知识讲解 动能、动能定理(教师参考)

物理总复习：动能、动能定理【考纲要求】1、理解动能定理，明确外力对物体所做的总功与物体动能变化的关系；2、会用动能定理分析相关物理过程；3、熟悉动能定理的运用技巧；4、知道力学中各种能量变化和功的关系，会用动能定理分析问题。

【考点梳理】考点一、动能 动能是物体由于运动所具有的能，其计算公式为212k E mv =。

动能是标量，其单位与 功的单位相同。

国际单位是焦耳（J ）。

考点二、动能定理1、动能定理合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。

2、动能定理的表达式21k k W E E =-。

式中W 为合外力对物体所做的功，2k E 为物体末状态的动能，1k E 为物体初状态的动能。

动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度，中学物理中一般取地球为参考系。

要点诠释：1、若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。

2、应用动能定理解题的基本步骤（1）选取研究对象，明确它的运动过程。

（2）分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是否做功？做正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。

（3）明确物体在始、末状态的动能1k E 和2k E 。

（4）列出动能定理的方程21k k W E E =-及其他必要的辅助方程，进行求解。

动能定理中的W 总是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数和，即123=W W W W +++⋅⋅⋅总若物体所受的各力为恒力时，可先求出F 合，再求cos W F l α=总合3、一个物体动能的变化k E ∆与合外力做的功W 总具有等量代换的关系。

因为动能定理实质上反映了物体动能的变化，是通过外力做功来实现的，并可以用合外力的功来量度。

高三提高班0k E ∆>，表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；0k E ∆<，表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；0k E ∆=，表示物体动能不变，合外力对物体不做功。

这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。

考点三、 实验：探究动能定理实验步骤1．按图组装好实验器材，由于小车在运动中会受到阻力，把木板略微倾斜，作为补偿。

2．先用一条橡皮筋进行实验，把橡皮筋拉伸一定长度，理清纸带，接通电源，放开小车。

3．换用纸带，改用2条、3条……同样的橡皮筋进行第2次、第3次……实验，每次实验中橡皮筋拉伸的长度都相同。

4．由纸带算出小车获得的速度，把第1次实验获得的速度记为1v ，第2次、第3次……记为2v 、3v ⋅⋅⋅。

5．对测量数据进行估计，大致判断两个量可能的关系，然后以W 为纵坐标，2v （或v ，3v【典型例题】类型一、应用动能定理时过程的选取问题在应用动能定理时，针对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求解，也可以对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可灵活选择应用。

不过全过程用动能定理列方程求解往往比较简捷，应优先考虑。

例1、如图所示，一质量为2㎏的铅球从离地面2m 高处自由下落，陷入沙坑2 cm 深处，求沙子对铅球的平均阻力。

（取210/g m s =)【思路点拨】分析外力做功，哪个力做多少功，（力多大，位移是多少）,分析初态的动能、末态的动能，根据动能定理列出方程求解。

如果初态、末态取得好，计算要简单的多，那就是对全过程应用动能定理。

【答案】 2020 N【解析】 铅球的运动分为自由下落和陷入沙坑中的减速两过程，可根据动能定理分段列式，也可对全过程用动能定理．方法一：分阶段列式设小球自由下落到沙面时的速度为v ，则 2102mgH mv =- 设铅球在沙坑中受到的阻力为F ，则 2102mgh Fh mv -=- 代入数据，解得F=2020 N 。

方法二：全过程列式全过程重力做功 ()mg H h +，进入沙坑中阻力做功Fh -，从全过程来看动能变化为零，则由21k k W E E =-，得 ()00mg H h Fh +-=-解得 ()2020mg H h F N h+==。

【总结升华】若物体运动过程中包含几个不同的过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。

对全过程应用动能定理，一般来说都要简单一些，因为减少了中间环节，如果初、末状态的动能为零，解题就很简捷了。

举一反三【变式】如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC 的连接处都是一段与BC 相切的圆弧，BC 为水平的，其距离d=0.50 m ，盆边缘的高度为h=0. 30 m ．在A 处放一个质量为m 的小物块并让其从静止出发下滑。

已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC 面与小物块间的动摩擦因数为μ=0. 10。

小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到B 的距离为（ ）A ．0. 50 mB ．0. 25 mC ．0. 10 mD ．0【答案】 D【解析】分析小物块的运动过程，AB 、CD 段光滑，不消耗机械能，只是BC 段摩擦力做功，小物块在盆内来回滑动，由于克服摩擦力做功，物块的机械能不断减少。

摩擦力做功等于力乘以路程。

在A 处为初态，最后静止下来的那点为末态，初态、末态的动能都为零，设小物块在BC 段滑行的总路程为s ，摩擦力做负功为mgs μ-，重力做正功为mgh ，根据动能定理可得0mgh mgs μ-=，物块在BC 之间滑行的总路程3mgh h s m mg μμ===，小物块正好停在B 点，所以D 选项正确。

本题如果根据功和能的关系理解也很简单：物体的重力势能全部用于克服摩擦力做功，计算式为：mgh mgs μ=。

类型二、利用动能定理求变力做功的问题如果是恒力做功问题，往往直接用功的定义式求解。

但遇到变力做功问题，需借助动能定理等功能关系进行求解。

分析清楚物理过程和各个力的做功情况后，对全过程运用动能定理可简化解题步骤。

【高清课堂：动能、动能定理例4】例2、质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。

设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子所受拉力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）A ．8mgR B ．4mgR C ．2mgR D ．mgR【思路点拨】理解“最低点，此时绳子所受拉力为7mg ”的意义，可以求什么，理解“经过半个圆周恰能通过最高点”的意义，是重力提供向心力。

从最低点到最高点，有阻力，求阻力做的功，根据动能定理列方程求解。

【答案】 C【解析】小球所受空气阻力时刻在变化，运动情况和受力情况均比较复杂，用动能定理求解比较容易。

从“小球通过轨道的最低点绳子所受拉力为7mg ”可以求出最低点的速度；从“经过半个圆周恰能通过最高点”可以求出最高点的速度。

最低点为初态，最高点为末态， 从低到高，重力做负功，阻力也做负功（用正负号均可）。

小球在最低点，合力提供向心力：217v mg mg m R-= 得 216v gR = 小球在最高点，重力提供向心力： 22v mg m R= 得 22v gR = 根据动能定理有：222112()2f mg R W m v v -⋅+=- 得 12f W mgR =-， 故C 选项正确。

【总结升华】求解变力的功时最常用的方法是利用动能定理或功能关系从能量的角度来解决。

本题关键要理解隐含条件的物理意义，可以求什么。

另外还有一些方法如：①将变力转化为恒力；②平均方法（仅大小变化且为线性变化的力）；③利用F s -图象的面积；④利用W Pt = （功率恒定时）。

举一反三【变式】如图所示，质量为m 的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k 倍，它与转轴OO '相距R 。

物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为（ ）A ．12kmgR B ．0 C ．2kmgR π D ．2kmgR【答案】A【解析】 物块在开始滑动时最大静摩擦力是圆周运动的向心力，故2v kmg m R=，所以2v kgR = 则由动能定理211022W mv mgkR =-= 得 12W mgkR = 故选A 。

类型三、动能定理的综合应用在应用动能定理解题时，应注意受力分析和过程分析，先确定受力分析，确定各个力是否做功及做功正负，后进行过程分析以确定物体的初、末状态及动能的变化。

同时要注意运动过程中物体机械能的损失和物体合运动与分运动的关系。

例3、如图所示，长度为l 的轻绳上端固定在O 点，下端系一质量为m 的小球（小球的大小可以忽略）。

（1）在水平拉力F 的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止，画出此时小球的受力图，并求力F 的大小。

（2）由图示位置无初速度释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。

不计空气阻力。

【思路点拨】求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力，先根据动能定理（或机械能守恒定律）求出速度，要注意高度的计算，再根据牛顿第二定律（圆周运动）求出拉力。

【答案】（1）受力图见解析，tan F mg α=（2） (32cos )T mg α=- 方向竖直向上【解析】（1）受力图见右根据平衡条件，拉力大小tan F mg α=（2）重力做正功为 (1cos )mgl α-， 拉力不做功根据动能定理 21(1cos )02mgl mv α-=- 则通过最低点时，小球的速度大小v =（或者运动中只有重力做功，系统机械能守恒21(1cos )2mgl mv α-= 则通过最低点时，小球的速度大小v =）根据牛顿第二定律 2v T mg m l-= 解得轻绳对小球的拉力 2(32c o s )v T m g m m g lα=+=-，方向竖直向上。

【总结升华】应用动能定理解题时，要分析哪些力做功，是做正功还是负功，初末状态的动能，列计算式时是“末减初”，否则符号就不对了。

如果机械能守恒，根据机械能守恒列方程要方便得多。

【高清课堂：动能、动能定理例3】例4、质量为m 的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为μ，μ<tg θ。

斜面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板，滑块滑到底端与它碰撞时没有机械能损失，如图所示，若滑块从斜面上高度为h 处以速度v 0开始沿斜面下滑，设斜面足够长，求：（1）滑块最终停在何处？（2）滑块在斜面上滑行的总路程是多少？【思路点拨】根据题意μ<tg θ，滑块最终停在档板处，求滑行的总路程，摩擦力做功按路程计算不是按位移计算，根据动能定理列方程求解。

【答案】（1）滑块停在距挡板； （2）θμcos 2220g v gh +【解析】（1）当物体静止时，做受力分析图，垂直斜面：cos N mg θ=cos tan cos sin f mg mg mg μθθθθ=<⋅=平行斜面：sin 0F mg f θ=->∑即物体不能静止于斜面上， ∴滑块最终停在档板处。