A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮 轴上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为 (A) mg ． (B) mg 21．(C) 2mg ． (D) 3mg / 4． ［ D ］解：mg −T +ma =ma‘，T =ma’，mg +mg/2=2ma ’.a ’=3g/4,T=3mg/4, 3，【基础训练5】 光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为m 1和m 2，且m 1<m 2．今对两滑块施加相同的水平作用力，如图所示．设在运动过程中，两滑块不离开，则两滑块之间的相互作用力N 应有(A) N =0. (B) 0 < N < F .(C) F < N <2F . (D) N > 2F . ［ B ］ 解：2F=(m 1+m 2)a,F+N=m 2a,2N=(-m 1+m 2)a=2F(-m 1+m 2)/ (m 1+m 2) 4，【自测1】、在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a 1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，问升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？(A) 2a 1． (B) 2(a 1+g )．(C) 2a 1＋g ． (D) a 1＋g ． ［ C ］解：适合用非惯性系做。
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二、质点动力学习题
一、选择题
1.一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为1m 和2m ，且21m m > (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为a ，今用一竖直向下的恒力g m F 1=代替1m ，系统的加速度大小为a '，则有 ( )
(A) a a ='； (B) a a >'； (C) a a <'； (D) 条件不足，无法确定。
2.如图所示，系统置于以g/2加速度上升的升降机内，A 、B 两物块质量均为m ，A 所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。
(1) 若忽略一切摩擦，则绳中张力为 （ ） (A) mg ；(B) mg /2；(C) 2mg ；(D) 3mg /4。
(2) 若A 与桌面间的摩擦系数为μ (系统仍
加速滑动)，则绳中张力为 ( ） （A ）mg μ； (B) 4/3mg μ；
(C) 4/)1(3mg μ+；(D) 4/)1(3mg μ-。
3. 如图所示，一只质量为m 的猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M 的直杆，悬线突然断开，小猴则沿杆子竖直向上爬以保持它离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度为 （ ）
A 、
g M m
； B 、g M m M -； C 、
g M m M +； D 、g m
M m
M -+。
4. 一公路的水平弯道半径为R ，路面的外侧高出内侧，并与水平面夹角为θ。
要使汽车通过该段路面时不引起侧向摩擦力，则汽车的速率为 （ ）
A 、Rg ；
B 、θtg Rg ；
C 、
θ
θ
2
sin cos Rg ； D 、θctg Rg 。
5. 质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是 （ ）
(A)
k
mg
. (B) k g 2 .
(C) gk . (D) gk .
6.如图所示，质量为m 的物体A 用平行于斜面的细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体开始脱离斜面时，它的加速度的大小为 （ ）
(A) g sin θ． (B) g cos θ． (C) g ctg θ． (D) g tg θ．
2
g a =
7.一小珠可在半径为R 竖直的圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度ω 转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为 （ ）
(A) π21=
θ. (B) ).arccos(2
ωθR g = (C) )arctg(2
g
R ωθ=. (D) 需由小珠的质量m 决定．
8. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 （ ） (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．
9.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的（ ） (A)动量不守恒，动能守恒． (B)动量守恒，动能不守恒．
(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．
(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒．
二．填空题
1.如图所示，一个小物体A 靠在一辆小车的竖直前壁上，A 和车壁
间静摩擦系数是μs ，若要使物体A 不致掉下来，小车的加速度的最
小值应为a =_______________．
2.一小珠可以在半径为R 的竖直圆环上作无摩擦滑动．今使圆环以角速
度ω绕圆环竖直直径转动．要使小珠离开环的底部
而停在环上某一点，则角速度ω最小应大于_____________．
3. 如图所示，把一根匀质细棒AC 放置在光滑桌面上，已
知棒的质量为M ，长为L 。
今用一大小为F 的力沿水平方
向推棒的左端。
设想把棒分成AB 、BC 两段，且BC =0.2L ，则AB 段对BC 段的作用力大小为
____________。
4. 质量为m 的质点，在变力Ｆ=F 0 (1－kt )（F 0和k 均为常量）作用下沿ox 轴作直线运动。
若已知t =０时，质点处于坐标原点，速度为v 0。
则质点运动微分方程为 ，质点速度随时间变化规律为v = ，质点运动学方程为x = 。
5. 一质量为5 kg 的物体，其所受的作用力F 随时间的变化关系如图所示．设物体从静止开始沿直线运动，则20秒末物体的速率v ＝__________．
m C
6. 一质点在二恒力的作用下，位移为△r =3i +8j
（m ），在此过程中，动能增量为24J ，已知其中一恒力1F =12i -3j
（N ），则另一恒力所作的功为 。
7. 质点在力j x i y F
322+=(SI 制)作用下沿图示路径运动。
则力F
在路径oa 上的功A oa = ，力在路径ab 上的功A ab = ，力在路径ob 上的功
A ob = ，力在路径ocbo 上的功A ocbo = 。
8. 人从10m 深的井中匀速提水，桶离开水面时装有水10kg 。
若每升高1m 要漏掉0.2kg 的水，则把这桶水从水面提高到井口的过程中，人力所作的功为 。
三．计算题
1． 一小船质量为100kg ，船头到船尾共长3.6m 。
现有一质量为50kg 的人从船头走到船尾时，船将移动多少距离？假定水的阻力不计。
2. 一质量为m 的小球，由顶端沿质量为M 的圆弧形木槽自静止下滑，设圆弧形槽的半径为R （如图所示）。
忽略所有摩擦，求（1）小球刚离开圆弧形槽时，小球和圆弧形槽的速度各是多少？（2）小球滑到B 点时对木槽的压力
3. 一质量为60 kg 的人，站在质量为30 kg 的底板上，用绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳子不可伸长．欲使人和底板能以1 m/s 2的加速度上升，人对绳子的拉力T 2多
大？人对底板的压力多大? (取g ＝10 m/s 2)
4. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高出盒底h =4.9m 处，将小石子流以每秒n =100个的速率注入盒中。
假设每个石子的质量m =0.02kg ，都从同一高度落下，且落到盒内后就停止运动，求石子从开始注入盒内到t
=10s 时秤的读数。
5. 如图所示，一轻质弹簧劲度系数为k ，两端各固定一质量均为M 的物块A 和B ，放在水平光滑桌面上静止。
今有一质量为m 的子弹沿弹簧的轴线方向以速度υ0射入一物块而不复出，求此后弹簧的最大压缩长度。
A。