初中九年级(初三)数学课件 一元二次函数
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人教版九年级数学课件《一元二次方程的解法(二)配方法》
复习回顾
人教版数学九年级上册
1.用直接开平方法解下列方程: (1) 9x2=1 ；
解：
直接开平方，得
x 1, 3
x1
1 3
，x2
1 3
(2) (x-2)2=2. 解：
直接开平方，得
复习回顾
人教版数学九年级上册
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
由此可得 x 4 １5,
x1 4 15, x2 4 15.即x3 42
1 16
,
由此可得 x 3 1 ,
4
x1
4
1, x2
1. 2
典例解析
例1 解下列方程：
3 3x2 6x 4 0
解：移项，得 3x2 6x 4,
人教版数学九年级上册
※方程配方的方法
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数 为1的前提下进行的.
知识精讲
※配方法的定义
人教版数学九年级上册
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做 配方法.
※配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转 化为一元一次方程求解．
小结梳理
人教版数学九年级上册
一、概念：
把一元二次方程通过配成完全平方式来解一元二次方 程，叫做配方法.
二、步骤：
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程. 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
九年级数学二次函数与一元二次方程公开课课件
方程有两不相
函数与x轴有一个交点 根
方程有两相等
函数与x轴没有交点 方程没有根
方程的根的情况是由什么决定的？
判别式b2－4ac的符号
结论：
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能 给我们什么样的结论？
（1）b2－4ac＞0 点
函数与x轴有两个交
（2）b2－4ac＝0 点
函数与x轴有一个交
（3）b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点
有两个交点
b2-4ac = 0
有两个相等的实数根
有一个交点
b2-4ac < 0
没有实数根
没有交点
跟踪练习一
1 . 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（-2，0）、（3，0）。
2.抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。
友情提示：二次函数有哪几种表达形式？
例2 ：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（2,0）
并经过点M（0,2），求抛物线的解析式？
思考： 你能用什么方法做呢? 哪个方法更好?
y
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－2）
x
因为 点M( 0,2 )在抛物线上
o
所以：a(0+1)(0-2)=2 得 ： a=-1
5.若函数 y mx2 6x 1图象与x 轴是只有一个公共点,求m
的值解.：∵ 图象与x 轴是只有一个公共点 则△=0
即 36-4m=0 ∴ m=9
想一想 议一议
若一元二次方程ax 2+bx+c=0两个根为x 1 , x2 则一 元二次方程可化为 (x-x1)(x-x2)=0 若二次函数y=ax 2+bx+c的图象和x轴交点坐标(X1 ,0) (方X法2 称,0为),则二二次次函函数数的的交表点达式式。可表示为Y=a(x-x1)(x-x2)这种表示
九年级数学《用函数观点看一元二次方程》课件
A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 D．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞3
3.二次函数的图象 y kx2 6x 3
的取值范围是【 】
与轴有交点，则
A. k 3 B k 3且k 0 C k 3 D k 3且k 0
4.下列命题：
①若 a b c ，0
②若 b a c
③若b 2a 3c
x
交
二
轴次
的函
交数 点与
点
两个交点 一个交点 没有交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐 标是（ A ） A：2和-3 B：-2和3 C：2和3 D：-2和3
2、已知实数s、t，且满足s2+s-2006=0， t2+t-2006=0，那么二次函数y=x2+x-2006的 图象大致是（ B ）
y x2 6x 9
y x2 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图4所示，则下列
说法不正确的是（ ）
A b2 4ac 0 B a 0
C c0
D
b 0 2a
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
人教版九年级数学课件《一元二次方程根与系数的关系》
知识精讲
人教版数学九年级上册
解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0;
(2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0
a b c 两根
x1 x2
关系
1 3 -4 -4 1 x1+x2=_-_3_；x1 ·x2=__-4_.
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
典例解析
人教版数学九年级上册
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解： a = 1 , b = 7 , c = 6.
解： a = 2 , b = -3 , c = -2.
二、常见的求值应用
1. 1 1 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 =(x1-x2 )2 +2x1x2;
3. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
人教版数学九年级上册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 =
3 2
, x1 x2 = -1 .
典例解析
人教版数学九年级上册
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根
及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
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數列1
-40
y
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
-80
-80
-80-90 x源自-90 x-90 x
一元二次函數圖像和系數關係的 解說
Y=ax2+bx+c =a(x2+b/a x+c/a) =a[x2+2(b/2a)x+(b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a] =a[(x+b/2a)2-(b/2a)2+c/a)] =a(x+b/2a)2+a[-(b/2a)2+c/a] =a(x+b/2a)2+a[-b2/4a2 +c/a] =a(x+b/2a)2 + a[-b2+4ac/4a2] =a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
▪ 作出比較 a=-1，b=36，c=0，可見在 x=b/2a 時，即x=-36/2(-1)=18，Y有最大值
▪ 此結果與用圖解方法所獲得的答案相同
40
在 x=18 cm 的時候，Y有最大
-100
值，也是拐點的坐標
-200
❖ 就是說：給予一定邊長矩形的 -300
條件下，正方形的面積最大。
x
一元二次函數例子的解答(II)
36-x
▪ Y = -x2+36x x
▪ 一元二次函數普遍表達式 Y=ax2+bx+c==a(x+b/2a)2 – (b2-4ac)/4a
y=2x2-5x+3 90 80 70 60 50 y 40 30 20 10 0 -10 -5 x0 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關
係
▪ 右圖顯示的是函數 y = 2x2+5x+3 的圖 像它和前述的y =2x25x+3 比較，也只有 一符號的差別，但這 y 條曲條的拐點，卻落 在y-軸的左邊。
▪ Y =x(36-x) =36x – x2
▪ 這是典型的一元二次函數例子
一元二次函數的例子
▪ 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干?
