北林高数下8(1)-向量及其线性运算
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
向量及其线性运算ppt课件 (2)
yOz 面 oxOy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
➢空间点的坐标
点 M 1 1有序数组 (x, y, z)
点 M 的坐标
特殊点的坐标 特征:
原点 O(0,0,0) ;
三个坐标为零
坐标轴上的点 P, Q , R ;
两个坐标为零
坐标面上的点 A , B , C
一个坐标为零
z
R(0,0, z)Байду номын сангаас
B(0, y,z)
x,y,z轴上的单位向量 向径O M
点M的坐标
z C
ko
j
r
i
M
B y
O M O N M O O A O B AxC N
r O x i A xy i, j O z k B yj,O 向量 C r z的k坐标分解式
xi,yj,zk 向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量
(x, y,z)
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
二、向量的线性运算
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
➢运算法则
平行四边形法则: b ab
➢定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
ba ( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
Oi
P
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1
设M为 ABCD 对角线的交点,
D
ABa, ADb,
b
M
向量的线性运算
向量的线性运算线性运算是数学中的一个重要概念，它在许多不同领域中都有广泛的应用。
在线性代数中，线性运算指的是对向量进行加法、标量乘法和一些其他操作的过程。
这些操作可以用于解决很多实际问题，在计算机科学、物理学、工程学以及经济学等领域都有重要应用。
在线性代数中，一个向量通常可以表示为一个由多个数值组成的有序集合。
例如，一个二维向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别表示向量在x和y轴上的分量。
对于一个n维向量，可以用类似的方式表示为(x1, x2, ..., xn)。
首先，让我们来看一下向量的加法。
向量的加法是指两个向量按照对应分量相加的操作。
例如，对于向量a=(2, 3)和向量b=(1, -1)，它们的和a+b=(2+1, 3+(-1))=(3, 2)。
向量的加法可以用于解决很多实际问题，如计算机图形学中的坐标变换、力学中的力合成等。
其次，我们来介绍一下向量的标量乘法。
向量的标量乘法是指一个向量与一个实数相乘的操作。
例如，对于向量a=(2, 3)和标量c=2，它们的标量乘积c*a=(2*2, 3*2)=(4, 6)。
向量的标量乘法可以用于调节向量大小、计算向量的线性组合等。
除了加法和标量乘法之外，还有一些其他的向量运算。
例如，向量的点积和向量的叉积是两个非常重要的运算。
向量的点积是指两个向量按照对应分量相乘再相加的操作。
例如，对于向量a=(2, 3)和向量b=(1, -1)，它们的点积a·b=2*1+3*(-1)=2-3=-1。
向量的点积可以用于计算向量的长度、计算向量之间的夹角等。
向量的叉积是指两个三维向量按照一定规则进行运算得到的新向量。
向量的叉积在物理学中常用于计算力学中的力矩、电磁学中的磁场等。
线性运算在许多实际问题中都有广泛的应用。
在计算机科学中，线性运算被广泛应用于计算机图形学中的坐标变换、计算机视觉中的特征提取等。
在物理学中，线性运算被广泛应用于力学中的力合成、电磁学中的电磁场计算等。
高数下册知识点
高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a （a x，a y,a z），b（b x,b y,b z），则a b （a x b x,a y b y ,a z b z）, a （ a x, a y, a z）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：获—y2—z2；2）两点间的距离公式：AB J（X2 xj2（y2 y i）2（Z2 zj23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,5）投影：Prj u a a cos ，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：a ba ||b cos1）a a a 24）方向余弦: COSx—,cosr—,cosr2a b a b 0 ）2向量积：c a b 、大小：|a||b sin ，方向：a, b ,c 符合右手规则1)a a 02)a// b a b 0 运算律：反交换律b a a b (三)曲面及其方程1、 曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，绕y 轴旋转一周：f(y, Vx 2z 2)绕z 轴旋转一周：f( \ x 2y 2, z) 03、 柱面：F(x,y)F (x, y) 0表示母线平行于z 轴，准线为z 0的柱面4、 二次曲面22xy21)椭圆锥面：Q 22za b 2 x2) 椭球面：亍b 22 z2c2x 旋转椭球面： 2a2y 2 a2z 2 c2x2y 2 z 13) 单叶双曲面:2 a b 22c222xy z14) 双叶双曲面:2 a b 22c2 2x y z5) 椭圆抛物面:2 ab 222x y z6) 双曲抛物面（马鞍面）:a 2 b 222x y 17)椭圆柱面： 2 a b 222x y 18)双曲柱面：2 a b 229) 抛物柱面：x ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z) 01、般方程：G (x, y,z) 0x x(t)x a cos t 2、参数方程：y y（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)消去z ，得到曲线在面xoy上的投影 G (x, y, z) 0H (x, y) 0 z 0（五）平面及其方程1、 点法式方程： A(xX 。
高等数学 第八章 第一节 向量及其线性运算
B(0 , y , z)
C(x , 0 , z)
r
o
M y
Q(0 , y , 0)
x P( x , 0 , 0) A( x , y , 0)
第八章 第一节
14
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
第八章 第一节
15
2 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示。
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M
或字母上面加箭头(手写体)。 a 或 M1M2
向量的模： 向量的大小 | a | 或 | M1M2 |
单位向量： 模长为1的向量。
零向量： 模长为0的向量 0 (方向任意)。
第八章 第一节
3
若向量 a 与 b大小相等，方向相同， 则称 a 与 b 相等， 记作 a＝b ; (自由向量) 若向量 a 与 b 方向相同或相反，则称 a 与 b 平行， 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同，但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
=
6i
+
7
j
−
6k平行的单位向量的分解式。
第八章 第一节
29
3 向量在轴上的投影与投影定理 (1) 空间一点在轴上的投影
•M
过点 M 作轴 u 的垂直平面，
•M
u 交点 M 即为点 M 在轴 u 上
的投影。
第八章 第一节
30
(2) 空间向量(向径)在轴上的投影
Oe
•M 给定 OM = r，过 Ｍ 点作 u 轴
a , b 反向
注意 P6 ，建立数轴的理论依据
高等数学A-8.1向量及其线性运算
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故b =a
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0, 即 .
8-1 向量及其线性运算
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
8-1 向量及其线性运算
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
8-1 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
2.表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
8-1 向量及其线性运算
例8 设点A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,
且
OA
6, 求点A
的坐标
.
解:
已知
3
,
4
,
则
cos2 1 cos2 cos2
8-1 向量及其线性运算
杂诗 （东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
8-1 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何
向量，也称为矢量，在几何、物理、力学和工程技术中 有着广泛的应用.
本章内容分为两部分: 1.向量代数 2.空间解析几何：把代数方程与空间几何图形对应起来， 从而可以用代数的方法研究几何问题. 空间解析几何的知识为多元函数微积分的学习作了准备.
高中数学向量的线性运算及应用
高中数学向量的线性运算及应用一、向量的加法和减法向量是数学中的一个重要概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要作用。
在高中数学中，我们学习了向量的基本概念和表示方法，接下来我们将重点讨论向量的线性运算及其应用。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量a和向量b，它们的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)其中，a1、a2、a3分别是向量a的分量，b1、b2、b3分别是向量b的分量。
向量的加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)通过向量的加法，我们可以解决一些几何问题。
例如，已知三角形的两个边的向量表示a和b，求第三边的向量表示c。
根据向量的加法，我们可以得到：c = a + b这样，我们就可以通过向量的加法求解三角形的边的向量表示。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量a和向量b，它们的减法定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)向量的减法也满足交换律和结合律，即：a -b = -(b - a)(a - b) - c = a - (b + c)通过向量的减法，我们可以解决一些平面几何问题。
例如，已知平面上两点A 和B的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，求向量AB的表示。
根据向量的减法，我们可以得到：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这样，我们就可以通过向量的减法求解平面上两点之间的向量表示。
二、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量a 和实数k，它们的数量乘法定义为：ka = (ka1, ka2, ka3)通过向量的数量乘法，我们可以改变向量的长度和方向。
当k>1时，向量的长度会变长；当0<k<1时，向量的长度会变短；当k<0时，向量的方向会相反。
高等数学《向量及其线性运算》
例2
化简
a
b
5
1
b
b
3a
.
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
a
b
5
b
b
3a
2a
5
b.
2
2
4. 与 a 同向的单位向量
若
a
0
,
则
a
为与
即 若
ea |
a
0
a
| .
a|
,由 |
a aa
| |
ea
a
同向的单位向量, a | a | ea .
记为
ea
.
任何非零向量可以表示为它的模与同向单位向量的数乘.
思考:
若
a
0
,
与
a
平行的单位向量有几个?
2个,
a
ea
.
5. 两个向量的平行关系
定理
b
//
a
设向量
a
0
,
则
存在唯一实建立数轴的理论依据.
证明
“”
已知
存在唯一实数
,
使
b
a
,
当 0 时,
b 0,
当 0 时,
b
与
a
同向,
b // a .
当 0 时,
平 两行 非零, 记向为量aa//与b .b
的方向相同或相反,
则称
a
与
b
两向量
a
与
b
平行 ,
则
a
与
b
夹角为
0或
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 习题课——向量的线性运算
习题课——向量的线性运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.进一步掌握向量的线性运算、向量加法、向
量减法的运算法则.
2.熟练掌握平面向量基本定理,会用基表示向量.
3.掌握向量共线的条件,并会运用.
4.加强逻辑推理、数学运算素养的培养.
一、向量的线性运算
【例4】 设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a,4b2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为
(
).
A.(2,6)
B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析:由题意可知,4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,
∴d=-6a-4b+4c.
反思感悟 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用
平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基,
并运用该基将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的
运算来解决.
【变式训练 2】 在平行四边形 ABCD 中,=e1,=e2, =
(3)平面内的任何两个向量都可以作为一组基.( × )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成
=
.( × )
(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的
坐标.( √ )
探究一 平面向量的线性运算
【例 1】 在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,
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a x i a y j az k
23
a M1 M 2 , 起点 M1 ( x1 , y1 , z1 ), 终点 M 2 ( x2 , y2 , z2 )
z
R
M1
k i
x
P
a
M 2 x轴分向量 y轴分向量 z轴分向量
Q
N
O
j
y
a a x i a y j az k
x 1 所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0)
20
例 设 P 在 z 轴上，它到 P1 (4,1,7) 的距离 与到点 P2 (3,5,2) 的距离相等，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在 Z 轴上， 设P点坐标为 (0,0, z ),
PP1
(0 4)2 (0 1)2 ( z 7 )2
数乘运算律
a 0 a 就是与a 同方向的单位向量. |a |
9
下列命题是否正确 (1) 2i j 错, 向量不能比较大小, 只有模才能比较大小. a ( 2) a 0 时, 1. 错, 没有定义向量的除法. a
10
b 3a 1 例 化简 a b 5 b 5 2 b 3a 1 a b 5 b 解 5 2 5 1 (1 3)a 1 5 b 2 5 5 2a b 2
负向量 大小相等但方向相反的向量. a a a ab a b 两向量的夹角的概念 a 0, b 0 b
(a , b ) (b , a )
向量 a 与向量 b 的夹角
(0 )
a
4
二、向量的线性运算
5
(a b) c a (b c)
c
bc ab b
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a3
a5
abc
a
s
a2 a1
6
(2) 加法运算律
交换律 a b b a; 结合律 a b c (a b ) c a (b c ); a ( a ) 0. c b a (3) 减法 a b a ( b ) b b ab c b
8
线 结合律 ( a ) ( a ) ( )a ; 第一分配律 性 )a a a; 运 分配律 ( 算 (a b ) a b . 第二分配律
两向量平行关系(两向量共线的充要条件): 定理1 设 a 0, a // b 存在唯一的实数 , 使 b a .
第八章 空间解析几何与向量代数
平面解析几何: 坐标法, 曲线方程 . 用代数方法研究了几何问题 .
三维几何空间: 1. 2. 3. 4.
向量及其运算; 空间平面与直线; 空间曲面和曲线; 二次曲面.
1
第一节
向量及其线性运算
向量概念 向量的线性运算
空间直角坐标系
利用坐标作向量的线性运算 向量的模 方向角
z
A
解 设 M ( x , y , z )为直线上的点,
AM ( x x1 , y y1 , z z1 )
M
B y
MB ( x2 x , y2 y, z2 z ) x ( x x1 , y y1 , z z1 ) ( x2 x , y2 y, z2 z ) x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , 1
故只能 1 0, 且1 0. 即 1, 1 a b c 0.
13
三、空间直角坐标系
z
竖轴
三个坐标轴的正方向 符合右手系 定点 O
i
k
j
y 纵轴
横轴 x 空间直角(oxyz)坐标系, 点O叫做坐标原点。
14
z
1. 向量的加减法
b
b
ab
a （1）加法 a b c（平行四边形法则） （三角形法则） ‖ b 若a a a b | c || a | | b | b c a a | c | ? b b c
yOz面
Ⅶ
Ⅲ
Ⅳ
zOx面 Ⅱ
Ⅰ
O
xOy面
Ⅷ
x
Ⅵ
Ⅴ
y
空间直角坐标系共有八个卦限
15
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点? 坐标面上的点?
z
R(0,0, z )
B (0, y , z )
M ( x, y, z )
O
Q (0, y ,0)
1 1
C ( x ,0, z )
2
一、基本概念
向量 大小， 方向 向量表示
M2
a ， M1 M 2
M
a
1
以 M1为起点, M 2为终点的 有向线段.
向量的模 向量的大小.
| a | ，| M1 M 2 |
单位向量 模长为1的向量. a 0 ， M M 0 1 2 零向量 模长为0的向量. 0
3
自由向量 不考虑起点位置的向量. 相等向量 大小相等且方向相同的向量.
( x 4)2 ( y 1)2 ( z 7)2 ( x 3)2 ( y 5)2 ( z 2)2
22
a M1 M 2 , 起点 M1 ( x1 , y1 , z1 ), 终点 M 2 ( x2 , y2 , z2 )
z
R
M1
k i
x
P
a
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
19
例 设P在x轴上, 它到点P1 (0, 2,3) 的距离为到
bx b y bz 向量b 与a 对应的坐标成比例 a x a y az
注 当分母为零理解为分子也为零. a x , a y , az 不能同时为零, 但允许两个为零. bx b y bz bx 0, b y 0 例 0 0 az
26
M为有向线段 AB的定比分点 例 已知两点 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 以及实数 1, 在直线AB上求点M, 使 AM MB
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
18
例 求证以 M1 (4,3,1) 、 M 2 (7,1,2)、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
a
ab
c ab
三角不等式
7
2. 向量与数的乘法 ( 数乘 ) 向量 的乘积 a 与 设是一个数, a 同向, | a 1 | | a |; 0, a与a a a 2 a 2 0, a 0; 0, a与a 反向, | a || | | a | . 向量的“伸缩 ” 注 向量 a 与数 的乘积 a 为向量.
y
x
P ( x ,0,0)
A( x , y ,0)
OM ( x, y, z) xi y j z k
16
选择题
(1) 点M(2, -3, 1)关于坐标原点的对称点是( A );
(2) 点M(2, -3, 1)关于xOy面的对称点是( C ) ;
(3) 点M(2, -3, 1)关于y 轴的对称点是( B ). (A) (-2, 3, -1); (C) (2, -3, -1); (B) (-2, -3, -1); (D) (-2, 3, 1).
点P2 (0,1,1) 的距离的两倍, 求点P的坐标.
解 设P点坐标为 ( x ,0,0)
PP1 x 2 ( 2 ) 2 3 2 x 2 11
PP2 x 2 ( 1) 2 12 x 2 2
PP1 2 PP2
x 2 11 2 x 2 2
11
例 试用向量方法证明: 对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 AM MC
D A
M
C
B
BM MD
AD AM MD MC BM BC
AD ∥ BC 且 AD BC
12
设 a , b , c 均为非零向量,其中任意两个向量 不共线, 但 a b 与 c 共线, b c 与 a 共线. 证明：a b c 0. 证 a b c , b c a , , 为常数. 上两式相减得：a c c a (1 ) a (1 ) c , 而a与c 不共线.
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
25
定理 设向量 a 0, 则b∥ a 存在唯一的实数 使 b a .
坐标表示式: ( bx , by , bz ) ( ax , ay , az )
PP2
( 3 0) 2 ( 5 0) 2 ( 2 z ) 2
14 PP1 PP2 , z , 所求点为 ( 0,0, 14 ). 9 9