▪ 解答 : ▪ 此長方形的面積 y 和 x 的關係
既然已找到:
▪ Y =x(36-x) =36x – x2= -x2+36x
36-x x
▪ 怎樣的 x 才可以找到最大值的 Y ? 這有賴我們對一元二次函數 的認識
一元二次函數圖像和系數關係
的表解
y=ax*x+bx+c
a>0
a<0
拋物線開口向上
拋物線開口向下
b*b-4ac=D
b*b-4ac=D
D>0
D=0
D<0
D>0
D=0
D<0
拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點 拋物線與x-軸有二交點 拋物線與x-軸有一交點 拋物線與x-軸沒有交點
▪ 解答可以在隨後有關一元二次函 數的解說中獲得
一元二次函數的專有名辭
▪ 一元二次函數有著普遍的表達式 Y=ax2+bx+c ▪ 它表示了ｘ(自變量) 和ｙ(因變量) 的關係 ▪ 在等式右邊只有一變量 x，所以稱為一元 ▪ X自乘的最高次數是二，所以稱為二次 ▪ 函數的意思是每次選定一個 x 的數值，只會產生
y=-2x2+5x+1
y=-2x2+5x-2
10
10
10
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30 y
-40
數列1
-30
y
-40
-30
數列1 y
-40
數列1
-50
-50
-50
-60
-60
-60
-70
-70
-70
b/a 是 +，拐點在y-軸 左邊
b/a 是-，拐點在y-軸右 邊
y=-2x2-5x+3
20
0
-5 -20 0
5
-40
-60
-80
-100
-120
-140 x
10 數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
曲線的左右移動决定於 a、b 的符號
曲線的上下移動决定於 a、b、c 的符號及數值 -10 的大小
右圖顯示的是函數 y y =- 2x2+5x+c 的圖像， 隨著 c 值 由 3 遞減至 – 7，曲線也在同一位置由 上向下滑動。
y=-2x2+5x+3 10 0 -5 -10 0 5 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 x
10 數列1
一元二次函數圖像和系數的關 係
y=-2x2+5x+2
y=-2x2-5x+3 20
0
-10
-5
0
-20
-40
y
-60
-80
-100
-120
-140 x
數列1
5
10
一元二次函數圖像和系數的關
係
一元二次函數基本是一 條抛物線，但隨著系數 的變化而改變開口端向 上、下或整條曲線向 左、 、右、上、下 移動
右圖顯示的是函數
y = 2x2-5x+3 的圖像， 它和前述的y =-2x2-5x+3 比較，只有一符號的差 別， ，但曲線向上開口， 可見開口端是曲系數a 的符號决定的，a 是正 數、向上，a 是負數、 向下
一個 y 的數值 ▪ a、b、 c 在這裡代表一些數值，稱為函數的系數
一元二次函數圖像的普遍式樣
▪ 右圖顯示的是函數
y = -2x2-5x+3 的圖像
▪ 所有的一元二次函數都 有相似的圖像
▪ 這樣形式的圖像稱為抛 物線
▪ 每條抛物線都有一最高 或最低的點稱「拐點」
▪ 此函數的系數是-2，曲 線向下開口
總結: 不管a 的符號是+或-, D = 0 有 一 交點, D>0 有二交點, D<0沒有交點
❖一元二次函數例子的解答(I)
36-x
y=-x2+36x x
400
300
❖ Y = -x2+36x
200
✓ 怎樣的 x 才可以找到最大值的
100
Y?
y
0
❖ 右邊的圖表給了解答，它說明
-10
0
10
20
30
-80
-80 x
-80 x
-90 x
一元二次函數圖像和系數的關 係
y=-2x2+5x-3
y=-2x2+5x-4
y=-2x2+5x-7
0
0
0
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-10 -5 -10 0 5 10
-20
-20
-20
-30
-30
-30
-40 y
數列1 y
-40
一元二次函數
Ｙ＝ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ
性質及應用
一元二次函數的例子
▪ 周長為72 cm 的長方形，當面積 最大時，各邊長應為若干?
▪ 解答 :
▪ 此長方形周長的一半是36cm， 設它的一邊長為x cm， 則另一 邊長為 (36-x) cm
36-x x
▪ 此長方形的面積 y 和 x 的關係 可以表達成:
-10
y=2x2+5x+3
160 140 120 100 80 60 40 20
0 -5 0 x 5
數列1 10
一元二次函數圖像和系數的關
係
✓ 右圖顯示的是函數
y =- 2x2-5x+3 的圖像
它和前述的 y=2x2+5x+3 比較，有二 -10 個符號不一樣。
✓ 但這兩條曲條的拐點同 樣在 y-軸的左邊，可見 y 拐點是由系數 b/a決定 的: